平面向量的线性运算导学案

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高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算导学案(无答案)新人教A版必修4

2.2.1向量加法运算及其几何意义学习目标1.通过实例，掌握向量加法运算，并理解其几何意义。

2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，体会数形结合、类比的数学思想。

学习任务阅读课本74～76页，回答下列问题．1．什么是向量加法？向量加法的三角形法则是什么？(作图说明)练习1．课本84页1题练习2．课本91页2题 2．向量加法的平行四边形法则是什么？(作图说明)练习3．课本84页 2题★ 总结:向量加法的三角形法则和平行四边形法则的要点是什么？3．完成课本82页的思考与探究，并归纳| a ＋b |与| a |，| b |的关系.(1)当a 与b共线同向时，b a 与________同向，且||b a _______||||b a ;当a 与b共线反向时，若||||b a ，b a 与________同向，且||b a _______||||b a ; 若||||b a ，b a 与________同向，且||b a _______||||b a; (2)当a 与b不共线时，||b a _______||||b a .练习4．下列各式正确的是（）A ．若a ，b 同向，则有| a | ＋ | b | = | a ＋b |B ．a ＋ b 与| a | ＋ | b |表示的意义相同C ．若a ，b 不共线，则有| a ＋ b | ＞ | a | ＋ | b |D ． | a | ＜ | a ＋ b | 恒成立练习5．已知4||,6|| AC AB ，则||BC 的取值范围为 4.完成课本82页的探究，并归纳向量的加法有那些性质？练习6．课本84页 3，4题课本91页4（1）（2）（3） 5.在平行四边形ABCD 中，BA DC BC 等于（） A 、BD B 、DB C 、BC D 、CB6.若a 表示向东走,8km ，b 表示向北走km 8，则b a = km,b a 的方向是2.2.2向量减法运算及其几何意义学习目标1.通过实例，掌握向量减法运算，并理解其几何意义。

高中数学第二章平面向量2.2向量的线性运算导学案苏教版必修420170824349

2.2 向量的线性运算课堂导学三点剖析1.向量的加减法运算数乘的定义及其运算律【例1】在四边形中，已知AB=a，AD=b，BC=c，试用向量a,b,c表示向量DC.思路分析：连结AC，则将四边形ABCD分成两个三角形.利用向量的三角形法则，将AC用a,b,c与DC来表示，即可求出DC.解：在下图中作向量AC.由向量加法的三角形法则，得AC=a+c，AC=b+DC.所以a+c=b+DC.因此DC=a+c-b.温馨提示找到向量AC并以AC建立DC与a,b,c的关系是本题的关键.【例2】在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，设AB=a,AD=b，求作向量a-b, 12a-b,b+12a.思路分析：利用向量数乘、减法的法则来作图.解：如图a-b=AB-AD=DB.1a-b=AE-AD=DE.21b+a=AD+DF=AF.22．对向量数乘运算律的理解和应用1【例 3】设 x 是未知量，解方程 2（x- 1 3 a ）- 1 2(b -3x+c )+b =0. 思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可以用和实数方程类似的方法来解决.2 3解：原方程化为 2x- 7 2 1 1B- a + b - c =0, 23 2 2 72 1 1x = a - b + c , 2 3 2 2 4 1 1∴x = a - b + c . 217 7 3.向量共线的应用a - 1 2b + 3 2 x- 1 2c +b =0, 【例 4】如右图所示，在平行四边形 ABCD 中， AD =a ， AB =b ，M 是 AB 的中点，点 N 是 BD 上一点，|BN|= 1 3|BD|. 求证：M 、N 、C 三点共线.思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M 、N 、C ），不妨证 MN 、 MC 具有一定的倍数关系，只要用已知条件 a ,b 表示出 MN ， MC ，问题就可以解决.证明：∵ AD =a ,AB =b ,∴ BD =AD -AB =a -b .11 ∴ MN =MB BN =BD b + 2 3 1 1 1 1= b + (a -b )= a + b2 3 36 1= (2a +b ). 6 1 1 又∵ MC =MB BC = 2 2b +a = (2a +b ), ∴ MC =3MN .又 MC 与 MN 有共同起点，∴M 、N 、C 三点共线.温馨提示几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数 λ 使两向量具有一定的倍数关系.各个击破类题演练12已知平行四边形ABCD，AB=a，AD=b，用a、b分别表示向量AC，DB.思路分析：利用向量加法、减法的平行四边形法则.解：连结AC、DB，由求向量和的平行四边形法则，则AC=AB+AD=a+b.依减法定义得，DB=AB-AD=a-b.变式提升1(2006广东高考，4)如右图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于（）11A.-BC+ BAB.-BC-2211C.BC- BAD.BC+221思路分析：由三角形法则得知CD=BD-BC= BA-BC.2答案：A类题演练2B ABA若O为平行四边形ABCD的中心，AB=4e1，BC=6e2，则3e2-2e1=______________.解：3e2=12BC,2e1=12AB,∴3e2-2e1=12BC-12AB=12(BC-AB)=12(BC+BA)=12BD.答案：12BD变式提升2211化简［(4a-3b)+ b- (6a-7b)］=__________________.3342137解析：原式= (4a-3b+ b- a+ b)3324 2317= ［(4- )a+(-3+ + )b］3234 2511511= ( a- b)= a- b.32123183答案：5311a- b18类题演练312设x为未知向量，解方程x+3a- b=0.31512解：原方程化为x+(3a- b)=0,3151212所以x=0-(3a- b), x=-3a+ b.所以x=-9a+315315变式提升325b.(2006山东高考，文4)设向量a=（1，-3），b=（-2，4）.若表示向量4a、3b-2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（）A.(1，-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)解析：依题可知4a+(3b-2a)+c=0,所以c=2a-4a-3b=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).答案：D类题演练4已知两个非零向量e1和e2不共线，如果AB=2e1+3e2，BC=6e1+23e2，CD=4e1-8e2，求证：A、B、D三点共线.思路分析：本题主要考查向量共线问题及向量的线性运算.欲证A、B、D三点共线，只需证AD、AB共线，根据题目的条件如何才能求得AD呢？显然AD=AB+BC+CD证明：∵AD=AB+BC+CD=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6（2e1+3e2）=6AB，∴向量AD与向量AB共线.又∵AB和AD有共同的起点A，∴A、B、D三点共线.变式提升4a=e1+2e2,b=3e1-4e2，且e1、e2共线，则a与b（）A.共线B.不共线C.可能共线，也可能不共线D.不能确定思路分析：∵e1与e2共线，则存在实数e1=λe2,∴a=e1+2e2=(λ+2)e2,b=3e1-4e2=(3λ-4)e2,∴a=λ+23λ-4b,故a与b共线.答案：A4。

