解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法。

绝对值不等式||||||

a b a b

+≤+，||||||

a b a b

-≤+

基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5

所以函数的最小值是5，没有最大值

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5

由|y|≤5得-5≤y≤5

即函数的最小值是-5，最大值是5

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5 解绝对值不等式题根探讨

题根四解不等式2|55|1

x x

-+<．

［题根4］解不等式2|55|1

x x

-+<．

［思路］利用｜f(x)｜0) -a

式组2

1551

x x

-<-+<即

2

2

551(1)

551(2)

x x

x x

⎧-+<

⎪

⎨

-+>-

⎪⎩

求解。

［解题］原不等式等价于2

1551

x x

-<-+<，

即

2

2

551(1)

551(2) x x

x x

⎧-+<

⎪

⎨

-+>-

⎪⎩

由（1）得：14

x

<<；由（2）得：2

x<或3

x>，

所以，原不等式的解集为{|12

x x

<<或34}

x

<<．

［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551

y x x y

=-+=

与的的图象，解方程2551

x x

-+=，再对照图形写出此不等式的解集。

第1变右边的常数变代数式

［变题1］解下列不等式：(1)|x+1|>2－x；(2)|2x－2x－6|<3x

［思路］利用｜f(x)｜g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x+1>2－x或x+1<－(2－x)

解得x>1

2

或无解，所以原不等式的解集是{x|x>

1

2

}

⇔

⇔⇔

(2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x

即2222

26360(3)(2)032(1)(6)016263560

x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨

+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2

所以原不等式的解集是{x |2

［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x

［请你试试4—1］

1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）2

34

x x -≤1

解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.

原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3x-4 ①

或x-x 2-2<-(x 2

-3x-4) ② 解①得：1--3

故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝

分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2

-x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-14

)2+

74

>0

所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.

故原不等式等价于x 2-x+2>x 2

-3x-4 解得：x>-3

∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤2

34

x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式

2

34

x x -≤1两边均为正，所以可

平方后求解.

原不等式等价于2

2

34

x x -≤1

9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) x 4-17x 2+16≥0

x 2≤1或x 2≥16

-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4

注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.

第2变 含两个绝对值的不等式

22⇒⇒⇒⇒