具有消费习惯的随机内生经济增长模型
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& ＝－ （１－ ｘ ） （ａ－ ｓ）２（２－ %） ｄ"２ ｃ ２（１－ %）２"４ 当 %＜２ 时 ， & ２ ＜０ ； 当 %＞２ 时 ， & ２ ＞０ 。因此当消费的跨 ｄ" ｄ"
时替代弹性较小时 ， 收入波动越大 ， 经济增长率越低 ； 当消费 的跨时替代弹性较大时 ， 收入波动越大 ， 经济增长率越大。 但 是由于习惯形成的存在 ， 将会降低收入的不确定性对经济增 长率的影响。
－１ "
２
静态分析 命题 １ 对应于上面问题的最优条件为
（ｃ－ ｘ）"－ １＝（ＪＷ－ $Ｊｘ）
２ ２
（ １０ ）
费 ， 将减少当前的效用水平。 方程 （４）中的习惯形 ｘ（ｔ）成由下式确定
ｔ
ｘ（ｔ）＝#
０
!ｅ
－ $（ｔ－ ｓ）
ｃ（ｓ）ｄｓ
（ ５）
该习惯积累方程在 １９９２ 年 Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ 用到过 ， $ 代表过去 消费的相对权重 ， $ 越 大 ， 决 定 ｘ（ｔ）过 去 消 费 的 权 重 越 小 。 很 显然 ｘ（ｔ）并不是完全外生的 ， 它依赖于过去的消费水平 ， 其动 态变化方程为
３
动态分析 下面考虑消费水平 ｃ ， 要分析其的动态变化情况 ， 重点是
ｓ ｘ（ｔ） $（ｃ－ ｘ） ｄ Ｗ（ｔ）－ ＝ ［（ａ－ ｓ）ｗ＋ｓ］Ｗ－ ｃ－ ｄｔ＋"ｗＷｄｚ （ ２５ ） ｓ ｓ 命题 ３ 均衡时的经济增长率为 ｄｃ ＝（ｎ＋$）（１－ ｘ ）ｄｔ＋（１－ ｘ ） ａ－ ｓ ｄｚ （ ２６ ） ｃ ｃ ｃ （１－ !）" 证明 ： 将 （１４）、 （１５）得到的最优消费水平和投资风险资产 的最优份额代入 （２５）式 ， 整理得到 ｘ（ｔ） ｘ ｎｄｔ＋ ａ－ ｓ ｄｚ （ ２７ ） ｄ Ｗ（ｔ）－ ＝ Ｗ－ ｓ ｓ （１－ !）" ｓ－ $ ＋ （ａ－ ｓ）２（２－ !） 其中 ， ｎ＝ ， 利用方程 （６）、 （１４）得到 １－ ! ２（１－ !）２"２ ｄｃ ＝（ｎ＋$）（１－ ｘ ）ｄｔ＋（１－ ｘ ） ａ－ ｓ ｄｚ ｃ ｃ ｃ （１－ !）"
从方程 （６）可以看到 ， ｘ（ｔ）为 局 部 非 随 机 的 ， 这 是 因 为 习 惯
ｘ（ｔ） ｃ＝ｘ（ｔ）＋ｕ Ｗ（ｔ）－ ｓ
"
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（ １４ ）
１４
统计与决策 ２００８ 年第 １０ 期 （ 总第 ２６２ 期 ）
理 论 新 探
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" ｓ ｒ－ ｓ!－ （ａ－ ｓ） ! " 其中 ， ｕ＝ ＞０ 。 ! ２" （１－ !） （ｓ＋#）（１－ !）
４
结论 本 文 在 Ｍｅｒｔｏｎ 模 型 的 基 础 上 ， 将 习 惯 形 成 纳 入 消 费 者
取特殊值法求得参数。 令 Ｗ＝０， 得
