不可约多项式外文文献加翻译
盲签名、群签名及共同不可约多项式
摘要盲签名和群签名的概念是由Ｃｈａｕｍ首次提出的．由于盲签名和群签名能分别为用户和签名者提供很好的匿名性，所以它们在电子货币和电子投票等实用系统中都有着广泛的应用．本文首先介绍了盲签名和群签名的研究及应用现状，然后分别详细介绍作者在盲签名和群签名领域所做的工作．除此之外，本文还讨论了两个不同数域上的共同不可约多项式的性质．盲签名要求签名者在不知道消息内容的情况下对消息进行签名，即使以后签名者得到一个消息签名对，他也不能确定这个消息的来源．本文不仅对已提出的盲签名方案进行概述，指出其优缺点，而且还分析丁分别由Ｌｉｅｔａｌ和Ｈｅｅｔａｌ针对两种不同的盲签名提出的两种关联方法，并证明他们的方法无效．另外，本文还提出了一个新的基于椭圆曲线的盲签名方案．群签名允许群成员代表整个群体进行签名．而且，一旦发生争议，群管理人熊够识别出签名者．本文不仅对已提出的群签名方案进行概述，指出其优缺点，而且还分析了现有的群签名方案中所存在的一些问题，并指出其研究方向．此外，我们还分析了分别由Ｐｏｓｅｓｃｕ和王晓明等提出的两个群签名方案，并分别给出了一种通用攻击方法，所以这两个方案仍然是不安全的．由不可约多项式构造的有限域有着很好的性质，可以用来设计更加安全高效的密码系统，从而不可约多项式的研究对现代密码学的发展有着重要的意义．在本文中，我们首次提出了在不同数域上寻找共同不可约多项式的问题，并证明其不一定存在．而且，我们还给出了一种从割圆多项式中寻找共同不可约多项式方法．此外，文中还给出了一些命题．在附录里，我们还给出了一个特殊的乘法群中所有元素阶的分布．关键词公钥密码学，椭圆曲线，数字签名，盲签名，群签名，不关联性，通用攻击，不可约多项式，割圆多项式ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｂｌｉｎｄｄｉｇｉｔａｌｓｉｇｎａｔｕｒｅａｎｄｇｒｏｕｐｄｉｇｉｔａｌｓｉｇｎａｔｕｒｅａｒｅｆｉｒｓｔｌｙｐｒｏｐｏｓｅｄｂｙＣｈａｕｍ．Ｂｏｔｈａｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｍａｎｙｐｒａｃｔｉｃａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｓｕｃｈａｓｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｃａｓｈａｎｄｖｏｔｉｎｇ．Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ６ｒｓｔｓｕｒｖｅｙｓｔｈｅａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｓｉｎｔｈｅｓｅｔｗｏｆｉｅｌｄｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ、ａｎｄｔｈｅｎｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅＯｌｌｒｗｏｒｋｏｎｂｌｉｎｄｓｉｇｎａｔｕｒｅａｎｄｇｒｏｕｐｓｉｇｎａｔｕｒｅｉｎｄｅｔａｉｌｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｗｅａｌｓｏｆｌＪｓｃｕｓ８ｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｔｔｈｅｃｏｍｍｏｎｈｒｒｅ（１ｕｃｌＤｉｅｐｏｌｖｎｏｍｍｉｓｏｖｅｒｔｗｏａｍｅｒｅｎｔｎｎｌｌ—ｆｉｅｌｄｓ．ＢｌｉｎｄｓｉｇｎａｔｕｒｅｓｒｅｑｕｉｒｅｔｈａｔａｓｉｇｎｅｒｂｅａｂｌｅｔｏｓｉｇｎａｍｅｓｓａｇｅｗｉｔｈｏｕｔｋｎｏｗｉｎｇｉｔｓＣＯｎ－ｔｅｎｔｓ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｓｈｏｕｌｄｔｈｅｓｉｇｎｅｒｅｖｅｒｓｅｅｔｈｅｍｅｓｓａｇｅ－ｓｉｇｎａｔｕｒｅｐａｉｒ，ｈｅｓｈｏｕｌｄｎｏｔｂｅａｂｌｅｔｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｗｈｅｎｏｒｆｏｒｗｈｏｍｈｅｓｉｇｎｅｄｉｔ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｗｅｇｉｖｅａｂｒｏａｄｏｖｅｒｖｉｅｗｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｂｌｉｎｄｓｉｇｎａｔｕｒｅｓ．ＷｅａｌｓｏａｎａｌｙｚｅｔｗｏｌｉｎｋｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｉｅｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｂｙＬｉｅｔａｌａｎｄＨｅｅｔａｌｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｂｏｔｈａｔｔａｃｋｓａｒｅｉｎｖａｌｉｄ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｗｅａｌｓｏｇｉｖｅａｎｅｗｂｌｉｎｄｓｉｇｎａｔｕｒｅｓｃｈｅｍｅｂａｓｅｄｏｎｅｌｌｉｐｔｉｃｃｕｒｖｅ，ｗｈｉｃｈｃａｎｐｒｏｔｅｃｔｕｓｅｒｕｎｔｒａｃｅａｂｌｅ．Ｇｒｏｕｐｓｉｇｎａｔｕｒｅｓｃｈｅｍｅｓａｌｌｏｗａｇｒｏｕｐｍｅｍｂｅｒｔｏａｎｏｎｙｍｏｕｓｌｙ８ｉｇｎｏｎｇｒｏｕｐ’ｓｂｅｈａｌｆ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｉｎｃａｓｅｏｆａｎｏｎｙｍｉｔｙＩｎｉｓｌｉＢｅ，ａｇｒｏｕｐｍａｎａｇｅｒｃａｎｒｅｃｏｖｅｒｔｈｅｉｓｓｕｅｒｏｆａｓｉｇｎａｔｕｒｅ．Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｇｉｖｅｓａｂｒｏａｄｏｖｅｒｖｉｅｗｏｆｔｈｅｐｍｐｅａｅｄｇｒｏｕｐｓｉｇｎａｔｕｒｅｓ．Ｓｏｍｅｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｔｈｉｓｆｉｅｌｄａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｎｄｓｅｖｅｒａｌｍａｉｎｒｅｓｅａｒｃｈｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓａｒｅｐｏｉｎｔｅｄｏｕｔａ８ｗｅｌｌ．Ｗｅａｌｓｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｓｅｃｕｒｉｔｙｏｆｔｗｏｇｒｏｕｐｓｉｇｎａｔｕｒｅｓｒｅｃｅｎｔｌｙｐｒｏｐｏｓｅｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ蚵ＰｏｓｅｓｃｕａｎｄＷａｎｇｅｔａ１．．ａｎｄｓｈｏｗｔｈａｔｂｏｔｈｓ（＿ｈｅｍｅｓａｒｅｕｎｉｖｅｒｓａｌｌｙｆｏｒｇｅａｂｌｅ．Ｆｉｎｉｔｅｆｉｅｌｄｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｂｙｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｈａｖｅｇｏｏｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｔｈａｔｃａｎｂｅａｐ－ｐｌｉｅｄｔｏｄｅｓｉｇｎｍｏｒｅｓｅｃｕｒｅａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｔｃｒｙｐｔｏｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｗｅｆｉｒｓｔｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｆｉｎｄｉｎｇｔｈｅｃｏｍｍｏｎｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｏｖｅｒｔｗｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｉｎｉｔｅｆｉｅｌｄｓａｎｄｐｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｃｏｍｍｏｎｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｄｏｎｏｔａｌｗａｙｓｅｘｉｓｔ，Ａｍｅｔｈｏｄｔｏｆｉｎｄｔｈｅｃｏｉｎｉｎｏｉｌｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｆｒｏｍｃｙｃｌｏｔｏｍｉｃｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｎｄｓｏｍｅｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓａｒｅａｌｓｏｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｉｎｔｈｅａｐｐｅｎｄｉ】（，ｗｅａｌｓｏｇｉｖｅｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｔｈｅｅｌｅｍｅｎｔｓｉｎａｓｐｅｃｉａｌｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｇｒｏｕｐ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｐｕｂｌｉｃｋｅｙｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ，ｅｌｌｉｐｔｉｃｃｕｒｖｅ，ｄｉｇｉｔａｌｓｉｇｎａｔｕｒｅ，ｂｌｉｎｄｓｉｇｎａｔｕｒｅ，ｇｒｏｕｐｓｉｇｎａｔｕｒｅ，ｕｎｌｉｎｋａｂｉｌｉｔｙ，ｕｎｉｖｅｒａａｌｆｏｒｇｅｒｙ，ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ，ｃｙｃｌｏｔｏｍｉｃｐｏｌｙｎｏｍｉａｌＩＩ致谢非常感谢陈鲁生教授．