《平面向量的概念与线性运算》导学案

平面向量的概念与线性运算知识梳理：1向量的有关概念1向量:既有,又有的量叫向量;通常记为;长度为的向量是零向量,记作:;的向量,叫单位向量2平行向量或共线向量记作:;规定:零向量与任何向量3相等向量:4相反向量:2向量加法与减法1向量加法按法则或法则;向量加运算律:交换律:;结合律:2向量减法作法:3实数与向量的积1实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下：长度：方向：2．运算律4共线定理:5平面向量基本定理:6基底:二、题型探究探究一：平面向量的基本概念例1．给出下列命题：a b a b AB DC =a b b c a c a b a b a b a b b c a cAB DC =||||AB DC =//AB DC //AB DC ||||AB DC =AB DC =a b a b b c b c a c a c a b a b a b a b a b a b b 00a a a a 0a a a a 0a a 0a a a 0a 1a a 0a a 0a a 0a a a 0a BA a BCb a b OE BF BD FD a b BA BC BA AO BO +=+=BO a b OE BO a b BF BO OF BO BA a b a a b BD BC CD +BC BO +b a b a b FD BC BA -b a a b a b a b BM CN =AM AC CM =+BN =和B ､AP AM BP BN BA BP AP =-BA BC CA =+=4,5AP AM ==4:1 三、方法提升1、向量的线性运算可以结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，特别是有向线段表示向量运算时，要利用“首尾相接”或“起点相同”来化简；2、证明三点共线问题，可用向量共线定理来解决。

四、反思感悟b a O FE DC B A。

平面向量的概念及其线性运算学案

平面向量的概念及其线性运算导学案邛崃二中秦家德考纲解读：1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示。

2、掌握向量的加分、减法的运算，并理解其几何意义。

3、掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。

考情剖析：从近几年的高考试题来看，向量的线性运算，共线问题是高考的热点，尤其向量的线性运算出现的频率较高，多以选择题，填空题的形式出现，属于中低档题。

回归教材，夯实基础复习教材《必修4》第80页至89页然后填空：1.向量的有关概念两向量平行与两直线（或线段）平行有何不同?2. 向量的线性运算交换律：+=a b(2)结合律：++=a b c)a b -=运算律)a =)a =μ)a +b =3.共线向量定理向量 a (a ≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_______________.思考探究2：如果||||a b a b +=-，你能给出以a ，b 邻边的平行四边形的形状吗？典型例题：题型一：平面向量的概念辨析 (2013年上海高考题改编)探究提高：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键。

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。

(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关。

(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈。

(5)非零向量a 与||a a 的关系是：||a a 是a 方向上的单位向量。

【例1】给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确的序号是________．变式训练1：题型二：向量的线性运算（教材P89例7改编）【例2】在△ABC 中，D , E 分别为BC , AC 边上的中点, G 为BE 上一点,且GB ＝2GE , 设AB →＝a , AC →＝b ,试用a , b 表示AD →, AG →.探究提高：(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. (3)变式训练2：（2013年陕西高考题改编）在△ABC 中，E ,F 分别为AC ,AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|>|b|，则a>b ；(2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反;(6)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等．答案：题型三：平面向量共线问题（教材P89例6改编）【例3】设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ), 求证:A , B , D三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．探究提高：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量,a b 共线是指存在不全为零的实数1λ，2λ，使120a b λλ+=成立；若120a b λλ+=当且仅当120λλ==时成立，则向量,a b 不共线。

东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：平面向量的概念与线性运算A(20200623132142)

∴ | AB AC | | AB AC |, 故 A?B?C 为矩形的三个顶点 , △ABC 为直角三角形 .
答案 : 直角三角形
9. 在平行四边形 ABCD中 ,E ?F 分别是边 CD和 BC的中点 , 若 AC =λ AE +u AF , 其
中 λ ,u ∈R,则 λ +u=_____ ___.
平面向量概念与线性运算 ( 教案 )A
一、知识梳理：
1. 向量的有关概念
向量 , 记作 : ;
的向量 , 叫单位向量 .
(3). 相等向量 :
(4). 相反向量 :
(1). 向量加法按
法则或
法则 ;
向量加运算律 : 交换律 :
;
结合律 :
(2). 向量减法作法 :
3. 实数与向量的积
(1). 实数与向量 a 的积是一个向量 , 记作 , 它的长度与方向规定如下：
A. 反向平行
B. 同向平行 C. 不平行
D.无法判断
1
2
AD AB BD AB BC , BE BC CE BC CA,
解析 :
3
3
2
CF CA AF CA AB,
3
AD BE CF
∴
5 ( AB CA)
3
5 AB
3 4
BC 3
5 CA
3 5
CB 3
4 BC
3 4
BC 3
故选 A.
1 BC .
3
用 a ， b 将向量 OE ， BF ， BD ， FD 表示出来。
（ 1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量
a， b来
表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。

