11.概率(01)综合(2)_答案
概率论与数理统计的答案详解_北邮版_(第一章的)
概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.” C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C（1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，C （3） A ，B ，C 都发生； （4） A ，B ，C （5） A ，B ，C 都不发生； （6） A ，B ，C（7） A ，B ，C 至多有2个发生； （8） A ，B ，C 至少有2个发生. 【解】（1） A BC （2） AB C （3） ABC（4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由:(1) A∪B=(AB)∪B；(2) A B=A∪B；A∩C=AB C；(3) B(4) (AB)( AB)= ∅；(5) 若A⊂B，则A=AB；(6) 若AB=∅，且C⊂A，则BC=∅；(7) 若A⊂B，则B⊃A；(8) 若B⊂A,则A∪B=A.【解】(1)不成立.特例：若Α∩B=φ，则ΑB∪B=B.所以，事件Α发生，事件B必不发生，即Α∪B发生，ΑB∪B不发生.故不成立.(2)不成立.若事件Α发生，则A不发生，Α∪B发生，所以A B不发生，从而不成立.A，AB画文氏图如下:(3)不成立.B所以,若Α-B发生,则AB发生, A B不发生,故不成立.(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.故成立.(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,故BC=φ.⊂.(7)不成立.画文氏图,可知B A(8)成立.若事件Α发生,由()A AB ⊂,则事件Α∪B 发生.若事件Α∪B 发生,则事件Α,事件B 发生. 若事件Α发生,则成立.若事件B 发生,由B A ⊂,则事件Α发生.4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1P （AB ）=1[P (A )P (AB )]=1[0.70.3]=0.65.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB（2） 在什么条件下P （AB【解】（1） 当AB =A 时，P （AB ）取到最大值为0.6.（2） 当A ∪B =Ω时，P （AB ）取到最小值为0.3.6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0P（AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )=14+14+13112=347.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1P (A 1)=1(17)59. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有350C 种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共245C 种取法;从5个次品中取1个,共15C 种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为245C 15C种,所以所求概率为21455350C C P C =.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率. （1） n 件是同时取出的； （2）n （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种，从NM 件次品中取nm 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n m 次取得次品，每次都有N M 种取法，共有（N M ）n m 种取法，故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 在电话号码簿中任取一电话号码，求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0，1，…，9).【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有410P 种排法,故所求概率为4410/10P P =.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == *16.0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076*17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=？19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1.（1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 题22图23.P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.则1(0.8)0.9n-≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故n ≥1lg8=11.07，至少必须进行11次独立射击. 32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦()()()()P AB P B P AB P B =，即()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=- 因此 ()()()P AB P A P B =,故A 与B 相互独立. 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为151314，求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)×0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)×0.6+0.4×0.5×0.7×1=0.458。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题11 概率(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题11 概率 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·安徽·高三竞赛）从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=_________. 【答案】115【解析】 【详解】123x x x <<的样本方差()3221113i i s x x ==-≤∑，当且仅当1x 、2x 、3x 是连续的正整数.故()231081115P s C ≤==.故答案为1152．（2018·广东·高三竞赛）袋中装有m 个红球和n 个白球，m ＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组（m ，n ）的个数为_______. 【答案】3 【解析】 【详解】记“取出两个红球”为事件A ，“取出两个白球”为事件B ，“取出一红一白两个球”为事件C ，则()22m m n C P A C +=，()22n m n C P B C +=，()112m nm nC C P C C +⋅=. 依题意得()()()P A P B P C +=，即2211m n m n C C C C +=.所以()2m n m n +=-，从而m n +为完全平方数.又由4m n >≥及40m n +≤，得940m n ≤+≤. 所以9,3,m n m n +=⎧⎨-=⎩或16,4,m n m n +=⎧⎨-=⎩或25,5,m n m n +=⎧⎨-=⎩或36,6,m n m n +=⎧⎨-=⎩. 解之得（m ，n ）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）. 故符合题意的数组（m ，n ）有3个.故答案为33．（2018·广东·高三竞赛）已知点A （1，1），B （1,02），C （3,02）经过点A 、B 的直线和经过点A 、C 的直线与直线()01y a a =<<所围成的平面区域为G.已知平面矩形区域(){},02,01x y x y <<<<中任意一点进入区域G 的可能性为116，则a=__________. 【答案】12 【解析】 【详解】直线AB 方程为21y x =-，直线AC 方程为23y x =-+，直线y a =与它们的交点为D （1,2a a -），E （3,2a a -）.G 的面积等于三角形ADE 的面积()212a -，因此()211416a -=，解之得12a =. 故答案为124．（2019·全国·高三竞赛）已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13.若其中一人比另一人多赢两局，则游戏结束那么，需要进行的游戏局数的数学期望为_______. 【答案】185. 【解析】 【详解】设所求的数学期望为E ξ.注意到，两局就结束的概率等于22215339⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若两局没有结束，则必定恰赢了一局，回到初始状态，此时的数学期望为2E ξ+，从而， ()541822995E E E ξξξ⨯++=⇒=. 故答案为1855．（2019·全国·高三竞赛）两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5min 分钟，如果没有见到对方则自己先行.设两人到达B 地的时间是随机的、独立的、等可能的.那么，两人能够在当天一同去A 地的概率是______. 【答案】23144【解析】 【详解】设两人到达A 地的时间分别是7点过m 分和7点过n 分（0m ≤、60n ≤）.用数对(),m n 表示两人分别到达A 地的时间.则在直角坐标系中，点(),m n 的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600.显然，两人能够在当天一同去A 地等价于5m n -≤.此时，相应点的存在域是正方形中位于两直线5m n -=±之间的部分区域（如图），其面积为2360055575-=. 故所求概率为575233600144=. 故答案为231446．（2019·全国·高三竞赛）在面积为1的正方形ABCD 中任取一点P ，则PAB △、PBC 、PCD 、PDA 的面积均大于16的概率是____．【答案】19【解析】 【详解】如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系.设(),p x y ，01x <<，01y <<. 由题设知x ，y 必满足()()112611261112611126x y x y ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎨⎪->⎪⎪⎪->⎩，即12331233x y ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩. 因此，满足题设条件的点p 必在直线13x =，23x =和13y =，23y =所围成的正方形区域内.所以所求概率为2211319⎛⎫⎪⎝⎭=. 故答案为197．（2019·全国·高三竞赛）圆周上有10个等分点.则以这10个等分点中的4个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的个数比为______. 【答案】27【解析】 【详解】任选4点，共有410210C =个凸四边形，其中，梯形的两条平行边既可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60个.所以，梯形所占的个数比为27. 故答案为278．（2019·全国·高三竞赛）记{}{}1,3,5,7,9,2,4,6,8A B ==．现抛掷硬币从A 、B 中无放回地取出数字组成九位数，规则是：若硬币出现正面时，就从集合A 中取出一个最小的数；若硬币出现反面时，就从集合B 中取出一个最小的数．当一个集合的数字被取完而另一个集合还有数字时，另一集合剩下的数字就按从小到大的顺序添在后面按此规则，取出的数字恰好为123456789的概率为________． 【答案】1256【解析】 【详解】由规则知，抛掷硬币的正反面序列为：正反正反正反正反． 所以，取出的数字恰好为123456789的概率为8112256⎛⎫= ⎪⎝⎭．故答案为12569．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记ξ为这四个数中两数相邻的组数，则ξ的数学期望E ξ=__________． 【答案】65【解析】 【分析】 【详解】易知ξ的取值为1,2,3，且：327741013233765C C E C ξ⨯⨯+⨯⨯+⨯==． 故答案为：65.10．（2018·全国·高三竞赛）甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人．一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为______． 【答案】19【解析】 【详解】 433139P ⨯== 11．（2018·全国·高三竞赛）袋内有8只白球和2只红球，每次从中随机取出一只球，然后放回1只白球．则第四次恰取完所有红球的概率为______． 【答案】0.0434 【解析】【详解】第四次恰取完所有红球的概率为2229182918210.043410101010101010101010⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12．（2019·全国·高三竞赛）从{}1,2,,100中任取5个数（可以相同）．则取到合数的个数的数学期望是______． 【答案】3710【解析】 【详解】{}1,2,,100中合数共有74个，设ξ为取到合数的个数．则()()557426i 05100100iiP C i ξ-⎛⎫⎛⎫==≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故ξ服从二项分布．因此，7437510010E ξ=⨯=． 故答案为371013．（2018·全国·高三竞赛）甲有一个箱子，里面有红球和白球共4个；乙有一个箱子，里面有2个红球、1个白球、1个黄球.现在，甲从他的箱子中任取2个球，乙从他的箱子中任取1个球，如果取出的3个球颜色全不同，则甲获胜.为了保证甲获胜的概率最大，则甲的箱子中的红球个数为____. 【答案】2 【解析】 【详解】设甲的箱子中有()1n n ≥个红球，则白球有4n -个.故甲获胜的概率为()114214414.24n n C C P n n C C -==-422n n +-≤=，即()44n n -≤，当且仅当2n =时，上式等号成立，P 最大.14．（2019·全国·高三竞赛）两人作一种游戏:连续旋转一枚硬币若干次,当正(或反)面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时,如果正面向上的次数累计达到5次,则A 胜;否则B 胜.那么,旋转不足9次就决出胜负的概率为______.【答案】93128【解析】 【详解】考察旋转9次才结束游戏的情形.此时,前8次旋转中正面向上和反面向上各有4次,其概率为488C 352128=,于是,旋转不足9次就结束游戏的概率为35931128128-=. 故答案为9312815．（2019·全国·高三竞赛）设1210,,,a a a 是2000,2001,,2009的一个排列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．则排列1210,,,a a a 满足“()110i S i ≤≤都不是3的倍数”的概率为______.【答案】150【解析】 【详解】 设2000,2001,,2009的一个排列为一个基本事件M .则基本事件总数为1010N A =.下面计算所求事件M 含的基本事件数．（1）首项不能是3的倍数，除首项以外各项均可是3的倍数，从而，3的倍数有39A 种排法；（2）去掉3的倍数后，考虑模3余2、余1的数的位置（用i a 模3的余数代替i a ）： 当11a =时，21a =，32a =，41a =，……此时，含1的项比含2的项多，这与已知矛盾； 当12a =时，22a =，31a =，……此时，满足题设要求．综上，模3余2、余l 的数的位置唯一确定，它们的各自排法分别有44A 和33A 种．因此，事件M 含基本事件数为343943m A A A =.故所求概率150m P N ==． 故答案为15016．（2019·全国·高三竞赛）一副扑克牌除去大、小王共52张.洗好后，四个人顺次每人抓13张.则两个红A （即红桃A 、方块A ）在同一个人手中的概率为________. 【答案】417【解析】 【详解】注意到，牌洗好后每个人的牌就定下来了，即已将52张牌排在了52个位置上. 记四组牌号为：1，5，9，13，⋯，49；2，6，10，14，⋯，50； 3，7，11，15，⋯，51；4，8，12，16，⋯，52．则红桃A 、方块A 在同一组中的排列数为25013504M A A =.从而，所求概率为452!17M P ==. 故答案为41717．（2018·湖北·高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______. 【答案】772【解析】 【详解】设1234a a a a 、、、分别是四次投掷骰子得到的点数，那么()1234,,,a a a a 共有46种不同的情况. 如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则 1234a a a a ≤≤≤.若1234a a a a 、、、的值都相等，则()1234,,,a a a a 有16C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取两个不同的值，则()1234,,,a a a a 有263C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取3个不同的值，则()1234,,,a a a a 有363C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取4个不同的值，则()1234,,,a a a a 有46C 种不同的情况.因此，满足1234a a a a ≤≤≤的情况共有1234666633126C C C C +++=（种）.故所求的概率为41267672=. 18．（2019·上海·高三竞赛）某侦察班有12名战士，其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率是________.【答案】311【解析】 【详解】由题意可知，所有的分组方法34129C C N =，满足题意的分组方法23973!C C n =，则满足题意的概率值：2397341293!C C 3C C 11P ==.故答案为：311． 19．（2019·贵州·高三竞赛）已知m ∈{11，13，15，17，19}，n ∈{2000，2001，…，2019}，则mn 的个位数是1的概率为____________ . 【答案】25【解析】 【详解】当m =11，n ∈{2000，2001，…，2019}时，mn 的个位数都是1，此时有20种选法； 当m =13，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法； 当m =15时，mn 的个位数不可能为1，此时有0种选法；当m =17，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法； 当m =19，n ∈{2000，2002，2004，…，2018}时，m 的个位数都是1，此时有10种选法. 综上，所求概率为205051025205++++=⨯.故答案为：25．20．（2021·全国·高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为______. 【答案】319512【解析】 【分析】 【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率，即5101011101051319222512i i p CC ===+=∑.故答案为：319512. 21．（2021·全国·高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为___________． 【答案】23108【解析】 【分析】 【详解】有两次为5的概率为213531166216C C +=， 有两次为6和4的概率为211134323306216A C C C +=， 所以概率为163023216216108+=. 故答案为：23108. 22．（2018·福建·高三竞赛）从如图所示的，由9个单位小方格组成的，33⨯方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为______．【答案】514【解析】 【详解】先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数．如图所示，根据矩形特点，由这16个点可以构成224436C C ⨯=个不同的矩形．又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同．因此，可得436144⨯=个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形．再算直角顶点不在矩形顶点：（1）在12⨯的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为()2,2,2的直角三角形两个．