本文从选题到定稿自始至终得到了陈老师悉心严格的指导，使我对密码学这个广阔的学术领域有了更加透彻的认识．在南开大学求学的近７年中，我深深地感受到了陈老师渊博的知识，严谨的作风，谦逊的为人和广阔的胸怀．在此，谨向陈老师在这几年来对我的指导和教诲表示衷心的感谢．感ｉ捌＇ｔｔｌ！！：ｔｔｔ教授和符方伟教授．两位老师均给予我耐心的指导和帮助，他们敏锐的学术洞察力以及博大糟深的知识让我受益匪浅．感谢数学院各位授课老师，他们严谨的治学作风和一丝不苟的工作精神很值得我学习．感谢党委刘艳霞老师以及学院办公室的各位老师，感谢他们在工作上对我的关心和支持．作者还要感谢数学学院信息论方向的所有同学．尤其要感谢廖嘉，符景云，张青坡，王立鹏，尚越，张勇．感谢他们在我南开求学的７年里给予我的诸多关怀和帮助．感谢室友李艳婷和曲艳萍同学，与她们同窗三年的朝夕相处，将是我一生美好的回忆．深深感谢含辛茹苦养育我的父母．母亲几次重病期问，总是对我隐瞒病情。
有理数域上不可约多项式
§7.8 有理数域上的不可约多项式
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如 何求Q上多项式的有理根，由于 f x 与 cf x 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x 在Q上的可约
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是 本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。
都是本原多项式
f x g x c0 c1x
p ck , k 1,2,
ci j xi j
cmn xmn .
若 f x g x 不是本原多项式，则存在素数p，使
, m n, 由于 f x , g x 都是本原多
项式，故 f x 的系数不能都被p整除，g x 的系数 也不能被p整除，
n 即 g x g1 x r g1 x . m
提出来， mg x ng1 x , g1 x 是本原多项式，
同理，存在有理数S，使 h x sh1 x , h1 x 也是本原多项式，
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
但两者不能同时成立。
p2
a0
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
不妨设 p b0 但 p 由于 an bk cl ， 由 p
c0 。
an 知 g x 的系数不能都被p
bch 不可约多项式阶数表
BCH码是一种用于纠正数据传输中出现的错误的编码技术，它是由Bose、Chaudhuri和Hocquenghem三位数学家分别独立发现的，因此得名。
BCH码是一种重要的线性纠错码，可以用来对字节数据进行纠错。
在通信、存储系统中广泛应用，特别是在数字电视、卫星通信、光纤通信、无线通信等领域有着重要的应用价值。
BCH码的性能和纠错能力与其阶数有着密切的关系。
BCH码的多项式阶数可以影响到其纠错性能，因此研究BCH码的不可约多项式阶数表具有重要的理论和实际意义。
本文将从BCH码的基本原理入手，介绍BCH码的不可约多项式阶数表，帮助读者更好地了解BCH码的特性和应用。
1. BCH码的基本原理BCH码是一种循环码，它是通过生成多项式和校验多项式来定义的。
假设BCH码的阶数为m，对于一个m阶BCH码来说，其生成多项式为g(x)，它的形式可以表示为：g(x)=lcm{m}(p1(x), p2(x),…, pl(x))其中，lcm表示最小公倍数，p1(x), p2(x),…,pl(x)是BCH码的不可约多项式。
BCH码的校验多项式为h(x)，它的形式可以表示为：h(x)=lcm{m}(p1(x), p2(x),…, pl(x),x^m-1)BCH码的一个重要特性是它的纠错能力与最小距离有关，最小距离可以通过BCH码的不可约多项式来计算。
研究BCH码的不可约多项式阶数表对于分析BCH码的性能具有重要意义。
2. BCH码的不可约多项式阶数表BCH码的不可约多项式阶数表用于表示BCH码的阶数和不可约多项式之间的关系，可以帮助我们快速地确定BCH码的不可约多项式。
对于一个给定阶数的BCH码来说，其不可约多项式的个数是有限的，因此可以通过不可约多项式阶数表来给出所有的不可约多项式和它们的阶数。
通常情况下，我们可以通过以下步骤来构建BCH码的不可约多项式阶数表：（1）确定BCH码的阶数m；（2）列出所有的m阶不可约多项式；（3）计算每个不可约多项式的阶数。
代数数论中的不可约多项式的性质与有限域的计算与应用
不可约多项式在数学中的重要性
定义：一个多项式在 某个数域上不能再被 分解为更低次的多项 式
性质：不可约多项式 是整数的唯一因数分 解的必要条件
应用：在代数数论、 几何学、组合数学等 领域有广泛应用
重要性：不可约多项 式是数学中一个重要 的概念，对于理解数 学的内在结构和发展 有着重要意义
Байду номын сангаас
03 有限域的基本概念
有限域在数据加密 中的具体实现方式
06
有限域在编码理论中的 应用
线性码与有限域的关系
线性码是有限域 的一个重要应用 领域
有限域的元素具有 线性组合和乘法运 算的封闭性，使得 线性码具有很好的 性质
线性码的生成矩 阵和校验矩阵可 以表示为有限域 上的矩阵
有限域的元素个 数决定了线性码 的码距和最小码 距
定义：有限域 的扩展运算是 指将有限域中 的元素进行有 限次运算，以 生成新的元素。
性质：有限域 的扩展运算具 有封闭性，即 运算结果仍属
于有限域。
运算规则：有 限域的扩展运 算具有特定的 运算规则，包 括加法、减法、 乘法和除法等。
应用：有限域 的扩展运算在 密码学、编码 理论等领域有
广泛应用。
05
有限域中的元素个数有限
有限域中的元素具有加法 逆元
有限域中的乘法是可结合 的，且满足交换律
有限域中的乘法是可结合 的，但不满足交换律
有限域的运算规则
加法运算规则： 有限域中的元素 只能进行加法运 算，不能进行减 法运算，通常用 模运算实现减法。
乘法运算规则： 有限域中的元素 只能进行乘法运 算，乘法满足结 合律、交换律和
RS码与有限域的关系
有限域是编码 理论中的基本 概念，为RS码 提供了数学基
【国家自然科学基金】_不可约多项式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7
科研热词 负循环码 生成多项式 整数环 对偶码 剩余类域 不可约多项式 不可约分解
推荐指数 1 1 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词 立方运算 相对优集 电路设计 本原幂等元 有限域 广义特征子空间 常循环码 多项式方程组 准扭码 优集 优化 主不可分解模 不可约分解算法 tate配对 hensel提升 galois环 casimir元素
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 符号模式 模乘 极小惯量任意 本原 有限域 扩频通信 惯量任意 序列密码 密码学 多项式时间算法 剩余算术 不可约多项式 不可约
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词 有限域 平方性 多项式 二次扩张 二次多项式 迹映射 正规基 整数环 仿射多项式 不可约多项式 不可约 三项式
推荐指数 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2011年 科研热词 椭圆曲线 根式塔 循环次数 多项式 双线性对计算 双线性对 判别式 分裂域 3次本原单位根 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 科研热词 重因式的重数 重因式 线性多项式 平面映射 多项式 判别法 互素 不可约多项式 不可约 一元多项式 weil和 d算子 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
二元有限域上的n次不可约多项式
二元有限域上的n次不可约多项式
在数学中，二元有限域上的n次不可约多项式是指在二元有限域上，次数为n 的多项式无法分解成低次多项式的乘积。
这里的“二元有限域”指的是一个有限个元素的集合，其中包括了数学上的0和1，并满足加法和乘法运算具有封闭性、结合律、交换律以及存在零元素和单位元素等性质。
在这个定义中，“不可约”表示该多项式无法被分解成两个或更多个低次多项式的乘积。
这里的“低次多项式”指的是次数比原多项式小的多项式。
如果一个多项式可以被分解成两个或更多个低次多项式的乘积，那么它就被称为可约多项式。
二元有限域上的n次不可约多项式在密码学中有着广泛的应用，例如在椭圆曲线密码学和分组密码中都有用到。
因此，研究二元有限域上的n次不可约多项式是密码学研究的一个重要方向。
