切线长定理典型练习题
切线长定理综合练习题
切线长定理综合练习题切线长度定理是初级数学中的一个重要知识点，它在几何、微积分等领域中具有广泛的应用。
本文将通过一系列的综合练习题来帮助读者更好地理解和掌握切线长度定理。
练习题一：设圆O的半径为r，点A是圆上一点，切线与弦的交点分别为B、C。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，我们可以根据切线的定义，知道切线与圆相切的点A到圆心O的距离等于半径r，即AO = r。
其次，根据弦的定义，弦所对的圆心角等于切线与弦所对的圆心角，即角BOC = 欧，且BO = OC = r。
根据正弦定理，我们可以得到BC的长度等于2r。
练习题二：设点A为圆的外切点，弦BC过点A。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，我们可以根据切线的定义，知道切线与切点到圆心的线段垂直，并且切点到圆心的线段等于半径r，即OA ⊥ BC且OA = r。
其次，根据正弦定理，我们可以得到BC的长度等于2r。
练习题三：设点A为圆的内切点，切线BC过点A。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，我们可以根据切线的定义，知道切线与切点到圆心的线段垂直，并且切点到圆心的线段等于半径r，即OA ⊥ BC且OA = r。
其次，根据正弦定理，我们可以得到BC的长度等于2r。
综合练习题四：设圆O的半径为r，点A是圆上一点，弦BC经过点A。
已知AC = x，AB = y。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，根据角平分线定理，我们可以得出AO与BC垂直、且AO 平分∠BAC。
其次，根据勾股定理，我们可以得到AO² = AB² + OB²。
最后，结合前两个条件，我们可以得到BC的长度等于2r。
通过以上一系列的综合练习题，我们可以发现无论是切线与弦的交点在圆内还是在圆外，无论是给定弦长还是切线长，切线长度定理都成立。
切线长等于2r这个简单而有趣的定理，不仅在几何学中有着重要的应用，还在微积分、物理学等领域中被广泛使用。
3.7 切线长定理(练习)(解析版)
第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。
九年级数学切线长定理同步练习含答案
第 2 章 对称图形 —— 圆第 4 课时 切线长定理知识点 切线长定理的应用1． 如图 2－ 5－ 32，PA ，PB 分别切⊙ O 于 A ， B 两点．若∠ P ＝60° ， PA ＝ 2，则弦 AB的长为 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4图 2－ 5－32图 2－ 5－33.如图 2－5－ 33， CD 是⊙ O 的切线 ，切点为 E ， AC ， BD 分别与⊙ O 相切于点 A ， B.如果 CD ＝7， AC ＝ 4，那么 BD 等于 ()A ． 5B ．4C ． 3D ． 23． [教材习题 2.5 第 13 题变式 ]如图 2－ 5－ 34，四边形 ABCD 的边AB ， BC ，CD ， DA 和⊙ O 分别相切．若四边形ABCD 的周长为 20，则 AB ＋ CD 等于 ()A ． 5B ． 8C ． 10D ．12︵4． 已知线段 PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，AB120°， ⊙ O 的半径为 4，则的度数为 线段 AB 的长为 ()A ． 8B ． 43C ． 6 3D ． 83图 2－ 5－34图 2－ 5－35.如图 2－5－ 35， PA， PB 是⊙ O 的切线，A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠P＝ 40°，则∠ BAC 的度数为 ________．6．如图 2－ 5－ 36，PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，∠ AOP ＝50°，则∠PAB ＝ ________°，∠ OPB＝ ________°.图2－ 5－36图2－ 5－377．如图 2－ 5－ 37，PA ， PB， DE 分别切⊙ O 于点 A， B， C，若⊙ O 的半径为5， OP＝13，则△ PDE 的周长为 ________．图2－ 5－388．如图 2－ 5－ 38，P 是⊙ O 的直径 AB 的延长线上一点， PC， PD 分别切⊙ O 于点C，D. 若 PA ＝ 6，⊙O 的半径为 2，则∠ CPD 的度数为 ________．9．如图 2－ 5－ 39，PA ， PB 为⊙ O 的两条切线， A ， B 为切点．若是⊙ O 的半径为5，∠OPA ＝ 30°，求两条切线的夹角∠APB 的度数及切线PA 的长．图2－ 5－39图 2－ 5－40 10． [2016 ·梁溪区一模 ]AB ＝ 4， AD ＝ 5，AD ， AB ， BC 分别与⊙BC 于点 M ，切点为 N ，则 DM 的长为 (O 相切于点)如图2－5－40，在矩形ABCD 中，E，F， G，过点 D 作⊙ O 的切线交139 A. 34 13C. 39D． 2511．如图 2－ 5－ 41， PA， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠ ACB ＝ 70°.求∠ P 的度数．图2－ 5－4112．如图 2－ 5－ 42，△ ABC 的内切圆⊙ O 与 AC ， AB ， BC 分别相切于点D， E， F，且AB ＝5 cm， BC＝ 9 cm， AC ＝ 6 cm，求 AE ， BF 和 CD 的长．图2－ 5－4213．如图 2－ 5－ 43， PA， PB 为⊙ O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，直线 CD 切⊙ O 于点 E.(1)试试究△ PCD 的周长与线段 PA 的数量关系；(2)若∠ P＝α，求∠ COD 的度数．图2－ 5－4314．如图 2－ 5－ 44， AB 是⊙ O 的直径， AM ， BN 分别切⊙ O 于点 A ， B， CD 分别交AM ， BN 于点 D ，C， DO 均分∠ ADC.(1)求证： CD 是⊙ O 的切线；(2)若 AD ＝ 4， BC＝9，求⊙ O 的半径 R.图2－ 5－4415．如图 2－ 5－ 45， PA， PB 分别与⊙ O 相切于点 A ， B，点 M 在 PB 上，且OM ∥ AP， MN ⊥ AP，垂足为 N.(1)求证： OM ＝ AN ；(2)若⊙ O 的半径 R＝ 3， PB＝ 9，求 OM 的长．图2－ 5－ 45详解详析1． B2． C3． C4． B5． 20°[ 剖析 ]∵ PA，PB是⊙ O的切线，A，B为切点，1∴PA ＝ PB，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝2×(180° － 40° )＝ 70° .由 PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，AC 是⊙ O 的直径，得∠ PAC ＝ 90°，∴∠ BAC ＝90° － 70°＝20°. 6． 50 407． 24 [ 剖析 ]∵ PA，PB，DE分别切⊙ O于A，B，C三点，∴AD ＝ CD ， CE＝ BE ， PA＝ PB，OA ⊥ PA.在Rt△ OAP 中，依照勾股定理，得 AP ＝ 12，∴△ PDE 的周长为PD＋ DE＋ PE＝ PD＋ AD ＋ BE ＋ PE＝ 2PA ＝ 24.8． 60°[ 剖析 ] 连接 OC.∵ PA＝ 6，⊙O 的半径为2，∴OP＝ PA － OA ＝4.∵PC， PD 分别切⊙ O 于点 C，D ，∴∠ OPC＝∠ OPD， OC⊥ PC.∵OP＝ 2OC，∴∠ OPC＝ 30°，∴∠ CPD＝60° .9．解：连接 OA ， OB，则 OA ⊥PA， OB ⊥ PB.∵OA ＝ OB ，OP＝ OP，∴Rt△ OAP≌ Rt△ OBP ，∴∠ OPA＝∠ OPB，∴∠ APB ＝2∠ OPA＝ 60° .在Rt△ AOP 中，可求得 OP＝ 2OA ＝ 10，∴PA＝ OP2－ OA 2＝5 3.10． A [剖析 ] 如图，连接 OE， OF，ON ， OG.在矩形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ AB ＝ 4.∵ AD ， AB ，BC 分别与⊙ O 相切于点 E， F，G，∴∠ AEO ＝∠ AFO ＝∠ OFB＝∠ BGO ＝ 90°.又∵ OE＝ OF＝ OG，∴四边形AFOE ，四边形 FBGO 是正方形，∴AF ＝ BF＝ AE ＝ BG ＝2，∴DE ＝ 3.∵ DM 是⊙ O 的切线，∴DN ＝ DE ＝3， MN ＝ MG ，∴CM ＝5－ 2－ MG ＝ 3－ MN.在Rt△ DMC 中， DM 2＝ CD2＋ CM 2，∴ (3＋ MN) 2＝ 42＋ (3－ MN) 2，4 4 13∴MN ＝3，∴ DM ＝ 3＋3＝3.应选 A.11．解：连接 AB.∵AC 是⊙ O 的直径，∴∠ CBA ＝ 90°，∴∠ BAC ＝ 90° －∠ ACB ＝ 20° .∵PA ， PB 是⊙ O 的切线，∴PA ＝ PB，∠ CAP＝ 90°，∴∠ PAB ＝90° － 20°＝ 70°.∵PA ＝ PB，∴∠ PBA ＝∠ PAB ＝ 70°，∴∠ P＝180° －∠ PAB －∠ PBA ＝ 40°.12．解：∵⊙ O 与△ ABC 的三边都相切，∴AE ＝ AD ，BE ＝ BF ，CD ＝ CF.设AE ＝ x cm， BF＝ y cm， CD＝z cm，x＋ y＝ 5，x＝1，{y＋z＝9，) {y＝4，)则 z＋ x＝ 6，解得z＝ 5.即AE ＝ 1 cm， BF＝ 4 cm， CD＝5 cm.13．解： (1) △ PCD 的周长＝ 2PA. 原由以下：∵ PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，CD 切⊙ O 于点 E，∴PA ＝ PB， AC ＝ CE， BD ＝ DE，∴△ PCD 的周长＝ PD＋DE ＋ PC＋ CE＝ PB＋ PA＝ 2PA ，即△ PCD 的周长＝ 2PA.(2)如图，连接 OA， OE， OB.由切线的性质，得OA⊥ PA，OB⊥PB，OE⊥ CD，BD＝DE，AC＝CE.∵OA ＝ OE＝OB ，易证△ AOC ≌△ EOC ，△EOD ≌△ BOD ，∴∠ AOC ＝∠ EOC，∠ EOD＝∠ BOD ，11∴∠ COD ＝∠ EOC＋∠ EOD＝ 2(∠ AOE ＋∠ BOE) ＝ 2∠ AOB.∵∠ P＝α，OA ⊥ PA， OB⊥PB ，∴∠ AOB ＝ 180°－α，1∴∠ COD ＝ 90°－2α.14 解： (1)证明：如图，过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E.