高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.2向量的加法课堂导学案新人教B版必修

高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.2向量的加法课堂导学案新人教B版必修2、1、2 向量的加法课堂导学三点剖析一、向量加法的定义及向量加法的三角形法则学习这部分内容时要注意:①向量加法的定义及向量加法的三角形法则是从位移求和引出的、②两个向量的和仍是向量、特别注意的是:在向量加法的表达式中零向量一定要写成0,而不应写成0、③向量的加法运算应注意方向,忽视方向往往成为致错的根源之一、④用三角形法则作出两个向量的和,关键是掌握两个加数向量是首尾相连的,和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点、具体做法是:把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和,如设a=,b=,则a+b=+=、⑤当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用、如下图表示求两个平行向量和的特殊情况、【例1】设a表示“向西走2 km”,b表示“向北走2 km”,则a+b表示向哪个方向行走了多少?思路分析：画图求解、解:如图,作=a,=b,则=+=a+b、∵△ABO为直角三角形,且||=||=2,∴||=且∠AOB=45、∴a+b表示向西北方向走了 km、各个击破类题演练1已知向量a和非零向量b,求作向量a+b、思路分析:已知中明确了b 是非零向量,没有明确a是否是非零向量,所以,应就a=0和a≠0两种情况分类讨论、解:(1)若a=0,则a+b=b,见图(1)、(2)若a≠0,则①当a与b不共线时,a+b,见图(2)、②当a与b共线时,有(ⅰ)a与b同向共线,a+b,见图(3)、(ⅱ)a与b反向共线,|a|<|b|,a+b,见图(4);|a|=|b|,a+b,见图(5);|a|>|b|,a+b,见图(6)、变式提升1如图所示,向量++++=________、解析:几个向量相加首尾相连和向量是由起点指向终点,即、答案:温馨提示更一般地,、特别地当A1和An重合时,=0、二、向量加法的平行四边形法则三角形法则中的两个向量是首尾相接的,而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点;三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和、三角形法则和平行四边形法则虽然都是求向量和的基本方法、但在应用上也有讲究,求两个向量和,当一个向量的终点为另一个向量的始点时,可用向量加法的三角形法则;而当它们的始点相同时,可用向量加法的平行四边形法则、【例2】两个力F1和F2同时作用在一个物体上,其中F1=40 N,方向向东,F2=30 N,方向向北,求它们的合力、解：如图,表示F1,表示F2、以OA,OB为邻边作ABCD,则表示合力F、在Rt△OAC中,||=|F1|=40,||=||=|F2|=30、由勾股定理,得|F|=||==50、设合力F与F1的夹角为θ,则tanθ==0、75、所以θ≈37、所以合力大小为50 N,方向为北偏东53、类题演练2已知向量a、b(如图),求作a+b、思路分析:在平面内作向量的和向量,若用平行四边形法则,则先选取一固定点,然后把两个向量平移,使两个向量都以这个固定点为起点；若用三角形法则,则只需平移一个向量,使这个向量的起点与另一个向量的终点重合、解:在平面内任取一点O,如图,作=a,=b,则=a+b、变式提升2已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|、思路分析:从题目条件中挖掘平行四边形所满足的几何特征、解:如图,设||=a,||=b,以AB,AD为邻边作ABCD,则=a+b,=a-b、∵|a+b|=|a-b|,即||=||,∴ABCD为矩形,故AD⊥AB、在Rt△DAB中,||=6,||=8,由勾股定理,得|=10、∴|a+b|=|a-b|=10、三、向量加法的运算性质(1)对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a、(2)向量加法的交换律:a+b=b+a、(3)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)、(4)三角形不等式:对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|、注意:(1)向量加法的交换律,在常识上是很显然的、你从点A出发先位移向量a,接着再位移向量b与先位移向量b再位移向量a一定会达到同一终边C、这也就说明了向量加法交换律成立、(2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了、【例3】化简:(1);(2);(3)、解:(1)、(2)=0、或=0、(3)=0、类题演练3如图所示,已知△ABC中,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,且AD 与BE交于O点、求证:=0、思路分析:解这类题要善于运用向量的加法的运算法则及其性质,把题目变形后求得、证明:,又,∴,同理,可证,,∴=0、变式提升3下列命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;②△ABC中,必有=0;③若=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;④若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等、其中真命题的个数为( )A、0B、1C、2D、3解析:①假命题、当a+b=0时,命题不成立、②真命题、③假命题、当A,B,C三点共线时也可以有=0、④假命题、只有当a 与b同向时相等,其他情况均为|a|+|b|>|a+b|、答案:B 【例4】已知A,B,C是不共线的三点,G是△ABC内一点,若=0,求证:G是△ABC的重心、证明：如图所示,因为=0,所以、以,为邻边作平行四边形BGCD,则有=+,所以=、又因为在BGCD中,BC交GD于点E,所以、所以AE是△ABC的边BC的中线,且||=2||、所以G是△ABC 的重心、温馨提示(1)解此题时要联系重心的性质和向量加法的意义;(2)把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法、通过本例题知,若G为△ABC的重心,则有++=0、类题演练4在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30,60(如图),求重物平衡时,两根绳子的拉力大小、解:作OACB,如图所示,使∠AOC=30,∠BOC=60,在△AOC中,∠ACO=∠BOC=60,∠OAC=90、||=||cos30=(N),||=||sin30=150(N)、||=||=150(N),∴与铅垂线成30角的绳子拉力是 N,与铅垂线成60角的绳子拉力是150 N、变式提升4用向量的方法证明:对角线互相平分的四边形是平形四边形、已知:如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC与BD 交于O,且AO=OC,DO=OB、求证:ABCD是平行四边形、证明:根据向量加法的三角形法则,有、又∵、∴AB与DC平行且相等、∴ABCD为平行四边形、。

九年级同步第8讲：平面向量的线性运算(1)(1)(教案教学设计导学案)