目前已有许多算法和方法可以用来生成二元有限域上的n次不可约多项式，例如Berlekamp算法、Cantor-Zassenhaus算法等。
这些算法不仅可以用来生成不可约多项式，还可以用来分解、判断和计算多项式等相关问题。
在密码学应用中，选取一个合适的不可约多项式对于保证密码系统的安全性至关重要。
不同域上的不可约多项式
不同域上的不可约多项式不同域上的不可约多项式摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。
关键字：复数域实数域有理数域有限域不可约多项式中图分类号：O151Irreducible polynomials in the different fields Abstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible.In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.Key Words:Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials不同域上的不可约多项式1、前言一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理 论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。
所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不可约。
本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。
有理数域上一类不可约多项式的简单推广
有理数域上一类不可约多项式的简单推广
黎智
【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(032)005
【摘要】若a1,a2,...,an是n-1个不同的整数,证明了当n≥4时,f(x)=(x-a1)(x--n2)...(x-an)-1在有理数域Q上不可约;当n≥3时,f(x)=(x-a1)2(x-a2)2 (x)
an)2+1在有理数域Q上不可约.
【总页数】3页(P23-25)
【作者】黎智
【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆401331
【正文语种】中文
【中图分类】O156
【相关文献】
1.有理数域上的两类不可约多项式 [J], 李波
2.有理数域上二元不可约多项式的判别 [J], 何俊杰;王付群
3.有理数域上的不可约多项式 [J], 陈林;田应智
4.有理数域上的一类不可约多项式 [J], 张卫;史滋福
5.与对角格空时码相关的一类Z[ζm]上不可约多项式的判别式 [J], 杨仕椿;廖群英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
不可约多项式定义
不可约多项式定义好的，以下是为您生成的关于“不可约多项式定义”的文章：---【不可约多项式定义】**开场白**嘿，朋友们！在数学的奇妙世界里，有一个叫做“不可约多项式”的概念。
你有没有在做数学题或者学习代数的时候，被这个词搞得有点晕头转向？其实啊，它并没有那么神秘，今天咱们就一起来揭开它的面纱！**什么是不可约多项式？**简单来说，不可约多项式就是在某个数域范围内，不能再分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。
比如说，在有理数域上，多项式 x² + 1 就是不可约多项式。
给您举个生活中的例子，不可约多项式就像是一个完整的、无法再拆开的拼图块。
如果能拆开，那就不是不可约多项式啦。
这里要纠正一个常见的误区哦，有些人可能会觉得只要多项式看起来复杂，就是不可约多项式，这可不对！得按照严格的数学定义和方法来判断。
**关键点解析**3.1 核心特征或要素不可约多项式有几个关键要素。
首先是数域，不同的数域中，同一个多项式的可约性可能不同。
比如 x² - 2 在有理数域上是不可约的，但在实数域上就不是了，因为在实数域上它可以分解为 (x - √2)(x + √2) 。
这就好比同样的一个物品，在不同的环境下可能有不同的用途。
其次是次数，不可约多项式的次数是有规定的，不能是零次多项式（也就是常数）。
还有就是不能分解这一特性，意味着找不到其他两个非零多项式相乘能得到它。
3.2 容易混淆的概念容易和不可约多项式混淆的概念是可约多项式。
可约多项式就是能分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。
比如说在有理数域上，x² - 1 就是可约多项式，因为它可以分解为 (x - 1)(x + 1) 。
不可约多项式和可约多项式的区别就在于能否分解，这是判断的关键。
**起源与发展**不可约多项式的概念起源于代数数论的研究。
在数学的发展历程中，随着对多项式性质的深入研究，不可约多项式的重要性逐渐凸显出来。
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译不可约多项式外文文献加翻译= irreducible polynomialLet f (x) = fl (x)ll--fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi (x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni.f (x) =f_l (x) 1・・・f_k (x) ~lk是f (x)在多项式环F[x]中的标准分解式,f_i (x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式.In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n> r (x) WZ_n[x] and r (x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n.设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r (x) EZ_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。
From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp.由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码，其中本原基本不可约多项式hm(x)是指hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp [x]中的本原多项式.As a matter of fact, the met hod starts from Z_2, and t here is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+l). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+l) is a Finite Fields.这一方法实质上是从Z_2岀发，以Z_2上的一个不可约多项式x~2+x+l 为生成元做一个主理想(x~2+x+l),然后由近世代数的理论知Z_2[x]/(x~2+x+l)是一个有限域，从而得到了GF⑷。
不可约多项式精品PPT课件
我们感兴趣的是，除了平凡因式外，f x
还有没有其他的因式？
一、不可约多项式 1、定义
定义1.5.1 设 f x 是 Px 中次数大于零的多项式，
如果在 Px 中，f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域
F上不可约。若 f x 除平凡因式外，在 Px 中还有
解：利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
即有 x2 1 f x。
在Qx上 f x x2 1 x2 2 x 1 x 1 x2 2
在Rx上 f x x2 1 x2 2 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
若 p x f x ，又 p x 不可约。
由性质2， p x, f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
px gx.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 x
则 p x 必整除某个 fi x,1 i s.
二、因式分解
fs x.
问题： f x Px, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1：Px 中任一个nn 0 次多项式 f x
都可以分解成 Px 中不可约多项式的乘积。
证（归纳法）： n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
2、若 f x 可约，f x g x h x g n, h n.
由假设知 g x, h x 均可分解为不可约多项式的乘积。
问题：多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积
是否唯一？
若 f x p1 x p2 x pr x, 取 c1c2 cr 1.
