天然肠衣搭配的数学模型

天然肠衣搭配的数学模型
[摘要]本文为肠衣组装提供了一个原料搭配方案，为了使原料能充分利用，建立了优化模型，通过lingo软件计算三种规格的最大捆数以及总捆数，再在最大捆数的前提下，通过lingo软件计算得到具体每捆的搭配方案。

[关键词]肠衣搭配优化模型捆扎
[中图分类号] o29 [文献标识码] a [文章编号] 2095-3437（2012）10-0048-03
数学模型[1]是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构，以便于通过数学上的演绎推理和分析求解深化对所研究的实际问题的认识。

近年来，许多学者对各种数学模型进行了研究，以三个文献作为说明。

[2][3][4]
天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。

肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。

传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3米-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。

表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。

表2为某批次原料描述。

公司要求：
（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
（3）为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少一根；
（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于
7-13.5米的规格。

根据以上要求和原料描述，建立数学模型，给出最优搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

一、问题分析
本模型讲述的是肠衣的加工搭配问题，把成品规格按从小到大分为三种规格。

根据成品规格的不同要求和表2中的数据分析，列表如下：
我们要解决的问题是在装配出的成品捆数最多的前提下，设计一个原料搭配方案，即是给出符合规格的每一捆成品的各原料长度的根数。

首先引入下面的符号。

ni表示符合规格的最大捆数（i=1，2，3），
gir表示规格i第r种原料的总根数，zir表示规格i第r种原料使用了的根数（i=1，2，3），c3r表示规格三对应不同档次的第r 种原料的长度（r=1，2，……，24）； z3ir表示规格三第i捆第r 种原料的根数（i=1，2，3，……，n3）；c2 j表示规格二对应不同档次的原料的长度，（j=1，2，……，14）；z2 i j表示规格二第i 捆第j种原料的根数（i=1，2，3，……，n2）；k表示搭配规格三后剩余原料的根数。

从某种规格对应原料若有剩余可以降级使用的角度考虑。

首先，我们从原料长度规格最大的（即规格三）入手。

由装出的成品越多越好，标准的总根数为5以及总根数允许少1根，标准总长度为89米以及总长度允许有± 0.5米误差，所使用了的各档次原料的根数要小于等于其对应档次原料的总根数，所有捆数使用第r种原料的根数小于等于第r种原料的总根数，得到目标函数和约束条件，通过lingo软件求解得规格三中每一捆成品的各原料长度的根数的搭配方案，以及此规格的余料数。

同理，可求得规格二和规格一的搭配方案。

二、模型假设
（1）假设所有原料不切割，只能降一级使用。

（2）假设某种规格对应原料出现剩余，则剩余的原料放到下一级的最大长度的档次使用。

（3）假设每种规格的成品总长度可以有±0.5米的误差，总根数
可以比标准少1根。