而12⨯矩形横向、纵向各有6个，故共有21224⨯=个． （2）在23⨯的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为5,5,10的直角三角形4个，边长分别为(2,22,10的直角三角形4个．而23⨯矩形横向、纵向各有两个，故共有()44432+⨯=个． 所以，所求的概率31614424322005401414P C ++===⨯． 23．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}1,2,,2014中随机地、不放回地取出三个数123a a a 、、，然后再从剩下的2011个数中同样随机地、不放回地取出三个数123b b b 、、.则将123a a a ⨯⨯为长、宽、高的砖能放进以123b b b ⨯⨯为长、宽、高的盒子中的概率为__________． 【答案】14【解析】 【详解】不妨设123a a a <<，123b b b <<，当且仅当11a b <，22a b <，33a b <时砖可放入盒中. 设126c c c <<<是从{}1,2,,2014中选出的六个数，再从中选出三个，有36C =20种方法.这三个作为123a a a 、、，剩下三个作为123b b b 、、，符合要求的1a 只能为1c . 2a 若为2c ，则3a 可为3c 或4c 或5c ；2a 若为3c ，则3a 可为4c 或5c .故符合要求的取法为5种，概率51204p ==. 24．（2018·全国·高三竞赛）小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第-次出现6点为止．则小明和小红投掷的次数相差不超过1的概率为________． 【答案】833【解析】 【详解】设小明、小红投掷次数分别为ξη、.则所求为()()()1,11,]i P i P i i P i i ξηξηξη+∞===+==++=+=∑.由独立性,知所求概率为()()()()()()111)i P i P i P i P i P i P i ξηξηξη+∞=⎡⎤==+==++=+=⎣⎦∑=111151515151266666666i i i ii ---+∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑=833.25．（2018·全国·高三竞赛）设n 为正整数.从集合{}1,2,,2015中任取一个正整数n 恰为方程236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解的概率为_______（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. 【答案】10072015【解析】 【详解】当()6n k k Z +=∈时，6322n k k ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，66233636n n k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.满足题中方程的n 为6，12，…，2010，共335个； 当()65n k k Z +=-∈时，653322n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6565221333636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 为1，7，13，…，2011，共336个； 当()64n k k Z +=-∈时，643222n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6464221333636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在；当()63n k k Z +=-∈时，633222n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6363211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 为3，9，15，…，2013，共336个； 当()62n k k Z +=-∈时，623122n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，6262211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在；当()61n k k Z +=-∈时，613122n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6161211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在. 因此，从集合{}1,2,,2015中任取一个正整数n 恰为题中方程的解的概率为335336336100720152015++=. 26．（2018·全国·高三竞赛）抛一颗色子三次，所得点数分别为m 、n 、p .则函数322132n y mx x px =--+在[)1,+∞上为增函数的概率为______. 【答案】1124【解析】 【详解】 注意到，()322132n f x mx x px =--+ 在[)1,+∞上为增函数等价于()220f x mx nx p =-->'在[)1,+∞上恒成立，等价于()10f '>，即2m n p >+.当2m =时，3n p +≤，有3种；当3m =时，5n p +≤，有10种； 当4m =时，7n p +≤，有21种；当5m =时，9n p +≤，有30种； 当6m =时，11n p +≤，有35种. 故所求概率为331021303511624++++=.27．（2019·全国·高三竞赛）将编号为1，2，…，9的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有相邻珍珠编号之差的绝对值之和为T 则T 取得最小值的放法的概率为______. 【答案】1315【解析】 【详解】由题设，知珍珠的固定方法共有9!47!92=⨯⨯（种）. 在项链所在的圆周上，从1~9有优弧和劣弧两条路径，设12,,,k x x x ⋅⋅⋅是依次排列在这段弧上的珍珠号码.则()()()11211219198k k T x x x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-≥-+-+⋅⋅⋅+-=， 当且仅当1219k x x x <<<⋅⋅⋅<<时，等号成立.因此，T 取得最小值的放法共有0123677772C C C C +++=（种）.故所求概率为62147!315=⨯. 28．（2018·全国·高三竞赛）小张、小李、小华、小明四人玩轮流投掷一枚标准色子的游戏.若有一人投到的数最小，且无人与他并列，则判他获胜；若投出最小数的人多于一个，则将没投出最小数的人先淘汰，再让剩下的人重新做一轮游戏，这样不断地进行下去，直到某个人胜出为止.已知第一个投掷色子的小张投到了数3.则他获胜的概率是______. 【答案】175864【解析】 【详解】考虑第一轮次中可能出现的四种情形. （1）小张获胜.这种概率是313168P ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）小张与另外某一人打成平局.这种概率是213131668C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是21118216P =⨯=（注意该游戏永不停止地进行下去的概率是0，下同）.（3）小张与另外某两个人打成平局，这种概率是2231316624C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是311124372P =⨯=. （4）所有人均打成平局．这种概率是3116216⎛⎫= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是41112164864P =⨯=. 综上，小张在游戏中获胜的概率为1234111117581672864864P P P P P =+++=+++=. 29．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}1,2,,2011⋅⋅⋅中任意选取两个不同的数a 、b ，使得a b n +=（n 为某正整数）的概率为12011．则ab 的最小值为______． 【答案】2010． 【解析】 【详解】记使得a b n +=的方法有k 种．则22011110052011k k C=⇒=． 考虑ab 尽量小，且使a b n +=的方法有1005种． 取2011n =．则120102************+=+=⋅⋅⋅=+． 此时，2011a b +=的选法恰有1005种． 于是，ab 的最小值为120102010⨯=．30．（2018·全国·高三竞赛）A B 、两队进行乒乓球团体对抗赛,每队各三名队员,每名队员出场一次. A B 、两队的三名队员分别是1A 、23A A 、,123B B B 、、,且i A 对j B 的胜率为()13ii j i j ≤≤+、.则A 队得分期望的最大可能值是______. 【答案】9160【解析】 【详解】设123A A A ，，胜率为123,,,p p p A 则队得分期望为123p p p ++， 计算123123123123123123246255336354446435++++++++++++，，，，，，可知,当132132:,:,:A B A B A B 时,期望最大为9160. 31．（2018·全国·高三竞赛）将1~6这16个正整数随机地填入44⨯棋盘的16个格子中（每格填写一数），则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率为______． 【答案】412145【解析】 【详解】首先，将44⨯棋盘染黑白两色，使黑、白两种格子各有8个，且每行（或列）中同色的格子有偶数个． 分三种情况讨论：（1）若第一列为两黑两自，则该列有24C 种染法．考虑后三列每行黑格的个数，则有12323223334+⨯⨯+⨯⨯+⨯=种染法．（2）若第一列为四黑，则后三列共有2234321C C +=种染法．（3）若第一列为四白，则后三列共有21种染法．对于以上每种染法，将1~16中的偶数填入黑格中，奇数填入白格中，得到满足条件的填法．故所求概率为()()26342128!4116!2145⨯+⨯⨯=．32．（2019·全国·高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶100m ，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退50m 进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后退50m ，直到命中为止，已知他第一次的命中率为14，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_________. 【答案】12 【解析】 【详解】记事件“第n 次射击命中”为n A ，其概率为()n P A .则()114P A =. 又第n 次射击时距离靶()()()100501501n n m +-=-， 则()()()2122111n P A P A n n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭+.于是，前n 次内命中的概率为()()()()121211n n n P P A A A P A P A P A =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅()21111324211111492233111n n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()1212121n nn n +=-⋅=++.令n →∞，得1lim 2n n P →∞=. 因此，此人能够命中的概率是12.故答案为1233．（2019·全国·高三竞赛）如图，给定由()12n n +个点组成的正三角形点阵．在其中任意取三个点，以这三点为顶点构成的正三角形的概率为__________．【答案】224n n +-【解析】 【详解】设正三角形点阵的凸包为正ABC ∆，边长为1n -.首先，计算正△DEF 的个数，其中，D 、E 、F 为上述正三角形点阵内的点. 如图，将AB 、AC 分别延长到点,B C ''，使得''1BB CC ==.将BB '分成n 等份.对正三角形点阵内任一点X ，过X 作AB 、AC 的平行线与B C ''的交点，并分别记为b c X X 、. 下面分两种情形.1.正△DEF 与正△ABC 的对应边平行，则正△DEF 与边B C ''上有序三点组()b ,,c c E F F 一一对应，有3n+1C 个正三角形.2.正△D E F '''不与正△ABC 对应边平行，作正△D E F '''的外接正△DEF ，使得正△DEF 与正△ABC 的对应边平行，则正△D E F '''与边B’C’上有序四点组()b b ,',',c c E D D F 一一对应，有41n C +个正三角形.综上，共有344n+112n n C C C +++=个正三角形.从而，所求概率为()42321224n n n C C n n ++=+-. 故答案为224n n +-34．（2019·全国·高三竞赛）有7名运动员分别获得某项比赛的一、二、三等奖，已知一等奖的人数不少于1人，二等奖的人数不少于2人，三等奖的人数不少于3人.则恰有2人获一等奖的概率为______. 【答案】613【解析】 【详解】按一、二、三等奖的顺序，获奖人数有三种情况：()1,2,4，()1,3,3，()2,2,3.当()1,2,4时，发奖方式有12476465711052C C C ⨯=⨯⨯=（种）； 当()1,3,3时，发奖方式有1337636547114032C C C ⨯⨯=⨯⨯=⨯（种）； 当()2,2,3时，发奖方式有322742765431210322C C C ⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯（种）. 故恰有2人获一等奖的概率为 210621014010513=++.35．（2019·全国·高三竞赛）某校进行投篮比赛，共有64人参加.已知每名参赛者每次投篮的命中率为34.规定：只有连续命中两次才能被录取，一旦录取就停止投篮，否则一直投满4次.设ξ表示录取人数.则E ξ______. 【答案】54 【解析】 【详解】每位参赛者被录取的概率为33133113313321644444444434444256p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故录取人数ξ服从二项分布，即216~64,256B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以，2166454256E ξ=⨯=. 故答案为5436．（2019·全国·高三竞赛）数字钟分别用两个数字显示小时、分、秒（如10:03:18）.在同一天的05:00:00~23:00:00（按小时计算）之间，钟面上的六个数字都不相同的概率是______. 【答案】61540【解析】 【详解】为了满足题中的条件，设钟面显示应为()1212121112::6,6,h h m m s s m s h h <<≠. 当16h <，26h <时，1m 和1s 应在小于7中的另外四个数中选择.因而，1m 有四种选择方式，1s 有三种选择方式.由于已选择了四个数字，2m 和2s 就只能从剩余的六个数字中选择，它们分别有六种、五种的选择方式.在05:00:00—23:00:00之间，这种情形共有时间总数是743652520⨯⨯⨯⨯=.当1h 、2h 中只有一个小于6时，类似可求在05:00:00~23:00:00之间，这种情形共有时间总数是854654800⨯⨯⨯⨯=.因此，钟面上的六个数字都不相同的次数是250048007320+=，概率为732061183600540=⨯.37．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）甲，乙两人进行一场七局四胜制的游戏，任何一人累计获胜四局即为胜方，同时游戏结束，另一人为负方．若在每局中，双方各有12的概率获胜，则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数学期望为______． 【答案】3516【解析】 【分析】 【详解】由题可设游戏结束时胜方比负方多获胜的局数为X ,则X 可能取值为1,2,3,4, 比七局,前六场两人三胜三负,胜方比负方多获胜一场,63615(1)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;比六局,前五场胜方三胜两负,胜方比负方多获胜两场,63515(2)2216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;比五局,前四场胜方三胜一负,胜方比负方多获胜三场,53411(3)224P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,比四局,胜方连胜四局,411(4)228P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以551135()123416164816E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：3516. 38．（2019·四川·高三竞赛）设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球(取出某色球的概率均相同)，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为_____ . 【答案】12 【解析】 【详解】设所求数学期望为E ，第一次取出的球的颜色分别为红、黄、蓝的取法的次数ξ的数学期望为E (a )、E (b )、E (c ).则E (b )=E (c ).因为第一次取出的球的颜色为红、黄、蓝的概率是相同的，所以()2()3E a E b E +=，①先考虑第一次取出的球是红色的，若第二次取出的球是红色的，则操作结束；若不然，第一个为红球，第二个球的颜色为黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法(即第一个球的颜色是黄或蓝)，则12()2(1())33E a E b =⨯++②再考虑第一次取出的球的颜色是黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法，则()1E b E =+③ 由①、②、③，解得E =12. 故答案为：12．39．（2019·广西·高三竞赛）从1，2，…，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差数列的概率为____________ . 【答案】338【解析】 【详解】设取出的3个不同的数分别为a 、b 、c .不同的取法共有320C 种，若这3个数构成等差数列，则有a +c =2b .故、c 同为奇数或同为偶数，且a 与c 确定后，b 随之而定.从而所求概率为221010320338C C P C +==. 故答案为：338． 二、解答题(共0分)40．（2018·黑龙江·高三竞赛）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征如《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[20，45]的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示.（1）求图中x 的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低35岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）0.06x =（2）分布列见解析，期望为1.8 【解析】 【详解】（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++⨯=，解得0.06x =.（2）.用分层抽样的方法，从100志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6铭，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X 的可能取值为0，1，2，3.()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ===，()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===.故X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1303101216所以()13110123 1.8301026E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.41．（2018·湖南·高三竞赛）棋盘上标有第0，1，2，⋅⋅⋅，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败集中营）是，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为n P . （1）求3P 的值；（2）证明：111()(299)2n n n n P P P P n ++-=--≤≤；（3）求99100P P 、的值.【答案】（1）58（2）111()(2n 99)2n n n n P P P P +--=-≤≤（3）1009911132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【解析】 【详解】（1）棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率在18；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为14；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为14，因此3P =58.