不可约多项式的和仍是不可约多项式
不可约多项式的和仍是不可约多项式不可约多项式的和仍然是不可约多项式，这是多项式理论中的一个重要性质。
在这篇文章中，我们将解释什么是不可约多项式，为什么它们的和仍然是不可约的，并提供一些具体的示例来说明这个结论。
首先，我们需要明确什么是多项式和什么是不可约多项式。
一个多项式是由常数项、一次项、二次项等有限项的代数和构成的数学表达式。
每个项由一个系数乘以一个变量的幂次。
例如，多项式P(x)=2x^3-3x+1就是一个多项式，其中2、-3和1是系数，x^3、x和1是项，3、1和0是幂次。
不可约多项式是指不能再被其他多项式整除的多项式。
换句话说，如果一个多项式P(x)不可以被另一个多项式Q(x)整除，那么P(x)就是一个不可约多项式。
例如，多项式P(x)=x^2-3x+2是不可约的，因为它不能被任何其他一次或更低次数的多项式整除。
现在我们来证明不可约多项式的和仍然是不可约的。
假设P(x)和Q(x)是两个不可约多项式，我们要证明它们的和P(x)+Q(x)仍然是不可约的。
为了证明这个结论，我们使用反证法。
假设P(x)+Q(x)是可约的，则存在一个多项式R(x)使得P(x)+Q(x)=R(x)，其中R(x)不是常数。
由于P(x)和Q(x)是不可约的，我们可以假设R(x)的次数大于等于P(x)和Q(x)的次数，即deg(R) ≥ deg(P)、deg(R) ≥ deg(Q)。
然后，我们可以将P(x)和Q(x)表示为如下形式：P(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，Q(x) = b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0。
其中a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0是P(x)的系数，b_m、b_{m-1}、...、b_1、b_0是Q(x)的系数。
根据多项式的加法，我们有P(x)+Q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0+b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0=R(x)。
有理数域上多项式不可约的判定论文
有理数域上多项式不可约的判定论文毕业设计(论文)有理数域上多项式不可约的判定系别：数学与物理系专业（班级）：数学与应用数学2012级2班作者（学号）：赵伟（51205012006）指导教师：刘晓敏（讲师）完成日期： 2016年4月22日蚌埠学院教务处制目 录中文摘要 ........................................................................ 1 英文摘要 (2)1 引言 (3)1.1 本课题的作用,意义 (3)1.2 国内外的发展趋向和发展趋势以及尚待研究的问题 ........................ 3 2 有理数域上的多项式 (4)2.1 不可约多项式的概念 (4)2.2 本原多项式 (4)2.3 有理数域上多项式的等价 ................................................... 5 3 有理数域上多项式不可约的判别方法 . (6)3.1 有理根判别法 (6)3.2 因式分解唯一性判别方法 (6)3.3 艾森斯坦因(Eisenstein)判别法及推广 (7)3.3.1艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法 (7)3.3.2艾森斯坦因(Eisenstein)间接判法 (8)3.3.3通过艾森斯坦因(Eisenstein)判别法派生出的一种判别法 (9)3.3.4艾森斯坦因判别法的推广 (11)3.4 反证法 (11)3.5 克朗奈克判别法 (12)3.6 综合法 .................................................................... 13 4 其他特殊多项式不可约的判别方法 . (14)4.1 奇次多项式的判定方法 ................................................... 14 4.2 形如2ax bx c ++的判定方法 ............................................ 14 5 结论 ....................................................................... 16 谢辞 ........................................................................... 17 参考文献 . (18)有理数域上多项式不可约的判定摘要:对于判断有理数域上的不可约多项式的问题,最终都等价地转化为判断整数域上不可约多项式的问题.对于判断整系数不可约多项式,有经典的艾森斯坦因判别法,但这个判别法只是判别多项式不可约的一个充分条件,这就限制了它的使用范围,同时还存在着大量的多项式不能用艾森斯坦因判别法判别.本文主要把前人研究整系数不可约多项式所得的成果进行总结和归纳,在此基础上做了一些研究和探讨，给出了有理根判别法、反证法以及克朗奈克等判别方法,拓宽了判别多项式不可约的范围，同时使多项式不可约的判定更加系统化.关键词:有理数域;多项式;不可约;判别法The Judgement of Irreducible Polynomials onRational FieldAbstract:For judgment irreducible rational polynomial problem domain,eventually equivalently transformed into irreducible polynomials judgment on the issueinteger field for the entire judgment coefficient irreducible classic Eisensteindiscrimination law, but this discrimination discrimination law is a sufficientcondition for a polynomial irreducible, which limits the scope of its use, butthere are still a lot of discrimination because of polynomial method can notdistinguish by Eisenstein. in this paper, the whole previous studies irreduciblepolynomial coefficients obtained review and summarize achievements, on thisbasis, do some research and discussion, given the rational root discriminationlaw, as well as discrimination method reductio ad absurdum kroner Naik et al.,to broaden the scope of discrimination irreducible polynomial, while thepolynomials Irreducibility more systematic.Key words:Rational Field; polynomial; irreducible; discrimination law1 引言1.1 本课题的作用,意义随着经济的不断深入发展,以及改革开放带来的机遇与挑战,当代社会迎来一个快速发展的机遇.在互联网大数据的时代背景下,数字在人们工作和学习中扮演着重要的角色.在多项式中又以其不可约的判定方式最为重要.然而一个多项式在数系定义在不同的不同数域情况下得到的有关可约性的性质是有差异的(在后文中会给出相关的介绍).本课题在探讨多项式可约性的的判定方式时,是放在有理数域上进行研究的.我们将探讨总结几种定义判定方式,使我们更好地更迅速地解决遇到有关多项式的问题.1.2 国内外的发展趋向和发展趋势以及尚待研究的问题艾森斯坦因法,有理根判别法,奇次多项式判别法等等都可为判定定义在有理数域上的多项式是否可约.其中艾森斯坦因判别法最为经典.但是国内外研究发现,艾森斯坦因判别法,有着自身不足的地方,当满足判别法的质数p不存在时,我们不能判断这个多项式是否可约.这时须要我们总结更多的关于多项式在有理数域上不可约的判定方法.需要通过我们归纳总结以后,得到一个较为全面的解决多项式不可约的方法,使得在理数域上多项式不可约的判定更加系统化.在遇到特殊的有理数系上的不可约多项式时,可以找到对应的判定方法快捷准确滴解决多项式不可约的判定问题.2 有理数域上的多项式在介绍和总结多项式在有理数域上不可约的相关判别方式之前,我们需要先了解一下相关概念等知识.2.1 不可约多项式的概念过去我们都知道一个多项式可进行因式分解,即分解成几个因式乘积的形式,其实我们仅仅是在有理数域上考虑这个多项式是否能进行因式分解,却并没有进一步讨论和研究这个问题,也没有严格地讨论和证明它们是否真的不可再分.其实不可再分的概念,是相对的,是相对于系数的的数域而言的,并非绝对.