∵ AM 切⊙ O 于点 A，∴OA ⊥ AD.又∵ DO 均分∠ ADC ，∴OE＝ OA.∵ OA 为⊙ O 的半径，∴OE 是⊙ O 的半径，∴CD 是⊙ O 的切线．(2) 过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F.∵ AM ，BN 分别切⊙ O 于点 A， B，∴AB ⊥ AD ，AB ⊥ BC，∴四边形 ABFD 是矩形，∴AD ＝ BF ， AB ＝ DF.又∵ AD ＝4， BC ＝ 9，∴ FC＝ 9－ 4＝5.∵AM ，BN ， DC 分别切⊙ O 于点 A ， B， E，∴ AD ＝ DE ，BC＝ CE，∴CD ＝ DE ＋ CE＝AD ＋ BC ＝ 4＋9＝13. 在 Rt△ DFC 中， CD2＝ DF2＋ FC2，∴DF ＝ CD2－ FC2＝ 12，∴AB ＝ 12，∴⊙ O 的半径 R 为 6.15．解： (1) 证明：如图，连接 OA ，则 OA ⊥PA.∵MN ⊥PA ，∴ MN ∥OA.∵OM ∥PA ，∴四边形ANMO 是平行四边形．又∵ MN ⊥ AP，∴?ANMO 是矩形，∴OM ＝AN.(2)如图，连接 OB，则 OB⊥ PB，∴∠ OBM ＝∠ MNP ＝ 90° .∵四边形ANMO 是矩形，∴OA ＝ MN.又∵ OA ＝OB ，∴OB ＝ MN.∵OM ∥AP ，∴∠ OMB ＝∠ MPN ，∴△ OBM ≌△ MNP ，∴ OM ＝ MP.设OM ＝x，则 MP＝ x， AN ＝ x.∵PA ＝ PB＝ 9，∴NP ＝9－ x.在Rt△ MNP 中，有 x2＝ 32＋ (9－ x)2，解得 x＝ 5，即 OM ＝ 5.。
九年级数学 切线长定理 专题练习(含解析)
∴梯形对边和为：8+8=16， 则这个等腰梯形的上底与下底长的和为 16． 故选：D． 分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可． 6.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、AC 上的点，且 DE 为⊙O 的切 线，若△ABC 的周长为 25，BC 的长是 9，则△ADE 的周长是（ ） A．7 B．8 C．9 D．16
答案：C
解析：解答： ∵AB、AC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选 C． 分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10.如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点是 A、B．如果 OP=4，PA= 2 3 ，那么∠AOB 等于（ ） A．90° B．100° C．110° D．120°
答案：B 解析：解答：∵PA、PB 都是⊙O 的切线， ∴PA=PB， 又∵∠P=60°， ∴△PAB 是等边三角形，即 AB=PA=8， 故选 B． 分析： 根据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦 AB 的长． 8.如图，PA、PB 分别是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°， ∠P 的度数为（ ） A．35° B．45° C．60° D．70°
答案：D 解析：解答： 根据切线的性质定理得∠PAC=90°， ∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°． 根据切线长定理得 PA=PB， 所以∠PBA=∠PAB=55°， 所以∠P=70°． 故选 D． 分析： 根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解． 9.如 图 ， AB、 AC 是 ⊙O 的 两 条 切 线 ， B、 C 是 切 点 ， 若 ∠A=70°， 则 ∠BOC 的 度 数 为 （ ） A．130° B．120° C．110° D．100°
3.7切线长定理课时训练(含答案)
3.7切线长定理课时训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，3AC =，O 是ABC 的外接圆，点D 是优弧AMC 上任意一点（不包括点A ，C ），记四边形ABCD 的周长为y ，BD 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式是（ ）A ．y =+B ．y =+C ．2y =+D ．2y x + 2．如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边AB ．AD 都相切，且DE 与⊙O 相切于点E ，若正方形ABCD 的边长为4，3DE =，则OD 的长为（ ）A ．BC ．72D ．4 3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D E 、，则CDE △面积的最小值为（ ）A ．2B ．2.5CD ．34 4．如图，在△ABC 中，AB =3，AC =2.25，点D 是BC 边上的一点，AD =BD =2DC ，设△ABD 与△ACD 的内切圆半径分别为r 1，r 2，那么21r r =（ ）A ．2B ．1.25C ．1.5D ．43 5．如图，AB 是O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MA AO =，MD 与O 相切于点D ，BC AB ⊥交MD 的延长线于点C ，若O 的半径为2，则BC 的长是（ ）A ．4B ．C ．D ．36．如图，PA 、PB 、CD 均为⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、E ，若PA= 15，则△PCD 的周长为（ ）．A ．20B ．30C ．15D ．10 7．如图PA 、PB 是圆O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在AB 上，过C 作圆O 的切线分别交PA 、PB 于点D 、E ，连接OD 、OE ，若∠P=50°，则∠DOE 的度数为（ ）A ．130°B ．50°C ．60°D ．65° 8．如图，ABC 是一张三角形的纸片，O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，已知5AD cm =，小明准备用剪刀沿着与O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形()AMN △，则剪下的AMN 的周长为（ ）A ．20cmB ．15cmC ．10cmD ．随直线MN 的变化而变化9．如图AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、 F 、G 三点且AB //DC ，则下列结论：①CG=CF ；②BE=BF ；③∠BOC=90°；④△BEO ～△BOC ～△OGC 中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．如图，点D 在半圆O 上，半径OB ，AD ＝10，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，H 是AC 上一点，∠DHC ＝90°，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题11．如图，AB 是O 的直径，C 为半圆上一点，且30ABC ︒∠=，点P 为O 上的动点，D 为弦AP 的中点，若2AB =，则线段CD 的最大值为__________．12．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，D 为BC 上一动点，EF 垂直平分AD 分别交AC 于E 、交AB 于F ，则BF 的最大值为____．13．如图，四边形ABCD 是O 的外切四边形，且9AB =，15CD =，则四边形ABCD 的周长为__________．14．如图，已知等腰△ABC ，AB=BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O的切线交BC 于点E ，若CE=8，则⊙O 的半径是_________．15．如图，ABC ∆，外心为O ，12BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB 、AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD ∆与ACE ∆，连接BE 、CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．16．如图，O 是Rt ABC ∆的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则AF =___．三、解答题17．如图1，AB 为O 的直径，AB CD ⊥于点M ，点E 为CM 上一点，AE 的延长线交O 于点F ，AE DE =．点N 为AF 的中点，连接ON ．（1）判断ADF 的形状，并说明理由；（2）求证：OM ON =；（3）如图2，连接FB 并延长，过点D 做DG FB ⊥，交FB 的延长线于点G ，求证：DG 是O 的切线．18．如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆O 相交于点D ，过D 作直线//DG BC ．（1）求证：DG 是O 的切线；（2）求证：DE CD =；（3）若DE =8BC =，求O 的半径．19．如图，在四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，90B ∠=︒，以AD 为直径作圆O ，过点D 作//DE AB 交圆O 于点E ．（1）证明：点C 在圆O 上；（2）求tan CDE ∠的值．20．如图1，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，CE 切⊙O 于点E ，D 是CE 延长线上一点，DE=DA .（1）求证：AD 与⊙O 相切；（2）若直径AB=12，BC=x ，AD=y ，求y 与x 之间的函数关系式；（3）如图2，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，已知AD =4，BC =9，求EH 的长.参考答案1．B2．B3．A4．C5．D6．B7．D8．C9．A10．D11．1 212．83．13．4814．515．6-16．