第一章 有限单元法的简要介绍和发展历史

第一章 有限单元法发展历史和简要介绍
发展历史之启蒙
18世纪末，欧拉在创立变分法的同时就曾用与现代有限元相似的方法求 解轴力杆的平衡问题 1943年Courant用最小势能原理和现代有限元法中的线性三角元求解st Venant弹性扭转问题 1952_1853 期间， R.W.Clough 和 M.J.Turner 在分析三角翼振动问题时， 提出了把平面平面应力三角形板组合起来表达机翼刚度方法，当时称为 直接刚度法。 1956 年 M.J.Turner ， R.W.Martin,L.J.Toop 在纽约举行的航空年会上 发表论文《复杂结构的刚度和变形分析》 1960 年 R. W. Clough 在论文《平面应力分析的有限单元法》中 , 首次 提出了有限单元, ，他因此被称为“有限单元之父” 。
(6)


简单实例
根据虎克定律：
E
e l
代入单元内力虚功表达式，得到
1 2 U EA dx 0 2
改写为
l T EA Ue dx 0 2
将
1 1 ui 代入上式，得到 l l u j 1 1 1 ui l EA l Ue u , u dx (7) i j 1 l l u j 2 0 l
e
简单实例
积分，得
1 EA 1 1 ui U ui , u j 2 l 1 1 u j
e
用矩阵写成
1 eT e e U δ Kδ 2
e
e

(8)
其中，
单元刚度矩阵
EA 1 1 K 1 1 l
这里
ui δ u j
位于洛杉矶的 MSC 公司自 1963 创立并开发了结构分析软件 SADSAM ，在 NASA项目资助下MSC于1971年推出自己的专利版本MSC.Nastran。
第一批非线性有限元方法的主要贡献者有 Argyris(1965) ， Marcal 和 King(1967)，其中Pedro Marcal 毕业于Berkeley 大学，任教于 Brown大 学，于 1969 年创建了第一家非线性有限元软件公司 MARC 公司，在 1999 年被MSC公司收购。
e T
e
Pi P Pj
e
简单实例
则，整个结构的总势能 为
δ
e 1
2
K δ δ P
e T e e 2 e T e 1
e
在荷载作用下，结构处于平衡状态。 则由最小势能原理
0
2 e U WP 0 ui ui e 1
商 业 软 件
主要有德国的ASKA； 英国的PAFEC； 法国的SYSTUS； 美 国 的 ALGOR 、 ABQUS 、 ADINA 、 ANSYS 、 SAP90 、
BERSAFE 、 BOSOR 、 COSMOS 、 ELAS 、 MARC 和 STARDYNE等公司的产品。
《Journal of Applied Mechanics》许多年都拒绝刊登关于有限元方 法的文章 。
发展历史之启蒙
我国已故著名计算数学专家冯康教授也独立创立了有 限元法，为什么这么说呢？这是由我国当时特定的历史环 境所决定的。曾经有很长一段时间，我国的学术界处于与 世隔决的状态。正因如此，他的工作才得到了全世界的承 认。他最初提出这个方法时，并不知道“有限元”这个名 词，因此他将自己的方法称之为“基于变分原理的差分格 式”。
，i = 1 , 2 , 3 (10)
简单实例
即：
K
e e 1
2
e
P
e
0
(11)
若将最小势能原理用于单个单元， 则得到任一单元的平衡条件为
P K
e e
e
简单实例
4．组集总体刚度矩阵和荷载矢量
K 组集成整体刚度矩阵 K 将式( 9 )中的单元节点荷载矩阵P e组集成整体节点荷载矩阵 P
操作流程
位移型有限元法求解静力问题的一般步骤： １）划分单元； ２）计算单元刚度矩阵；
３）进行载荷移置；
４）引入约束，解方程组求得位移； ５）计算应力和应变。
注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与 应力的方法，称为力型有限元法。
操作流程
结构离散化： 1）划分网格； 2）载荷移置； 3）简化约束。 单元刚度矩阵与刚度系数： 1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力； 2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。
基本思想
将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点 （离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式， 用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法， 将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个 结点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元 离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。 由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很 好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再 加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的， 应用极广的数值计算方法。
e
u1 对单元1， u 2 u 2 2 对单元 2， u 3
1
简单实例
单元外力所做虚功为
ui Pi W Pi ui Pj u j u j Pj
e p
T
(9) 单元节点荷载
δ
P
x u i l u j
(3)
N ( x) e
单元节点位移矢量 形状函数或 形函数
x N ( x) 1 l x l
ui , u j
e
T
简单实例
3．推导单元刚度矩阵和单元节点荷载 单元刚度矩阵可由最小势能原理导出 整个结构的总势能 为
有限单元法
FINITE ELEMENT METHOD
主讲：江巍 2015年春季学期
参 考 书 目
[1]王勖成,邵敏.有限单元法基本原理和数值方法. 清华大学出版社 [2]周中坚,卢耀祖.机械与机械结构的有限元分析. 同济大学出版社 [3]朱伯芳.有限单元原理及其应用. 中国水利水电出版社 [4]蒋孝煜.有限元法基础. 清华大学出版社 [5]徐芝纶.弹性力学简明教程. 高等教育出版社
简单实例
A1 200 mm2 ，
A2 100
mm2 ，l1 l 2 l 100 mm
E1 E 2 E 2 10 5 MPa
试计算应力。 1．离散化
P3 10 kN 1 10 4 N
分析过程如下： 将杆划分为两个单元的集合
l
共有三个节点
uj
j
u1
1
单元1
求得： 代入位移函数：
a ui
b u j ui / l u e ( x ) a bx


(2)
简单实例
得到单元e内任意一点x的位移表达式为
x u ( x ) ui u j ui 1 l
e


x x x ui u j 1 l l l
u ( x ) a bx
e
(1)
简单实例
l
xi
ui i
x
e
j
uj
任取一个单元e作为考察对象，确定位移函数中系数a,b
在有限元分析过程中，为方便起见，通常使用两套不同的坐标系。 一是整个结构的参照系oxyz，称为整体坐标系 另一套坐标o x y z 建立在每个单元上，坐标原点和指向都随 单元而变，这种只对单元有效的坐标系，称为局部坐标系 (local coordinate system)。
U W
e
e p
(4)
其中，单元内力所做的虚功：
1 U d 2
e
(5)
简单实例
依据弹性力学位移与应变的关系得
e u ( x) e x
N e N e x x
1 1 ui l l u j
发展历史之崛起
K.J. Bathe （导师 Ed Wilson ）， MIT 任教，在 NONSAP 的基础上发表了 著 名 的 非 线 性 求 解 器 ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis)，其源代码因为长时期广泛流传而容易获得。 David Hibbitt （ 导 师 Pedro Marcal ） ， 在 1972 年 与 Karlsson 和 Sorensen 共同建立 HKS公司，推出了Abaqus软件。Abaqus凭借强大的技 ） 术、出色的前后处理和可拓展的二次开发功能，稳占高校和研究所的市 场，论文发表数量多。 John Swanson 博士在 Westinghouse 公司为核能应用方面发展了一个非 线 性 有 限 元 程 序 ( 主 要 是 关 注 非 线 性 材 料 ) ， 于 1970 年 创 建 SASI(Swanson Analysis System,Inc) 公司，后来重组更名为 ANSYS 公 司，ANSYS是著名的多物理材料非线性有限元软件，通过并购发展迅速 壮大，模块越来越多，商业化程度和市场占有率很高。
简单实例
y
y
y
o
y y
k
x
z
i
o
o
i
j
o x
j
x
x
o
o
i
j
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
x