第三节线性算子

当X = Y时，称T 是线性变换，当Y = K时，称T 是线性泛函。 相关概念：核空间ker T、线性同构。 称T 在x点连续，是指对任意点列{xn }, 若xn → x, 则Txn → Tx； 若T 在X 的每一点都连续，则称T 在X 上连续。 定理1.设X , Y 是赋范线性空间,T : X → Y 是线性算子，则 （a）T 在X 上连续当且仅当T 在X 中的某点x0处连续;特别的 等价于若xn → θ ( X 中零元)，则Txn → θ (Y中零元). (b)当X 的维数有限时，T 在X 上是连续的。
例2. 区间[0,1]上的连续可微函数全体按极大模是赋范 线性空间，其上的微分算子是无界线性算子 取 函数列{sin nπ t}，显然 || sin nπ t ||= 1, 但
d || (sin nπ t ) ||= nπ || cos nπ t ||= nπ → ∞(n → ∞) dt d 因此，微分算子 : C 1[0,1] → C[0,1]是无界算子。 dt
定理2 : 线性算子T 是连续的充要条件是T 是有界的。 算子T的范数 || T ||:式 || T ( x) ||≤ M || x || ，x ∈ D(T )中M 的下确界。 || Tx || 可以证明:|| T ||= sup || Tx ||= sup || Tx ||= sup || x|| =1 || x|| ≤1 || x|| ≠ 0 || x || 例：L [a, b]上算子T : (Tf )( x) = ∫ f (t )dt , f ∈ L1[a, b]
Tn一致收敛强于Tn 强收敛;f n的强收敛强于弱*收敛； 例如：单边移位算子S ∈ B (l 2 )，{Sn }强收敛于0，而 || S n ||= 1, n ≥ 1.
我们知道收敛的序列都是有界集合，类似于定理3的证明， 我们可以得到一下结论。 {T 定理4：设X 是赋范线性空间，Y 是Banach空间， n } B ( X , Y ) 满足条件：(1) Tn ||}是有界数列； {|| (2)在X 中的某一稠密子集G中的每个元素x,{Tn ( x)}都收敛. 则{Tn }强收敛于某一个算子T ∈ B ( X , Y ), 且 || T ||≤ lim || T || .
设X 是赋范线性空间，a是一常数。映射T : T ( x) = ax称为 相似算子，a = 1时，称为恒定算子或单位算子，记为I。 例1.定义:Tx(t ) = ∫ x(τ )dτ , f ( x) = ∫ x(τ )dτ , x ∈ C[a, b],
a a t b
则T 是C[a, b]上的一个线性算子，f 是一个线性泛函。
定理3的证明：设{Tn } B( X , Y )为一Cauchy列，往证{Tn }收敛。 因为 || Tn Tm ||→ 0( n, m → ∞), 则对x ∈ X , 必有 || Tn x Tm x ||=|| (Tn Tm )( x) ||≤|| Tn Tm || || x ||→ 0(n, m → ∞). 这说明{Tn ( x)}是Y 为一Cauchy列，由Y的完备性，在Y中存在 唯一的一个元素，记为T ( x), 使得Tn ( x) → T ( x), (n → ∞). 注意到 ||| Tn || || Tm |||≤|| Tn Tm ||→ 0(n, m → ∞), 故 由{Tn }的线性和{|| Tn ||}的收敛性可得T ∈ B( X , Y )。 对ε 0，存在自然数N 0，使得当n, m N 0时，对 || x ||≤ 1, || Tn x Tm x ||=|| (Tn Tm )( x) ||≤|| Tn Tm || || x ||≤ ε . 固定x, 令m → ∞，可得 || Tn x Tx ||≤ ε，x ∈ X ,|| x ||≤ 1. 从而对n N 0，Tn T ||≤ ε。故{Tn }在B( X , Y )收敛，B( X , Y )完备。 ||
|| x|| =1 || x|| =1
≤ sup || T1 x || + sup || T2 x ||=|| T1 || + || T2 ||
|| x|| =1 || x|| =1
注：1.一般说来，赋范线性空间B ( X , Y )未必是完备的； 2.赋范线性空间X 上的有界线性泛函的全体B( X( x) || 构成一个Banach
|| x|| =1
空间,我们称之为X 的共轭空间，记为X *； (a )如果赋范线性空间X 等距同构于X * , 则称X 是自共轭的；
* (b)如果赋范线性空间X 等距同构于( X *）, 则称X 是自反的。
3.T ∈ B ( X , Y ), S ∈ B(Y , Z ), 则复合算子ST ∈ B ( X , Z ), 且 ||| ST ||≤|| S || || T || 。 定理3：设Y 是完备的赋范线性空间，则B ( X , Y )是完备的。