（2）易知棋子先跳到第2n -站，再掷出反面，其概率为212n P -；棋子先跳到第1n -站，再掷出正面，其概率为112n P -，因此有()1212n n n P P P --=+， 即()11212n n n n P P P P ----=-+， 也即()()1112992n n n n P P P P n +--=-≤≤. （3）由（2）知数列{}()11n n P P n --≥是首项为{}()11n n P P n --≥ 1011122P P -=-=-，公比为12-的等比数列.因此有()()11101122nn n n n P P P P ---⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭.由此得到 999899100111211122232P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 42．（2018·全国·高三竞赛）已知数列{}n a 满足10a =，并且对任意的1,11n n n n Z a a a 取或++∈-+的概率均为12．（1）设21n a +的值为随机变量X ，试求X 的概率分布； （2）求X 的绝对值的数学期望E|X|．【答案】（1）见解析；（2）2212n n n nC -． 【解析】 【详解】（1）设1n n n d a a +=-.则对任意正整数,n n d 取1或-1的概率均为12，且()22211111n nn i i i i i a a a a d ++===+-=∑∑.设21n a k +=.显然，2k n ≤，并设此时122,,,n d d d ⋅⋅⋅中有x 个1,2n-x 个-1.则X-(2n-x)=k. 因此，k=2(x-n)只能取[-2n,2n]之间的偶数值.对于偶数2m(m=0,±1,...,±n)，事件{X=2m}相当于在2n 个数122,,,n d d d ⋅⋅⋅中，有n+m 个取1，n-m 个取-1，因此，X 的概率分布可表示为()()2220,1,,2n mn n C P X m m n +=-==±⋅⋅⋅±（2）对任意1≤i≤n ，易知P(X=-2m)=P(X=2m).从而，()()22121,2,,2n m nn C P X m m n +-===⋅⋅⋅.2222211112?22n m nn n m nn n n m m C E X m mC ++--====∑∑()2222112nn mn mnn n m n m CnC ++-=⎡⎤=+-⎣⎦∑()1212221122nn m n mn nn m nCnC +-+--==-∑ 12122211122n nn m n m n n n m m n C n C +-+--==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑ ()212222*********.2222n n n n n n n n nC n C n ---⎡⎤=⨯⨯--=⎢⎥⎣⎦ 43．（2018·全国·高三竞赛）掷骰子（为均匀的正方体，六个面分别标有1、2、3、4、5、6）游戏规则如下：第一次掷9枚骰子，将其中显示为1的骰子拿出放到一边；第二次掷剩下的骰子，再将显示为1的骰子拿出；……，直到未掷出显示为1的骰子或骰子全部拿出，游戏结束.已知恰好掷9次结束游戏的概率为u v uab c d（a、b 、c 、d 为不同的质数，u v N +∈、）.求uv bcd +. 【答案】2012 【解析】 【详解】由游戏规则，知若恰好掷9次结束游戏，则前八次中每次恰好有1枚骰子显示为1，第九次无论显示是否为1，游戏均结束，其中，第()1,2,,8k k =⋅⋅⋅次掷10k -枚骰子，恰有1枚显示为1的概率为191010156k k k C ---⨯⨯. 则191891010125566k u k k v u kk k k C ab k c d ----==⨯⨯==∏∏ 363737444040379!5565756632⨯⨯⨯===⨯ 7a ⇒=，5b =，3c =，2d =，37u =，40v =.故37405322012uv bcd +=⨯+=.44．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}()1,2,,,2S n n N n +=⋅⋅⋅∈≥的子集中先后取出两个不同的子集P 、Q ，求以下事件发生的概率： （1）PQ ，且Q P ；（2）Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤- 【答案】（1）()1321221n n n n ----；（2）()3221kn n- 【解析】 【详解】由集合S 共有2n 个子集，知有序子集对(),P Q 的取法共有()22221n nn A =-种.（1）考虑“P Q ，且Q P ”的对立事件：“P ⊂≠ Q 或Q ⊂≠ P ”.若P ⊂≠ Q ，记Card ()()1Q i i n =≤≤..则Q 有in C 种取法.而P 是Q 的真子集，于是，P 有21i -种取法.从而，满足P ⊂≠ Q 的子集对(),P Q 的取法总数为()121232nn niiiiin n n nn i i i C C C ===-=-=-∑∑∑.由对称性，Q ⊂≠ P 的取法也有32n n -种.因此，P Q ，且Q P 的概率为()()()12323211221221n n nnnnn n----=---. （2）集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅中含有n 的子集的个数为12n -个.于是，事件Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤-等价于在n k -元集合S S '=\()P Q ⋂中先后选取两个子集P '、Q '，使得P Q '⋂'=∅.设Card ()()0P i i k ='≤≤.则P '有ik C 种取法.于是，,s Q C P '⊆'.从而，Q '有2k i -种取法.此时，子集对(),P Q ''共有12k ik C -种选法.故满足P Q '⋂'=∅的子集对(),P Q ''有023kk i i kk i C -==∑（个）.因此，Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤-的概率为()3221kn n-. 45．（2019·全国·高三竞赛）甲乙两人参加竞选，结果是甲得n 票，乙得m 票()n m >. 试求：唱票中甲累计的票数始终超过乙累计的票数的概率. 【答案】n mn m-+ 【解析】 【详解】若唱甲当选，则记为1；若唱乙当选，则记为1-. 每一种唱票方式都对应一个由n 个1和m 个1-组成的排列. 用k S 表示谴责k 项的和，在直角坐标系中标出点(),k k S ，并将点(),k k S 与点()11,k k S ++用线段联结()00,1,2,,,0k m n S 其中=⋅⋅⋅+=. 这样，每一种唱票方式都对应一条联结()0,0O 与(),A m n n m +-的折线. 而甲累计的票数始终领先等价于所有的点(),k k S 都在x 轴的上方，即折线与x 轴无交点（我们称为“好折线”，反之为“坏折线”）.显然，联结O 、A 的“自由”（无限定条件）折线有C nm n +条，这是因为在m n +段中选择n 段为上升有C nm n +种方法.对每一条坏折线，有如下两种情形：一是经过点()1,1S -，二是经过点()1,1T . 对于第一种情形，坏折线是由S 到A 的自由折线，从而，这样的折线有1C nn m +-条.对于第二种情形，注意到过()1,1T 的坏折线必与x 轴相交，设其横坐标最小的交点为P . 将此折线位于P 左边的部分作关于x 轴的对称折线，便得到过点()1,1S -的坏折线，于是，坏折线的条数也有1C nn m +-条. 所以，合乎条件的好折线的条数为11111C 2C C C 1C n n n nm n m n m n m n m n m m n -++-+-+-+-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.综上所述，所求的概率为()11C C 1C C m mn m n m n nn m n mn m m n mn n n m +-+-++--⎛⎫-⋅== ⎪+⎝⎭. 46．（2019·全国·高三竞赛）如图，正六边形ABCDEF 的中心为O ，对A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 这七个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量.任取其中两个向量，以它们的数量积的绝对值作为随机变量ξ.试求ξ的概率分布列及其数学期望E ξ.【答案】见解析 【解析】 【详解】所作出的向量数为2721C =，则可取221210C =对向量.设所取向量分别为a 、b .由于···cos ,a b a b a b ξ==，因此，可不考虑向量的方向.不妨令所取两向量的夹角均为它们所在直线的夹角（取值范围为[]0,90︒︒），则任意两向量之间的夹角均属于集合{}0,30,60,90︒︒︒︒，每个向量的模值属于集合{}3,2，其中，模为1的个数为1236，模为2的个数为3.若2a b ==，则它们之间的夹角必为60︒，·2a b =，其概率为1321221070⨯⨯=. 若3a b =0︒或60︒.当夹角为0︒时，·3a b =，其概率为1611221070⨯⨯=；当夹角为60︒时，3·2a b =，其概率为1462221035⨯⨯=. 若1a b ==，则它们之间的夹角可能为0︒或60︒.易知其概率分别为。
《概率论与数理统计》第01章习题解答
第一章 随机事件及其概率第1章1、解：（1）{}2,3,4,5,6,7S = （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球； （2）4只中至少有2只红球； （3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
《概率论与数理统计》复习试题带答案(2)
《概率论与数理统计》复习试题带答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
第1题若随机变量X的方差存在,由切比雪夫不等式可得P{|X-E(X)|＞1}≤()【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第2题若D(X)，D(Y)都存在，则下面命题中错误的是()A. X与Y独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)B. X与Y独立时，D(X-Y)=D(X)+D(Y)C. X与Y独立时，D(XY)=D(X)D(Y)D. D(6X)=36D(X)【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第3题设F(x)=P{X≤x}是连续型随机变量X的分布函数，则下列结论中不正确的是()A. F(x)不是不减函数B. F(x)是不减函数C. F(x)是右连续的D. F(-∞)=0,F(+∞)=1【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第5题从一批零件中随机抽出100个测量其直径，测得的平均直径为5.2cm，标准方差为1.6cm，若想知这批零件的直径是否符合标准直径5cm，因此采用了t-检验法，那么，在显著性水平α下，接受域为()【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第6题设μ0是n次重复试验中事件A出现的次数,p是事件A在每次试验中出现的概率,则对任意ε＞0,均有limn→∞Pμ0n-p≥ε()A. =0B. =1C. ＞0D. 不存在【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第7题设X的分布列为X0123P0.10.30.40.2F(x)为其分布函数，则F(2)=()A. 0.2B. 0.4D. 1【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第8题做假设检验时，在()情况下，采用t-检验法.A. 对单个正态总体，已知总体方差，检验假设H0∶μ=μ0B. 对单个正态总体，未知总体方差，检验假设H0∶μ=μ0C. 对单个正态总体，未知总体均值，检验假设H0∶σ2=σ20D. 对两个正态总体，检验假设H0∶σ21=σ22【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第9题已知E(X)=-1,D(X)=3,则E［3(X2-2)］=()A. 9B. 6C. 30D. 36【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第10题X~N(μ,σ2),则P{μ-kσ≤X≤μ+kσ}=()A. Φ(k)+Φ(-k)B. 2Φ(k)C. 2Φ(k-1)D. 2Φ(k)-1【正确答案】 D二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格上填上正确答案。
精品解析：2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题(解析版)
2023年全国新高考Ⅱ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内， 13i 3i 对应的点位于（ ）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为 213i 3i 38i 3i 68i ，则所求复数对应的点为 6,8，位于第一象限. 故选：A.2. 设集合 0,A a ， 1,2,22B a a ，若A B ，则 a （ ）． A. 2 B. 1 C.23D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据包含关系分20a 和220a 两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为A B ，则有：若20a ，解得2a ，此时 0,2A ， 1,0,2B ，不符合题意； 若220a ，解得1a ，此时 0,1A ， 1,1,0B ，符合题意； 综上所述：1a . 故选：B.3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有名400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 4515400200C C 种 B. 2040400200C C 种C. 3030400200C C 种 D. 4020400200C C 种【答案】D【解析】【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600人，高中部共抽取2006020600， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C 种. 故选：D.4. 若 21ln 21x f x x a x 为偶函数，则 a （ ）． A. 1 B. 0C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a ，，解得0a ， 当0a 时， 21ln 21x x x f x ， 21210x x ，解得12x 或12x ，则其定义域为12x x或12x ，关于原点对称.121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x， 故此时 f x 为偶函数. 故选：B.5. 已知椭圆22:13x C y 的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m 与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m （ ）．A.23B.3C. 3D. 23【答案】C 【解析】【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用0 ，求出m 范围，再根据三角形面积比得到关于m 方程，解出即可.的第3页/共23页【详解】将直线y x m 与椭圆联立2213y x m x y，消去y 可得2246330x mx m ， 因为直线与椭圆相交于,A B 点，则223604433m m ，解得22m ，设1F 到AB 距离12,d F 到AB 距离2d，易知12,F F ，则1d，2d122F AB F ABS S，解得3m或 ，故选：C.6. 已知函数 e ln xf x a x 在区间 1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A. 2eB. eC. 1eD. 2e【答案】C 【解析】【分析】根据 1e 0xf x a x在 1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知， 1e 0x f x a x 在 1,2上恒成立，显然0a ，所以1e xx a，设 e ,1,2xg x x x ，所以 1e 0xg x x ，所以 g x 在 1,2上单调递增，1e g x g ，故1e a，即11e ea ，即a 的最小值为1e ． 故选：C ．7. 已知为锐角，1cos 4，则sin 2 （ ）．的A.38B.18C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为21cos 12sin 24，而 为锐角， 解得：sin214． 故选：D ．8. 记n S 为等比数列 n a 的前n 项和，若45S ，6221S S ，则8S （ ）． A. 120 B. 85C. 85D. 120【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据48,S S 的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列 n a 的公比为q ，首项为1a ， 若1q ，则61126323S a a S ，与题意不符，所以1q ； 由45S ，6221S S 可得，41151a q q， 6211112111a q a q q q①，由①可得，24121q q ，解得：24q ， 所以8S8411411151168511a q a q q qq．故选：C ．方法二：设等比数列 n a 的公比为q ，因为45S ，6221S S ，所以1q ，否则40S ， 从而，2426486,,,S S S S S S S 成等比数列，所以有， 22225215S S S ，解得：21S 或254S， 当21S 时，2426486,,,S S S S S S S ，即为81,4,16,21S ， 易知，82164S ，即885S ； 当254S时， 2241234122110S a a a a a a q q S ， 与45S 矛盾，舍去． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,S S 的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
概率论与数理统计习题解答 (2)
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
1/ 2
P{ X < 1 / 2} = P{X > 3 / 2} =
−∞ ∞
∫ f ( x)dx = ∫ 2 xdx =1/ 4 或 P{X < 1/ 2} = F (1/ 2) = 1/ 4
0
1/ 2
3/ 2
∫
∞
f ( x)dx =
3/ 2
∫ 0dx = 0
或
P{X > 3 / 2} = 1 − P{X ≤ 3 / 2} = 1 − F (3 / 2) = 1 − 1 = 0
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
求
(1)常数 A
(2)概率密度函数
(3) P{X < 1 / 2} ； P{X > 3 / 2} ；
P{0 ≤ X ≤ 2} 。
解法一：由于连续型随机变量 X 的分布函数是连续的
⎧0 ⎪ ∴ 1 = F（ 1 ） = lim F ( x) = lim Ax = A f ( x) = F ' ( X ) = ⎨ 2 x x⎯ ⎯→ 1 x⎯ ⎯→ 1 ⎪0 ⎩
+∞
所以一年中该地区受台风袭击次数为 3~5 的概率为 0.547027 11、有 10 台机床，每台发生故障的概率为 0.08, 而 10 台机床工作独立，每台 故障只需一个维修工人排除。问至少要配备几个维修工人，才能保证有故障而 不能及时排除的概率不大于 5%。 解：随机变量 X 示发生故障的机床的台数则 设配备 n 个维修工人 (0 ≤ n < 10) 则“有故障而不能及时排除”事件为
−1 r k −r （2） P{X = k } = Ckr − , k = r , r + 1,...... 1 p (1 − p )
概率与数理统计第四版(简明版)课后习题答案
随机变量的函数及其分布
总结词
描述通过函数变换得到的随机变量的概率分 布情况。
详细描述
对于一个或多个随机变量，通过函数变换可 以得到新的随机变量。这些新随机变量的概 率分布可以通过对原随机变量的概率分布进 行函数变换得到。例如，如果X是一个随机 变量，f(X)是关于X的函数，那么f(X)的概率 分布可以通过对X的概率分布进行函数变换 得到。常见的函数变换包括线性变换、幂函 数变换等。在得到新随机变量的概率分布后， 可以进一步分析其性质和特征。
多元线性回归分析的假设包括线性关系、误差项独立同分 布以及误差项的无偏性。
详细描述
在进行多元线性回归分析之前，需要检验各因变量与自变 量之间的线性关系，并确保误差项独立且服从相同的分布 ，同时误差项的均值为零，以保证估计的回归系数是无偏 和有效的。
总结词
多元线性回归分析的应用范围广泛，包括经济、金融、生 物、医学和社会科学等领域。
随机变量的定义与性质
随机变量是定义在样本 空间上的一个实值函数 ，其取值随试验结果的 变化而变化。
随机变量具有可加性、 独立性、有限可加性等 性质，这些性质在随机 变量的计算和推导中有 着重要的应用。
离散型随机变量是取有 限个或可数个值的随机 变量，其分布律是一个 离散的概率分布。常见 的离散型随机变量包括 二项分布、泊松分布等 。