１－ ! （!－ ｋ ）１／（!－ １）ｋ １／（!－ １）－ ! （ａ－ ｓ）２ ＋ ! － １＝０ （ ２１ ） １ ０ ! !－ １ ２"２ ｋ１ 令 ｘ＝０， 得 １－ ! （!－ ｋ ）１／（!－ １）ｋ １／（!－ １）－ ! （ａ－ ｓ）２ ＋ｓ!－ ｒ＝０ （ ２２ ） １ ０ ! !－ １ ２"２ 由方程 （２１）、 （２２）可解得 （ ２３ ） ｋ１＝－ １／ｓ !－ １ （ ２４ ） ｋ０＝ ｓｕ （ｓ＋$）! ｓ）２! ｓ ｒ－ ｓ!－ （ａ－ 其中 ｕ＝ ＞０ 为常数 ， 最后利用 ２"２（１－ !） （ｓ＋$（１－ !）
２ ２
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（ １５ ）
由方程 （２６）可知 ， 经济增长率的平均值为 （ ２８ ） &＝Ｅ（ ｄｃ ）＝（ｎ＋$）（１－ ｘ ） ｃ ｃ 由 方 程 （２８）可 以 看 出 ， 当 消 费 者 关 心 消 费 习 惯 时 ， 将 会 使 期望经济增长放慢 ， 但由于 （１－ ｘ ） ａ－ ｓ ｄｚ 项 的 存 在 ， 即 由 ｃ （１－ %）" 于消费习惯的影响 ， 消费增长路径将变的更加光滑、 平稳。 通 过 方 程 （２８）， 将 我 们 得 到 的 经 济 增 长 率 平 均 值 对 收 入 的波动求导数 ， 得到收入波动对经济增长率的影响
理 论 新 探
具有消费习惯的随机内生经济增长模型
谭玉顺
（ 南京财经大学 应用数学系 ， 南京 ２１００４６ ）
摘
要 ： 文章在 Ｍｅｒｔｏｎ 模型的基础上 ， 将消费习惯形成 纳 入 消 费 者 的 效 用 函 数 ， 即 消 费 者 的 效
用不仅与当前的消费有关 ， 而且还依赖于消费者过去的消费水平。通过建立连续时间的随机内生增 长模型 ， 利用随机最优化方法 ， 分析了习惯形成对最优消费路径及最优投资组合的影响。 关键词 ： 习惯形成 ； 最优增长路径 ； 随机内生增长 中图分类号 ： Ｆ２２４．７ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １００２－ ６４８７ （ ２００８ ） １０－ ００１４－ ０２ 对消费者在过去消费信息的处理 ， 不可能随机的。
的效用函数， 建立消费与证券组合选择的增长模型， 利用随 机最优化方法 ， 分析了习惯形成对最优消费路径及最优投资 组合的影响。 一般情况下 ， 消费者关心消费习惯时 ， 消费者投 资在风险资产上的份额将会更小 ， 这样将降低期望经济增长 率 ， 但是此时的消费增长路径将变的更加光滑、 平稳 ； 当消费 的跨时替代弹性较小时 ， 收入波动越大 ， 经济增长率越低 ； 当 消费的跨时替代弹性较大时， 收入波动越大， 经济增长率越 大； 同时由于习惯形成的存在， 将会降低收入的冲击对经济 增长率的影响。该模型对传统的效用函数模型更全面 ， 更符 合实际 ， 能更好地指导决策者的消费与投资 ， 因此 ， 具有一定 的实用价值。
Ｖ（Ｗ，ｘ，ｔ）＝ｍａｘｃ，ｗＥ ｅ－ ｒｓ"－ １（ｃ－ ｘ）"ｄｓ
ｔ
!
（ ８）
受约束于 （３）、 （６）及给定的初始财富水平 Ｗ。引入现值的值函 数 ， 它定义为
∞
Ｊ（Ｗ，ｘ，ｔ）＝ｍａｘｃ，ｗＥ
ｔ
!" （ｃ－ ｘ） ｅ
－１
" － ｒ（ｓ－ ｔ）
ｄｓ＝ｅｒｔＶ（Ｗ，ｘ）
（ ９）
ｄＷ＝［ｓ（１－ ｗ）Ｗ＋ａｗＷ－ ｃ］ｄｔ＋ｗＷ! ｄｚ， 即 ｄＷ＝［（（ａ－ ｓ）ｗ＋ｓ）Ｗ＋ （ ３） ｃ］ｄｔ＋ｗＷ! ｄｚ 考虑到消费习惯 ｘ 对个人效用的影响 ， 设在时间时 刻 的
上。假设无风险资产的回报率为 ：
ｍａｘｃ，ｗＥ %－ １（ｃ－ ｘ）"ｅ－ ｒｔｄｔ
０
!
