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专业班级：机制0804

姓名：孟祥宇

学号：03

指导老师：郭宝良

粘滑振动的振动模式

Jaeyoung Kang, Charles M.Krousgrill, FarshidSadeghi

A：美国普渡大学西拉法叶校区，机械工程学院，普渡大学585购物中心，编号47907 – 2088

B：机械和汽车工程,大学工程,国立公州大学,Cheonan-Si 韩国

文章信息

历史条:

2008年8月10收到文件。

2009年5月1日收到修订后的形式。

2009年5月14日文件被公认。

关键词:

粘滑

摩擦耦合量子谐振子

耦合模式

振荡模式

文摘

本文通过摩擦的非线性的平滑的曲线研究了粘滑振荡离散系统的能量来源。通过数值的时间，整合和分析的方法研究了粘滑的一个单自由度的模型的极限环振荡。相同的方法也可应用到模型的摩擦振

荡器耦合中。特别是,我们不难发现的稳态响应的耦合。根据两种模式的频率间隔，振荡器可分为两种不同形式的(合并振荡模式和分离振荡模式)振荡。稳态响应的振荡模式取决于系统参数，如谐因素，能源的速度，正常的接触载荷。

1、介绍

摩擦产生的振动将对各种应用系统产生严重的问题,如从事摩擦的刹车、离合器、机床等。由于摩擦而经常进行自我维持的不稳定的振动。这样的自激振荡在文献[1]中进行了广泛的研究 ,在那里的研究中使用了摩擦所致的振动的离散模型。

一个弹簧-块单自由度模型解释了粘滑振荡[2-5]的行为。在该模型中,不稳定摩擦振动导致了极限环的形成。[2]采用了指数和多项式函数，并使用摩擦速度曲线研究了导致极限环振荡的条件。类似的，粘滑振荡所提供的不连续摩擦模型控制方程，在设定静态和动态两个不同的摩擦机理[3]、[4]中，使用了不同的摩擦模型如平滑和交换的方法。平稳的摩擦曲线平滑方法取代连续系统，并允许一个解决一个单一的光滑微分方程。相比之下,交换方法评估了不同组方程的防滑和过渡模式。考虑到定性方式,Denny [5],使用了一个光滑摩擦曲线的平滑法很好地使系统行为从不连续阶段过渡到连续的滑动阶段。然而,单自由度只有在摩擦所致的适当振荡中不与其耦合。

为了更好地描述摩擦耦合振荡的两种方式(或两个块),我们对这两个自由度的弹簧-块作了介绍。例如,可能有两个块在一维空间移动,

这被称为火车模型[6、7]。这种模式一直被视为自我持续的混乱振动。另外一个模型可能会有一个块在两维空间[8,9]中振荡。该模型在两种摩擦耦合模式之间产生,这导致了不稳定模式的耦合[8 - 10条,第13条]。

模型中有一个无限的自由度的颤动系统可以使用Galerkin研究的近似原方程的方法来研究。这种连续系统可以进一步简化为降阶模型使系统响应由颤动的模式为主。例如,Kang 等，通过[9,10]采用模态扩展了一对盘式制动器的余弦和正弦模式。他们的分析表明:两个自由度模型可以采用正交使弹簧和移动表面等效为线性降阶盘式制动器。此外,耦合模式的作用通过非线性的圆盘模式显示，以确定波型(一个漫游或者驻波)在圆盘表面的平面振动[11]。然而,相应的频率模式尚未解决。

在本文中我们关注的焦点是在动态模式中某些弹簧-块的稳态振动,采用平滑方法描述粘滞滑动的行为。

图1 弹簧块模型的描述：（a）单一程度的自由模式及（b）耦合振荡器[9]。

极限环的分歧数量存在的必要条件[12],m F n /0⋅必须有符号的变化。因此，摩擦的稳定性至关重要的是曲线的斜率和形成稳定的滑动平衡的极限环。

极限环振荡数值的估计如图3a 。由于滑动速度()τu

V &-接近零，摩擦力符号从负斜率转换成正斜率并限制循环形成(图。3 b)。同时， 正

斜率的()τu

&在微量()τu V &-附近保持平衡，这里形成一个近似粘滞的阶段(图3 c)。它应该注意的是运动的形成取决于极限环在控制参数曲线[5]和 Denny 的摩擦式(6)，相图的粘滑振荡由不同的控制参数的摩擦曲线证明。

振荡期间和收敛区间用数值模拟的方法计算了周期。图4表明该粘滞相位测量时间的连续摩擦的历史阶段。图5显示周期振荡和坚持的时间间隔在一段时期内成正比的正常负荷()K N n /00=，但是它们的速度V 会在移动表面降低或增加。

图3 粘滑振荡时，v =1，0n = 2：（a ）极限环的时间轨迹，（b ）摩擦力斜率的改变标志， （c ）解释粘滞相位变化相相位平面。

图4 粘滞和滑动的相位超过摩擦力历史的周期间隔。

3、耦合振子机制

双自由度模式(图 1 b)将在本节用来研究说明耦合摩擦机制的

振荡器。考虑一个质量为m 的两个正交系弹簧21,K K 和两个正交接触

的弹簧c K ,当这些弹簧受到正常负荷为1N 的力拉(或压缩)时产生一个

常数行驶速度V 的表面不存在。这个耦合谐振子的摩擦运动方程(图。1 b)为

,)(01N y K x K K x m c x c =•+++μ&&

（13） ,)(021N x K y K K y m c y -=•-++μ&&

（14） 通过让**)()(,)()(v t v t y u t u t x +=+=和m K K t /)(21+=τ则相应的无量纲运动方程的形式为

),)((**v k f f v k f u u

c x c x --=•++&& (15) ),)(()1(**u k f f u k f v v c y c y -=•-++σ&& (16)

无量纲的时间)(0τττ≥ 就是分化点的地方,在这里有

),/(1c c c k k k k += (17) ),/(111c K K N n += (18)

图5。粘滑振荡：（a ）振荡周期和参数的影响（b ）一段时期内的粘滞相位;

).(3),(2),(1),/(00-O -=-∆-=-==V V V K n n

)/()(112c c K K K K -+-=σ 失谐因素， （19）

x x u

V f μ•-=)sgn(& ：在x 方向的无量纲摩擦力 （20） y y u V f μ•-=)sgn(& ：在y 方向的无量纲摩擦力 （21）