边缘概率分布与条件概率分布
总结词
描述随机变量的边缘概率分布和条件概 率分布，即考虑某些变量的取值对其他 变量的概率分布的影响。
VS
详细描述
边缘概率分布是指考虑某些随机变量的取 值后，其他随机变量的概率分布情况。对 于两个随机变量X和Y，X的边缘概率分布 表示为P(X)，表示在给定Y取某个值的条件 下，X的概率分布。条件概率分布则表示在 给定某个事件发生的条件下，其他随机变 量的概率分布情况。条件概率分布表示为 P(X|Y)，表示在Y取某个值的条件下，X的 概率分布。
概率第一、二章测试题（含答案）
概率第⼀、⼆章测试题（含答案）第1章随机事件和概率、第2章条件概率与独⽴性⼀、选择题1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A ⼀定互不相容的事件为（A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ?2.（01，难度值0.93）对于任意⼆事件A 和B ，与B B A =?不等价的是（A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成⽴的是（）.A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（）.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独⽴ .C 事件A 与B 相互对⽴ .D 事件A 与B 互不独⽴5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有⼀个发⽣的概率等于（）.A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+-6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（）.A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()()P A P A P A B +-7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式⼦成⽴的是（）.A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A =8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（）.A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆.C 事件A 、B 相互独⽴ .D A B ?9．设A 、B 互不相容，()()0,0P A P B ≠≠，则下列结论肯定正确的是（）.A A 与B 互不相容 .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()()P A B P A -=10．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A=（）.A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.2111．（98，难度值0.69）设A ，B 是两个随机事件，且00，)|()|(A B P A B P =，则必有（A ）)|()|(B A P B A P = （B ）)|()|(B A P B A P ≠ （C ）)()()(B P A P AB P = （D ）)()()(B P A P AB P ≠ 12．随机事件A , B ，满⾜21)()(==B P A P 和1)(=?B A P ，则有（A ）Ω=?B A （B ）φ=AB （C ） 1)(=?B A P（D ）0)(=-B A P13．设随机事件A 与B 互不相容，0)(>A P ,0)(>B P ，则下⾯结论⼀定成⽴的是（A ）A ，B 为对⽴事件（B ）A ,B 互不相容（C ） A, B 不独⽴（D ）A, B 独⽴ 14．对于事件A 和B ，设B A ?，P(B)>0，则下列各式正确的是（A ）)()|(B P A B P =（B ）)()|(A P B A P = （C ） )()(B P B A P =+（D ）)()(A P B A P =+15．设事件A 与B 同时发⽣时，事件C 必发⽣，则（A ）1)()()(-+≤B P A P C P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P （C ） )()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P ?=16．（98，难度值0.62）设A,B,C 是三个相互独⽴的随机事件，且0（A ）B A +与C （B ）AC 与C （C ）B A -与C （D ）AB 与C17．（00，难度值0.42）设A, B, C 三个事件两两独⽴，则A, B, C 相互独⽴的充要条件是（A ）A 与BC 独⽴（B ）AB 与A+C 独⽴（C ）AB 与AC 独⽴（D ）A+B 与A+C 独⽴ 18．将⼀枚均匀的硬币独⽴地掷三次，记事件A=“正、反⾯都出现”，B=“正⾯最多出现⼀次”，C=“反⾯最多出现⼀次”，则下⾯结论中不正确的是（A ）A 与B 独⽴（B ）B 与C 独⽴（C ）A 与C 独⽴（D ）C B ?与A 独⽴ 19．进⾏⼀系列独⽴重复试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2 次之前已经失败3次的概率为（A ）3)1(4p p - （B ）3225)1(p p C -（C ）3)1(p -（D ）32)1(4p p -⼆、填空题1．（97，难度值0.73）⼀袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个⽩球，今两⼈从袋中各取⼀球，取后不放回，则第⼆个⼈取到红球的概率为__________ 2.（97，难度值0.68）设A ，B 是任意两个随机事件，则=++++)})()()({(B A B A B A B A P3．已知A 、B 两事件满⾜条件()()P AB P AB =，且()P A p =，则()_______P B = 4．已知13()()(),()()0,()416P A P B P C P A B P B C P A C ======，则,,A B C 都不发⽣的概率为__________5．随机事件A 、B 满⾜()0.4,()0.5,()()P A P B P A B P A B ===，则()P A B = 6．（99，难度值0.56）设两两相互独⽴的三事件A ,B 和C 满⾜条件：φ=ABC ，21)()()(<==C P B P A P ，且已知169)(=C B A P ，则P(A)=7.（00，难度值0.67）设两个相互独⽴的事件A 和B 都不发⽣的概率为91，A 发⽣B 不发⽣的概率与B 发⽣A 不发⽣的概率相等，则P(A)= 8．设事件A 和B 中⾄少有⼀个发⽣的概率为56，A 和B 中有且仅有⼀个发⽣的概率为23，那么A 和B 同时发⽣的概率为_________ 9．设随机事件A, B, C 满⾜41)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，81)(=AC P ，则A, B, C 三个事件中⾄少出现⼀个的概率为。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》章末练习题卷含答案解析 (11)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷2（共22题）一、选择题（共10题）1.某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局．除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )A．1627B．5281C．2027D．792.从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率为( )A．15B．12C．35D．453.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为( )A．12B．√32C．√33D．√634.甲、乙两名同学参加一项射击游戏，游戏规定每击中一次目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920．假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为( )A．35B．45C．34D．145.已知集合A={x∣ x2−2x−3≥0}，B={x∣ −2≤x<2}，则A∩B=( )A．[−2,−1]B．[−1,1]C．[−1,2)D．[1,2)6.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．若将“仁、义、礼、智、信”排成一排，则“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为( )A．110B．15C．310D．258.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张数字，设抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为( )A．8B．10C．11D．159.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A．恰好有1件次品和恰好有2件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件正品和至少有1件次品D．至少有1件次品和全是正品10.某公交线路某区间内共设四个站点（如图），分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i=1,2,3)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为( )A．23B．34C．35D．12二、填空题（共6题）11.甲、乙、丙三人独立解答一道数学竞赛试题，甲解出它的概率为0.9，乙解出它的概率为0.8，丙解出它的概率为0.85．只有甲解出的概率为．12.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是．13.甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，己知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是．14.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是 ．15. 如图，三行三列的方阵有 9 个数 a ij (i =1,2,3;j =1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ． (a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33)16. 在三角形的每条边上各取三个分点（如图），以这 9 个分点为顶点可画出若干个三角形，若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为 ．（用数字作答）三、解答题（共6题）17. 青岛二中有羽毛球社、乒乓球社和篮球社，三个社团的人数分别为 27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取 6 人参加活动． (1) 求应从这三个社团中分别抽取的学生人数．(2) 将抽取的 6 名学生进行编号，编号分别为 A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这 6 名学生中随机抽出 2 名参加体育测试．①用所给的编号列出所有可能的结果．②设事件 A 是“编号为 A 1，A 2 的两名学生至少有一人被抽到”，求事件 A 发生的概率．18. 近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高速铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了 1000 名市民进行调查，并将其满意程度（单位：分）统计成如图所示的频率分布直方图，其中 a =4b ．(1) 求a，b的值；(2) 求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3) 若按照分层随机抽样的方式从满意程度在[50,60)，[60,70)的市民中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的满意程度在[50,60)的概率．19.某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪分布在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如图所示的频率分布直方图：若月薪落在区间(x−2s,x+2s)的左侧，则认为该学生属于“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询其月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见，其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．(1) 现该校：2018年大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是不是“就业不理想”的学生；(2) 为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层随机抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；(3) 位于某省的一高校2018年某专业的本科毕业生共200人，现他们决定于2021年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取的样本的月薪分布情况相同，并用样本频率估计总体频率，现有两种收费方案：方案一：按每人一个月薪水的10%收取；方案二：月薪高于样本平均数的每人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何费用．问：哪一种收费方案最终收取的活动总费用较少？20.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．(1) 若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2) 若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．21.现有8名马拉松比赛志愿者（他们都只通晓一门外语），其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．(1) 列出该试验包含的所有样本点．(2) 求A1被选中的概率．(3) 求B1和C1不全被选中的概率．22.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1) 求A1被选中的概率；(2) 求B1和C1不全被选中的概率．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，所以比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为：P =(23)4+C 43(23)3(13)+23C 31(23)(13)2=2027．【知识点】事件的相互独立性2. 【答案】C【解析】列举出所有结果易得 P =35． 【知识点】古典概型3. 【答案】C【解析】如图所示，正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，直线 AD 与 B 1C 1 平行，则直线 AD 与平面 A 1BC 1 所成角的正弦值即为 B 1C 1 与平面 A 1BC 1 所成角的正弦值， 因为 △A 1BC 1 为等边三角形，则 B 1 在平面 A 1BC 1 上的投影即为 △A 1BC 1 的中心 O ， 则 ∠B 1C 1O 为 B 1C 1 与平面 A 1BC 1 所成角， 可设正方体边长为 1，显然 BO =√33×√2=√63， 因此 B 1O =√1−(√63)2=√33， 则 sin∠B 1C 1O =B 1OB 1C 1=√33．【知识点】线面角4. 【答案】C【解析】设“甲射击一次，击中目标”为事件 A ，“乙射击一次，击中目标”为事件 B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件 A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件 B ，则 P (A )=35，P(A)=1−35=25，P (B )=p ，P(B)=1−p ，依题意得 35×(1−p )+25×p =920，解得 p =34，故选C ．【知识点】事件的相互独立性5. 【答案】A【解析】 A ={x∣ x 2−2x −3≥0}={x ∣∣ x ≥3 或 x ≤−1}，B ={x∣ −2≤x <2}， 则 A ∩B ={x∣ −2≤x ≤−1}． 【知识点】事件的关系与运算6. 【答案】D【解析】设 2 名男同学分别为 A 1，A 2，3 名女同学分别为 B 1，B 2，B 3，从以上 5 名同学中任选 2 人有 A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共 10 种可能，其中选中的 2 人都是女同学的情况有 B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共 3 种可能，则选中的 2 人都是女同学的概率为 310=0.3． 【知识点】古典概型7. 【答案】A【解析】将“仁、义、礼、智、信”排成一排，无限制条件时有 A 55 种排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的排法有 A 22A 33种，故所求概率为A 22A 33A 55=110，故选A ．【知识点】古典概型8. 【答案】B【解析】如表所示，表中点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数．123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)则 Q ={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}． 所以 Q 中含有 10 个样本点． 【知识点】事件与基本事件空间9. 【答案】A【解析】依据互斥和对立事件的定义知，B ，C 都不是互斥事件；D 不但是互斥事件而且是对立事件；只有A 是互斥事件但不是对立事件． 【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】A【解析】设事件A为“甲、乙两人不在同一站点下车”，由题意知甲、乙两人同在A1站点下车的概率为13×13=19；甲、乙两人同在A2站点下车的概率为13×13=19；甲、乙两人同在A3站点下车的概率为13×13=19；所以甲、乙两人在同一站点下车的概率P(A)=3×19=13，则P(A)=1−13=23．【知识点】事件的关系与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】0.027【知识点】事件的相互独立性12. 【答案】0.6【知识点】古典概型13. 【答案】0.28；0.3024【知识点】事件的相互独立性14. 【答案】725【解析】设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．据题意可知P(A)=40100=25，P(B)=70100=710，故P(AB)=P(A)⋅P(B)=25×710=725．【知识点】事件的相互独立性15. 【答案】1314【知识点】事件的关系与运算、古典概型16. 【答案】13【知识点】频率与概率三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 羽球出国人数：6×2727+9+18=3；兵乓球社人数：6×927+9+18=1；篮球社人数：6×1827+9+18=2．(2) ① {A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,A5}，{A1,A6}，{A1,A6}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,A5}，{A2,A6}，{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A6}，{A4,A5}，{A4,A6}，{A5,A6}．②两名学生至少有一人被抽到包括一人抽到一人没抽到和两人都抽到两种情况，设P1为事件“一人抽到一人没抽到”，则P1=2×415=815，设P2为事件“两人都抽到”，则P2=115，则事件A发生的概率P A=P1+P2=815+115=35．【知识点】分层抽样、古典概型18. 【答案】(1) 依题意得(a+b+0.008+0.027+0.035)×10=1，所以a+b=0.03，又a=4b，所以a=0.024，b=0.006．(2) 平均数为55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27+95×0.06=74.9（分）；众数为70+802=75（分）；中位数为70+0.5−0.08−0.240.035≈75.14（分）．(3) 依题意知，从满意程度在[50,60)的市民中抽取了2人，分别记为a，b，满意程度在[60,70)的市民中抽取了6人，分别记为1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人的所有可能情况为(a,b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28种，其中满足条件的为(a,b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种．