217．（1）等腰三角形，见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）等腰三角形证明：如图1 连接AC∵AB 为O 的直径，AB CD ⊥于点M ∴C ADC ∠=∠∵F C ∠=∠（同弧所对圆周角相等） ∵AE DE =，∴EAD ADC ∠=∠ ∴F EAD ∠=∠，∴AD DF =． ∴ADF 是等腰三角形（2）如图2 连接OE ，OD ，在AOE △与DOE △中AE DE EO EO OA OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴AOE △≌DOE △∴AEO DEO ∠=∠∵OM DE ⊥ 点N 为AF 的中点 ∴ 90ONE OME ∠=∠=︒利用角平分线的性质得OM ON =． （3）∵AOE △≌DOE △∴AOE DOE ∠=∠∵90ONE OME ∠=∠=︒，AEO DEO ∠=∠ ∴NOE MOE ∠=∠又∵180AOE MOE ∠+∠=∴180DOE NOE ∠+∠=∴N 、O 、D 三点共线∵DG FB ⊥，90ONE ∠=，90AFG ∠= ∴四边形DNFG 为矩形∴90GDN ∠=∴DG 是O 的切18．（1）见解析；（2）见解析；（3）5【详解】（1）证明：连接OD 交BC 于H ，如图，∵点E 是ABC 的内心，∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠， ∴BD CD =，∴OD BC ，BH CH =∵//DG BC ，∴OD DG ⊥，∴DG 是O 的切线；（2）连接BD ，如图，∵点E 是ABC 的内心，∴ABE CBE ∠=∠，∵DBC BAD ∠=∠，∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， BDE ∴为等腰三角形BD DE ∴=BAD CAD BD DC∠=∠∴= ∴DE DC =．（3）BD DC =，∴OD 垂直平分BC90BHD BHO ∴∠=∠=︒8142BC BH BC =∴==DE BD ==∴在Rt BHD △中2DH == 设半径为r ，则,2OB r OH r ==- ∴在Rt BHO 中,222OB OH BH =+ ()22242r r ∴=+-解得=5r ∴⊙O 的半径为：5．19．（1）证明见解析；（2）34【详解】（1）证明：如图1，连结CO ．3AB =，4BC =，90B ∠=︒，5AC ∴=．又12CD =，13AD =，22251213+=， ACD ∴是直角三角形，90C ∠=︒． AD 为O 的直径，AO OD ∴=，OC 为Rt ACD 斜边上的中线． 12OC AD r ∴==． ∴点C 在圆O 上．（2）解：如图2，延长BC 、DE 交于点F ，∵90B ∠=︒，//DE AB∴90BFD ∠=︒．90CDE FCD ∴∠+∠=︒．又90ACD ∠=︒，90ACB FCD ∴∠+∠=︒．CDE ACB ∴∠=∠．在Rt ABC △中，3tan 4ACB ∠=， 3tan tan 4CDE ACB ∴∠=∠=． 20．（1）见解析；（2）36y x =；（3）7213； 【详解】解：（1）证明：如图，连接OE ，OD ，在△AOD 和△EOD 中，OA OE OD OD AD ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△EOD ，∴∠OAD =∠OED ，∵CE切⊙O于点E，∴∠OED=90°，∴∠OAD=90°，∴AD与⊙O相切；．（2）如图，连接OC，OD，OE，∵△AOD≌△EOD，∴∠AOD=∠DOE，同理可证∠BOC=∠COE，∴∠DOE+∠COE=90°，∵CE切⊙O于点E，∴∠CEO=∠DEO=90°，∴∠OCE+∠COE=90°，∴∠OCE=∠DOE，∴△EOD∽△ECO，∴OE DE CE OE=，∴OE2=DE·CE=AD·BC，∵AD，CE，BC是圆的切线，∴DE=AD=y，CE=BC=x，∵AB=12，∴OE=6，∴xy=36，即36yx =；（3）如图，作DF⊥BC于F，设DF交EH于点G，则四边形ABFD、四边形AHGD是矩形，∴HG=AD=BF=4，CF=CB-BF=CB-AD=5，AD//HG//BC．∵AD，CE，BC是圆的切线，∴DE=AD=4，CE=CB=9，∴CD=CE+DE=CB+AD=13，∵EG//CF，∴GE DECF DC，GE=2013，∴EH=GH+GE=4+2013=7213；。
切线长定理练习题
切线长定理练习题1. 如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90∘，ACBC =43，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan∠CAO的值．（3）若⊙O的半径为4，求CFAD的值．2. 如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB // CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．3. 如图，⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙于E，交AM于D，交BN于C．设AD=x，BC=y．（1）求证：AM // BN．（2）探究y与x的函数关系．4. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60∘．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．5. 已知，如图，AB、AC是⊙O得切线，B、C是切点，过BC^上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E。
（1）连接OD和OE，若∠A=50∘，求∠DOE的度数．（2）若AB=7，求△ADE的周长．6. 如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．7. 如图，AC是⊙O的直径，∠ACB=60∘，连接AB，分别过A、B作圆O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，求△PAB的周长．8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，M是BC^的中点，OM交⊙O的切线BP于点P．（1）判断直线PC和⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin∠BAC=0.8，⊙O的半径为2，求线段PC的长．参考答案与试题解析2019年3月19日初中数学一、解答题（本题共计 8 小题，每题 10 分，共计80分）1.【答案】证明：作OH⊥AB于H．∵OA平分∠CAB，OC⊥BC，OH⊥AB，∴OH＝OC，∴AB是⊙O的切线．∵AC:BC＝4:3，∴可以假设AC＝4k，BC＝3k，则AB＝5k，∵∠ACO＝90∘，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线，∵AH是⊙O的切线，∴AH＝AC＝4k，BH＝k，设OC＝r，∴OB＝3k−r，在Rt△OBH中，(3k−r)2＝r2+k2，∴r=43k，∴tan∠CAO=OCAC =43k4k=13，连接CD，∵EC是直径，∴∠EDC＝90∘，∴∠DCF+∠DCO＝90∘，∠DCO+∠CED＝90∘，∴∠DCF＝∠CED，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ACD，∵∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴AD2＝AF⋅AC，∵r＝4，∴k＝3，∴AC＝9，OA＝3√10，AD＝3√10−3，∴(3√10−3)2＝9⋅AF，∴AF＝11−2√10，∴CF＝AC−AF＝9−11+2√10=2√10−2，∴CFAD=√10−23√10−3=23．【解析】（1）作OH⊥AB于H．只要证明OH＝OC即可；（2）假设AC＝4k，BC＝3k，则AB＝5k，因为AC是⊙O的切线，AH是⊙O的切线，推出AH＝AC＝4k，BH＝k，设OC＝r，推出OB＝3k−r，在Rt△OBH中，(3k−r)2＝r2+k2，求出r与k关系即可解决问题；（3）想办法求出AD、CF即可解决问题；2.【答案】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB // CD，∴∠ABC+∠BCD=180∘，∴∠OBE+∠OCF=90∘，∴∠BOC=90∘；（2）由（1）知，∠BOC=90∘．∵OB=6cm，OC=8cm，∴由勾股定理得到：BC=√OB2+OC2=10cm，∴BE+CG=BC=10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF=OB⋅OCBC=4.8cm．【解析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180∘，则有∠OBC+∠OCB=90∘，即∠BOC=90∘；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．3.【答案】（1）证明：∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴AB⊥AD，AB⊥BC ，∴AM // BN．（2）解：作DF⊥BN交BC于F，∵AB⊥AM，AB⊥BN．又∵DF⊥BN，∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90∘，∴四边形ABFD是矩形，∴BF=AD=x，DF=AB=2，∵BC=y，∴FC=BC−BF=y−x；∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，∴DE=DA=xCE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在Rt△DFC中，由勾股定理得：(x+y)2=(x−y)2+22，整理为：y=1x，∴y与x的函数关系为：y=1x．【解析】（1）由AM和BN是⊙O的两条切线，可得AB⊥AD，AB⊥BC，则可证得AM // BN．（2）首先作DF⊥BN交BC于F，可得四边形ABFD是矩形，然后根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．4.【答案】解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP=BP，∵∠P=60∘，∴∠PAB=60∘，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC=90∘，∴∠BAC=90∘−60∘=30∘．