平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容．在八年级下学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此基础上．本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示．1、平面向量的相关概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2、平面向量的加减法则（1）几个向量相加的多边形法则；（2）向量减法的三角形法则；（3）向量加法的平行四边形法则．3、实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．（1）如果，且，那么的长度；的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向．（2）如果k = 0或，那么．4、实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则（1）；（2）；（3）．5、平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．6、单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．【例1】下列命题中的假命题是（）（A）向量与的长度相等（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同（C）只有零向量的长度等于0（D）平行的单位向量都相等【难度】★【答案】D【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量．【总结】此题主要考查向量的相关概念．【例2】填空：；；；；；．【难度】★【答案】；；；；；．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如是利用减法法则，箭头指向被减数，同时，这样运算复杂了，但也是一种思路．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例3】如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O．设，，试用、表示下列向量：，，，，，．【难度】★【答案】．【解析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解以上向量:；；；；；．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例4】已知非零向量，求作，．【难度】★【答案】略【解析】与方向相同，长度是的倍；方向与相反，长度是的3倍，作图略．【总结】此题主要考查如何根据已知向量求作所需的向量．【例5】如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．【难度】★【答案】，与相等的向量有．【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以，与相等的向量有五个．【例6】计算：；；．【难度】★【答案】．【解析】（1）；（2）；（3）．【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则．【例7】用单位向量表示下列向量：（1）与方向相同，且长度为9；（2）与方向相反，且长度为5；（3）与方向相反，且长度为．【难度】★【答案】．【解析】此题主要考查用单位向量来表示已知向量,．【例8】已知非零向量，求作（1）；（2）．【难度】★★【答案】略【解析】方向与相同，长度是的倍；方向与相反，长度是的倍，作图略．【例9】如图，已知点D、E分别在的边AB、AC上，DE//BC，AD = 4，BD = 7，试用向量表示向量．【难度】★★【答案】．【解析】∵，∴，又∵，∴．∴．【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向量表示未知向量时一定要注意方向是否相同．【例10】下列说法中，正确的是（）A．一个向量与零相乘，乘积为零B．向量不能与无理数相乘C．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【难度】★★【答案】D【解析】A选项向量与零相乘，结果是零向量；B选项向量可以与任何实数相乘；C选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定．【总结】此题主要考查实数与向量相乘的法则．【例11】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，且，，用、表示，其结果是．【难度】★★【答案】．【解析】．【总结】此题主要考查向量相乘的加减法运算法则．【例12】如果，，那么的取值范围是．【难度】★★【答案】．【解析】,当O、A、B三点共线时，，同向时取最小值2，方向相反时取最大值8，所以．【总结】此题主要考查向量的模的概念．【例13】计算：（1）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）．【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例14】设、是已知向量，解关于向量的方程．【难度】★★【答案】．【解析】解：∵，∴，∴．【总结】此题主要是利用“解方程”的思想去用已知向量表示未知向量．【例15】已知向量、满足，求证：向量和平行．【难度】★★【答案】略【解析】去分母：去括号：移项合并得：系数化1：所以，向量和平行．【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行．【例16】已知，，其中，那么向量与是否平行？【难度】★★【答案】平行．【解析】联立方程组：，解得，所以，向量与平行．【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行．【例17】如图，已知，求作（提示：利用三角形的重心）．【难度】★★★【答案】略【解析】，过点D作线段BC，使得D是BC中点，联结AB、AC．取AC中点，则AD、BE 分别是三角形ABC的中线，根据三角形重心的性质可知：为所求作向量.【总结】此题主要是利用重心的性质定理来求作一个向量．【例18】已知梯形ABCD中，AD//BC，且AD = 2AB = 2CD，．（1）若，求实数k的值；（2）若，求实数x、y的值．【难度】★★★【答案】（1）；（2）.【解析】（1）如图，过点A、D分别作梯形的高AE、DF，设AB＝CD＝，则，∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴，同理，可得，∵，∴.（2）延长BA、CD相交于点G，易得、是等边三角形，所以，根据三角形法则，，又∵，∴.【例19】、是已知向量，且、不平行，是未知向量，且，表示、、的有向线段能构成三角形吗？【难度】★★★【答案】能构成三角形.【解析】因为,两边同时除以3,得,因为、不平行，所以、、不共线，即、、能构成三角形. 【总结】在三角形ABC中，同理若，则表示的三条有向线段能构成三角形.【例20】在四边形ABCD中，，，．求证：四边形ABCD为梯形．【难度】★★★【答案】略【解析】∵，，∴，∴．∴四边形ABCD是梯形．【总结】本题主要考查平行向量与两条直线平行的关系．1、向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．2、向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．【例21】如图，已知非零向量、，以点O为起点，求作向量．【难度】★【答案】略【解析】作法（作图过程略）：以O为起点，作以A为起点，作，联结OB．则，为所求作图形．【总结】本题主要是通过向量的线性运算表示出向量之后，再利用向量的加减运算法则来作图．【例22】计算：（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）；（2）．【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例23】已知向量、不平行，x、y是实数，且，求x、y的值．【难度】★【答案】∵，∴．解得：．【总结】本题主要考查相等向量的概念以及解二元一次方程组的方法．【例24】如图，已知向量、和、，求作：（1）向量分别在、方向上的分向量；（2）向量分别在、方向上的分向量．【难度】★★【答案】略【解析】作法（作图略）：（1）以的起点，分别作OB、OA的平行线OC、OD，以的终点分别作OC、OD的平行线，交于E、F两点，则．（2）作法同（1）．【总结】本题主要考查求一个向量的分向量的方法．【例25】若，其中、、为已知向量，求未知向量．【难度】★★【答案】．【解析】∵，∴．∴．【总结】本题考查解向量方程，思想类比普通方程的解法：去分母→去括号→移项→合并化简→系数化1.【例26】已知O为内一点，点D、E分别在边AB和AC上，且，DE//BC．设，，试用、表示．【难度】★★【答案】.【解析】∵，又∵DE//BC，，∴，即．∴．【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助三角形一边平行线的性质定理求解向量．【例27】如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知，，试用、表示和．【难度】★★【答案】.【解析】由题意得，，即，解方程组，得．【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助平行四边形的性质以及向量的加减法则来表示向量．【例28】如图，在中，D是AB边的中点，E是BC延长线上一点，且BE = 2BC．（1）用、表示向量；（2）用、表示向量．【难度】★★【答案】（1）（2）.【解析】（1）∵，D是AB边的中点，且BE＝2BC∴；（2）∵，∴．【总结】平面向量的分解，关键点是将已知向量用向量的加减法则改写成分解式，再乘以相关的系数来完成各个方向的分解.【例29】如图，平行四边形ABCD中，点M、N是边DC、BC的中点，设，，分别求向量、关于、的分解式．【难度】★★【答案】.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴．又∵M、N是边DC、BC的中点，∴．即，．【总结】本题一方面考查向量在某个方向上的分向量的概念，另一方面与几何图形结合，利用相关性质完成求解过程．【例30】已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，分别求向量、、、关于、的分解式．【难度】★★【答案】.【解析】本题考查平面向量的分解，结合平行四边形性质应用.【例31】如图，在中，G、E为AC的三等分点，F、H为BC的三等分点，，，写出、、关于、的线性组合，并通过向量证明EF、GH、AB之间的位置关系．【难度】★★★【答案】.【解析】∵，又∵G、E为AC的三等分点，F、H为BC的三等分点，∴，，∴．即．【总结】本题主要是考查如何在几何图形中借助几何图形的性质来表示未知向量．【例32】已知点A、B、C在射线OM上，点D、E、F在射线ON上，，．设，．（1）分别求向量、、关于、的分解式；（2）判断直线AD、BE、CF是否平行．【难度】★★★【答案】（1）；（2）直线AD、BE、CF两两平行．【解析】（1）；∵，，∴．∴．同理；（2）∵，∴直线两两平行．【总结】本题考查利用向量证明直线平行位置关系．【习题1】以非零向量为参照，分别说出向量、、的方向和长度．【难度】★【答案】与方向相同，长度是的3倍；与方向相反，长度是的；方向与相同，长度是的5倍.【解析】本题主要考查共线向量的方向和大小问题．【习题2】已知非零向量，，，用表示，其结果是．【难度】★【答案】.【解析】∵，，∴．又∵，∴．【总结】本题一方面考查向量的线性运算，一方面考查了相反向量的概念，注意两个向量互为相反向量时的符号关系．【习题3】已知不平行的两个向量、，求作向量．【难度】★【答案】略【解析】作法:以O为起点,作,以O为起点,作,则.所以.【总结】本题主要考查如何根据已知向量求作未知向量．【习题4】下列命题中，错误的个数是（）○1若、都是单位向量，则；○2若m = 0或，则；○3设m、n为实数，则；○4任意非零向量，与同方向的单位向量是，则．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【难度】★★【答案】C【解析】选项①：单位向量的方向是任意的；选项②：零与向量相乘的结果是零向量，而不是零；选项④：只能判断方向，大小不确定，所以错误的个数有3个.【总结】本题主要是考查与向量有关的概念，解题时要注意认真辨析．【习题5】已知，在四边形ABCD中，，且，那么四边形ABCD是．【难度】★★【答案】菱形．【解析】∵，∴．∴四边形ABCD是平行四边形．又∵，∴AB＝AD．∴四边形ABCD是菱形．【总结】本题主要是根据向量之间的关系判断出向量所对应的线段的位置及数量关系，从而得到几何图形的具体特征．【习题6】设、、是向量，m、n是实数，化简：（1）；（2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）去括号：化简合并：；（2）方法同上．【总结】本题考查向量的化简合并，在去括号时要注意变号问题．【习题7】M、N是的一边BC上的两个三等分点，若，，用，表示．【难度】★★【答案】当M点靠近B点时，；当M点靠近C点时，.【解析】本题考查向量的分解，此题容易漏解,M、N是的一边BC上的两个三等分点，有两种位置关系，当M点靠近B点时，；当M点靠近C点时，.【习题8】已知的边BC的中点为O，设，，分别求向量、、关于、的分解式．【难度】★★【答案】.【解析】；因为O为边BC的中点，所以，即；．【总结】本题主要考查向量分向量的相关作图及概念．【习题9】已知向量、不平行，点A、B、C共线，且，，求实数k的值．【难度】★★★【答案】．【解析】∵点A、B、C共线，∴．∵，，∴．∴．【总结】本题主要考查向量的线性运算以及当两个向量共线时所具有的性质．【习题10】如图，已知平行四边形ABCD，点E、F分别是边BC、DC的中点，G为交点，若，，试以、表示、、．【难度】★★★【答案】．【解析】（1）；（2）；（3）联结．∵E、F分别是边BC、DC的中点，∴G是三角形BCD的重心，∴．∵，∴．【总结】本题主要考查平行四边形背景中平面向量的线性运算,其中第三问重心的应用非常巧妙．【作业1】已知，向量的方向是东南方向，且，那么向量的方向是；．【难度】★【答案】西北方向；10．【解析】本题考查共线向量的方向和大小．【作业2】如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点．设，，试用、表示向量、和．【难度】★【答案】．【解析】∵H是CD中点，∴．∵E、F、G、H分别为平行四边形各边的中点，∴利用平行四边形的性质，可得：；．【总结】本题主要是在平行四边形的背景下，利用平行四边形的相关性质用已知向量来表示未知向量．【作业3】下列说法正确的有（）个（1）零向量是没有方向的向量；（2）零向量的方向是任意的；（3）零向量与任意向量共线；（4）零向量只能与零向量共线．（A）1（B）2（C）3（D）以上都不对【难度】★【答案】B【解析】本题考查零向量的概念，零向量的方向是任意的，与任何向量共线．【作业4】已知不平行的两个向量、，求作向量．【难度】★★【答案】化简结果得，作图略．【解析】本题考查向量的合成，利用三角形法则或者平行四边形法则完成作图即可．【作业5】下列结论中，正确的是（）（A）2004厘米长的有向线段不可以表示单位向量（B）若是单位向量，则不是单位向量（C）若O是直线l上一点，单位长度已选定，则l上只有两点A、B，使得、是单位向量（D）计算向量的模与单位长度无关【难度】★★【答案】C【解析】选项A是错误的，因为单位向量是相对向量，1个单位长度不代表就是1厘米或者1米，如果把2004厘米长的有向线段作为基准的话，它本身就是单位向量．【作业6】若，其中、为已知向量，求未知向量．【难度】★★【答案】.【解析】去括号：；去分母：；（可以不去分母）移项合并：；系数化1：．【总结】本题考查解方程的步骤，需要熟练的计算能力．【作业7】如图，四边形ABCD中，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点．设，，试用、表示向量．【难度】★★【答案】．【解析】∵点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，∴．∴．∴．又∵，∴．【总结】本题主要结合三角形中位线考查向量的分解．【作业8】已知中，点M在A B上，点N在AC上，，．求证：．【难度】★★【答案】略【解析】∵，，，∴．【总结】本题主要考查向量的线性运算．【作业9】如图，点M是的重心，则为（）（A）（B）（C）（D）【难度】★★★【答案】D【解析】延长MF到点G，使得MF＝FG，联结AG，易证．∴，∴．又∵点M是三角形的重心，∴，即．∴．【总结】本题结合三角形重心考查向量的线性运算，另外我们可证．【作业10】如图，已知，求作（提示：利用勾股定理）．【难度】★★★【答案】略【解析】作法：（1）作，过点O作OA的垂线，截取OB＝OA；（2）以点B为顶角，作∠OBD＝60°，交OA的延长线于点D；（3）设的模长为，根据含30°角的直角三角形性质及勾股定理，得；（4）；（5）所以，，为所求作向量．【总结】本题主要是借助几何图形的性质来求作向量．。