则至少有1人的满意程度在[50,60)的概率为1328．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图、古典概型19. 【答案】(1) x=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015 +6500×1000×0.00030+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015 +9500×1000×0.00005=6650,x−2s=6650−3000=3650>3600，所以张茗是“就为不理想”的学生．(2) 第一组有1000×0.00005×100=5（人），第二组有1000×0.00010×100=10（人），第三组有1000×0.00015×100=15（人），按照分层随机抽样从中抽6人时，第一组抽1人，记为A；第二组抽2人，分别记为B，C；第三组抽了3人，分别记为D，E，F．从这6人中抽2人共有15种情况：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)．其中恰有1人月薪不超过5000元的有9种情况：(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)．由古典概型的概率公式可得所求概率P=915=35．(3) 方案一：月薪在3000∼4000元之间的共收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500（元）；月薪在4000∼5000元之间的共收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000（元）；月薪在5000∼6000元之间的共收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500（元）；月薪在6000∼7000元之间的共收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000（元）；月薪在7000∼8000元之间的共收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000（元）；月薪在8000∼9000元之间的共收取1000×0.00015×200×8500×0.1=25500（元）；月薪在9000∼10000元之间的共收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500（元）．故按方案一收取的最终活动总费用为133000元．方案二：月薪高于6650元的共收取800×200×[(7000−6650)×0.00030+1000×(0.00020+0.00015+0.00005)]=80800（元）；月薪不低于4000元但低于6650元的共收取400×200×[(6650−6000)×0.00030+ 1000×(0.00010+0.00015)]=35600（元）．故按方案二收取的最终活动总费用为116400元．因为116400<133000，所以方案二最终收取的活动总费用较少．【知识点】样本数据的数字特征、古典概型、频率分布直方图20. 【答案】(1) 每次取一件，取后不放回地连续取两次，样本空问Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}．事件A由4个样本点组成，所以P(A)=46=23．(2) 有放回地连续取出两次，样本空间Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)}，共9个样本点，由于每一件产品被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这事件，则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}．事件B由4个样本点组成，因而P(B)=49．【知识点】古典概型21. 【答案】(1) 该试验的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个样本点．(2) 因为每个样本点出现的机会相等，所以这些样本点是等可能发生的，用M表示事件“A1被选中”，则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}，含有6个样本点，所以A1被选中的概率P(M)=618=13．(3) 用N表示事件“B1和C1不全被选中”，则N表示事件“B1和C1全被选中”，因为N={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)}，含有3个样本点，所以B1和C1不全被选中的概率P(N)=1−318=56．【知识点】事件的关系与运算、古典概型22. 【答案】(1) 从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A1,B1,C1)，(A1,B1,C2)，(A1,B2,C1)，(A1,B2,C2)，(A1,B3,C1)，(A1,B3,C2)，(A2,B1,C1)，(A2,B1,C2)，(A2,B2,C1)，(A2,B2,C2)，(A2,B3,C1)，(A2,B3,C2)，(A3,B1,C1)，(A3,B1,C2)，(A3,B2,C1)，(A3,B2,C2)，(A3,B3,C1)，(A3,B3,C2)，共18个基本事件，由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的，用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M= {(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}，事件M由6个基本事件组成，因此P(M)=618=13．(2) 用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于N={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)}，事件N由3个基本事件组成，所以P(N)=318=16，由对立事件的概率公式得P(N)=1−P(N)=1−16=56．【知识点】古典概型。
（完整版）概率论第二章答案
（完整版）概率论第⼆章答案习题2-21. 设A 为任⼀随机事件, 且P (A )=p (01,,0,A X A =??发⽣不发⽣.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠13571,24816c c c c+++= 所以3716c=. 所求概率为 P {X <1| X0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的⼆项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的⼆项分布, 若{P X ≥51}9 =, 求{P Y ≥1}.解注意p{x=k}=kk n k n C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213qp =-=. 从⽽{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独⽴的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知⾄少成功⼀次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p , 由题意知⾄少成功⼀次的概率是2719，那么⼀次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解由泊松分布的分布律可知6=λ.6. ⼀袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码, 写出随机变量X 的分布律.解从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表⽰3个数中的最⼤值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有1035=C 种取法.{X =3}表⽰取出的3个数以3为最⼤值，P{X =3}=2235C C =101;{X =4}表⽰取出的3个数以4为最⼤值，P{X =4}=1033523=C C ;{X =5}表⽰取出的3个数以5为最⼤值，P{X =5}=533524=C C .X 的分布律是1. 设X求分布函数解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-??-(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ?+-===?+= 于是 11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+?---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <求P {X ≤-1}, P {0.3解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3P {05. 假设随机变量X 的绝对值不⼤于1;11{1},{1}84P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任⼀⼦区间上取值的条件概率与该区间的长度成正⽐. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时,1(1)8F -=;当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12. 因此{1P X -<≤|11}12x X x -<<=+. 于是, 对于11x -<<, 有 {1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=?=对于x ≥1, 有() 1.F x = 从⽽0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=如果c =( ), 则()f x 是某⼀随机变量的概率密度函数. (A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32.解由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞=?可得02d 1cx x =?, 于是1=c , 故本题应选(C ).(2) 设~(0,1),XN ⼜常数c 满⾜{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1.解因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即2{}1P X c <=, 从⽽{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某⼀随机变量的概率密度的是( ).(A)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=??其它. (B) 1,2,()20,x f x <=其它.(C)22()2,0,()0,0.≥x x f x x µσ--==?可知本题应选(D).(4) 设随机变量2~(,4)XN µ, 2~(,5)Y N µ, 1{X P P =≤4µ-}, {2P P Y =≥5µ+}, 则( ).(A) 对任意的实数12,P P µ=. (B) 对任意的实数12,P P µ<. (C) 只对实数µ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数12,P P µ>. 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数µ, 有12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, ⼜F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A)()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-.(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解由分布函数的⼏何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X服从正态分布211(,)N µσ,Y服从正态分布222(,)N µσ,且12{1}{1},P X P Y µµ-<>-< 则下式中成⽴的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) µ1 <µ2. (D) µ1 >µ2.解答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满⾜{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A)2u α . (B) 21α-u. (C)1-2u α. (D) α-1u .解答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成⽴, 应当怎样选择数k ?解因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=??由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=??其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成⽴, 应当怎样选择数a ?解由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5a x x =?,因此a =.4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=,可得2,01,()0,其它.x x f x <(2)22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ??≤≤ 其它, 求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}.解{P X ≤12201112d 224}x x x ===?;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===?. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-??,于是2A =；(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=?可得当x ≤0时,()0F x =;当0x <≤1时, 201()d 2xF x x x x ==;当1x <≤2时, 2101()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=--??;当x >2时,()1F x =.所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x+<<=其它,对X 独⽴观察3次, 求⾄少有2次的结果⼤于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式{P a X <≤}()()()d bab F b F a f x x =-=?,可得2115{1}(1)d 48P X x x >=+=.所以, 3次观察中⾄少有2次的结果⼤于1的概率为223333535175()()()888256C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的⽅程24420x Xx ++=有实根的概率.解随机变量X 的概率密度为105,()50,,x f x <=≤其它,若⽅程有实根, 则21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故⽅程有实根的概率为 P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<1d 5x =-15=-.9. 设随机变量)2,3(~2N X.(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满⾜{}0.9P X d >≥, 问d ⾄多为多少？解 (1) 由P {a}()()22222a Xb b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到P {2{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-=123()2Φ--+23()2Φ--=0.6977,}3{>X P =133{3}1()1(0)2P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 .(2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以{}0.5P X c =≤由(0)Φ=0推得30,2c -=于是c =3. (3){}0.9≥P X d > 即13()0.92d Φ--≥, 也就是3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥,因分布函数是⼀个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +?-=≤.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N µσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从⽽2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=. 习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ).(A) 11()33F y -. (B) (31)F y +.(C)3()1F y +. (D)1133()F y -. 解由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设()~01,XN ,令2Y X =--, 则~Y ( ).(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N .解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解若随机变量2~(,)X N µσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a µσ=++ 这⾥1,µσ==, 所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 求解 (1)(2)4. ()X f x ＝1142ln 20x x <， ， ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解先求Y 的分布函数)(y F Y :)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X=≥2}y -1{2}P Xy =-<-=1-2()d yX f x x --∞.于是可得Y 的概率密度为()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -?<-即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-?=5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =?-<因为对于0(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X于是随机变量2YX =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<总习题⼆1. ⼀批产品中有20%的次品, 现进⾏有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及⾄多有3件次品的概率.解以X 表⽰抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23358.02.0C .(2) ⾄多有3件次品的概率是k k k k C-=∑5358.02.0.2. ⼀办公楼装有5个同类型的供⽔设备. 调查表明, 在任⼀时刻t 每个设备被使⽤的概率为0.1. 问在同⼀时刻(1) 恰有两个设备被使⽤的概率是多少？ (2) ⾄少有1个设备被使⽤的概率是多少？ (3) ⾄多有3个设备被使⽤的概率是多少？(4) ⾄少有3个设备被使⽤的概率是多少？解以X 表⽰同⼀时刻被使⽤的设备的个数，则X ~B (5,0.1),C -559.01.0,k =0,1, (5)(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03225=C ; (2)所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--;(3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=且已知1{1}2P X>=, 求常数k , θ.解由概率密度的性质可知e d 1xkx θθ-+∞=?得到k =1.由已知条件111e d 2xx θθ-, 得1ln 2θ=.4. 某产品的某⼀质量指标2~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最⼤是多少?解由{120P ≤X ≤} 200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=404040()(1())2()1ΦΦΦσσσ--=-≥0.8,得到40()Φσ≥0.9, 查表得40σ≥1.29, 由此可得允许σ最⼤值为31.20.5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞试求: (1) 常数A ; (2) P {0解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ?+∞==?即02e d 1x A x +∞-=?故2A = 1, 得到A =12.所以φ(x ) =12e -|x |.(2) P {011111e e d (e )0.316.0222xxx ----=-=≈?(3) 因为||1()e d ,2xx F x x --∞=得到当x <0时, 11()e d e ,22x x x F x x -∞==?当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222 x x x xF x x x ---∞=+=-??所以X 的分布函数为 1,0,2()11,0.2x x F x x -?。
