数学史几何学的变革下解析

它的对偶形式则是：
如果将一圆锥曲线的6条切线 看成是一个六边形的边，那 么相对的顶点的连线共点。
帕斯卡定理的对偶形式是布里昂雄 (C.J.Brianchon)在1806年发现的，所以常被称为 布里昂雄定理，而这离帕斯卡最初陈述他的定理 已有近二百年的光景．
虽然布里昂雄发现了帕斯卡定理的对偶定理， 但包括他在内的许多数学家对于对偶原理为什么行 得通仍是不清楚，事实上，布里昂雄还曾怀疑过这 个原理．
把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变 性．用庞斯列本人的话说，就是：“如果一个图形从 另一个图形经过连续的变化得出，并且后者与前者一 样地—般，那么可以马上断定，第一个图形的任何性 质第二个图形也有．”
作为这个原理的一个例 子，庞斯列举了圆内相交弦的 截段之积相等的定理，当交点 位于圆的外部时，它就变成了 割线的截段之积的相等关系．
默比乌斯在《重心计算》(1827)一书中第一次引 进了齐次坐标，这种坐标后被普吕克发展为更一般的
形式，它相当于把笛卡儿坐标 x, y换成
x x1 , y x2
x3
x3
齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内许多 射影几何基本结果的有效工具．但这种代数的方法遭 到了以庞斯列为首的综合派学者的反对，19世纪的射 影几何就是在综合的与代数的这两大派之间的激烈争 论中前进的．
第九章
几何学的变革
几何，就是研究空间结
构及性质的一门学科。它是 数学中最基本的研究内容之 一，与分析、代数等等具有 同样重要的地位，并且关系 极为密切。
几何学发展
• 几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、 数论等等关系极其密切。
• 几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各 分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法 去探讨各数学理论。
由于距离和交角在投射和截影下会改变，庞斯列 选择并发展了对合与调和点列的理论而不是以交比的 概念为基础．
与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而 不是平行投影，并将其提高为研究问题的一种方 法．在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中，有两 个基本原理扮演了重要角色．
首先是连续性原理，它涉及通过投影或其他方法
庞斯列获释后对自己在狱中的工作进行了修 订、扩充，于1822年出版了《论图形的射影性 质》，这部著作立即掀起了19世纪射影几何发展 的巨大波澜，带来了这门学科历史上的黄金时 期．
与德沙格和帕斯卡等不同，庞斯列并不限于考虑 特殊问题．
他探讨的是一般问题：图形在投射和截影下保持 不变的性质，这也成为他以后，射影几何研究的主 题．
庞斯列射影几何工作中很重要的一部分，就是 为建立对偶原理而发展了配极的一般理论．他深入 研究了圆锥曲线的极点与极线的概念，给出了从极 点到极线和从极线到极点的变换的一般表述．
与庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时， 德国数学家默比乌斯(A.P.Mobius，1790—1868)和 普吕克(J.Plucker，1801—1868)开创了射影几何研究 的解析(或代数)途径．
施陶特在1847年出版的《位置几何学》中提出一套方案， 通过给每个点适当配定一个识别标记(也称作坐标)而给交比作 了重新定义．如果四点的“坐标”记为x1, x2 , x3 , x4 ，那么交 比就定义为
不过，将射影几何真正变革为具有自己独立的目 标与方法的学科的数学家，是曾受教于蒙日的庞斯列 (J-V.Poncelet，1788—1867)．
庞斯列曾任拿破仑远征军的工兵中尉，1812年 莫斯科战役法军溃败后被俘，度过了两年铁窗生 活．
然而正是在这两年里，庞斯列不借助于任何 书本，以炭代笔，在俄国萨拉托夫监狱的墙壁上 谱写了射影几何的新篇章．
支持庞斯列的数学家还有斯坦纳(J.Steiner)、沙 勒(M.Chasles)和施陶特(K.G.C.von Staudt)等，其中 施陶特的工作对于确立射影几何的特殊地位有决定性 的意义．
到1850年前后，数学家们对于射影几何与欧 氏几何在一般概念与方法上已作出了区别，但对 这两种几何的逻辑关系仍不甚了了．即使是综合 派的著作中也依然在使用长度的概念，例如作为 射影几何中心概念之一的交比，就一直是用长度 来定义的，但长度在射影变换下会发生改变，因 而不是射影概念．
而如果其中的一条割线 变成圆的切线，那么这个定 理仍然成立，只不过要把这 条割线的截段之积换成切线 的平方。
这个原理卡诺也曾用过，但庞斯列将它发展到 包括无穷远点的情形．因此，我们总可以说两条 直线是相交的，交点或者是一个普通的点，或者 是一个无穷远处的点(平行线的情形)．
除了无穷远元素，庞斯列还利用连续性原理 来引入虚元素．例如两个相交的圆，其公共弦当 两圆逐渐分离并变得不再相交时，就成为虚 的．无穷远元素与虚元素在庞斯列为达到射影几 何的一般性工作中发挥了重要作用．
9.4 射影几何的繁荣
非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间 的欧氏几何变成了某种特例．
实际上，如果将欧几里得几何限制于其原先的涵 义——三维、平直、刚性空间的几何学，那么19世 纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧”运动： 从三维到高维；从平直到弯曲；…而射影几何的发 展，又从另一个方向使“神圣”的欧氏几何再度 “降格”为其他几何的特例．
在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框 架下被研究的，其早期开拓者德沙格（法国）、帕 斯卡（法国）等主要是以欧氏几何的方法处理问题， 并且他们的工作由于18世纪解析几何与微积分发展 的洪流而被人遗忘．
到 18 世 纪 末 与 19 世 纪 初 ， 蒙 日 （ 《 画 法 几 何 学）》等人的工作，重新激发了人们对综合射影几何 的兴趣．
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庞斯列强调的另一个原理是对偶原理．射影几何 的研究者们曾经注意到，平面图形的“点”和“线” 之间存在着异乎寻常的对称性，如果在它所涉及的定 理中，将“点”换成“线”，同时将“线”换成 “点”，那么就可以得到一个新的定理．例如考虑著 名的帕斯卡定理：如果将一圆锥曲线的6个点看成是一 个六边形的顶点，那么相对的边的交点共线 。