用以下例子加以说明对94-x 进行分解,可分解为 )3)(3(9224+-=-x x x正如上面所说的那样,我们考虑94-x 这个多项式所在的数系仅仅是而是有理数域,但是若是将94-x 放在实数域上,则还可以因式分解为为)3)(3)(3924-++=-x x x x （并且在复数域上,还可以再进一步因式分解为)3)(3)(3)(3(94+-+-=-x x i x i x x由上述分析可以得出结论,必须在给定的数域进行分析,所谓的不可再分只是相对的的,只有明确系数域后,才有确切的涵义.所以多项式是否可约与数域紧密相关.将数域p 作为选定一个系数域,][x p 作为多项环,则关于多项环][x p 在数域p 上的多项式的因式分解的不可约定义如下:定义[]1数域p 上的次数大于或等于1的多项式)(x p 称为域)(x p 上的不可约多项式,如果它不能表示成数域p 上两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.2.2 本原多项式设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是有理数域上的一个多项式,取一整数b ,前提条件是()x bf 总是一个系数为整数的多项式式,若()x bf 的每一项系数都有公因子,那么公因子可以提出来,得到()()x cg x bf =,也就是()()x g bc x f =,其中()x g 是有理数域上的一整系数多项式,而且()x g 的每一项系数都只有1±这样的公约数,例如一多项式()x x x x x x 3155152522322424--=--.定义[]22 若一个系数非0且为整数的多项式()011a x a x a x f n n n n +++=-- ,该多项式的系数01,,,a a a n n -除了1±没有其他的公因子,即该多项式的所有系数都是互质的,则该多项式被称作为一个本原多项式.2.3 有理数域上多项式的等价设()x f 是有理数域上的任意一个非0的有理系数多项式,通过上述分析可知,()x f 都可以写成()()x cg x f =,其中c 为有理数域上任意一个数,()g x 是一个本原多项式，那么称()x f 与()g x 等价,即讨论有理数域上任意一个系数非0的多项式()x f 的问题最终都等价地转换为讨论该多项式的一个本原多项式的问题.3 有理数域上多项式不可约的判别方法3.1 有理根判别法利用是否有有理根的判别方式判定多项式在有理数域上不可约其实很简单,其前提条件是针对次数小于或者等于三次的多项式.有理根判别法顾名思义只需验证该多项式是否有有理根,如果有有理根,则在有理数域上可约.例1 判别多项式()227f x x x =++在Q 上不可约.解 ()x f 的最高次项的次数是2,所以可以运用有理根判别法.由有理根判别法,若)(x f 可约,则一定有有理根,又)(x f 的可能有理根是:士1,士7.因为()01≠±f ,()07≠±f ,所以士1、士7均不是)(x f 的有理根,故)(x f 在有Q 上不可约.例[]32 证明()107-1919223x x x x f +-=在有理数域上不可约.解 ()x f 的最高次项的次数是3,所以可以运用有理根判别法.又士1、士107是()x f 可能存在的有理根,而()01≠±f ，()0107≠±f ，所以士1、士107都不是()x f 的有理根,故()x f 在Q 上不可约.当然有理数域上多项式的次数大于3，不能用上述判定方式.例2 设()x f 是有理数域上的一个多项式,()14424++=x x x f ,试证明()x f 在有Q 上不可约.解 我们通过前面关于有理根的相关分析和研究,知道士1、士4是()x f 可能存在的有理根,但是()01≠±f ，()04≠±f .所以运用有理根判别法,我们会得出()14424++=x x x f 在Q 上是不可约的结论.但是()x f 是有理数域上可约的多项式,因为()()2212+=x x f .因此针对次数大于或者等于4的整系数多项式,有理根判别法不适用,这就需要给出其他的判别方法进行判定. 3.2因式分解唯一性判别方法定理[]41.3 因式分解的唯一性定理定理 数域p 上每一个次数1≥的多项式()x f 都可以唯一地分解成数域p 上一些不可约多项式的乘积.把多项式分解成实数域上次数比它小的几个不可约的因式乘积的形式,而将有理数域看做成实数域上的一部分.如果该多项式不可约的因式全都是有理数,由因式分解的唯一性定理确定了关于该多项式的不可约因式是唯一的的,可以得知,该多项式在Q 上必然可约.例4 证明441x +在有理数域上不可约.解 ()()1212214224+-++=+x x x x x ，结合因式分解的唯一性定理可以知道,若144+x 在有理数域上具有可约性,必须是该等式,但由于上述等式右边系数不都是有理数,故144+x 在有理数域上不可约.例5 证明425x -在有理数域上不可约.解 )(42255x x x x -=+,结合因式分解的唯一性定理可以知道,若254-x 在有理数域上具有可约性,必须该等式,但由于上述等式右边系数不都是有理数,故254-x 在有理数域上不可约.3.3 艾森斯坦因(Eisenstein)判别法及推广3.3.1 艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法定理[]52.3 设()1110...n n n n f x a x a x a x a --=++++是一个整系数多项式,若有一个素数p 使得(1)p 不整除最高次项的系数n a ; (2)p 整除其他各项的系数; (3)2p 不整除常数项0a .那么多项式()f x 在有理数域上不可约.证明 反证法 假设)(x f 是有理数域上的一个非0的多项式,那么)(x f 就可以写成如下形式:)......)(......()(011011c x c x c b x b x b x f m m m m l l l l +++++=---- ),,(n m l n m l =+<所以m l n c b a =,000c b a =.()都为整数n n c b ,由0a 被p 整除,得到0b 或0c 能被p 整除.可是0a 不能被2p 整除,故0b 和0c 不能被p 同时整除.所以不妨假设0b 不能被p 能整除,但0c 不能被p 整除.另一方面,因为n a 不能被p 不整除,所以l b 不能被p 整除,假定0b ,1b ,……,l b 中首先不能被p 整除的是k b .比较一下)(x f 中k x 的系数,得出等式k k k k c b c b c b a 0110......+++=-式中p 能整除k a ,1-k b ,……o b ,故p 必须整除0c b k .可是p 是一个质数,故p 至少能整除k b 与0c 中一个.这是与前面所述矛盾.所以)(x f 在有理数域上是不可约.例6 证明()663++=x x x f n 在Q 上不可约. 证明 若取6=p ,则有: （1）3=n a 不能被p 整除;（2）0......221====--a a a n n ,61=a ,60=a 可以被p 整除; （3）60=a 不能被2p 整除.故)(x f 在有理数域上不可约.例7 在任意的n 情况下,证明3+n x 在有理数域上不可约. 解 取3=p ,则有: (1) 1=n a 不能被p 整除;(2) 0......221====--a a a n n ，01=a ，20=a 不能被p 整除; (3) 30=a 不能被2p 整除. 故()3+=n x x f 在有理数域上不可约.3.3.2艾森斯坦因(Eisenstein)间接判别法有一类Q 上的多项式不适合用艾森斯坦来判别,因为有些p 并不能满足定理的条件,所以想到多项式的等价替换,我们可以尝试对其做适当替换,给出艾森斯坦因间接判别法.定理[]63.3 有理系数多项式)(x f 在有理数域上不可约的充分必要条件是：对于任意有理数0≠a 和b ,多项式)()(b ax f x g +=在有理数域上不可约.证明 (充分性) 反证法.已知)()(b ax f x g +=在Q 上不可约.若)(x f 在Q 上可约,那么可以设)()()(21x f x f x f =,（)()(21x f x f 为Q 上多项式),于是)()()()(21b ax f b ax f b ax f x g ++=+=,这与)(x g 不可约矛盾,故)(x f 在有理数域上不可约.(必要性) 反证法.已知)(x f 不可约.如果在Q 上)(x g 可约,即)()()()(21x g x g b ax f x g =+=（)()(21x g x g 是Q 上多项式.） 在上式中用abx a -1代替x ，有)1()1()(21a bx a g a b x a g x f --=,这说明在有理数域上)(x f 是可约的,与已给条件矛盾.所以)(x g 在Q 上不可约.所以对于一些在有理数域上的多项式,当不能直接用艾森斯坦因判别方式判定该多项式可约性时,可通过适当的替换b ay x +=后,再用艾森斯坦因判别方式来判断.例8 证明()24+=x x f 在有理数域上不可约.证明 ()()34642112344++++=++=+x x x x x x f取3=p ,则有1不被p 整除,4,6,3能被p 整除1,4,6,3不被2p 整除.这些都符合前面给出的艾森斯坦因判定方式的几个条件，故通过前面的分析我们可得出结论()()34642112344++++=++=+x x x x x x f 在有理数域上不可约,故()24+=x x f 在有理数域上不可约.例9 证明()15245++=x x x f 在有理数域不可约.