（ ７）
ｄＲＢ＝ｓｄｔ
风险资产的回报率为 ：
（ １）
为了求得该问题的解 ， 引入值函数
∞
（ ２） ｄＲ＝ａｄｔ＋!ｄｚ 其中 ｄｚ 为布朗运动 ｚ 的增量 ， ａ 与 ! 为大于 ０ 的常数。 假设消费者的总财富可以用来投资在风险资产与无风 险 资 产 上 ， 并 且 投 资 在 风 险 资 产 上 的 份 额 为 ｗ， 则 投 资 在 无 风险资产上的份额为 １－ ｗ， 这样消费者投资在 风 险 资 产 上 与 无风险资产的财富分别为 ｗＷ 与 （１－ ｗ）Ｗ， 假设消费者的消费 水平为 ｃ 。则消费者的预算约束为
效用函数为 （ ４） Ｕ（ｃ，ｘ）＝" （ｃ－ ｘ） 其中消费 ｃ 和习惯形成 ｘ 都是关于时间 的 函 数 ， 从 方 程 （４）可以看出 ， 消费者的效用不但依赖于当前的消费 ｃ（ｔ）， 而且 还依赖于习惯 ｘ（ｔ）。 假定 Ｕ（ｃ，ｘ）关于变量 ｃ（ｔ）与 ｘ（ｔ）是 ２ 次连续 可 微 的 ， 还 假 定 Ｕｃ＞０ ， 说 明 更 高 的 当 前 的 消 费 水 平 导 致 更 高 的效用水平 ， Ｕｘ＜０ ， 说明增加过去的消费而不改 变 现 在 的 消
ｔ
ＪＷ［（ａ－ ｓ）ｗ＋ｓ＋ｒ］＋ＪＷｘ$ （ｃ－ ｘ）＋ＪＷＷ［（（ａ－ ｓ）ｗ＋ｓ）Ｗ－ ｃ＋! ｗ Ｗ］＋ １ ２ ２ ２ （ ＪＷＷＷ! ｗ Ｗ＝０ １１ ） ２ ２ （ １２ ） （ａ－ ｓ）ＷＪＷ＋ｗＷ ! ＪＷＷ＝０ 证 明 ： 考 虑 到 方 程 （９）， 最 优 化 问 题 （７）等 价 于 极 大 化 下 面 的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ－ Ｊａｃｏｂｉ－ Ｂｅｌｌｍａｎ （ 简记为 ＨＪＢ） 方程 ０＝ｍａｘｃ，ｗ｛" － １ （（ｃ－ ｘ）" ＋Ｊ＇ （Ｗ）［（（ａ－ ｓ）ｗ＋ｓ）Ｗ－ ｃ］＋Ｊｘ［$ （ｃ－ ｘ）］＋ １ ２ （ １３ ） ｗ２Ｗ２!２Ｊ＇＇（Ｗ）－ ｒＪ｝ 对 该 ＨＪＢ 方 程 分 别 对 消 费 ｃ ， 财 富 Ｗ， 以 及 风 险 资 产 的 份额 ａ 求导即可以得到最优性条件 （１０）、 （１１）、 （１２）。 方程 （１０）体现了习惯形成对消费—资产组合投资选择的 影响 ， 在 Ｍｅｒｔｏｎ 模 型 中 消 费 的 边 际 效 用 等 于 财 富 的 边 际 效
证明 ： 由方程 （１０）得 （ １６ ） ｃ＝ｘ＋（ＪＷ－ $Ｊｘ）１／（%－ １） 由方程 （１２）得 （ａ－ ｓ）ＪＷ （ １７ ） ｗ＝ ２ " （－ Ｗ）ＪＷＷ 将与代入 ＨＪＢ 方程得到 １－ ! ［Ｊ － $Ｊ ］!／（!－ １）－ Ｊ２Ｗ （ａ－ ｓ）２ ＋（ｓＷ－ ｘ）Ｊ － ｒＪ＝０ （ １８ ） Ｗ ｘ Ｗ ＪＷＷ ２"２ ! 因效用函数中 ｃ 与 ｘ 为线性关系及效用 函 数 的 形 式 ， 可 知值函数为下面的形式 （ １９ ） Ｊ（Ｗ，ｘ）＝ｋ０（Ｗ＋ｋ１ｘ） 其中 ｋ０，ｋ１ 为待定参数 ， 将值函数 （１９）代入 （１８）得 １－ ! （!－ ｋ ）１／（!－ １）ｋ １／（!－ １）－ ! （ａ－ ｓ）２ ＋ （ｓＷ－ ｘ）! － ｒ＝０ （ ２０ ） １ ０ Ｗ＋ｋ１ｘ ! !－ １ ２"２ 由 于 方 程 （２０）对 于 一 切 非 负 未 知 数 均 成 立 ， 故 可 以 采 用
用 ， 但在本模型中消费的边际效用等于财富的边际效用减去
$ 倍的 ｘ（ｔ）的边际效用 ， 说明习惯对消费过程有重要的作用。 命题 ２ 上面问题的显示解 ， 即最优的消费路径和投资于
风险资产的最优份额为
ｄｘ／ｄｔ＝$ｃ（ｔ）－ $
２
０
!ｅ
－ $（ｔ－ ｓ）
* ＝$（ｃ－ ｘ） ｃ（ｓ）ｄｓ， 即 ｘ
（ ６）
考察方程 （１４）中的项 Ｗ（ｔ）－ ｘ（ｔ） ， 对其求微分得
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$
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"%