平面向量的线性运算教案

平面向量加法及其几何意义教学目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量 ⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.一、引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c . 5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量a 与b 相等，记作a ＝b ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 7.对向量概念的理解AB 的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段向量共线定理8.向量b 与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa．二、1．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即 a b AB BC AC+=+=(1)BB特殊情况：aabbba +ba +AABBC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 00a a a +=+=探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |;（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 三、例长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A 点出发，以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h 。

人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.2平面向量的线性运算导学案(1)

→MN＝ ________.( 用 a，b 表示 )
6．给出下列命题： ①向量 A→B的长度与向量 B→A的长度相等；
②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 A→B与向量 C→D是共线向量，则点 A、B、 C、 D必在同一条直线上．
.
精品文档
③λ ( a＋ b) ＝ □15________．
4．两个向量共线定理
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得
□16________ ．
温馨提醒：向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种
情形．
双基自测
1． D 是△ ABC的边 AB上的中点，则向量 C→D等于
(
)．
A．－ B→C＋12B→A
B．－ B→C－ 12B→A
C. B→C－ 12B→A
D. B→C＋ 12B→A
2．判断下列四个命题：
①若 a∥ b，则 a＝b；②若 | a| ＝| b| ，则 a＝b；③若 | a| ＝ | b| ，则 a∥ b；④若 a＝ b，则 | a|
＝|b| .
正确的个数是
(
)．
A． 0
B. B→E
C.
A→D
D. C→F
5．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋ λ b 与 2a－ b 共线，则 λ＝________.
考向一平面向量的概念
【例 1】下列命题中正确的是 ( ) ．
A． a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