证明 令5=p ,24=a ,显然1p ≠,倘若()f x 在Q 上不可约,则没有有理根,令1x y =+,代入()f x则()()1+=x f y g ()()115240151452353254155++++++++=y y C y C y C y C y C y30125120240120242345+++++=y y y y y由于(1) 5整除120,240,125,3; (2) 5不整除24; (3) 2552即不整除30故由艾森斯坦因间接判别方式可以证明出()g y 在有理数域上不可约,故()f x 在有理数域上不可约.艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法和间接判别法是判定多项式在Q 上非常常用的方法,但是,这种方法是有局限性的,因为不一定每次都能找到适合的数字p ,a ,b ,使得)()(b ax f x g +=成立,故我们给出如下的一种判别式.3.3.3 通过艾森斯坦因(Eisenstein)判别法派生出的一种判别法定理[]74.3 设有理数域上()1110...n n n n f x a x a x a x a --=++++是一个整系数多项式.若存在一个质数p ,使得(1)p 不整除常数项0a ; (2)p 整除其他各项的系数; (3)2p 不整除最高次项系数n a . 则()f x 在有理数域上不可约.证明 若)(x f 可约,那么)(x f 可以写成:)()()(x h x g x f =.设k k x b x b x b b x g ++++=......)(2210l l x c x c x c c x f ++++=......)(2210 其中 n l k n l n k =+<<,,. 于是 000,c b a c b a l k n ==.因n a p ,而n a 不能被2p 整除.k b 和l c 其中的一个能被p 整除.可以假设k b 能被p 整除而l c 不能被p 整除.可以说)(x g 的所有系数不能被p 整除,否则会与 (1)矛盾.设p 不能整除)(x g 的最后一个系数为s b )(k s <.参考等式011......c b c b c b a l s l s l s l s +-+++++= 通过假设l s s l s b b a p +++,......,,1 )1(≥l 因此l s c b p ,从而s b p ,或l c p ,这与假设矛盾.例10 证明()261293345++++=x x x x x f 在有理数域上不可约.证明 不可以用艾森斯坦因(Eisenstein)来判定()x f ,因为无法找到一个质数p 使得(1) 最高次项的系数被p 整除; (2) 其他各项的系数都能被p 整除; (3) 常数项不被2p 整除.三个条件都满足.但存在质数3=p ,满足(1) 2不能被3整除; (2) 3,9,12,6能被3整除; (3) 3不能被23整除. 故)(x f 在有理数域上不可约.例11 证明()466123346++++=x x x x x f 在有理数域上不可约. 证明 不可以用艾森斯坦因判别方式,因为无法找到一个质数p 使得 (1) 最高次项的系数被p 整除; (2) 其他各项的系数都能被p 整除; (3) 常数项不被2p 整除.三个条件都满足.但存在质数3=p ,满足(1) 4不能被3整除; (2) 3,12,6能被3 整除; (3) 3不能被23整除. 故)(x f 在有理数域上不可约.一类特殊的多项式并满足用上述判定方式的判别条件,但是这类的多项式也可能是不可约的.同样的情况也适用于直接判别法和派生出的判别法.针对这类情况,引出艾森斯坦因(Eisenstein)推广法的推广.3.3.4艾森斯坦因判别法的推广定理[]84.3 设整系数多项式nn x a x a x a a x f ++++=......)(2210,假如有质数p 使得:(1) p 不能整除daj )0(n j <<;(2) p 整除dad a d a d a d a n j j ,......,,......,1110+-;(3) 2p 不能整除d ad a n ,0;(4) p 不能整除b d a j -,其中b 整除20daa n ,且20d a ab n ≠,),......,(10n a a a d =,故)(x f 在有理数域上不可约.例12 证明多项式20820)(35++=x x x f 在Q 上不可约.证明 因为4)20,0,0,8,0,20(),,,,,(012345===a a a a a a d ,取5=p ,则有:(1) 2483==d a 不能被5整除;(2) 542005===d a d a 被5整除,040124====d a d a d a 被5整除; (3) 542005===d a d a 不能被25整除; (4).5,1,2±±±=-b b b d a不能被25整除.故20820)(35++=x x x f 在Q 上不可约.上面的几种判别方式都有局限性的,下面我们将给出其他方法用于判定.3.4 反证法我们在没有找到艾森斯坦因判别法中质数p 时,经常运用反证法来证明.例13 证明()()()()121----=n b x b x b x x f 在Q 上不可约,其中11,,b b b n n -是n 个整数.证明 反证法,若多项式()f x 在Q 上可约,则一定存在系数为整数的多项式()x f 1,()x f 2,有()()()x f x f x f 21=.()()()()x f x f 010∂<∂,()()()()x f x f 020∂<∂,由()1-=i b f ,可得:()11=x f ,()12-=x f 或者()11-=x f ,()12=x f ,则()()x f x f 21+是等于0,()()x f x f 21-=,()()x f x f 21-=,此时()f x 首项系数为1-,与题设条件矛盾,故()f x 在Q 上不可约.3.5 克朗奈克判别法定理[]95.3 设()[]x Q x f ∈,则在有限步下()x f 能分解成不可约多项式的乘积 克朗奈克判别法.(只考虑()x f 是系数定义在整系数域上的多项式.)证明 令()[]x Z x f ∈,且n f =deg .下面对n 用第二数学归纳法证.当1=n 时定理显然成立.假设定理对于小于n 的整系数多项式已经成立).那么对于n 次整系数多项式()x f ,若()x f 可分解,设其为()()()x f x f x f 21=,则必有一个次数2n≤的因式,所以考虑在有限步下作出()x f 的次数2n≤的因式的方法.对此,设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2n s ,取1+s 个互不相同的整数n a a a ,,,10 并计算它们的函数值再将()i a f 析因,s i ,,1,0 =,各取其中的一个因数,记作()()()n a g a g a g ,,10.这样得到了1+s 个数对()s i a g a i i ,,1,0,, =.根据拉格朗日插值公式,它们唯一地确定了一个次数不超过s 的多项式()x g .因为()i a g 不全为0.显然它可以是整系数的.作出这样的多项式()x g 并用它去除()x f .由于()i a f 的因数个数是有限的,设它为i k ,那么这样的不同的()x g 至多是∏=ni i k 0个.因此上述所构造的()x g 及用()x g 除()x f 的步骤是有限的.若对于所有这样的()x g 都有()x g 不整除()x f 则断言()x f 是不可约的.因为若不然,则有()()()x q x h x f =,其中不妨设2deg nh ≤.这时,()i a h 整除()s i a f i ,,1,0, =,因而()x h 由n a a a ,,,10 ()i a f 的1+s 因数()()s i a h i ,,1,0 =唯一决定,与我们的假设相矛盾,故这时定理成立.又若有某个()x g 整除()x f ,则得()()()x l x g x f =,其中n l n g <≤deg ,deg .因而由归纳假定,也存在着一种方法(在一般情况下就是前面所述的求()x g 的方法).在有限步下把它们分解为不可约多项式的乘积,故这时定理也真.因此,根据第二归纳法原理,定理成立.显然,以上证明不仅给出了将次数大于1的整系数多项式分解为Q 上的不可约多项式的乘积的一般方法,而且这种做法包括了Q 上不可约多项式的判别.例14 证明()15+=x x f 在有理数域上不可约.证明 252<=s ,取1,0,1110==-=a a a ,则()01=-f ,()10=f ,()21=f ,从而()1-f 的因子是0,()0f 的因子是1()1f 的因子是1,2.令()01=-g ,()10=g ,()11=g ;()01=-g ;()10=g ()21=g应用插值多项式知:()()()()()()()()()()221011101101011021--=-+-++-+-++=x x x x x x x g ;()()()()()()()()()1011101210101102+=-+-++-+-++=x x x x x x g 由带余除法可知,()x g 1不整除()x f ,()x g 2不整除()x f ,从而()x f 在Q 上不可约.但是,由于这种做法比较麻烦,其实用价值依赖于计算机技术.3.6 综合法在遇到一些特殊的多项式时,如果发现用前面所给的一种方法判定较为复杂时,可以同时使用前面方法中的几种方法来判定多项式不可约的问题.例15 证明()144++=kx x x f 在有理数域上不可约.