& %
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"
［１］Ｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｉｄｅ． ＧＭ． Ｈａｂｉｔ Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ：Ａ Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｑｕｉｔｙ Ｐｒｅｍｉｕｍ Ｐｕｚｚｌｅ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｏｌｉｔｉｃａｌ Ｅｃｏｎｏｍｙ，１９９０ ， （９８）． ［２］Ｓｕｎｄａｒｅｓａｎ Ｓ Ｍ． Ｉｎｔｅｒｔｅｍｐｏｒａｌｌｙ Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ａｎｄ Ｗｅａｌｔｈ ［Ｊ］． Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｉａｌ Ｓｔｕｄｉｅｓ ， １９８９ ， ２（１）． ［３］Ａｂｅｌ Ａ． Ａｓｓｅｔ Ｐｒｉｃｅｓ ｕｎｄｅｒ Ｈａｂｉｔ Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃａｔｃｈｉｎｇ ｕｐ ｗｉｔｈ Ｊｏｎｅｓｅｓ［Ｊ］． Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｒｅｖｉｅｗ，１９９０ ， （ ８０ ） ． ［４］Ｃｈｒｉｓｔｏｐｈｅｒ Ｄ．ｃａｒｒｏｌｌ，Ｊｏｄｙ Ｏｖｅｒｌａｎｄ ，Ｄａｖｉｄ Ｎ．Ｗｅｉｌ ， Ｓａｖｉｎｇ ａｎｄ Ｇｒｏｗｔｈ ｗｉｔｈ Ｈａｂｉｔ Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｒｅｖｉｅｗ， ２０００ ， （９０）． ［５］Ｊｏｏ Ｒｉｃａｒｄｏ Ｆａｒｉａ． Ｈａｂｉｔ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｎ ａ Ｍｏｎｅｔａｒｙ Ｇｒｏｗｔｈ Ｍｏｄｅｌ ［Ｊ］． Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ ， ２００１ ， （７３）． ［６］Ｍｅｔｏｎ Ｒ．Ｃ， Ｏｐｔｉｍａｌ Ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｒｕｌｅｓ ｉｎ ａ Ｃｏｎ－ ｔｉｎｕｏｕｓ Ｔｉｍｅ Ｍｏｄｅｌ ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ， １９７１ ， ３（４）． ［７］Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ．Ｊ． Ｏｐｔｉｍａｌ Ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｒｕｌｅｓ ｗｉｔｈ Ｉｎ－ ｔｅｒｔｅｍ－ Ｐｏｒａｌｌｙ Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｕｔｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅ－ ｃｏｎｏｍｉｃ Ｄｙｎａｍｉｃｅｓ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ ， １９９２ ， （１６）． ［８］龚六堂 ． 动态经济学方法 ［Ｍ］， 北京 ： 北京大学出版社 ， ２００１． 储 蓄 影 响 的 理 论 分 析 ［Ｊ］． ［９］ 谭 玉 顺 ， 刘 先 忠 ． 习 惯 形 成 对 居 民 消 费 、 应用数学 ，２００５ ， １８（Ｓ１）．
参考文献 ：
!