概率论第一章课后习题答案
《概率论与数理统计》课后习题解答习题一3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件：（1）A 发生,B 与C 不发生;（2）A 与B 都发生,而C 不发生;（3）A ,B ,C 都发生;（4）A ,B ,C 都不发生;（5）A ,B ,C 中至少有一个发生;（6）A ,B ,C 中恰有一个发生;（7）A ,B ,C 中至少有两个发生;（8）A ,B ,C 中最多有一个发生.解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ；（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ；（8）BC AC AB 或C B C A B A ．5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小的号码为5的概率;（2）求最大的号码为5的概率.解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得（1）121)(31025==C C A P ； （2）201)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率;（2）任取3件产品没有废品的概率;（3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得（1）0855.0)(32002194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(320031940≈=C C A P ； （3）0023.0)(32003611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：A 表示“这三个数字中不含0和5”； B 表示“这三个数字中包含0或5”； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；307)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ．解：4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-==3.0)4.06.05.0(1=-+-=10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()()()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少?解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为319.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．（1）求他拨号不超过三次而接通的概率;（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?解：设事件A 分别表示“他拨号不超过三次而接通”，事件B 分别表示“最后一个数字是奇数”，则所求的概率为（1）103819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P （2）53314354415451)|(=⨯⨯+⨯+=B A P 13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率． 解：设事件i A 表示“第i 次取得次品”（4,3,2,1=i ），则所求的概率为 )|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =201768792103=⨯⨯⨯= 14．一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为1.0,2.0,3.0,从这10箱中任取 一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率．解：设事件321,,A A A 分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件B 表示“产品是正品”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且2.0102)(,3.0103)(,5.0105)(321======A P A P A P 7.03.01)|(,8.02.01)|(,9.01.01)|(321=-==-==-=A B P A B P A B P 由全概率公式得83.07.02.08.03.09.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P15．甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是2.0.飞机被击中1弹而坠毁的概率为1.0,被击中2弹而坠毁的概率为5.0,被击中3弹必定坠毁.（1）求飞机坠毁的概率;（2）已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.解：设事件i A 表示“飞机被击中i 弹而坠毁”)3,2,1(=i ，事件B 表示“飞机坠毁”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得008.0)2.0()(,096.0)8.0()2.0()(,384.0)8.0()2.0()(33331223221131======C A P C A P C A P 1)|(,5.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P（1）由全概率公式得0944.01008.05.0096.01.0384.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P（2）由贝叶斯公式得407.00944.01.0384.0)|()()|()()|(31111≈⨯==∑=i ii A B P A P A B P A P B A P 16．设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率. 解：设事件i A 表示“从甲袋取出的2个球中有i 个白球”)2,1,0(=i ，事件B 表示“从乙袋中取出的一个球是白球”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且29254)(C C C A P i i i -=，115)|(i A B P i +=，)2,1,0(=i ，由全概率公式得 5354.09953115)|()()(202925420==+⋅==∑∑=-=i i i i i i i C C C A B P A P B P 17．已知男子有%5是色盲患者,女子有%25.0是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解：设事件A 表示“此人是男性”，事件B 表示“此人是色盲患者”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且5.0)()(==A P A P ，%25.0)|(%,5)|(==A B P A B P由贝叶斯公式得9524.02120%25.05.0%55.0%55.0)|()()|()()|()()|(≈=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 18．设机器正常时生产合格品的概率为%98,当机器发生故障时生产合格品的概率为%30,而机器正常（即不发生故障）的概率为%95.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.解：设事件A 表示“该机器正常”，事件B 表示“产品是合格品”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且%30)|(%,98)|(%,5)(1)(%,95)(===-==A B P A B P A P A P A P由贝叶斯公式得984.0%30%5%98%95%98%95)|()()|()()|()()|(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 19．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是51,31,41,问能将密码译出的概率是多少?解：设事件C B A ,,分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件C B A ,,相互独立，且41)(,31)(,51)(===C P B P A P ，则所求的概率为 53)411)(311)(511(1)()()(1)(=----=-=C P B P A P C B A P 20．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是02.0,03.0,05.0和03.0.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解：设事件i A 表示“第i 道工序加工出次品”)4,3,2,1(=i ，显然事件4321,,,A A A A 相互独立，且03.0)(,05.0)(,03.0)(,02.0)(4321====A P A P A P A P ，则所求的概率为)()()()(1)(43214321A P A P A P A P A A A A P -=124.0)03.01)(05.01)(03.01)(02.01(1=-----=21．设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.（1）求至少有一个蓝球的概率;（2）求有一个蓝球一个白球的概率;（3）已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.解：设事件21,A A 表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件21,B B 表示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件i A 与j B 相互独立)2,1;2,1(==j i ，且94)(,92)(,72)(,73)(2121====B P B P A P A P ，则所求的概率为 （1）95)921)(731(1)()(1)(1111=---=-=+B P A P B A P ； （2）631692729473)()()()()(12211221=⨯+⨯=+=+B P A P B P A P B A B A P ； （3）)()])([()](|)[(11111221111221B A P B A B A B A P B A B A B A P +++=++ 3516956316)()(111221==++=B A P B A B A P 22．设一系统由三个元件联结而成（如图51-）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p (10<<p ).求系统能正常工作的概率.图51- 解：设事件i A 表示“第i 个元件正常工作”)3,2,1(=i ，事件B 表示“该系统正常工作”，显然，事件321,,A A A 相互独立，且p A P i =)(，则所求的概率为 )()()()(])[()(32132313231321A A A P A A P A A P A A A A P A A A P B P -+=== 3232132312)()()()()()()(p p A P A P A P A P A P A P A P -=-+=24．一批产品中有%20的次品,进行放回抽样检查,共取5件样品.计算：（1）这5件样品中恰有2件次品的概率;（2）这5件样品中最多有2件次品的概率.解：设事件A 表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中%80)(%,20)(,5===A P A P n ，由二项概率公式有（1）2048.0%)80(%)20()2(32255==C P（2）942.0%)80(%)20()(2055205==∑∑=-=k k k k k C k P。
2020高考数学解答题核心素养题型《专题11 概率与统计综合问题》+答题指导)(解析版)
专题11 概率与统计综合问题【题型解读】几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．【例1】 (2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【答案】见解析【解析】(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人． (2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4C 3－k3C 37(k ＝0,1,2,3)．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝7.②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥． 由①知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)， 故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以事件A 发生的概率为67.【素养解读】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式，考查分析问题和解决问题的能力，体现了数学运算和数据分析等核心素养．试题难度：中．【突破训练1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】见解析【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝12.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到了1个红灯的概率为1148.▶▶题型二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，常有解答题的考查，属于中档题．复习中应强化应用类习题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值，它是正确求随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．【例2】 (2018·北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk ＝1”表示第k 类电影得到人们喜欢，“ξk ＝0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k ＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【答案】见解析【解析】 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A . 因为第四类电影中获得好评的电影有200×0.25＝50(部)， 所以P (A )＝50140＋50＋300＋200＋800＋510＝502 000＝0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”为事件B ，则P (B )＝0.25×(1－0.2)＋(1－0.25)×0.2＝0.35.(3)由题意可知，定义随机变量如下：ξk ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，第k 类电影没有得到人们喜欢，1，第k 类电影得到人们喜欢，则ξk 显然服从两点分布，故Dξ1＝0.4×(1－0.4)＝0.24，Dξ2＝0.2×(1－0.2)＝0.16， Dξ3＝0.15×(1－0.15)＝0.127 5，Dξ4＝0.25×(1－0.25)＝0.187 5， Dξ5＝0.2×(1－0.2)＝0.16， Dξ6＝0.1×(1－0.1)＝0.09.综上所述，Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.【素养解读】本题考查统计中的概率计算、随机变量的方差计算，考查运算求解能力，体现了数据分析、数学运算等核心素养．试题难度：中．【突破训练2】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【答案】见解析【解析】(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500， 由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4， P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4， 因此X 的分布列为当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，Y ＝6n －4n ＝2n ； 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以当n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．▶▶题型三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算．【例3】(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下．(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；附：K 2＝(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d).【答案】见解析【解析】(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”． 由题意知P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )． 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得如下列联表.K 2＝100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．【素养解读】本题考查频率分布直方图、独立性检验、中位数、相互独立事件的概率，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力．主要体现了数据分析，数学运算等核心素养．【突破训练3】 (2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小(只需写出结论)． 【答案】见解析【解析】(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人． 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2)由题图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C . 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16.所以ξ的分布列为故ξ的期望E (ξ)＝0×6＋1×3＋2×6＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据方差． 题型四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差等)的考查，解答题中也有所考查．【例4】 (2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t . (1)分析利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由． 【答案】见解析【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施资源额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势，2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年的数据建立基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． (以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．)【素养解读】本题以统计图为背景，考查线性回归方程，考查运算求解能力和数形结合思想，体现了数学运算的核心素养．【突破训练4】 下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y)2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n（t i －t）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2∑i ＝1n（y i －y）2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n（t i －t）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2，a ^＝y －b ^t .【答案】见解析【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28，∑i ＝17(y i －y －)2＝0.55，∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)＝∑i ＝17t i y i －t －∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y －＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)∑i ＝17(t i －t －)2＝2.8928≈0.103，a ^＝y －－b ^t －＝1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2019年对应的t ＝9代入回归方程，得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。