证明 ()x f 的有理根只有两个,分别是1-和1+，但是()01≠±f ,所以()x f 没有一次因式,所以若()x f 可约,则()x f 只能表示成两个因式乘积的形式.令()()()1122-+-+=bx x ax x x f ,其中a 和b 都为整数. ()()()12234+++++++=x b a x ab x b a x比较等式两边的系数,得0=+b a ,02=+ab ,k b a 4=+.即22=a ,则2±=a ,与a 为整数矛盾.故()x f 在有理数域上不可约.4 其他特殊多项式不可约的判别方法4.1 奇次多项式的判定方法定理[]101.4 对于整系数多项式()2122212210...n n n n f x a x a x a x a x a ++=+++++若存在素数p 使(1) p |122...,,,;n n n a a a ++(2) 2p |01...,,,;n a a a(3) p 21n a +；(4)3p 0a .那么,()f x 在有理数域上不可约.例16 证明()61647323+++=x x x x f 在有理数域上不可约.证明 不可以用艾森斯坦因(Eisenstein)来判定()x f 在有理数域上是否可约,因为无法找到一个质数p 使得(1) 最高次项的系数被p 整除; (2) 其他各项的系数都能被p 整除; (3) 常数项不被2p 整除三个条件都满足. 但可找到素数2p =,满足定理4.1的四个条件,(1) 4能被2整除;(2) 16能被2整除,6能被2整除; (3) 73不能被2整除; (4) 6不能被32整除.故()61647323+++=x x x x f 在有理数域上不可约.需要注意的是奇次的判定方法有局限性,而不是必要条件.当某一多项式不适合上述判定法时,我们需要转换其他的判定法进行可约性验证.4.2 形如2ax bx c ++的判定方法有一些多项式很特别,我们可以不用前面介绍的判定法,就可以对这类多项式在有理数域上的可约性进行快速判定.给出下面一种判定方式,更简单地更快速地判定一类定义在Q 上多项式不可约的相关问题定理[]112.4 对于整系数多项式2()f x ax bx c =++,如果abc 为奇数,则()f x 在有理数域上不可约.证明 假设()f x 可约,则存在整数1122,,,a b a b ,使得1122()()()f x a x b a x b =++212122112()a a x a b a b x b b =+++即有 12122112,,a a a b a b a b c b b ==+=由abc 为奇数,可得,,,a b c 为奇数故1122,,,a b a b 为奇数从而1221,a b a b 为奇数,进而1221a b a b +为偶数,这与1221b a b a b =+为奇数矛盾.得证.例17 证明()3532++=x x x f 在Q 上不可约.证明 因3=a ,5=b ,3=c ,45353=**=abc 为奇数,故()3532++=x x x f 在有理数域上不可约.当abc 的乘积不为奇数的时候,不能用这种方式判定多项式在Q 上可约性. 例18 证明多项式()722++=x x x f 在有理数域上不可约.解 1=a 2=b .由于1=a ,2=b ,7=c ,14721=**=abc ,14是偶数,故用上面给出的判定方法无法知道()x f 在有理数域上是否可约.其实很简单,运用前面给出的有理根判别方法,()x f 的最高次项的次数是2，所以可以运用有理根判别法.由有理根判别法,若)(x f 可约,则一定有有理根,又)(x f 的可能有理根是: -1、1、-7、7.因为()01≠±f ,()07≠±f ,所以-1、1、-7、7均不是)(x f 的有理根,故)(x f 在有理数域上不可约.5 结论对于系域定义在有理数域上的多项式,其不可约的判定方法有多种,本文给出了其中的几种判定方式.可是其中几种判别方式有着一些不足的地方.但是通过我们归纳总结以后,得到一个较为全面的解决多项式不可约的方式,几种判定方法之间形成互补关系,使得定义在有理数域上的多项式可约性的相关判定越发全面准确,在遇到特殊的定义在有理数域上的不可约多项式时,找到对应的判定方式，便于快捷准确地解决多项式不可约的判定问题.谢辞时光荏苒,美好的大学四年时间过得飞快,眼看着到了和母校说再见的时候,无论我在社会上去的怎样的成就,我都不会忘记我的母校,忘不了我生活了四年的母校——蚌埠学院.我十分感谢母校四年来对我的栽培,让我健康成长;四年来为我提供了优质的生活学习环境,为我们走入社会打下坚定地基础.再此我也向学校的领导和主任报以衷心的感谢,感谢四年来你们对我们广大学子的关心,多次操心于开展各种活动促进我们德智体美全面发展,再次我想说你们辛苦了!其次,特别感谢我的指导刘晓敏老师.在毕业论文的设计的过程中,她渊博的知识开阔了我的视野,在此我表示衷心的感谢感谢的敬意!当然还要感谢被我作为参考文献的这些作者们,谢谢你们,让我丰富了自己的知识,让我更好更快的完成这篇论文,谢谢你们!此时,更不应忘记的还有我的父母,是他们含辛茹苦将我培养成才,是他们无微不至的关心使我顺利完成了学业.衷心祝福他们健康!参考文献[1] 乔世东.多项式在有理数域上不可约的几种证明[J].雁北师院学报,1996,12(6):31-32.[2] 王骁力,夏云青.利用同态关系讨论有理数域上多项式的可约性判定[J].中州大学学报,2010,27(3):99-102.[3] 陈林,田应智.有理数域上的不可约多项式[J].伊犁师范学院学报,自然科学版,2009,(2):13-16.[4]张卫,史滋福.有理数域上的一类不可约多项式[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2008,21(1):5-7.[5] 陈丽. 有理数域上多项式不可约的判定[J]. 安庆师范学院学报: 自然科学版,2009,15(3): 80-82.[6]刘中良.有理数域上多项式不可约的判定[J].科技信息,2009,(1):77-79.[7] 黄宗文.有理数域上整系数奇次多项式不可约的一个判别法[J].广西教育学院学报,2002,(4): 77-79.[8] 兰春霞.整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理[J]..丽水学院学报,2005,27(2):13-14.[9]巩娟.整系数多项式在有理数域上不可约判别法[J].遼寧師專學報(自然科學版).2009,11(3): 36-44.[10] 马正义.整系数多项式在有理数域上的不可约性[J].丽水师范专科学校学报,2002,24(5):12-13.[11]Franois Anton,Darka Mioc,Marcelo Santos.Exact Computation of the Topologyand Geometric Invariants of the Voronoi Diagram of Spheres in 3D[J] .Journal of Computer Science & Technology, 2013,12(9): 83-86.。
有限域上的不可约多项式
有限域上的不可约多项式你有没有想过，数学其实也能像解谜一样有趣？我们今天来聊聊一个特别的数学宝贝——有限域上的不可约多项式。
别被这个名字吓到，听起来像是要去攻占数学的城堡，其实它就像是一个好玩的谜题，一点也不难，只要你细细琢磨，绝对能捉摸出其中的奥秘。
让我们搞清楚什么是“有限域”吧。
这个“有限”可不是说它一无所有，恰恰相反，它就是有一堆数不过来的元素，但是这个元素的个数是有限的，像一个小小的、有边界的世界。
举个简单的例子，假如我们在一个有限的世界里，只能用0 和1 来做加减乘除，那我们就有了一个很简单的有限域——二进制。
你是不是开始觉得有点意思了？而在这个小世界里，有限的数就能用来做很多有趣的事情，比如加法、乘法，甚至还可以定义一些神奇的运算。
好啦，那不可约多项式又是啥呢？就像它的名字一样，这种多项式可是“无敌”的存在，它没办法被拆解成更小、更简单的东西。
就好比你面前的一块巧克力，你想分成两半，但发现它硬是没法分裂开来，因为它是“不可约”的！在有限域里，找出不可约多项式就像在寻找那些顽强的小精灵，它们不容易被分解，但却能够带给我们极大的帮助。
不可约多项式就像是一个小小的魔法钥匙，能够帮助我们在有限的数字世界里解锁更复杂的谜题。
想象一下，你拿到一个多项式，可能它看起来很复杂，好像就要崩溃一样。
你开始怀疑自己是不是走错了门，但别急，先试着把它分解一下。
一个普通的多项式，你可能能找到它的因子，把它拆开来，好像拆掉了一个“盔甲”，然后里面的部分就暴露出来了。
但对于不可约多项式，它就像是铁打的“心脏”，你无论怎么捣鼓，它都不屈不挠地坚挺着。
这种特性在很多地方都能派上用场，比如在密码学里，用不可约多项式做出的“加密算法”就能够保护我们的信息安全，简直是数字世界中的超级英雄。
有限域上的不可约多项式并不是随便就能找到的。
想要找出它们，你得有点“眼力”。
这种多项式通常不是一眼就能看出来的，它们隐藏在一堆看似普通的多项式中，好像藏在一堆草丛里的小猫咪。
不可约多项式的一个应用
复数域上的不可约多项式
复数域上的不可约多项式
不可约多项式是指在复数域上的多项式，它不能被分解为两个或多个复数域上的多项式的
乘积。
它们是复数域上的最基本的多项式，它们的系数可以是任意复数，而不仅仅是实数。
不可约多项式的最基本的例子是一元多项式，它可以表示为：
P(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + ... + a_nz^n
其中，a_0，a_1，a_2，...，a_n是复数，z是复数变量。