"
方程 （１６）、 （１７）、 （１９）式可得到方程 （１４）、 （１５）。 由 （１５）式 可 以 看 出 ， 同 不 考 虑 习 惯 形 成 的 Ｍｅｒｔｏｎ 模 型 相 比 ， 该模型中消费者在投资在风险资产上的的份额更小。直 观上， 投资者关心他的消费历史时， 他购买风险资产主要是 来对冲未来消费的不确定性。
１
经济增长模型
Байду номын сангаас
消费者的问题就是在方程 （３）与 （６）的预算约束下 ， 选择投 资在两种资产上面上的份额、 消费水平和财富的积累路径来 极大化他的期望效用 ， 即
∞
Ｍｅｒｔｏｎ 于 １９７０ 年 提 出 的 消 费 和 证 券 组 合 选 择 模 型 ， 假 设 消 费 者 的 财 富 为 Ｗ， 可 以 投 资 在 风 险 资 产 和 无 风 险 资 产
& ＝－ （１－ ｘ ） （ａ－ ｓ）２（２－ %） ｄ"２ ｃ ２（１－ %）２"４ 当 %＜２ 时 ， & ２ ＜０ ； 当 %＞２ 时 ， & ２ ＞０ 。因此当消费的跨 ｄ" ｄ"
时替代弹性较小时 ， 收入波动越大 ， 经济增长率越低 ； 当消费 的跨时替代弹性较大时 ， 收入波动越大 ， 经济增长率越大。 但 是由于习惯形成的存在 ， 将会降低收入的不确定性对经济增 长率的影响。
－１ "
２
静态分析 命题 １ 对应于上面问题的最优条件为
（ｃ－ ｘ）"－ １＝（ＪＷ－ $Ｊｘ）
２ ２
（ １０ ）
费 ， 将减少当前的效用水平。 方程 （４）中的习惯形 ｘ（ｔ）成由下式确定
ｔ
ｘ（ｔ）＝#
０
!ｅ
－ $（ｔ－ ｓ）
ｃ（ｓ）ｄｓ
（ ５）
该习惯积累方程在 １９９２ 年 Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ 用到过 ， $ 代表过去 消费的相对权重 ， $ 越 大 ， 决 定 ｘ（ｔ）过 去 消 费 的 权 重 越 小 。 很 显然 ｘ（ｔ）并不是完全外生的 ， 它依赖于过去的消费水平 ， 其动 态变化方程为
３
动态分析 下面考虑消费水平 ｃ ， 要分析其的动态变化情况 ， 重点是
ｓ ｘ（ｔ） $（ｃ－ ｘ） ｄ Ｗ（ｔ）－ ＝ ［（ａ－ ｓ）ｗ＋ｓ］Ｗ－ ｃ－ ｄｔ＋"ｗＷｄｚ （ ２５ ） ｓ ｓ 命题 ３ 均衡时的经济增长率为 ｄｃ ＝（ｎ＋$）（１－ ｘ ）ｄｔ＋（１－ ｘ ） ａ－ ｓ ｄｚ （ ２６ ） ｃ ｃ ｃ （１－ !）" 证明 ： 将 （１４）、 （１５）得到的最优消费水平和投资风险资产 的最优份额代入 （２５）式 ， 整理得到 ｘ（ｔ） ｘ ｎｄｔ＋ ａ－ ｓ ｄｚ （ ２７ ） ｄ Ｗ（ｔ）－ ＝ Ｗ－ ｓ ｓ （１－ !）" ｓ－ $ ＋ （ａ－ ｓ）２（２－ !） 其中 ， ｎ＝ ， 利用方程 （６）、 （１４）得到 １－ ! ２（１－ !）２"２ ｄｃ ＝（ｎ＋$）（１－ ｘ ）ｄｔ＋（１－ ｘ ） ａ－ ｓ ｄｚ ｃ ｃ ｃ （１－ !）"
从方程 （６）可以看到 ， ｘ（ｔ）为 局 部 非 随 机 的 ， 这 是 因 为 习 惯
ｘ（ｔ） ｃ＝ｘ（ｔ）＋ｕ Ｗ（ｔ）－ ｓ
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#
（ １４ ）
１４
统计与决策 ２００８ 年第 １０ 期 （ 总第 ２６２ 期 ）
理 论 新 探
ｗ＝
" ｓ ｒ－ ｓ!－ （ａ－ ｓ） ! " 其中 ， ｕ＝ ＞０ 。 ! ２" （１－ !） （ｓ＋#）（１－ !）
４
结论 本 文 在 Ｍｅｒｔｏｎ 模 型 的 基 础 上 ， 将 习 惯 形 成 纳 入 消 费 者
取特殊值法求得参数。 令 Ｗ＝０， 得
１－ ! （!－ ｋ ）１／（!－ １）ｋ １／（!－ １）－ ! （ａ－ ｓ）２ ＋ ! － １＝０ （ ２１ ） １ ０ ! !－ １ ２"２ ｋ１ 令 ｘ＝０， 得 １－ ! （!－ ｋ ）１／（!－ １）ｋ １／（!－ １）－ ! （ａ－ ｓ）２ ＋ｓ!－ ｒ＝０ （ ２２ ） １ ０ ! !－ １ ２"２ 由方程 （２１）、 （２２）可解得 （ ２３ ） ｋ１＝－ １／ｓ !－ １ （ ２４ ） ｋ０＝ ｓｕ （ｓ＋$）! ｓ）２! ｓ ｒ－ ｓ!－ （ａ－ 其中 ｕ＝ ＞０ 为常数 ， 最后利用 ２"２（１－ !） （ｓ＋$（１－ !）
２ ２
ａ－ ｓ １－ ｘ ｓＷ （１－ !）"２
!