概率统计习题集（含答案）
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C + C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P AB P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B = B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -= B ．()A B B A -⊃C ．()A B B A -⊂D ．()A B B A -=8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则PA B C -= （）（ ）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.317掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
概率论与数理统计(第二版)课后答案
各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以 选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以 选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以 选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或 所以 选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容 （C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容 （D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以 选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立 所以 选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以 选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则 样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ； （2）)(C B A ； （3）C B A C B A C B A ； （4）AC BC AB ； （5）C B A ； （6）C B A ； （7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。
概率的基本性质 同步练习(2)(解析版)
10.1.4概率的基本性质（用时45分钟）【选题明细表】基础巩固1．《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（）A．25B．15C．45D．35【答案】C【解析】给有巨大贡献的2人进行封爵,总共有5525⨯=种,其中两人被封同一等级的共有5种,所以两人被封同一等级的概率为51 255=,所以其对立事件,即两人不被封同一等级的概率为:14 155 -=.故选C.2．根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为() A．67%B．85%C．48% D．15%【答案】A【解析】O型血与A型血的人能为A型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.故选A.3．某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是()A．0.14B．0.20C．0.40D．0.60【答案】A【解析】由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－2350－0.4＝0.14.故选A.4．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为( ) A ．0.9 B ．0.3 C ．0.6 D ．0.4 【答案】D【解析】设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A ，则事件A 的对立事件A 是“该射手在一次射击中不小于8环”．∵事件A 包括射中8环，9环，10环，这三个事件是互斥的， ∴P(A )＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，∴P(A)＝1－P(A )＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.5.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是( )A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡 【答案】A【解析】∵在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是, ∴概率是的事件是“2张全是移动卡”的对立事件, ∴概率是的事件是“至多有一张移动卡”.故选A.6．一商店有奖促销活动中，有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，则不中奖的概率是________． 【答案】0.65【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65. 7．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________．【答案】15【解析】“至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件，故3人中都是男生的概率P ＝1－45＝15.8．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A 表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B 表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝310，P(B)＝12，求“3个球中既有红球又有白球”的概率． 【答案】45.【解析】记事件C 为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A 与事件B 是互斥的，所以P(C)＝P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)＝310＋12＝45.能力提升9.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,记事件A 为“向上的点数是奇数”,事件B 为“向上的点数不超过3”,则概率P (A ∪B )=( ) A. B.C.D.【答案】C【解析】∵抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,∴P (A )=,P (B )=,P (AB )=,P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )=.故选C .10．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有________个． 【答案】15【解析】由题意摸出红球的概率为0.42，并且红球有21个，则总球数为21500.42=个，所以蓝球的个数为()5010.420.2815⨯--=个.所以本题答案为15.11．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若3xy≤，则奖励玩具一个；②若8xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅰ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）516.（Ⅰ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为5 16．（Ⅰ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为6 16；小亮获得饮料的概率为5651161616--=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．素养达成12．某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A B C，，，求：(1)(),(),()P A P B P C；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【答案】（1）111,,100010020；（2）611000；（3）9891000.【解析】(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,∴()()()111,,100010020P A P B P C ===. (2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D ,则P (D )=P (A )+P (B )+P (C )= 111611000100201000++=. (3)设“抽取1张奖券不中特等奖和一等奖”为事件E ,则P (E )=1-P (A )-P (B )=1-1198910001001000-=.。
概率试卷(一)卷及答案
《概率统计》试卷（一）注：（1）试卷每页的背面以及附页为草稿纸。
（2）解题中可能用到的查表值如下：95.0)645.1(=Φ，975.0)96.1(=Φ，995.0)58.2(=Φ，8413.0)1(=Φ 一、填空（每空2分，共20分） 1. 设31)()()(321===A P A P A P ,且321,,A A A 相互独立，则“321,,A A A 至少出现一个” 的概率为 。
2．设X 服从参数为2的泊松分布，Y =3X -2，则D Y = 。
3．设随机变量X ，Y 独立且分布律为323111pX- ， 323111p Y - 则==)(Y X P 。
4. 若随机变量X 的分布列为 31313121 0 pX ，则X 分布函数。
5. 设n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立，皆服从),(2σμN 分布，n c c c ,,,21⋅⋅⋅ 为一组常数，则∑=ni ii Xc 1~ 。
6．设ηξ,的相关系数为0.95,又05.0-=ξZ ，则η与Z 的相关系数为 . 7．设总体2~(,)X N μσ，321,,X X X 为样本，现取μ的估计量如下,21103513211^X X X ++=μ,313131321^2X X X ++=μ ,1^3X =μ则其中最有效的估计量为 。
* 8．设总体X 服从正态分布),(2σμN ，2σμ,皆未知，现有一容量为n 的样本，∑∑==--==n i in i i X X n S X n X 1221111)(,分别为样本均值和样本方差，则检验假设2212020σσσσ≠=:,:H H 的统计量为 . * 9．设总体ξ服从正态分布)9.0,(2a N ，现有一容量为9的子样，算得样本均值5=x ，则未知参数a 的置信度为0.95的置信区间为 .10．设总体X 服从均匀分布],0(θU ，0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8是一组子样观察值，则θ的 矩估计值为 .1. 19/27;2. 18;3. 5/9 ;4. =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤<≤ , , ,,212132103100x x x x 或 =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤< , , , ,212132103100x x x x 5. ),(1212∑∑==n i ni iic c N σμ; 6. 0.95; 7. 2^μ; 8. )( 20221σχS n -=9. (4.412, 5.588) ; 10 1.二、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 设A ，B 为两个事件，,.)(,.)(2050=-=B A P A P 则=)(AB P D ） 。
概率论与数理统计习题11
《概率论与数理统计》综合复习资料第一章 随机事件与概率一、填空题（请把答案填在题中横线上）:1．一个袋子中有5只黑球3只白球，从袋中任取两只球，若以A 表示：“取到的两只球均为白球”;B 表示：“取到的两只球同色”； C 表示:“取到的两只球至少有一只白球”。
则=)(A P ;=)(B P ； =)(C P 。
2．一个盒子中有10个球,其中有3个红球，2个黑球，5个白球,从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为 ；取到的两只球颜色相同的概率为 ；取到的两只球至少有一个黑球的概率为 ;取到的两只球没有黑球的概率为 。
3．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%,从中任取一球，结果不是红球,则：取到的是白球的概率为 ；取到的是黑球的概率为 .4．一个袋子中有5个新球3个旧球，从中取球两次,每次取一个（无放回），若以A 表示：“取到的两个球均为旧球”；B 表示:“取到的两个球恰有一个旧球”； C 表示:“取到的两个球至少有一个旧球"。
则=)(A P ；=)(B P ；=)(C P 。
5．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(有放回）。
则 第二次取出的是次品的概率为 ；两次都取到正品的概率为 ；第一次取到正品,第二次取到次品的概率为 ；第一次取到次品，第二次取到正品的概率为 ；恰有一次取到次品的概率为 ;两次都取到次品的概率为 ；恰有一次取到正品的概率为 ；已知第一次取到的是次品，第二次取到正品的概率为 ；已知第一次取到的是次品，第二次取到次品的概率为 。
6．一批产品共有6件正品2件次品，从中任取两件，则：两件都是正品的概率为 ；恰有一件次品的概率为 ；两件都是次品的概率为 ；至少取到一件次品的概率为 。
7．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球,今由两人依次随机地各取一球，取后不放回，则:第二个人取得黄球的概率是 ；两个人都取得黄球的概率是 ；至少有一人取得黄球的概率是 .8．设一批产品中一、二、三等品各占50%、30%、20％，从中任取一件,结果不是一等品，则取到的是二等品的概率为 ；取到的是三等品的概率为 。
部编版高中数学必修二第十章概率带答案考点大全笔记
(名师选题)部编版高中数学必修二第十章概率带答案考点大全笔记单选题1、两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．122、若随机事件A,B 满足P (AB )=16，P (A )=23，P (B )=14，则事件A 与B 的关系是（ ）A ．互斥B ．相互独立C ．互为对立D ．互斥且独立3、抛掷一颗均匀骰子两次，E 表示事件“第一次是奇数点”，F 表示事件“第二次是3点”，G 表示事件“两次点数之和是9”，H 表示事件“两次点数之和是10”，则（ ） A ．E 与G 相互独立B ．E 与H 相互独立 C ．F 与G 相互独立D ．G 与H 相互独立4、袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A 表示“3次抽到的球全是红球”，事件B 表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C 表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（ ）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件B 与事件C 不对立 C ．P (A )=78D ．P (A ∪C )=345、《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为（ ）． A ．13B ．23C ．16D ．126、甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a,b ∈{1,2,3,4}，若|a −b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．38B ．58C ．316D ．5167、某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为13，麒麟部胜鹰隼部的概率为35，龙吟部胜鹰隼部的概率为12．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是（ ）A ．445B ．29C ．415D ．13458、2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（ ）A ．2180B ．2780C ．3380D ．2740 多选题9、从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）A ．2个球都是红球的概率为16 B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23 D ．2个球中恰有1个红球的概率为1210、甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件B ．事件A 1与事件B 相互独立 C ．P (B |A 2 )=311D ．P (B )=2511、掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（）A．事件A与B是独立事件B．事件B与C是互斥事件C．事件C与D是对立事件D．D⊆A∩B填空题12、抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____．①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件；②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；③这枚骰子质地一定不均匀．部编版高中数学必修二第十章概率带答案(十六)参考答案1、答案：D解析：男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．小提示：本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题． 2、答案：B分析：利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可 解：因为P (A )=23， P (B )=14，又因为P (AB )=16≠0，所以有P (AB )=P (A )P (B )，所以事件A 与B 相互独立，不互斥也不对立故选：B. 3、答案：A分析：先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义P(AB)=P(A)P(B)判断个选项的正误. 解：由题意得： P(E)=1836=12，P(F)=636=16，P(G)=436=19，P(H)=336=112对于选项A ：P(EG)=236=118，P(E)P(G)=12×19=118，P(EG)=P(E)P(G)，所以E 和G 互相独立，故A 正确； 对于选项B ：P(EH)=136，P(E)P(H)=12×112=124，P(EH)≠P(E)P(H)，所以E 和H 不互相独立，故B 错误；对于选项C ：P(FG)=136，P(F)P(G)=16×19=154，P(FG)≠P(F)P(G)，所以F 和G 不互相独立，故C 错误；对于选项D ：P(GH)=0，P(G)P(H)=19×112=1108，P(GH)≠P(G)P(H)，所以G 和H 不互相独立，故D 错误； 故选：A 4、答案：C分析：根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.