《4.1第一节平面向量的概念及其线性运算》学案

学习过程复习预习1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．知识讲解考点1 向量的有关概念考点2 向量的线性运算考点3 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.例题精析【例题1】【题干】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【例题2】【题干】如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.【解析】OC＝OB＋BC＝OB＋2BA＝OB＋2(OA－OB) ＝2OA－OB＝2a－b.DC＝OC－OD＝OC－23OB＝(2a－b)－2 3b＝2a－53b.【例题3】【题干】已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．【解析】由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．课堂运用【基础】1.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝()A．a＋34b B.14a＋34bC.14a＋14b D.34a＋14b2．已知向量p＝a|a|＋b|b|，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是()A．[0，2] B．[0,1] C．(0,2] D．[0,2]3．(2013·保定模拟)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM ＝x AB，AN＝y AC，则x·yx＋y的值为()A．3 B.1 3C．2 D.1 2【巩固】4．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．5．(2013·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝m AM成立，则m ＝________.【拔高】6.如图所示，在五边形ABCDE中，点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点，求证：KL＝14AE.7．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－k e2，且A、C、D三点共线，求k的值．课程小结(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

平面向量的概念及线性运算(优秀导学案)

§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；λ(μa)＝(λμ)a；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC → 答案 B3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案－13解析由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.题型一向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →答案 D 教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案 ACD思维升华平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量．跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立，即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．题型二平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是________，最小值是________．答案 2 023 0解析当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2 023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2 023|＝2 023；当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023首尾相连时， e 1＋e 2＋…＋e 2 023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 ABD解析因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确；因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确；因为BF →＝AF →－AB →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确；因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析如图所示，易知BC ＝4AD ， CE ＝2AD ， BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB → ＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( ) A.－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC →D.－23AB →＋13AC →答案 A解析如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝⎛⎭⎫13AB →＋13AC → ＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →，故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( ) A ．1 B.23 C.32 D ．2答案 B解析如图所示，由题意知， AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →，所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三共线定理及其应用例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足P A →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△P AB 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 A解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－P A →)， ∴3P A →＝PB →－PC →＝CB →， ∴P A →∥CB →，且两向量方向相同，∴S △ABC S △P AB ＝BC AP ＝|CB →||P A →|＝3，又S △ABC ＝6，∴S △P AB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________．答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ，又a ，b 为两个不共线的非零向量，∴⎩⎨⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝32，t ＝12.思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1 B ．1 C.32 D ．2答案 B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析因为线段CO 与线段AB 交于点D ，所以O ，C ，D 三点共线，所以OC →与OD →共线，设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，可得OD →＝λm OA →＋μm OB →，因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm ＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( ) A.AB →＋BC →＋CA → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.OA →＋OB →＋BO →＋CO → D.AB →－AC →＋BD →－CD → 答案 AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量． 2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件． 3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝a C ．a ＋b ＝b D ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误；若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0，则a ，c 不一定平行，故B 错误；若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知， |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23C.12D.14答案 C解析连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点，所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎫AD →＋AB →＋12AD → ＝12AB →＋34AD →，又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB →－3AD →＝AC →，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC →|＝|DB →| D ．|BC →|＝3|DB →|答案 BD解析因为4AB →－3AD →＝AC →，所以3AB →－3AD →＝AC →－AB →，所以3DB →＝BC →，因为DB →，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC →|＝3|DB →|，所以B ，D 正确，A 错误；由4AB →－3AD →＝AC →，得AC →＝3AB →－3AD →＋AB →＝3DB →＋AB →，所以|AC →|≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案－23解析因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →，所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ，即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________. 答案 3解析如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →，在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝23，即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________. 答案 53解析 AC →＝λ⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →) ＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μAD →，又因为AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，则△ABC 不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，所以|CB →|－|(PB →－P A →)＋(PC →－P A →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________．答案 343 3解析 ∵B ，D ，C 三点共线， ∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ， ∴四边形AMDN 是菱形，∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3， ∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →. 由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________. 答案 1∶6解析若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，设OA ′——→＝2OA →，OC ′——→＝3OC →，可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ，则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ，由2x ＝3y ＝6z ，可得S △AOC ∶S △ABC ＝z ∶(x ＋y ＋z )＝1∶6.。

平面向量线性运算的坐标表示导学案

平面向量线性运算的坐标表示【学习目标】1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.【重点、难点】教学重点: 平面向量的坐标运算．教学难点: 对平面向量坐标运算的理解．【预习、探究案】一、【新知探究】平面向量的坐标运算1、设i r 、j r 是与x 轴、y 轴___________两个单位向量，若设 11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a =____________，b =____________，由向量的线性运算性质，向量a b + ，a b - ，a λ 如何分别用基底i r 、j r 表示？a b + = a b - = a λ = 2、根据向量的坐标表示知向量a b + ，a b - ，a λ 的坐标分别为 a b + =________________，a b - =_______________，a λ =___________两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_________ .实数与向量的积的坐标分别等于用这个实数与向量相应坐标的_________. 3、已知点1122A (x ,y ),B(x ,y )，那么向量AB uuu r的坐标如何？OA =_______，OB =_______，则AB =_____________=________________.结论：一个向量的坐标等于其终点相应坐标_____始点的相应坐标.4、一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？结论：1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关.2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标.二、【合作探究】 1、已知a =(3, 4), b r =(-1, 4), 求a b + , a b - , 23a b - 的坐标. a2、已知A （1, 0），B （0, 2），C （-1, -2），求A B C D Y 的顶点D变式训练：1、已知a =(3，2)，b r =(0,-1)，求-2a r +4b r ，4a r +3b r 的坐标.2、已知A B C D Y 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(-2，1), (-1，3), (3，4) , 求顶点D 的坐标.【训练案】1、下列说法正确的有( ) 个（1）向量的坐标即此向量终点的坐标（2）位置不同的向量其坐标可能相同（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标（4）相等的向量坐标一定相同A ．1B ．2C ．3D ．4 2、已知A(-1, 5)和向量a r =(2, 3)，若AB 3a =uuu r r ，则点B 的坐标为 ( ).A ．(7,4)B ．(5,4)C ．(7,14)D ．(5,14) 3、若A （1，2）B （3，2），2AB (x 3,x 3x 4)=+--uuu r ，求x,并写出AB 的坐标.4、已知a =（x+y ，2x-y ），b =（x-y ，x+2y ），若23a b ，求x 、y 的值※5、若点A （－1，－1），B （1，3），C （x ，5）三点共线，求点C 坐标.【课堂小结】我的疑问：（至少提出一个有价值的问题）今天我学会了什么？知识方面：数学思想与方法：。