（ １５ ）
由方程 （２６）可知 ， 经济增长率的平均值为 （ ２８ ） &＝Ｅ（ ｄｃ ）＝（ｎ＋$）（１－ ｘ ） ｃ ｃ 由 方 程 （２８）可 以 看 出 ， 当 消 费 者 关 心 消 费 习 惯 时 ， 将 会 使 期望经济增长放慢 ， 但由于 （１－ ｘ ） ａ－ ｓ ｄｚ 项 的 存 在 ， 即 由 ｃ （１－ %）" 于消费习惯的影响 ， 消费增长路径将变的更加光滑、 平稳。 通 过 方 程 （２８）， 将 我 们 得 到 的 经 济 增 长 率 平 均 值 对 收 入 的波动求导数 ， 得到收入波动对经济增长率的影响
理 论 新 探
具有消费习惯的随机内生经济增长模型
谭玉顺
（ 南京财经大学 应用数学系 ， 南京 ２１００４６ ）
摘
要 ： 文章在 Ｍｅｒｔｏｎ 模型的基础上 ， 将消费习惯形成 纳 入 消 费 者 的 效 用 函 数 ， 即 消 费 者 的 效
用不仅与当前的消费有关 ， 而且还依赖于消费者过去的消费水平。通过建立连续时间的随机内生增 长模型 ， 利用随机最优化方法 ， 分析了习惯形成对最优消费路径及最优投资组合的影响。 关键词 ： 习惯形成 ； 最优增长路径 ； 随机内生增长 中图分类号 ： Ｆ２２４．７ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １００２－ ６４８７ （ ２００８ ） １０－ ００１４－ ０２ 对消费者在过去消费信息的处理 ， 不可能随机的。
的效用函数， 建立消费与证券组合选择的增长模型， 利用随 机最优化方法 ， 分析了习惯形成对最优消费路径及最优投资 组合的影响。 一般情况下 ， 消费者关心消费习惯时 ， 消费者投 资在风险资产上的份额将会更小 ， 这样将降低期望经济增长 率 ， 但是此时的消费增长路径将变的更加光滑、 平稳 ； 当消费 的跨时替代弹性较小时 ， 收入波动越大 ， 经济增长率越低 ； 当 消费的跨时替代弹性较大时， 收入波动越大， 经济增长率越 大； 同时由于习惯形成的存在， 将会降低收入的冲击对经济 增长率的影响。该模型对传统的效用函数模型更全面 ， 更符 合实际 ， 能更好地指导决策者的消费与投资 ， 因此 ， 具有一定 的实用价值。
Ｖ（Ｗ，ｘ，ｔ）＝ｍａｘｃ，ｗＥ ｅ－ ｒｓ"－ １（ｃ－ ｘ）"ｄｓ
ｔ
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（ ８）
受约束于 （３）、 （６）及给定的初始财富水平 Ｗ。引入现值的值函 数 ， 它定义为
∞
Ｊ（Ｗ，ｘ，ｔ）＝ｍａｘｃ，ｗＥ
ｔ
!" （ｃ－ ｘ） ｅ
－１
" － ｒ（ｓ－ ｔ）
ｄｓ＝ｅｒｔＶ（Ｗ，ｘ）
（ ９）
ｄＷ＝［ｓ（１－ ｗ）Ｗ＋ａｗＷ－ ｃ］ｄｔ＋ｗＷ! ｄｚ， 即 ｄＷ＝［（（ａ－ ｓ）ｗ＋ｓ）Ｗ＋ （ ３） ｃ］ｄｔ＋ｗＷ! ｄｚ 考虑到消费习惯 ｘ 对个人效用的影响 ， 设在时间时 刻 的
上。假设无风险资产的回报率为 ：
ｍａｘｃ，ｗＥ %－ １（ｃ－ ｘ）"ｅ－ ｒｔｄｔ
０
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（ ７）
ｄＲＢ＝ｓｄｔ
风险资产的回报率为 ：
（ １）
为了求得该问题的解 ， 引入值函数
∞
（ ２） ｄＲ＝ａｄｔ＋!ｄｚ 其中 ｄｚ 为布朗运动 ｚ 的增量 ， ａ 与 ! 为大于 ０ 的常数。 假设消费者的总财富可以用来投资在风险资产与无风 险 资 产 上 ， 并 且 投 资 在 风 险 资 产 上 的 份 额 为 ｗ， 则 投 资 在 无 风险资产上的份额为 １－ ｗ， 这样消费者投资在 风 险 资 产 上 与 无风险资产的财富分别为 ｗＷ 与 （１－ ｗ）Ｗ， 假设消费者的消费 水平为 ｃ 。则消费者的预算约束为
效用函数为 （ ４） Ｕ（ｃ，ｘ）＝" （ｃ－ ｘ） 其中消费 ｃ 和习惯形成 ｘ 都是关于时间 的 函 数 ， 从 方 程 （４）可以看出 ， 消费者的效用不但依赖于当前的消费 ｃ（ｔ）， 而且 还依赖于习惯 ｘ（ｔ）。 假定 Ｕ（ｃ，ｘ）关于变量 ｃ（ｔ）与 ｘ（ｔ）是 ２ 次连续 可 微 的 ， 还 假 定 Ｕｃ＞０ ， 说 明 更 高 的 当 前 的 消 费 水 平 导 致 更 高 的效用水平 ， Ｕｘ＜０ ， 说明增加过去的消费而不改 变 现 在 的 消