（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30∘，∴OP=4，由勾股定理得：AP=2√3，∵AP=BP，∠APB=60∘，∴△APB是等边三角形，∴AB=AP=2√3．【解析】（1）根据切线长定理推出AP=BP，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠PAB=60∘，求出∠PAO=90∘即可；（2）根据直角三角形性质求出OP，根据勾股定理求出AP，根据等边三角形的判定和性质求出即可．5.【答案】解：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，∴∠OBA=∠OCA=90∘，∵∠A=50∘，∴∠BOC=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，∴OD平分∠BOP，同理得：OE平分∠POC，∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=12(∠BOP+∠POC)=12∠BOC=65∘，（2）∵DB=DP，EP=EC，AB=AC，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DP+EP+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=2AB=14．【解析】（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，根据切线的性质和切线长定理得到OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，于是求得∠OBA=∠OCA=90∘，由于∠A=50∘，求出∠BOC=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，根据OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，得到OD平分∠BOP，同理得OE平分∠POC，即可得到结论；（2）根据切线长定理得到DB=DP，EP=EC，AB=AC，由等量代换即可得到结果．6.【答案】解：设AF=x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90∘，∴DA⊥AB，∴AD是圆的切线，∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF=AF=x，∴FD=1−x，∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2=CD2+DF2，即(1+x)2=1+(1−x)2，解得x=14，∴DF=1−x=34，∴S△CDF=12×1×34=38．【解析】设AF=x，由切线长定理可得EF=AF=x，则FD=1−x，CF=CE+EF=CB+EF=1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．7.【答案】解：∵PA，PB是圆O的切线．∴PA=PB，∠PAB=60∘∴△PAB是等边三角形．在直角△ABC中，AB=AC⋅sin60∘=2×√32=√3∴△PAB的周长为PA+PB+AB=3√3．【解析】AC是直径，则△ABC是直角三角形，根据三角函数即可求得AB的长，根据切线长定理以及弦切角定理，即可证明△PAB是等边三角形，据此即可求解．8.【答案】解：（1）相切；证明：连接OC；∵点M是弧BC的中点，∴∠BOM=∠MOC；又∵OB=OC，OP=OP，∴△POC≅△POB，∴∠PBO=∠PCO；已知PB是⊙O的切线，即∠PBO=90∘；故∠PCO=∠PBO=90∘，即PC⊥OC；而OC是⊙O的半径，所以PC是⊙O的切线．（2）由圆周角定理知：∠BAC=12∠BOC=∠BOM，∴sin∠BOM=sin∠BAC=0.8；易知：tan∠BOM=43，则PB=OB⋅tan∠BOM=83；∵PC、PB都是⊙O的切线，且切点为C、B，由切线长定理知：PC=PB=83．【解析】（1）连接OC，证OC⊥PC即可，观察图形，可利用全等三角形来求解；已知的等量条件有：OB= OC，OP=OP，而M是弧BC的中点，由圆心角、弧的关系得∠COM=∠BOM，由此可利用SAS判定△POC≅△POB，即可得PC⊥OC，由此得证．（2）首先由圆周角定理可证得∠POB=∠BAC，因此可在Rt△POB中，通过解直角三角形求得PB的长，进而可由切线长定理得到PC的长．。
切线长定理练习题
切线长定理练习题切线长定理练习题切线长定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个圆与其切线之间的关系。
通过理解和应用这个定理，我们可以解决许多与圆相关的问题。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对切线长定理的理解。
练习题1：已知一个圆的半径为5 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为12 cm。
求切线的长度。
解答：根据切线长定理，切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。
即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 12^2 - 5^2切线长的平方 = 144 - 25切线长的平方 = 119切线长≈ √119 ≈ 10.92 cm所以，切线的长度约为10.92 cm。
练习题2：已知一个圆的直径为10 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为8 cm。
求切线的长度。
解答：由于切线长定理中给出的是切点到圆心的距离，而我们已知的是直径，所以我们需要先求得圆的半径。
圆的半径等于直径的一半，即5 cm。
接下来，我们可以使用切线长定理来求解切线的长度。
切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。
即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 8^2 - 5^2切线长的平方 = 64 - 25切线长的平方 = 39切线长≈ √39 ≈ 6.24 cm所以，切线的长度约为6.24 cm。
练习题3：已知一个圆的半径为7 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为10 cm。
求切线的长度。
解答：同样地，我们可以使用切线长定理来解决这个问题。
切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。
即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 10^2 - 7^2切线长的平方 = 100 - 49切线长的平方 = 51切线长≈ √51 ≈ 7.14 cm所以，切线的长度约为7.14 cm。
切线长定理练习题
切线长定理练习题一、选择题1、如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．43D．83答案：B2、如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD = 20，则△ABC的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50答案：C解析：由切线长定理，AD=AE=20，BD=BF，CE=CF，△ABC的周长为AB+AC+BF + CF = AB+AC +BD + CE = AD+AE= 40。
3、一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于（）A．21B．20C．19D．18答案：D解析：作图如下：斜边AB =AD+BD =8，根据切线长定理AF=AD，BE=BD，则AF+BE=8；由切线的性质，OE⊥BC、OE⊥AC，四边形OECF为正方形，CE=CF=1。
于是△ABC的周长为8+8+2 = 18。
4、如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD =3，BC = 6，则AB+CD的值是（）A．3B．6C．9D．12答案：C解析：如下图，不妨设AB、AD、CB、CD分别与⊙O相切于点E、F、H、G，由切线长定理，AE=AF，BE=BH，CH=CG，DF=DG，于是AD+BC = AF+DF+BH+CH = AE+BE+DG+CG = AB + CD，所以AB+CD的值为3+6 = 9。
5、如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P。
若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A．12B．122C．62D．63答案：C解析：连接CP，作CD⊥OB，则OA与⊙C相切于点P，OB与⊙C相切于点D。
易知四边形CDOP是正方形，所以OP=CP=6，∠POC=45°，OC = 62。
二、填空题1、如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是cm。
(完整版)切线长定理练习题
切线长定理练习题一、选择题1。
下列说法中，不正确的是（ )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．184。
如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8,内切圆半径为1,则这个三角形的周长等于（ )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．PBAO6题图 7题图 8题图7．如图,一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 8．如图,已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度． 三、解答题9。
如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．10。
如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB 的长．11。
切线长定理典型练习题
切线长定理典型练习题一、填空题1、如图AB 为⊙O 的直径，CA 切⊙O 于点A ，CD=1cm ，DB=3cm ，则AB=______cm 。