解：对于A ，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件A 与事件B 不互斥，故A 错误；对于B ，事件B 与事件C 不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件B 与事件C 互为对立事件，故B 错误；对于C ，因为P (A )=18，所以P (A )=1−P (A )=78，故C 正确；对于D ，因为事件A 与事件C 互斥，P (B )=28=14，所以P (C )=1−P (B )=34，所以P (A ∪C )=P (A )+P (C )=18+34=78，故D 错误.故选：C 5、答案：C分析：根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a , b ，c ，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A ，B ，C ，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案.设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a ，b ，c ，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A ，B ，C ，双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛， 所有的可能为:Aa ，Bb ，Cc ，田忌得0分; Aa ，Bc ，Cb ，田忌得1分 Ba ，Ab ，Cc ，田忌得1分 Ba ，Ac ，Cb ，田忌得1分; Ca ，Ab ，Bc ，田忌得2分， Ca ，Ac ，Bb ，田忌得1分田忌得2分概率为P =16，故选：C 6、答案：B分析：利用列举法根据古典概型公式计算即可.B 两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a −b|≤1的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为P =1016=58．故选：B 7、答案：D分析：由题设，麒麟部与龙吟部进行首场比赛且麒麟部获得“优胜部门”的情况有： 1 、首场麒麟部胜，第二场麒麟部胜；2 、首场麒麟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场龙吟部胜，第四场麒麟部胜；3 、首场龙吟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场麒麟部胜，第四场麒麟部胜； 再由独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可. 设事件A ：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜；由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为13，麒麟部胜鹰隼部的概率为35，龙吟部胜鹰隼部的概率为12，∴麒麟部获胜的概率分别是：P(A)=13×35+13×(1−35)×12×13+(1−13)×(1−12)×35×13=1345， 故选：D ． 8、答案：C分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C ，显然A,B,C 为相互独立事件， 则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC +ABC +ABC ，且ABC,ABC,ABC 互斥，∴所求概率P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P (B )P (C )+P (A )P(B)P (C )+P (A )P (B )P(C) =15×34×34+45×14×34+45×34×14=3380. 故选：C. 9、答案：ACD分析：根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D. 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，从“乙袋中摸出一个红球”为事件A 2， 则P (A 1)=13，P (A 2)=12，对于A 选项，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13×12=16，故A 选项正确，对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为1−16=56，故B 选项错误， 对于C 选项，2个球至少有一个红球的概率为1−P(A 1)P(A 2)=1−23×12=23，故C 选项正确，对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12，故D 选项正确． 故选：ACD ． 10、答案：AC分析：根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解. 由题意得可知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，故A 正确； ∵P(A 1)=310，P(A 2)=210=15，P(A 3)=12 ∴P (B |A 2 )=P(BA 2)P(A 2)=15×31115=311，故C 正确；由P (B |A 1 )=P(BA 1)P(A 1)=310×411310=411P(B)=P(BA 1)+P(BA 2)+P(BA 3)=411×310+15×311+12×311=310P (B |A 1 )≠P(B)事件A 1与事件B 不独立，故B 、D 错误； 故选：AC 11、答案：AB分析：根据定义判断独立事件，互斥事件和对立事件即可.由题意知：P(A)=36=12，P(B)=26=13，P(AB)=16=P(A)⋅P(B)， ∴事件A 与B 是独立事件，A 正确；∵事件B 与C 不能同时发生，∴B 与C 是互斥事件，B 正确；点数为4时，既不属于事件C，也不属于事件D，∴事件C与D不是对立事件，C错误；∵事件A∩B是“点数为5点”，∴A∩B⊆D，D错误.故选：AB.12、答案：②解析：根据不可能事件和小概率事件的定义进行求解即可.根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①③错误，②正确；所以答案是：②小提示：本题考查了不可能事件、小概率事件的定义，属于基础题.。
《概率论与数理统计》科学出版社课后习题答案
（概率课后习题答案详解）1第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 011220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124CC C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=（概率课后习题答案详解）212211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628CC C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++=(2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k+++ =11[1()]1441314kk lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设iA 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯=1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)3431444(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X CC ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)（概率课后习题答案详解）3345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X CC C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)1.51.5{0}0!P X e-=== 1.5e-（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X eee---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
11概率的计算和应用综合练习
初三数学通用版概率的计算和应用综合练习（答题时间：50分钟）一、选择题1. 一个不透明的布袋装有4个只有颜色不同的球，其中2个红色，1个白色，1个黑色，搅匀后从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）A.21 B. 31 C. 41 D. 61A.92 B.185 C.31 D.94*7. 六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀正方体的表面展开图如图所示，掷这个正方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标。
按照这样的规定，每掷一次该正方体，就能得到平面内的一个点的坐标。
已知小明前两次掷得的两个点能确定一条直线l，且这条直线l经过点（4，7），那么他第三次掷得的点也在这条直线上的概率是（）恰好染成蓝色的概率是则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下，洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数，若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜。
你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由。
15. 已知一纸箱中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个红球。
（1）求从箱中随机取出一个球是白球的概率。
（2）若往装有5个球的原纸箱中，再放入x个白球和y个红球，从箱中随机取出一个球是白球的概率是31，求y 与x 的函数关系式。
初三数学通用版概率的计算和应用综合练习参考答案1. A 解析：P （摸到红球）2142==。
2. A 解析：由列举法知，有24种可能，符合条件的有6种可能，所以由甲将接力棒交给乙的概率是41。
3. B 解析：要过第一关，点数需大于3，因为，抛掷一颗骰子一次至少有1点，所以①⎪⎩-2ba 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由b a ,只能取1，2，3，4，5，6，得⎩⎨⎧==,2,1,6,5,4,3,2b a 共有1025=⨯（种）情况：或⎩⎨⎧==,6,5,4,1b a 共有3种情况。
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1. 设只有颜色不同的3只球，每只球都以同样的可能性落入5个格子的每一个格子中，试求： (1)某指定的3个格子中各有一只球的概率； （所求概率为P(A)＝35!3=1256）(2)3只球各在一个格子中的概率． （所求概率P(B)=333355C A =2512。
）2．一袋中装有a 只黑球，b 只白球，它们大小相同，编号不同，现在把球随机地一只一只摸出来，求第k 次模出的球是黑球的概率(1≤k ≤a +b )． (b a a A aA ba ba b a b a +=++-+-+11) 3．将大小相同但颜色不同的8只白乒乓球和2只黄乒乓球装入不透明的袋中，每次任意抽取一个辨别颜色，测试后不放回袋中，求下列事件的概率；(1)抽三次，第三只是白乒乓球； (P （A ）=543102918=A A C 或P （A ）=54108=) (2)直到第6只时才把两只黄乒乓球找出来． (P （B ）=610124815A C A A =91)4．从甲口袋内模出1个白球的概率是41，从乙口袋内模出1个白球的概率是51，从两个口袋内各模出1个球，那么53是两个球 ( B ) 5．甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有1个白球，3个黑球；从这两个坛子中分别摸出1个球，假设每一个球被摸出的可能性都相等。
问： （1）它们都是白球的概率是多少？ （2）它们都是黑球的概率是多少？ （3）甲坛子中摸出白球，乙坛子中摸出黑球的概率是多少？解：（1）显然，一次试验中可能出现的结果有n=15C 14C =20个,而这个事件包含的结果有m=1113C C =3,根据等可能事件的概率计算公式得：P 1=203=nm 。
（2）同（1）可得：P 2=10320614151312==C C C C 。
（3）同理：P 3=20914151313=C C C C ；6． 同时投掷四枚均匀硬币一次，求：(1)恰有两枚“正面向上”的概率： （P(A)＝83166=．）(2)至少有两枚“正面向上”的概率。
（P(B)＝161116146=++）7． 将一枚均匀硬币抛掷5次，(1)求第一次、第四次出现正面，而另外三次都出现反面的概率； (2)求两次出现正面。
三次出现反面的概率．解 (1)设第i 次抛掷硬币出现正面事件记为A i ，i A 表示第i 次抛掷硬币出现反面的事件(i ＝1，2，3，4，5)，则P(A i )＝P(i A )＝21． 第一次、第四次出现正面，另外三次出现反面的事件为A 132A A A 45A 。
则P(A 132A A A 45A )＝P(A 1)P(2A )P(3A )P(A 4)P(5A )＝21×21×21×21×21=321。
(2) P 5(2)＝165)211()21(3225=-⋅C8． 袋中装有一等奖、二等奖、三等奖奖券各一张，每次任取一张，有放回地取三次，分别求下列事件的概率； (1)取出的三张奖券等级是相问的： (P(A)＝13131313C C C C ＝91)(2)取出的三张奖券等级不全相问； (P(B)＝l 一P(A)＝l 一91＝98．)(3)取出的三张奖券全是—等奖或全是二等奖．(1313131C C C 十1313131C C C =272)9． 在100000张有奖明信片中。
设有一等奖5个，二等奖l0个，三等奖100个，李明买了此种明信片10张，求：(1)分别获一等奖、二等奖、三等奖的概率； (2)中奖的概率； (3)末中奖的概率． 解 （1）P l ＝100000510⨯＝20001； P 2＝1000001010⨯＝10001； P 3=100110000010010=⨯．(2) P 4=P l + P 2+ P 3＝200023， (3)未中奖的概率P 5＝1一P 4＝1一200023＝20001977．10． 同时抛掷两只均匀的骰子(各个面上分别标以数字l ，2，3，4，5，6)，计算： (1) 向上的数相同的概率；（2）向上的数之积为偶数的概率； (3) 向上的数之和不小于10的概率．解 (1) P l ＝61666=⨯． (2) P 2＝41369=；得向上的数之积为偶数的概率P 3＝l 一4341=．(3) 121十181十361＝6111．某商场为迎接国庆举办新产品问世促销 活动，方式是买—份糖果摸一次彩，模彩的器具是绿、白两色的乒乓球．这些乒乓球的大小和质料完全相同．商场拟按中奖率1％设大 奖，其余99％为小奖．为了制定摸彩的办法， 商场向职工广泛征集方案，对征集到的优秀 方案进行奖励．如果你是此商场职工，你将会提出怎样的方案? 注：商场提供的模彩器材是棱长约30cm 的立方体形木箱，密封良好，不透光、木箱上 方可容一只手伸入，另备足够多的白色乒乓球和少量绿色乒乓球。
方案一： 在箱内放置100个乒乓球，其中1个为绿色乒乓球，其余99个为白色乒乓球，顾客一次模出1个乒乓球，如果为绿色乒乓球，即中大奖，否则中小奖，本方案中大奖的概率为：11001C =1001。
方案二： 在箱内放置14个乒乓球，其中2个为绿色乒乓球，其余12个为白色乒乓球。
顾客——次摸出2个乒乓球为绿色，即中大奖；如果模出的2个乒乓球为白色，或1个为白色、1个为绿色。
则中小奖．本方案中大奖的概率2141C =911。
方案三：在箱内放置15个乒乓球，其中2个为绵色乒乓球，其余13个为白色乒乓球．顾客摸球和中奖的办法与方案二相同．本方案中大奖的概率为2151C =1051方案四： 在箱内放置25个乒乓球，其中3个为绿色乒乓球，其余22个为白色乒乓球．顾客一次摸出2个乒乓球(或分两次模，每次摸一个乒乓球，不放回)，如果摸出的2个乒乓球为绿色，即中大奖；如果模出的2个乒乓球为白色或1个为白色、1个为绿色，则中小奖．本方案中大奖的概率为 22523C C =1001。
12 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.95，0.9． 求：(1)在一次射击中，目标被击中的概率； (2)目标恰好被甲击中的概率．解 设甲击中目标事件为A ，乙击中目标为事件B ，根据题意，有P(A)＝0．95，P(B)＝0.9(1) P(A ·B +A ·B+A ·B)＝P(A ·B )十P(A ·B)十P(A ·B) ＝P(A)·P(B )十P(A )·P(B)十P(A)·P(B) ＝0．95×(1—0．9)十(1—0．95)×O ．9十0．95×0．90 ＝0．995。
(2) P(A ·B )＝P(A) ·P(B )＝0．95×(1一0。
90)＝0．095．13． 在人寿保险事业中，很重视某一年龄的投保人的死亡率，假如1个投保人能活到65岁的概率为0．6，试问；(1)3个投保人全部活到65岁的概率； (P 3(3)＝0333)6.01(6.0-⋅C =0.216；) (2)3个投保人有2个活到65岁的概率； (P 3(2)＝)6.01(6.0223-⋅C ＝0．432；) (3)3个投保人有1个活到65岁的概率； (P 3(1)＝213)6.01(6.0-⋅C ＝0．288；) (4)3个投保人都活不到65岁的概率． (P 3(0)＝3003)6.01(6.0-⋅C ＝0．064。
)14 对某种药物的疗效进行研究，假定药物对某种疾病的治愈率为0．8，现在10个患此病的病人同时服用此药，求其中至少有6个病人治愈的概率．解：设病人服用该药后治愈记为事件A ，没有治愈记为事件A ，则根据题意，有P(A)＝0．8，P(A )＝1一P(A)＝0。
2． 至少有6个治愈可分为10人中6人治愈、7人治愈，8人治愈，9人治愈，10人治愈． 所以，所求概率为P ＝P 10(6)+P 10 (7)十P 10 (8)十P 10 (9)十P 10 (10) ＝466102.08.0⨯C +377102.08.0⨯C +288102.08.0⨯C +2.08.09910⨯C +1010108.0C =0.9715 某种大炮击中目标的概率是0.3，只要以多少门这样的大炮同时射击1次，就可以使击中目标的概率超过95％?解 因为大炮击中目标的概率为0．3，所以大炮不击中目标的概率为0．7，n 门大炮都击不中目标的概率是0.7n ．因此，其中至少1门大炮击中目标的概率是1一0.7n ，根据题意，有1一0.7n ＞0．95， 即0.7n ＜0．05， 两边取对数后，解不等式得 n ＞487lg 15lg 2⋅≈-- ． 即要以9门大炮同时射击1次，就可使击中目标的概率超过95％。
16．金工车间有10台同类型的机床，每台配备的电动机的功率为10千瓦。
已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。
如因特殊情况，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率为多大？解：50千瓦可供给5台机床开动，因而10台机床中同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作。
又每台机床只有“开动”与“不开动”两种情况，且“开动”的概率为12/60=1/5，“不开动”的概率为4/5。
设10台机床中正在开动着的机床的台数为k ，则P (k)=kkkC -1010)54()51(,0≤k ≤10于是同时开动着的机床的台数不超过5台的概率为 P （k ≤5）= ≈0.994。
由此可知这10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响，因为在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作（同时开动6台或6台以上）的概率0.006，是一个小概率事件。
17． 甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛。
根据以往的比赛情况，每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。
如果比赛时采用三局二胜制或五局三胜制，问哪一种赛制下甲胜的可能性较大？ 解：（1）三局二胜制甲胜的概率=0.648。
（2）五赛三胜制甲胜的概率为=0.682。
甲在“五局三胜”中获胜的可能性较大。
在第1，3，5，8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有18。
一位乘客等候第1路或第3路汽车，假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，求首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率。
解：由题意知共有4路车可在此站停靠，而且每路车首先到站的可能性相等，故基本事件共有4个，且每一个的发生都是等可能的，即基本事件总数n =4。
设A 表示首先到站正好是1路或3路汽车这一事件，则A 所包含的基金事件数m =2。
故所求概率=2142= 19．一批产品共100件，其中一等品有40件，二等品有60件，今从这批产品中任意抽取3件，在下列抽取方式中，求抽出的三件中有两件是一等品，一件是二等品的概率。