第章《振动》习题解答

第9章《振动》习题解答

9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力.

【解】

刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向，φ为与OC 铅垂线（为平衡位置）的

夹角，由对O 的转动定理； 因φ很小故sin φφ=

9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m ，轻弹簧的劲度系数为1k 和2k ，

支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率.

【解】

以物体m 为隔离体,水平方向受12,k k 的弹性力12,,F F 以平衡位置为原点建立坐标系

O x -，水平向右为x 轴正方向。设m 处于O 点对两弹簧的伸长量为0，即两个弹簧都处于原长状态。m 发生一小位移x 之后，弹簧1k 的伸长量为x ，弹簧2k 被压缩长也为x 。

故物体受力为：1212---()x F k x k x k k x ==+ （线性恢复力） m 相当于受到刚度系数为12k k k =+的单一弹簧的作用 由牛顿第二定律：

9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m ，弹簧的劲度系数为1k .若在振子和弹簧1k 之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数2k 应是1k 的多少

倍？

【解】

未串时：平衡位置 1

mg k =

串联另一刚度系数为2k 的弹簧：

此时弹簧组的劲度系数为?k =

已知：

2ωω

=' 解得：211

3

k k =

9.2.4 单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内.（3）单摆悬挂于以加速度a (

【解】

（1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力W ，摆线张力T ，惯性力f ma *=-。

平衡位置处有：0T mg f *++=

由此可得平衡位置时摆线铅直夹角

a

tg g

α=

(1) 由平衡位置发生小角位移θ

由牛顿第二定律:在切线方向的分量式

即 (sin cos cos sin )(cos cos sin sin )g a a ταθαθαθαθ-++-=

θ

角很小,故sin ,cos 1θθθ==.于是得: 利用(1)式,sin cos ,g a αα=

则 22

(cos sin )d g a a dt τθααθ-+== 即 22cos sin 0d g a dt

θααθ++=

因为

sin αα=

=

所以 0g a ω+=

=

(2)以电梯为参照系,惯性力与重力沿铅垂方向,同于的分析摆线为铅垂位置时为平衡态.

(3) 同(2)的分析得:

9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为310/s .设想各原子之间彼此以弹簧连结.一摩尔银的质量为108g 且包含236.02?10个原子.现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数.

【解】

由9.2.2

知0ω=

这里 12k k k ==

9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为=9.8N/m k ，物体质量为20g 现将弹簧自平衡

位置拉长并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0m/s ，求该振子的运动学方程(SI).

【解】

以平衡位置为原点建立坐标系O-x,水平向右为正方向。弹簧振子的运动方程为:

故07(/)rad s ω=

= 0t =

时，00),7.0(/)x x cm cm s νν====

0t =时，000cos sin x A A ανωα=⎫

⎬=-⎭→0.34()rad α=-

弹簧振子的运动方程：

9.2.7 质量为31.010g ⨯的物体悬挂在劲度系数为61.010dyn/cm ⨯的弹簧下面.（1）求其振动的周期.（2）在=0t 时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm ，速度为+15cm/s ，求其运动学方程.

【解】

以平衡位置为原点，建立坐标系O-x ，竖直向下为正方向。

（1

）0

220.199()T s π

π

ω=

== （2）设运动方程为：

即 000cos 0.726sin 0.688

x A A αναω⎧

==⎪⎪⎨⎪=-=--⎪⎩ 故 0.759()43.49rad α=-=

-

所以运动学方程为：

9.2.8 （1）一简谐振动的运动规律为π

=5cos(8+)4

x t ，若计时起点提前0.5s ，其运

动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？

（2）一简谐振动的运动学方程为=8sin(3-)x t π.若计时起点推迟1s ，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？

（3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后=0t 时旋转矢量的位置.

【解】

（1） 5cos(8)4

x t π

=+ （1）

计时起点提前0.5，则0.5t t '=+，代入（1）式，运动方程为： 设计时起点提前0t 秒，可使初相为零，即0t t t ''=+，代入（1）式得：