2、已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是 。
3、三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 。
二、选择题1、△ABC 内接于圆O ，AD ⊥BC 于D 交⊙O 于E ，若BD=8cm ，CD=4cm ，DE=2cm ，则△ABC 的面积等于（ ）A.248cmB.296cmC.2108cmD.232cm2、正方形的外接圆与内切圆的周长比为（ ） A. 1:2 B. 2：1 C. 4：1 D. 3：13、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的 （ ）A.三条中线的交点，B.三条角平分线的交点，C.三条高的交点，D.三边的垂直平分线的交点。
4、△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，则∠FDE 与∠A 的关系 是 （ ）A. ∠FDE=21∠A B . ∠FDE+21∠A=180° C . ∠FDE+21∠A=90° D . 无法确定 三、解答题：1、如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。
2、等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10 cm ，求它的内切圆的半径。
3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N 。
（1）求证：B A ·BM=BC ·BN ；（2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点。
当AC=3时，求AB 的值。
N MOCP C B AA 4、已知如图,过圆O 外一点B 作圆O 的切线BM, M 为切点.BO 交圆O 于点A,过点A 作BO 的垂线,交BM 于点P.BO=3,圆O 半径为1.求MP 的长.5、如图，两圆内切于点A,PA 既是大圆的切线，又是小圆的切线，PB 、PC 分别切两圆于B 、C 。
(完整版)切线长定理练习题
切线长定理练习题一、选择题1.下列说法中，不正确的是( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．184. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( )C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．6题图7题图8题图7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．三、解答题9. 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．10. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．PBAO11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．13．已知：如图，△ABC 三边BC =a ，CA =b ，AB =c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o ，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积．15．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C =90°．(1)若AC =12cm ，BC =9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC =b ，BC =a ，AB =c ，求⊙O 的半径r ．四、体验中考16.（2011年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°17.（2011年绵阳）一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( ) A ．50 cm B ．253cm C ．3350cm D ．503cm 18. (2011年甘肃定西)如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．17题图 18题图 19题图19. （2011年湖南怀化）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，参考答案◆随堂检测1. C2. B (提示：②④错误)3. 760（提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520∴∠DIF=1040∵D、F是切点∴DI ⊥AB,IF⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900∴∠A=1800-1040=760）4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 1150(提示：∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=1300∵OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)◆课下作业1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）2. C3. D4. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=405. 解：连接BC ∵PA,PB 切⊙O 于A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角形 ∵∠PAB=600∵PA 是⊙O 切线 ∴CA ⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径AC ∴∠ABC=900∴cos300=ABAC∴AB=6. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°．（2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30°又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝7. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯= ●体验中考 1. C2. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）3.3（提示：连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OBOA AO=）4. ∠P=600。
沪科版九年级数学下册24.4_切线长定理 典型例题与练习
例2：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACP=【】A．30B．45C．60D．67.5例3：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是【】A．80° B．110° C．120° D．140°例4：如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝°．例5：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．例6：如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．练习巩固1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）A．DE=DO B．AB=AC C．CD=DB D．AC∥OD2、如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为____________．3、在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为____________．4、如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为_______.5、如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是CF︵的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝__________．6、如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（）A．28°B．33°C．34°D．56°ABCD OADOCO BE7、如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D．若OD＝2，tan∠OAB＝12，则AB的长是()．A．4 B．23C．8 D．438、如图已知等腰△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的圆O的切线交BC于点E，若CD=5，8．如图，已知AB为⊙O的直径，P A，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°.(1)求∠P的度数；(2)若AB＝2，求P A的长(结果保留根号)．【中考变形类型】与切线的性质有关的计算或证明已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.(1)求证：AP＝AB；(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．。
北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步练习题带答案