《平面几何中的向量方法》教案、导学案、课后作业

《6.4.1 平面几何中的向量方法》教案【教材分析】向量概念有明确的几何背景：有向线段，可以说向量概念是从几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

【教学目标与核心素养】课程目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神. 数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用；难点：如何将几何问题化归为向量问题. 【教学过程】一、情景导入提问：（1）若O 为重心,则++= . （2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本38-39页，思考并完成以下问题ABC OA OB OC 0ABCD DC 12AB |AD |BC1、利用向量可以解决哪些常见的几何问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1.向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化成向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系．四、典例分析、举一反三题型向量在几何中的应用例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：．【答案】见解析．【解析】证明：不妨设a ，b ，则a +b ，a -b ，|a |2，|b |2．得 ( a +b )·( a +b )= a ·a+ a ·b +b ·a+b ·b = |a |2+2a ·b +|b |2． ①同理 |a |2-2a ·b +|b |2． ②①+②得 2(|a |2+|b |2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．例2 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE.222222AC BD AB BC CD DA +=+++AB =AD =AC =DB =2||AB =2||AD =2||AC AC AC =⋅=2||DB =2||AC +2||DB =2||AB +2||AD【答案】见解析．【解析】证明法一：设AD ―→＝a ，AB ―→＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝－a ＋12b ，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝b ＋12a ，所以AF ―→·DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ―→＝(2,1)，DE ―→＝(1，－2)．因为AF ―→·DE ―→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .解题技巧（用向量解决平面解析几何的步骤） (1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．跟踪训练1．如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12.求证：点E ，O ，F 在同一直线上．【答案】见解析．【解析】证明：设AB ―→＝m ，AD ―→＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， ∴FO ―→＝FA ―→＋AO ―→＝13BA ―→＋12AC ―→＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝12AC ―→＋13CD ―→＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n . ∴FO ―→＝OE ―→.又O 为FO ―→和OE ―→的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．2、在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .【答案】见解析．【解析】证法一：∵∠CDA ＝∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，CD ＝DA ＝12AB ，故可设AD →＝e 1，DC →＝e 2，|e 1|＝|e 2|，则AB →＝2e 2. ∴AC →＝AD →＋DC →＝e 1＋e 2， BC →＝AC →－AB →＝(e 1＋e 2)－2e 2＝e 1－e 2.而AC →·BC →＝(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝|e 1|2－|e 2|2＝0，∴AC →⊥BC →，即AC ⊥BC . 证法二：如图，建立直角坐标系，设CD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)． ∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)． ∴BC →·AC →＝(－1,1)·(1,1) ＝－1＋1＝0. ∴AC ⊥BC . 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本39页练习，52页习题6.4的1-3题.【教学反思】本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

导学案025平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算考纲要求1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析1.平面向量的线性运算是考查重点．2.共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．3.题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.教学过程基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度等于的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于的向量．(4)平行向量：方向或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且相同的向量．(6)相反向量：长度相等且相反的向量．法则(或几何意义)平行四边形法则(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λ b. 4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得双基自测1．下列给出的命题正确的是 ( )A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．相等的向量必是共线向量2．如右图所示，向量a－b等于 ( )A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e23．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )A．AD＝BC B．AD＝2BCC．AD=-BC D．AD=-2BC4．化简：AB＋DA＋CD＝________.5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.典例分析考点一、平面向量的基本概念[例1] 给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为 ( )A．1 B．2C．3 D．4变式1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是 ( )A．0 B．1C．2 D．3涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.考点二、平面向量的线性运算[例2] (2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝ ( )A．0 B．BE C．AD D．CF变式1本例条件不变，求AC＋AF.变式2．(2012·杭州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC 外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝ ( )A．8 B．4C．2 D．11.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算考点三、共线向量[例3] (2012·南昌模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ( )A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向变式3．(2012·南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．1.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ使b＝λ a.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．易错矫正忽略0的特殊性导致的错误[考题范例](2012·临沂模拟)下列命题正确的是 ( )A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0；C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线[失误展板]错解一：a 、b 共线，必然是有且只有一个实数λ，使b ＝λa ，故选A. 错解二：首尾相连，始终如一．在△ABC 中，AB 、BC 、CA 围成了一个封闭图形，故AB ＋BC ＋CA ＝0，故选B.错解三：当a 与b 同向时，式子中第一个等号不成立；当a 与b 反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C.错因：错解一，忽视了a≠0这一条件．错解二，忽视了0与0的区别，AB ＋BC ＋CA ＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当a ＝0或b ＝0时，两个等号同时成立．[正确解答]∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b)，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ， ∴⎩⎨⎧λ－1＝01＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选D.一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．本节检测1．(2012·潍坊模拟)在四边形ABCD 中，A B＝D C ，且|A B|＝|B C |，那么四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，B C ＋BA ＝2BP ，则( )A ．PA ＋PB＝0 B ．P C ＋PA＝0C ．PB＋P C＝0D ．PA ＋PB＋P C＝03．(2012·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋C O＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．(2012·银川模拟)在△ABC 中，D 为AB边上一点，若AD＝2D B，CD ＝13C A＋λCB，则λ的值为( )A ．1B.13C.23 D ．－235．已知向量p ＝a |a|＋b |b|，其中a 、b 均为非零向量，则|p|的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,1] C ．(0,2]D ．[0,2]6．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2O C＝0，则|A B||B C |＝________. 7．设向量e 1，e 2不共线，A B＝3(e 1＋e 2)，CB ＝e 2－e 1，CD＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A 、B 、C 共线；②A 、B 、D 共线；③B 、C 、D 共线；④A 、C 、D 共线，其中所有正确结论的序号为________．自我反思。

平面向量线性运算学案(22份)人教课标版15(教案)