ｔ
ＪＷ［（ａ－ ｓ）ｗ＋ｓ＋ｒ］＋ＪＷｘ$ （ｃ－ ｘ）＋ＪＷＷ［（（ａ－ ｓ）ｗ＋ｓ）Ｗ－ ｃ＋! ｗ Ｗ］＋ １ ２ ２ ２ （ ＪＷＷＷ! ｗ Ｗ＝０ １１ ） ２ ２ （ １２ ） （ａ－ ｓ）ＷＪＷ＋ｗＷ ! ＪＷＷ＝０ 证 明 ： 考 虑 到 方 程 （９）， 最 优 化 问 题 （７）等 价 于 极 大 化 下 面 的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ－ Ｊａｃｏｂｉ－ Ｂｅｌｌｍａｎ （ 简记为 ＨＪＢ） 方程 ０＝ｍａｘｃ，ｗ｛" － １ （（ｃ－ ｘ）" ＋Ｊ＇ （Ｗ）［（（ａ－ ｓ）ｗ＋ｓ）Ｗ－ ｃ］＋Ｊｘ［$ （ｃ－ ｘ）］＋ １ ２ （ １３ ） ｗ２Ｗ２!２Ｊ＇＇（Ｗ）－ ｒＪ｝ 对 该 ＨＪＢ 方 程 分 别 对 消 费 ｃ ， 财 富 Ｗ， 以 及 风 险 资 产 的 份额 ａ 求导即可以得到最优性条件 （１０）、 （１１）、 （１２）。 方程 （１０）体现了习惯形成对消费—资产组合投资选择的 影响 ， 在 Ｍｅｒｔｏｎ 模 型 中 消 费 的 边 际 效 用 等 于 财 富 的 边 际 效
证明 ： 由方程 （１０）得 （ １６ ） ｃ＝ｘ＋（ＪＷ－ $Ｊｘ）１／（%－ １） 由方程 （１２）得 （ａ－ ｓ）ＪＷ （ １７ ） ｗ＝ ２ " （－ Ｗ）ＪＷＷ 将与代入 ＨＪＢ 方程得到 １－ ! ［Ｊ － $Ｊ ］!／（!－ １）－ Ｊ２Ｗ （ａ－ ｓ）２ ＋（ｓＷ－ ｘ）Ｊ － ｒＪ＝０ （ １８ ） Ｗ ｘ Ｗ ＪＷＷ ２"２ ! 因效用函数中 ｃ 与 ｘ 为线性关系及效用 函 数 的 形 式 ， 可 知值函数为下面的形式 （ １９ ） Ｊ（Ｗ，ｘ）＝ｋ０（Ｗ＋ｋ１ｘ） 其中 ｋ０，ｋ１ 为待定参数 ， 将值函数 （１９）代入 （１８）得 １－ ! （!－ ｋ ）１／（!－ １）ｋ １／（!－ １）－ ! （ａ－ ｓ）２ ＋ （ｓＷ－ ｘ）! － ｒ＝０ （ ２０ ） １ ０ Ｗ＋ｋ１ｘ ! !－ １ ２"２ 由 于 方 程 （２０）对 于 一 切 非 负 未 知 数 均 成 立 ， 故 可 以 采 用
用 ， 但在本模型中消费的边际效用等于财富的边际效用减去
$ 倍的 ｘ（ｔ）的边际效用 ， 说明习惯对消费过程有重要的作用。 命题 ２ 上面问题的显示解 ， 即最优的消费路径和投资于
风险资产的最优份额为
ｄｘ／ｄｔ＝$ｃ（ｔ）－ $
２
０
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－ $（ｔ－ ｓ）
* ＝$（ｃ－ ｘ） ｃ（ｓ）ｄｓ， 即 ｘ
（ ６）
考察方程 （１４）中的项 Ｗ（ｔ）－ ｘ（ｔ） ， 对其求微分得
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［１］Ｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｉｄｅ． ＧＭ． Ｈａｂｉｔ Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ：Ａ Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｑｕｉｔｙ Ｐｒｅｍｉｕｍ Ｐｕｚｚｌｅ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｏｌｉｔｉｃａｌ Ｅｃｏｎｏｍｙ，１９９０ ， （９８）． ［２］Ｓｕｎｄａｒｅｓａｎ Ｓ Ｍ． Ｉｎｔｅｒｔｅｍｐｏｒａｌｌｙ Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ａｎｄ Ｗｅａｌｔｈ ［Ｊ］． Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｉａｌ Ｓｔｕｄｉｅｓ ， １９８９ ， ２（１）． ［３］Ａｂｅｌ Ａ． Ａｓｓｅｔ Ｐｒｉｃｅｓ ｕｎｄｅｒ Ｈａｂｉｔ Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃａｔｃｈｉｎｇ ｕｐ ｗｉｔｈ Ｊｏｎｅｓｅｓ［Ｊ］． Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｒｅｖｉｅｗ，１９９０ ， （ ８０ ） ． ［４］Ｃｈｒｉｓｔｏｐｈｅｒ Ｄ．ｃａｒｒｏｌｌ，Ｊｏｄｙ Ｏｖｅｒｌａｎｄ ，Ｄａｖｉｄ Ｎ．Ｗｅｉｌ ， Ｓａｖｉｎｇ ａｎｄ Ｇｒｏｗｔｈ ｗｉｔｈ Ｈａｂｉｔ Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｒｅｖｉｅｗ， ２０００ ， （９０）． ［５］Ｊｏｏ Ｒｉｃａｒｄｏ Ｆａｒｉａ． Ｈａｂｉｔ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｎ ａ Ｍｏｎｅｔａｒｙ Ｇｒｏｗｔｈ Ｍｏｄｅｌ ［Ｊ］． Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ ， ２００１ ， （７３）． ［６］Ｍｅｔｏｎ Ｒ．Ｃ， Ｏｐｔｉｍａｌ Ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｒｕｌｅｓ ｉｎ ａ Ｃｏｎ－ ｔｉｎｕｏｕｓ Ｔｉｍｅ Ｍｏｄｅｌ ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ， １９７１ ， ３（４）． ［７］Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ．Ｊ． Ｏｐｔｉｍａｌ Ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｒｕｌｅｓ ｗｉｔｈ Ｉｎ－ ｔｅｒｔｅｍ－ Ｐｏｒａｌｌｙ Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｕｔｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅ－ ｃｏｎｏｍｉｃ Ｄｙｎａｍｉｃｅｓ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ ， １９９２ ， （１６）． ［８］龚六堂 ． 动态经济学方法 ［Ｍ］， 北京 ： 北京大学出版社 ， ２００１． 储 蓄 影 响 的 理 论 分 析 ［Ｊ］． ［９］ 谭 玉 顺 ， 刘 先 忠 ． 习 惯 形 成 对 居 民 消 费 、 应用数学 ，２００５ ， １８（Ｓ１）．
参考文献 ：
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方程 （１６）、 （１７）、 （１９）式可得到方程 （１４）、 （１５）。 由 （１５）式 可 以 看 出 ， 同 不 考 虑 习 惯 形 成 的 Ｍｅｒｔｏｎ 模 型 相 比 ， 该模型中消费者在投资在风险资产上的的份额更小。直 观上， 投资者关心他的消费历史时， 他购买风险资产主要是 来对冲未来消费的不确定性。
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经济增长模型
Байду номын сангаас
消费者的问题就是在方程 （３）与 （６）的预算约束下 ， 选择投 资在两种资产上面上的份额、 消费水平和财富的积累路径来 极大化他的期望效用 ， 即
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Ｍｅｒｔｏｎ 于 １９７０ 年 提 出 的 消 费 和 证 券 组 合 选 择 模 型 ， 假 设 消 费 者 的 财 富 为 Ｗ， 可 以 投 资 在 风 险 资 产 和 无 风 险 资 产