不可约多项式的应用非常广泛，它们可以用来描述复数域上的函数，例如，可以用不可约
多项式来描述复数域上的椭圆函数，也可以用不可约多项式来描述复数域上的指数函数。
此外，不可约多项式还可以用来描述复数域上的复数函数，例如，可以用不可约多项式来
描述复数域上的正弦函数和余弦函数。
不可约多项式也可以用来描述复数域上的线性系统，例如，可以用不可约多项式来描述复
数域上的线性方程组。
此外，不可约多项式还可以用来描述复数域上的矩阵，例如，可以
用不可约多项式来描述复数域上的矩阵的特征值和特征向量。
不可约多项式也可以用来描述复数域上的概率分布，例如，可以用不可约多项式来描述复
数域上的正态分布。
此外，不可约多项式还可以用来描述复数域上的统计模型，例如，可
以用不可约多项式来描述复数域上的回归模型。
总之，不可约多项式在复数域上具有重要的应用，它们可以用来描述复数域上的函数、线性系统、矩阵、概率分布和统计模型等。
因此，不可约多项式在复数域上具有重要的理论
意义和实际应用价值。
2019年最新-Definition2不可约多项式pk重因式...-精选文档
EXAMPLE 2. 求 t 的值，使 f ( x ) x 3 3 x 2 tx 1 有重根。
解： f (x) 3x2 6x t; 对f (x), f (x)用辗转相除法，得 当t 3时，有三重根； 当t 15 时，有二重根。
4
思考题
1）多项式f(x)有重因式与多
• 一个n次多项式的微商是一个n-1阶多 项式;它的n阶微商是一个常数,n+1阶 微商等于0.
• THEOREM2.如果不可约多项式p(x)是 f(x)的k重因式(k≥1),那么它是微商
的 k-1重因式.
推理:如果不可约多项式p(x)是f(x)的k
重因式(k≥1),那么p(x)是
f(x) , ,f(k 1 )(x)
的因式,但不是f(k)(x)的因式.
推理 2 : 不可约多项式 p ( x )是 f ( x )的重因
式的充分必要条件为
p ( x)是 f ( x)与 f ( x)
的公因式 .
证明 : 必要性 , 若 p ( x )是 f ( x )的重因式，必是
f ( x )的因式 , 故 p ( x )是 f ( x )与 f ( x )的公因式 .
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
不可约多项式的概念和性质优选PPT
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述.
若多项式 Fx有一个非平凡因式 gx 而 fxgxhx，那么gx与 hx 的次数显然都
小于 f x 的次数.反之，若 f x能写成两个这样的多
项式的乘积，那么 f x 有非平凡因式.因此我们可
以说：
如果 Fx 的一个 nn0次多项式能够分解成Fx 中
两个次数都小于n的多项式 gx与 hx的积：
a 2
成F [x]的不可约多项式的乘积.
继续下去. 在这一分解过程中，因式的个数逐渐增多，
而每一因式的次数都大于零，但 f ( x ) 最多能分解成 n
个次数大于零的多项式的乗积，所以这种分解过程 作了有限次后必然终止. 于是我们得到
f(x )p 1 (x )p 2(x ) p r(x ),
其中每一 p i ( x ) 都是 F ( x ) 的不可约多项式.
一、不可约多项式的概念和性质 二、唯一因式分解定理
一、不可约多项式的概念和性质
若 cF且 c0，则 c , c f ( x ) 总是 f ( x ) 的因式，叫
作它的平凡因式.
定义
令f x 是 Fx 的一个次数大于零的多项式.若是 f x 在 Fx 中只有平凡因式，f x 就说是在数域F上（或 在 Fx 中）不可约.若 f x除平凡因式外，在 Fx中 还有其它因式，f x 就说是在F上（或在Fx 中）可
定理 2.4.2
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
f x p 1 x p 2 x p r x q 1 x q 2 x q s x ,
此处 都是
Fp (i x )x 的 与 不q 可j( x 约) 多( i 项 式1 , 2 ., 那 么,r , r j s，1 , 2 并, 且, 适s ) 当
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译irreducible polynomial
Let f(x) = f1(x)l1…fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi(x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni.
f(x)=f_1(x)~l1…f_k(x)~lk是f(x)在多项式环F[x]中的标准分解式,f_i(x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式.
In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n, r(x)∈Z_n[x] and r(x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n.
设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r(x)∈Z_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。
From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp.
由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码,其中本原基本不可约多项式hm(x)是指
hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp[x]中的本原多项式.
As a matter of fact, the method starts from Z_2, and there is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+1). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+1) is a Finite Fields.
这一方法实质上是从Z_2出发,以Z_2上的一个不可约多项式
x~2+x+1为生成元做一个主理想(x~2+x+1),然后由近世代数的理论知
Z_2[x]/(x~2+x+1)是一个有限域,从而得到了GF(4)。
Irreducible Polynomial of Integral Coefficient
关于整系数不可约多项式
prime polynomial
This paper directly proves that a prime polynomial has the radical solutionsover a finite field.
直接证明了有限域上的不可约多项式有根号解
“不可约多项式”译为未确定词的双语例句
We give a definition for n is Generalized Carmichael Number of order k modulo r(x) and denote this by n∈C_(k,r(x)). So we give another definition: C_k={UC_(k,r(x))|r(x) are all monic irreducible polynomials of degree k (k>0) over Z_n}.
本文引入n是k阶摸r(x)的Carmichael数的定义,全体这样的数记为集C_(k,r)(x),由此给出k阶Carmichael数集:C_k={∪C_(k,r)(x)|r(x)过
全体Z_n上的首一k次不可约多项式}。
The Irreducible Polynomials over Finite Fields
有限域上的不可约多项式
In chapter 1, we suppose n is a compos-ite, Zn is residue class ring mod n, r(x) ∈Z_n[x] is a monic irreducible polynomialof degree k(k > 0).
在第一章中, 设n 是一个合数, Zn 表示模n 的剩余类环,r(x) ∈
Z_n[x] 是一个首一的k 次(k > 0) 不可约多项式.
We give a construction of perfect nonlinear mappings using generalized bent functions and irreducible polynomials over the finite field Z p.
在分组密码中 ,为了抗差分攻击 ,需要完美非线性映射 . 利用有限域 Zp上的广义 Bent函数和不可约多项式 ,给出了完美非线性映射的一类构造 .
To simplify reduction modulo, special polynomials are used to generate finite field GF(2m), such as AOP (all one polynomials) and trinomials.
为了简化模不可约多项式f(x)运算,采用特殊多项式
AOP(allonepolynomials)和三项式,产生有限域GF(2m)。