标量位与矢量位

2 Az
2 Az t 2
J z
每个分量的解结构同前。三个分量合成后，矢
量位
A
的解为
A(r , t )
4π
V
J r,t r
r r v
r
dV
式中， V ' 为电流 J 的分布区域。
r
已知位于原点的静止点电荷 q 产dV生的电位为
(r)
dV 4π r
可见函数 f1 为
f1Hale Waihona Puke Baidu t
r v
t
r v
4π
dV
因此位于原点的时变点电荷的标量位为
d
(r,t)
t
r v
4π r
dV
式中 r 为体元 dV 至场点的距离。
z
r,t
r
r v
位于 V 中的体电荷 在 r 处产生的电位为
E
B A
因此，标量位 – 标量电位；矢量位 A – 矢量磁位。
将位函数代入麦克斯韦方程，求得
A
J
2 A t 2
t
A t
再利用矢量恒等式 A ，上 A两式2又A可表
示为
2
A
(
A)
2A t 2
t
J
2
t
(
A)
已定义了矢量场 A 的旋度， A B ， 必须再规定其散度。
已知 B 0 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度。
即
B A
式中， A 称为矢量位。
将上式代入式 得
E
E
B t
t
(
中，
A)
上式又可改写为
E
A t
0
可见，矢量场
E
A t
为无旋场。因此可以表示
为一个标量场 的梯度，即
E
A t
式中 称为标量位。求得
E
A t
当 A 与时间无关时
4. 标量位与矢量位
设介质是线性均匀且各向同性的，那么由麦
克斯韦方程可得
E
2 E t 2
J t
H
2 H t 2
J
利用矢量恒等式 A ，同 A时考2虑A 到
及 ，那 么B 上 0述两式 D变为
2E
2E t 2
J t
1
2H
2H t 2
J
场与源的关系比较复杂。
引入标量位与矢量位作为两个辅助函数 , 可以简 化时变电磁场的求解。
为了简化计算，令
A
Φ t
洛伦兹条件
则前两式可以简化为
2
A
2A t 2
J
2Φ
2Φ t 2
仅与电流 J 有 关 仅与电荷 有关
原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。
原来电磁场的矢量方程为
2E
2E t 2
J t
1
2H
2H t 2
J
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量
。 位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2
A
2A t 2
J
2Φ
2Φ t 2
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。
在直角坐标系中，实际上等于求解 1 个标量方程
。
5. 位函数方程的求解 根据静态场结果，采用类比方法推出其解。
先求解时变点电荷的矢量位，再利用叠加原 理导出分布的时变体电荷的矢量位。
z (r, t)
r
当时变点电荷位于坐标原点 时，其场分布与 及 无关。那 么，在除坐标原点以外整个无源
O
x
y 空间，位函数 满足的方程式为
2 ( r) r 2
1 v2
2 ( t 2
r)
0
式中 v 1
0r
上式为函数 ( r) 的齐次波动方程，其通解为
r
f1
t
r v
f
2
t
r v
式中的第二项不符合实际的物理条件，应该舍
去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电
位为
Φ(r,t)
f1
t
r v
r'
dV'
V' r
ﾢ r' - r (r, t)
(r,t)
1 4π
� � �rﾢ,t
r
rﾢ� v � �dV ﾢ
Vﾢ
r rﾢ
O
y
x
将矢量位方程在直角坐标系中展开，则矢量位
A 各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式
即，
2 Ax
2 Ax t 2
J x
2 Ay
2 Ay t 2
J y