1
第三节 线性映射与线性算子
设X 1 ,X 2是数域K上的线性空间，映射T : X 1 → X 2 称为X 1到X 2的一个 线性映射,如果T α x + β y）=α T ( x) + β T ( y ), x, y ∈ X 1 , α , β ∈ K。 （ 显然：T : θ → θ。 当T 是双射时，称T 是一个线性同构，称X 1 , X 2是线性同构的。 例子：n阶方阵A是R n → R n的线性映射，可逆矩阵都是线性同构。 有限阶矩阵的研究，线性代数、高等代数和矩阵论中都有涉及； 我们泛函分析中主要研究是无穷维线性空间（Banach空间）上的 线性映射。
定理5.设X 是赋范线性空间，嵌入算子τ 是X 到X **的等 距线性算子,即： x** ||=|| x ||, (α x + β y )** = α x** + β y**。 || 推论6.设X 是赋范线性空间，则X 是X **的嵌入子空间。 推论7.设{ f n } X * , 则{ f n }按范数收敛（强收敛） { f n }弱收敛 { f n }弱 * 收敛； X 是自反的时，f n }弱收敛 { f n }弱 * 收敛。 { 定理7. (7.1)若xn → x(n → ∞), 则{xn }弱收敛于x； (7.2)若{xn }弱收敛于x，且{xn }弱收敛于y, 则x = y; (7.3)若{xn }弱收敛于x, 则{xn }是有界的。
有界线性算子空间
|| Tx || 算子T ∈ B( X , Y )的范数 || T ||= sup || Tx ||= sup || Tx ||= sup || x|| =1 || x||≤1 || x|| ≠ 0 || x || 验证算子算子范数 || || 满足以下条件： (1) || T ||= sup || Tx ||≥ 0,|| T ||= 0 T = 0( B( X , Y )中零元)
因为任何n维赋范线性空间都与n维欧式空间线性同构，所 以有限维的赋范线性空间是线性同构的当且仅当它们的维 数相等。 绝大多数的泛函分析课程都是讲述特殊的线性空间和线性 算子的性质，而自然界中的现象更多是非线性的，非线性 问题是更广阔更具有挑战性的领域，有着多样性和复杂性。 人们在处理这类问题的方法： 一、推广线性情形时的有关理论的想法和方法； 二、化整为零，在局部范围内运用线性方法，将非线性问 题转化为线性问题
1 a x
(1.)T : L1[a, b] → C[a, b]时,|| T ||= 1 (2.)T : L1[a, b] → L1[a, b]时,|| T ||= b a 一般来说，求一个具体算子的范数并不容易，很多 场合中只能对其范数做出估计
注：设f是赋范线性空间X上的线性泛函，则 （1） f连续当且仅当f的零空间N(f)是X的闭 子空间； （2）非零线性泛函f不连续当且仅当N(f)在X 中稠密。 N(f)={x;f(x)=0}
赋范线性空间
内积空间
三个空间的关系
赋范线性空间都是距离空间：ρ(x，y )= || x y ||; 反之，要求距离满足条件 : ρ (ax, θ ) =| a | ρ ( x, θ ), 范数定义 || x ||= ρ ( x, θ )。 内积空间都是赋范线性空间 :|| x ||= ( x, x) 2 ；反之， 范数满足中线公式： x + y ||2 + || x y ||2 = 2 || x ||2 +2 || y ||2 , || 内积定义 1 (x，y )= (|| x + y ||2 || x y ||2 +i || x + yi ||2 i || x + yi ||2 ) 4
n →∞
设X 是赋范线性空间，则X 的共轭空间X * , 二次共轭空间
* X ** =(X * )都是赋范线性空间。下面考虑它们之间关系
对每个x ∈ X , 定义X *上泛函x**：x** ( f ) = f ( x), f ∈ X * . 注意到 :| x** ( f ) |=| f ( x) |≤|| f || || x ||, f ∈ X * . 显然，x**是X *上有界线性泛函，且 || x** ||≤|| x || . 称此泛函是由x生成的，算子τ : X → X ** ,τ ( x) = x**为 嵌入算子。
|| x|| =1
(2) || α T ||= sup || α Tx ||=| α | sup || Tx ||=| α | || T ||;
|| x|| =1 || x|| =1
(3) || T1 + T2 ||== sup || (T1 + T2 ) x ||= sup || T1 x + T2 x ||