北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________切线长定理1.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=10,AC=6,则BD的长是()A.3B.4C.5D.62.如图,四边形ABCD外切于☉O,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为()A.60B.55C.45D.503.如图,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为.4.如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,若∠APB=60°,PO=2,则☉O的半径等于.5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是△ABC的内切圆,三个切点分别为D,E,F,若BF=2,AF=3,则△ABC的面积是.6.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=20°,求∠P的度数.7.如图,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB=6 cm,OC=8 cm.求:(1)∠BOC的度数;(2)BE+CG的长;(3)☉O的半径.1.如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为()A.12B.13C.14D.152.(2024滨州滨城区期中)如图,☉O内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交BC,CD于点N,M,若CM+CN=10,则☉O的面积为.3.如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接AO,BO,CO,DO,记△AOD,△AOB,△COB,△DOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1,S2,S3,S4的数量关系为.4.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.(1)求证:△PAB是等边三角形;(2)求AC的长.5.如图,AB为☉O的直径,∠DAB=∠ABC=90°,CD与☉O相切于点E,EF⊥AB于点F,EF交BD于点G,若AD=2,BC=6.(1)求CD的长度;(2)求EG的长度;(3)求BF的长度.6.(几何直观)如图,AB为☉O的直径,PA,PC分别与☉O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.(1)求证:OQ=PQ;(2)连接BC并延长交PQ于点D,若PA=AB,且CQ=6,求BD的长.参考答案课堂达标1.B解析:∵AC,AP为☉O的切线∵BP,BD为☉O的切线∴BP=BD∴BD=BP=AB-AP=10-6=4.故选B.2.D解析:如图,∵四边形ABCD外切于☉O,设切点分别为E,G,H,F ∴AE=AF,BE=BG,CG=CH,DH=DF∴AD+BC=AF+DF+BG+CG=AE+DH+BE+CH=AB+CD=10+15=25∴四边形ABCD的周长为AD+BC+AB+CD=25+25=50.故选D.3.7解析:∵AB,AC,BC都是☉O的切线∴AD=AE,BD=BF,CE=CF.∵AB=4,AC=5,AD=1∴AE=1,BD=BF=3,CE=CF=4∴BC=BF+CF=3+4=7.4.1解析:∵PA、PB是☉O的两条切线∴∠APO=∠BPO=1∠APB,∠PAO=90°.2∵∠APB=60°∴∠APO=30°.∵PO=2∴AO=1.5.6解析:连接DO,EO,如图.∵☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F∴OE⊥AC,OD⊥BC,CD=CE,BD=BF=2,AF=AE=3.又∵∠C=90°∴四边形OECD是矩形.在Rt△ABC中,BC2+AC2=AB2故(x+2)2+(x+3)2=52解得x=1(负值舍去)∴BC=3,AC=4∴S△ABC=1×3×4=6.26.解:根据切线的性质,得∠PAC=90°∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-20°=70°.根据切线长定理,得PA=PB∴∠PAB=∠PBA=70°∴∠P=180°-70°×2=40°.7.解:(1)如图,连接OE,OF.∵直线AB,BC分别与☉O相切于点E,F∴OE⊥AB,OF⊥BC,BE=BF.又∵OB=OB∴Rt△OBE≌△Rt△OBF(HL)∴∠OBE=∠OBF.同理,∠OCF=∠OCG.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°∴∠OBF+∠OCF=90°∴∠BOC=90°.(2)由切线长定理,得BE=BF,CF=CG∴BE+CG=BF+CF=BC.∵∠BOC=90°,OB=6 cm,OC=8 cm∴BC=√OB2+OC2=10 cm,∴BE+CG=10 cm.(3)∵OF⊥BC,OB⊥OC∴OF=OB·OC=4.8 cm.BC即☉O的半径为4.8 cm.课后提升1.C解析:设AE的长为x∵CE与半圆O相切于点F∴AE=EF,BC=CF.∵EF+FC+CD+ED=12∴AE+ED+CD+BC=12.∵AD=CD=BC=AB∴正方形ABCD的边长为4.在Rt△CDE中,ED2+CD2=CE2,即(4-x)2+42=(4+x)2,解得x=1∴AE+EF+FC+BC+AB=14∴直角梯形ABCE的周长为14.故选C.2.25π解析:如图,设☉O与正方形ABCD的边CD切于点E,与BC切于点F连接OE,OF则四边形OECF是正方形∴CF=CE=OE=OF∠OEM=∠OFN=∠EOF=90°.∵∠MON=90°∴∠FON+∠FOM=∠FOM+∠EOM∴∠EOM=∠FON∴△OEM≌△OFN(ASA)∴EM=NF∴CM+CN=CE+CF=10,∴OE=5∴☉O的面积为25π.3.S1+S3=S2+S4解析:如图,设切点分别为E,F,G,H,连接OE,OF,OG,OH由切线性质可知,OE ⊥AD ,OF ⊥CD ,OG ⊥BC ,OH ⊥AB ,设OE =OF =OG =OH =r DE =DF =a ,AE =AH =b ,BH =BG =c ,CG =CF =d 则S 1=12r (a +b ),S 2=12r (b +c ),S 3=12r (c +d ),S 4=12r (a +d ) ∴S 1+S 3=12r (a +b )+12r (c +d )=12r (a +b +c +d )S 2+S 4=12r (b +c )+12r (a +d )=12r (a +b +c +d )∴S 1+S 3=S 2+S 4.4.解:(1)证明:∵PA ,PB 分别与☉O 相切于点A ,B ∴PA =PB ∵∠P =60°∴△PAB 是等边三角形. (2)∵△PAB 是等边三角形 ∴PB =AB =2 cm,∠PBA =60°. ∵BC 是直径,PB 是☉O 的切线 ∴∠CAB =90°,∠PBC =90° ∴∠ABC =30° ∴tan ∠ABC =AC AB=√33∴AC =2×√33=2√33(cm) 故AC 的长为2√33cm .5.解:(1)∵AB 为☉O 的直径,∠DAB =∠ABC =90° ∴DA ,CB 都是☉O 的切线. ∵CD 与☉O 相切于点E ∴DE =DA =2,CE =CB =6 ∴CD =DE +CE =8. (2)∵∠ABC =90°,EF ⊥AB ∴EG ∥BC ∴△DEG ∽△DCB∴EGCB =EDCD,即EG6=28解得EG=32.(3)如图,过点D作DH⊥BC于点H则四边形DABH为矩形∴BH=AD=2∴CH=BC-BH=4∴DH=√CD2-CH2=4√3∴AB=DH=4√3.∵∠DAB=∠ABC=90°,EF⊥AB∴AD∥EG∥BC∴BFAB =CECD,即4√3=68解得BF=3√3.6.解:(1)证明:如图,连接OP.∵PA,PC分别与☉O相切于点A,C ∴PA=PC,OC⊥PC,OA⊥PA.∵OA=OC,OP=OP∴△OPA≌△OPC(SSS)∴∠AOP=∠POC.∵QP⊥PA,∴QP∥BA∴∠QPO=∠AOP,∴∠QOP=∠QPO ∴OQ=PQ.(2)设OA=r.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∵OB∥QD,∴∠QDC=∠B.∵∠OCB=∠QCD,∴∠QCD=∠QDC ∴QC=QD=6.∵QO=QP∴OC=DP=r.∵PC是☉O的切线∴OC⊥PC,∴∠OCP=∠PCQ=90°.在Rt△PCQ中,∵PQ2=PC2+QC2∴(6+r)2=(2r)2+62∴r=4或r=0(舍去)∴OP=√42+82=4√5.∵OB=PD,OB∥PD∴四边形OBDP是平行四边形∴BD=OP=4√5.。
最新切线长定理典型练习题
切线长定理典型练习题一、填空题1、如图AB 为⊙O 的直径，CA 切⊙O 于点A ，CD=1cm ，DB=3cm ，则AB=______cm 。
2、已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是 。
3、三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 。
二、选择题1、△ABC 内接于圆O ，AD ⊥BC 于D 交⊙O 于E ，若BD=8cm ，CD=4cm ，DE=2cm ，则△ABC 的面积等于（ ）A.248cmB.296cmC.2108cmD.232cm2、正方形的外接圆与内切圆的周长比为（ ） A. 1:2 B. 2：1 C. 4：1 D. 3：13、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的 （ ）A.三条中线的交点，B.三条角平分线的交点，C.三条高的交点，D.三边的垂直平分线的交点。
4、△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，则∠FDE 与∠A 的关系是 （ ）A. ∠FDE=21∠A B . ∠FDE+21∠A=180° C . ∠FDE+21∠A=90° D . 无法确定 三、解答题：1、如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。
2、等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10 cm ，求它的内切圆的半径。
3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N 。
（1）求证：B A ·BM=BC ·BN ；（2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点。
当AC=3时，求AB 的值。
P C B A 4、已知如图,过圆O 外一点B 作圆O 的切线BM, M 为切点.BO 交圆O 于点A,过点A 作BO 的垂线,交BM 于点P.BO=3,圆O 半径为1.求MP 的长.5、如图，两圆内切于点A,PA 既是大圆的切线，又是小圆的切线，PB 、PC 分别切两圆于B 、C 。
专题3.6 切线长定理(专项训练)(解析版)
专题3.6 切线长定理（专项训练）1.（2022•萧山区模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接OB、AB，若∠ABO＝25°，则∠APB的度数为（ ）A．50°B．55°C．65°D．70°【答案】A【解答】解：如图，连接OP交AB于点C，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∠OPB＝∠OPA＝∠APB，∴OP⊥AB，∴∠PCB＝90°，∴PB⊥OB，∴∠PBO＝90°，∴∠OPB＝90°﹣∠PBC＝∠ABO＝25°，∴∠APB＝2∠OPB＝2×25°＝50°，故选：A．2（2021秋•福州期末）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）A．B．C．5D．5【答案】C【解答】解：∵PA，PB为⊙O的两条切线，∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴AB＝PA＝5，故选：C．3．（2021秋•河东区期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝50°，C为⊙O 上一点，则∠ACB的度数为（ ）A．120°B．115°C．110°D．125°【答案】B【解答】解：连接OA、OB，作所对的圆周角∠ADB，如图，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ADB＝∠AOB＝65°，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣65°＝115°．故选：B．4．（2021秋•西岗区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）A．8B．12C．16D．20【答案】C【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C5.（2021秋•雨花区校级月考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解答】解：∵PA，PB均为⊙O切线，∴PB＝PA＝5，故选：D．6.（2021•永定区模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【答案】C【解答】解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB；所以△PFG的周长＝PF+FG+PG，＝PF+FE+EG+PG，＝PF+FA+GB+PG，＝PA+PB＝16cm，故选：C．7.（2021秋•新兴县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．【答案】50【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝25，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，故答案为：50．8（2022秋•西乡塘区校级期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（ ）A．2.5B．2C．1.5D．1【答案】D【解答】解：∵AP、AC是⊙O的切线，∴AP＝AC＝3，∵AB＝4，∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，∵BP、BD是⊙O的切线，∴BD＝BP＝1，故选：D．9.（2021秋•南宁期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，则⊙O的半径是（ ）A．1B．C．2D．2【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，∴AB＝＝3，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AF，CF＝CE，如图，连接OD，OF，∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°，∴四边形ADOF是正方形，设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则AF＝AD＝4﹣x，BD＝BE＝3﹣x，∵AF+CF＝5，∴4﹣x+3﹣x＝5，∴x＝1，则圆O的半径为1．故选：A．10.（2021秋•南开区期末）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 ．【答案】6【解答】解：连接DO，EO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3，又∵∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形，又∵EO＝DO，∴矩形OECD是正方形，设EO＝x，则EC＝CD＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2，故（x+2）2+（x+3）2＝52，解得：x＝1，∴BC＝3，AC＝4，∴S＝×3×4＝6，△ABC故答案为：6．。
切线长定理-北京习题集-教师版
切线长定理（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2011•朝阳区二模）如图，MBC ∆中，90B ∠=︒，60C ∠=︒，23MB =，点A 在MB 上，以AB 为直径作O 与MC 相切于点D ，则CD 的长为( )A ．2B ．3C ．2D ．32．（2010秋•西城区校级月考）如图，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若10AB =，4BC =，则AD 的长( )A ．4B ．5C ．6D ．73．（2005秋•海淀区期末）如图，PA 切O 于A ，PB 切O 于B ，连接OP ．若30APO ∠=︒，2OA =，则(BP =)A ．233B ．3C ．4D ．234．（2005•北京）如图，PA 、PB 是O 的两条切线，切点是A 、B ．如果4OP =，23PA =，那么AOB ∠等于()A ．90︒B ．100︒C ．110︒D ．120︒5．（2000•西城区）如图，PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，如果60P ∠=︒，2PA =，那么AB 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（共3小题）6．（2011秋•昌平区期末）如图，已知PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，90P ∠=︒，3PA =，那么O 的半径长是 ．7．（2011秋•海淀区期中）如图，AB 为O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 、CE 分别与O 相切于点D 、E ，若2AD =，DAC DCA ∠=∠，则CE = ．8．（2010•北京一模）如图，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，C 为弧AB 上任意一点，过点C 作O 切线交PA 于点D ，交PB 于点E ，若6PA =，则PDE ∆的周长为 ．三．解答题（共4小题）9．（2014秋•东城区月考）如图所示，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为O 上一点，过Q 点作O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，已知8PA cm =，求：PEF ∆的周长．10．（2010秋•昌平区校级月考）如图，AC是O的直径，60∠=︒，连接AB，分别过A、B作圆O的切线，ACB两切线交于点P，若已知O的半径为1，求PAB∆的周长．11．（2009秋•海淀区期中）如图，点B在O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当5AC=时，求AD的长．12．（2008•海淀区一模）在一个夹角为120︒的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．（1）写出此图中相等的线段．（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）切线长定理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2011•朝阳区二模）如图，MBC∆中，90B∠=︒，60C∠=︒，23MB=，点A在MB上，以AB为直径作O与MC相切于点D，则CD的长为()A．2B．3C．2D．3【分析】在直角三角形BCM中，根据60︒的正切函数以及MB的长度，求出BC的长，然后根据AB为直径且AB与BC垂直，得到BC为圆O的切线，又因为CD也为圆O的切线，根据切线长定理得到切线长CD与BC相等，即可得到CD的长．【解答】解：在直角BCM∆中，tan603MB BC︒==，得到2323BC==，AB为圆O的直径，且AB BC⊥，BC∴为圆O的切线，又CD也为圆O的切线，2CD BC∴==．故选：C．【点评】此题考查学生灵活运用三角函数解直角三角形，掌握圆外一点引圆的两条切线，切线长相等的应用，是一道中档题．2．（2010秋•西城区校级月考）如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若10AB=，4BC=，则AD的长()A．4B．5C．6D．7【分析】连接OC，OD，设O的半径为r，在AOD∆和BOC∆中，AD和AO，BO和BC上的高都为r，则AO AD=，BO BC=，从而得出BA AD BC=+．【解答】解：连接OC，OD，设O的半径为r，BC、CD、DA与半O相切，AD∴和AO的高为r，AO AD∴=，同理BO BC=，AB AO BO AD BC∴=+=+，又知10AB=，4BC=，故知6AD=，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和切线长定理以及切线的性质，是基础知识比较简单．3．（2005秋•海淀区期末）如图，PA切O于A，PB切O于B，连接OP．若30APO∠=︒，2OA=，则(BP= )A 23B3C．4D．23【分析】由PA与PB为圆O的两条切线，根据切线长定理得到PA PB=，根据切线的性质得到OA与AP垂直，在直角三角形AOP中，根据锐角三角函数定义得到tanOAAPOPA∠=，把OA及APO∠的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简后可得出PA的长，即为PB的长．【解答】解：PA、PB为圆O的两条切线，PA PB∴=，OA AP⊥，在Rt AOP∆中，30APO∠=︒，2OA=，tanOA APOPA∴∠=，即23 tan30PA︒==，22333PA ∴==，则23PB PA ==． 故选：D ．【点评】此题考查了切线长定理，切线的性质，以及锐角三角函数定义，其中切线长定理为：经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等，且此点与圆心的连线平分两切线的夹角，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．4．（2005•北京）如图，PA 、PB 是O 的两条切线，切点是A 、B ．如果4OP =，23PA =，那么AOB ∠等于()A ．90︒B ．100︒C ．110︒D ．120︒【分析】由切线长定理知APO BPO ∆≅∆，得AOP BOP ∠=∠．可求得sin 3:2AOP ∠=，所以可知60AOP ∠=︒，从而求得AOB ∠的值．【解答】解：()APO BPO HL ∆≅∆， AOP BOP ∴∠=∠．sin :23:43:2AOP AP OP ∠===，60AOP ∴∠=︒． 120AOB ∴∠=︒．故选：D ．【点评】本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质，正弦的概念求解．5．（2000•西城区）如图，PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，如果60P ∠=︒，2PA =，那么AB 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由切线长定理知PA PB∆是等边三角形，由此可求得AB的长．=，根据已知条件即可判定PAB【解答】解：PA、PB分别切O于A、B，∴=；PA PBP∠=︒，60∴∆是等边三角形；PAB∴==，故选B．AB PA2【点评】此题主要考查的是切线长定理及等边三角形的判定和性质．二．填空题（共3小题）6．（2011秋•昌平区期末）如图，已知PA、PB分别切O于点A、B，90PA=，那么O的半径长是∠=︒，3P3．【分析】连接OA、OB，已知PA、PB分别切O于点A、B，由切线的性质及切线长定理可得：PA PB=，P∠=∠=︒，再由已知90∠=︒，所以得到四边形APBO为正方形，从而得O的半径长即PA的长．OAP OBP90【解答】解：连接OA、OB，则(OA OB O=的半径），PA、PB分别切O于点A、B，∴=，90PA PB∠=∠=︒，OAP OBP已知90P∠=︒，∴∠=︒，90AOB∴四边形APBO为正方形，∴===，3OA OB PA则O的半径长是3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了切线的性质及切线长定理的运用，关键是由已知及切线的性质及切线长定理判定四边形APBO为正方形．7．（2011秋•海淀区期中）如图，AB为O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与O相切于点D、E，若2AD=，DAC DCA∠=∠，则CE=2．【分析】有条件可得AD CD =，再有切线长定理可得：CD CE =，所以AD CE =，问题的解． 【解答】解：CD 、CE 分别与O 相切于点D 、E ， CD CE ∴=， DAC DCA ∠=∠， AD CD ∴=， AD CE ∴=，2AD =，2CE ∴=．故答案为：2．【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角和等腰三角形的判定定理和性质定理．8．（2010•北京一模）如图，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，C 为弧AB 上任意一点，过点C 作O 切线交PA 于点D ，交PB 于点E ，若6PA =，则PDE ∆的周长为 12 ．【分析】根据切线长定理，将PDE ∆的周长转化为切线长进行求解．【解答】解：根据切线长定理得：CD AD =，CE BE =，PA PB =，则PDE ∆的周长26212PA ==⨯=． 【点评】本题考查了切线长定理的应用能力． 三．解答题（共4小题）9．（2014秋•东城区月考）如图所示，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为O 上一点，过Q 点作O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，已知8PA cm =，求：PEF ∆的周长．【分析】直接利用切线长定理进而求出PA PB =，EA EQ =，FB FQ =，即可得出答案．【解答】解：PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为O 上一点，过Q 点作O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，PA PB ∴=，EA EQ =，FB FQ =，8PA cm =，PEF ∴∆的周长为：8816()PE EF PF PA PB cm ++=+=+=．【点评】此题主要考查了切线长定理，根据题意得出PE EF PF PA PB ++=+是解题关键．10．（2010秋•昌平区校级月考）如图，AC 是O 的直径，60ACB ∠=︒，连接AB ，分别过A 、B 作圆O 的切线，两切线交于点P ，若已知O 的半径为1，求PAB ∆的周长．【分析】AC 是直径，则ABC ∆是直角三角形，根据三角函数即可求得AB 的长，根据切线长定理以及弦切角定理，即可证明PAB ∆是等边三角形，据此即可求解． 【解答】解：PA ，PB 是圆O 的切线．PA PB ∴=，60PAB ∠=︒ PAB ∴∆是等边三角形．在直角ABC ∆中，3sin 60232AB AC =︒=⨯= PAB ∴∆的周长为33PA PB AB ++=．【点评】本题主要考查了切线长定理和弦切角定理，正确证明PAB ∆是等边三角形，是解题的关键．11．（2009秋•海淀区期中）如图，点B 在O 外，以B 点为圆心，OB 长为半径画弧与O 相交于两点C ，D ，与直线OB 相交A 点．当5AC =时，求AD 的长．【分析】连接OC 、OD ．根据切线的判定方法证明AC 、AD 都是圆的切线，再根据切线长定理即可求解． 【解答】解：连接OC 、OD ．OA是B的直径，OCA ODA∴∠=∠=︒，90∴、AD都是O的切线．AC∴==．5AD AC【点评】此题综合运用了圆周角定理的推论、切线的判定定理和切线长定理．12．（2008•海淀区一模）在一个夹角为120︒的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．（1）写出此图中相等的线段．（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）【分析】（1）根据切线长定理，知AB AC=；（2）连接OB、OA．根据切线长定理，得60OB AB，从而求得圆的∠=︒，利用解直角三角形的知识，得3OAB直径．【解答】解：（1）根据切线长定理，知AB AC=；（2）连接OB、OA．根据切线长定理，得60∠=︒．OAB在直角三角形AOB中，得3OB AB，则只需测得AB的长，即可求得圆的直径．【点评】此题综合运用了切线长定理、解直角三角形的知识．第11页（共11页）。
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切线长定理典型练习题
一、填空题
1、如图AB 为⊙O 的直径，CA 切⊙O 于点A ，CD=1cm ，DB=3cm ，则AB=______cm 。
2、已知三角形的三边分别为
3、
4、5，则这个三角形的内切圆半径是 。
3、三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 。
二、选择题
1、△ABC 内接于圆O ，AD ⊥BC 于D 交⊙O 于E ，若BD=8cm ，
CD=4cm ，DE=2cm ，则△ABC 的面积等于（ ）
A.248cm
B.296cm
C.2108cm
D.232cm
2、正方形的外接圆与内切圆的周长比为（ ） A. 1:2 B. 2：1 C. 4：1 D. 3：1
3、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的 （ ）
A.三条中线的交点，
B.三条角平分线的交点，
C.三条高的交点，
D.三边的垂直平分线的交点。
4、△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，则∠FDE 与∠A 的关系
是 （ ）
A. ∠FDE=21∠A B . ∠FDE+21∠A=180° C . ∠FDE+2
1∠A=90° D . 无法确定 三、解答题：
1、如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。
2、等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10 cm ，求它的内切圆的半径。
3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N 。
（1）求证：B A ·BM=BC ·BN ；
（2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点。
当AC=3时，求AB 的值。
N M
O
C
P C B A
A 4、已知如图,过圆O 外一点
B 作圆O 的切线BM, M 为切点.BO 交圆O 于点A,过点A 作BO 的垂线,交BM 于点P.BO=3,圆O 半径为1.求MP 的长.
5、如图，两圆内切于点A,PA 既是大圆的切线，又是小圆的切线，PB 、PC 分别切两圆于B 、C 。
如果∠APC ＝40°，∠PAB ＝75°，求∠PCB 的度数。
6、如图，已知△ABC 外切于⊙I ，D 、E 、F 是切点。
(1)试猜想∠BIC 和∠FDE 有什么关系，并说明理由。
(2)若连结EF ，则△DEF 是什么三角形（从角的方面考虑）？并说明理由。
7、已知，如图△ABC 中，I 是内心,AI 交BC 于D ，交△ABC 的外接圆于点E ，且∠B ＝60°，那么△IEC 是等边三角形吗？说说你的理由。
C
8、如图，⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 、E 是切点，BO 的延长线交AC 于点F ，那么B O ·BC 与BD ·BF 相等吗？为什么？
9、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点P 在AC 上，AP ＝2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是多少？。