平面向量的线性运算知识梳理一、向量加法. 向量加法的定义如图2-2-1 ，在平面内任取一点，作AB ， BC ，则向量AC 叫做向量与的和，记作，即AB BC AC.图2-2-1.求两个向量和的运算，叫做向量的加法关于零向量与随意愿量，仍旧有.. 向量加法的运算律() 互换律： .() 联合律： ()().二、向量减法的定义与长度相等且方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.求两个向量差的运算叫做向量的减法：() ，即向量减去处量相当于加上向量的相反向量.三、向量数乘. 向量数乘的定义一般地，实数λ 与向量的积是一个向量，这类运算叫做向量的数乘，记作λ ，它的长度与方向规定以下：() λ λ；() 当λ＞时，λ的方向与的方向同样；当λ ＜时，λ 的方向与的方向相反；() 当λ时，λ .. 向量数乘的运算律设λ 、μ 是实数，则有：() λ ( μ )( λ μ ) ； ( 联合律 )()( λ μ ) λμ； (第一分派律)() λ () λ λ. (第二分派律)知识导学要学好本节内容，可从数的加法启迪我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法 . 借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，进而理所应当地接受向量的加法定义. 联合图形掌握向量加法的三角形法例和平行四边形法例. 联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的互换律和联合律. 减法运算是加法运算的逆运算，应在理解相反向量的基础上联合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形作出减向量. 经过探究类比数的运算性质，理解向量的加法互换律和联合律，经过绘图考证的实验方法理解向量加法的互换律和联合律.疑难打破. 向量加法的运算法例.解析：（）向量加法的平行四边形法例：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就表示这两个向量的和.图2-2-2如图2-2-2，认为起点作向量AB，AD ，以AB 、AD为邻边作，则认为起点的对角线AC就是向量与的和，记作向量AC.（）向量加法的三角形法例：依据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则.使用三角形法例特别要注意“首尾相接”.详细做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（此中后边向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和. 简记“首尾相连，首是首，尾是尾” . 如设AB BC CD ,则AB BCCD AD.用三角形法例求两个向量和的步骤是：第一步：将（或）平移，使两个向量的一个起点与另一个终点相连；第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和，也就是“作平移，首相连”.注意：三角形法例和平行四边形法例是向量和的基本方法. 但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法例；而当它们始点同样时，可用向量加法的平行四边形法例.. 对向量加法的理解应当掌握哪几点？解析： () 两个向量的和还是一个向量.() 当两个非零向量与不共线时，的方向与、的方向都不同样，且＜, 这是三角形两边之和大于第三边的向量表示.() 特别地点关系的两向量的和：①向量与共线且方向同样时，的方向与（或）的方向同样，且. 如图 2-2-3().②向量与反向且＜时的方向与的方向同样( 与方向相反 ) ，且；如图2-2-3().图 2-2-3. 怎样从“相反向量”这个角度求作？三角形法例可行吗？平行四边形法例呢？.解析：的作法从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法例和平行四边形法例减法的三角形法例作法：∵() ()，∴在平面内取一点，作OA ,OB ,则 BA ，即能够表示为从向量的终点指向向量的终点的向量 ( 注意：差向量“箭头”指向被减向量 ). 详细作法如图 2-2-4()( 、不共线 ) 和图 ()( 、共线).减法的平行四边形法例作法：当、不共线时，如图 2-2-4 （）中，在平面内任取一点，作OA，OB' ，则由向量加法的平行四边形法例可得OC （），这是向量减法的平行四边形法例. 若、同向共线，如图() ；若、异向共线，如图().图 2-2-4. 向量数乘的几何意义解析：() 关于向量 ( ≠) 、，假如有一个实数λ，使λ ，那么由向量共线的定义知向量与共线；已知向量与共线，≠，且向量的长度是向量的长度的μ 倍，即μ ，那么当与同方向时，有μ，当与反方向时，有μ .() 判断向量 ( ≠) 与能否共线的方法：判断能否有且只有一个实数μ ，使得μ .() 判断、、三点共线的方法：判断能否有且只有一个实数μ ，使得ACμ AB.() 假如向量与不共线，且λ μ ，那么λ μ .() 向量λ ( μ1aμ ) λ μ1aλ μ能够用平行四边形法例作出，如图2-2-5.图学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。

平面向量及其线性运算导学案

学案24 平面向量及其线性运算导学目标： 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．自主梳理1.向量的有关概念(1)向量的定义：既有________又有________的量叫做向量．(2)表示方法：用____________来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示．(3)模：向量的________叫向量的长度或模，记作______或________．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)单位向量：长度为________单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝____________.(6)平行向量：方向________或________的________向量；平行向量又叫________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量________．(7)相等向量：长度________且方向________的向量． 2．向量的加法运算及其几何意义(1)已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则向量OB →叫做a 与b的____，记作________，即________＝OA →＋AB →＝________，这种求向量和的方法叫做向量加法的____________．(2)以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的____________．(3)加法运算律a ＋b ＝________ (交换律)； (a ＋b )＋c ＝________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与a ________、________的向量，叫做a 的相反向量，记作____． (2)向量的减法①定义a －b ＝a ＋____，即减去一个向量相当于加上这个向量的________．②如图，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝______，DB →＝______.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝________； ②当λ>0时，λa 与a 的方向________；当λ<0时，λa 与a 的方向________；当a ＝0时，λa ＝____；当λ＝0时，λa ＝____.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μa )＝________.(结合律)②(λ＋μ)a ＝________.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa .5．重要结论(1)PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的________；(2)P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的________．自我检测1．(2010·四川改编)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.2．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ； ③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，其中正确命题的个数为________．3．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →用a ，b 表示为________．4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.5．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.探究点一平面向量的有关概念辨析例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c .以上命题中正确的个数为________．变式迁移1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③|a |＝0⇒a ＝0；④若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．探究点二向量的线性运算例2 已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB→＋DC →)．变式迁移2 如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.探究点三共线向量问题例3 如图所示，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线．变式迁移3 设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．1．若点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．如图所示．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．三点共线的性质定理：(1)若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.(2)若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是________(填上正确的序号)．①EF →＝OF →＋OE →； ②EF →＝OF →－OE →； ③EF →＝－OF →＋OE →； ④EF →＝－OF →－OE →.2．设a ，b 为不共线向量，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则使AD →＝λBC →成立的λ值为________．3．设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ； ②若b ＝－λa ，则a 与b 共线；③若a ＝λb ，则a 与b 共线；④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b . 其中正确的结论有________(填上正确的序号)．4．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →用b ，c 表示为________．5．(2010·广东中山高三六校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.6．(2009·湖南)如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______，y ＝_______.7．已知OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→(λ≠0)，则OP →＝_________.8．O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12时，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？10．(14分)在△ABC 中，|AD ||AB |＝13，|AE ||AC |＝14，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.11．(14分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.答案自主梳理1．(1)大小方向 (2)有向线段 (3)大小 |a | |AB →| (4)任意的 (5)1个 ±a |a| (6)相同相反非零共线向量平行 (7)相等相同 2.(1)和 a ＋b a ＋b OB →三角形法则 (2)平行四边形法则 (3)b ＋a a ＋(b ＋c ) 3.(1)长度相等方向相反－a (2)①(－b ) 相反向量 ②a ＋b a －b 4.(1)λa ①|λ||a | ②相同相反 0 0 (2)①(λμ)a ②λa ＋μa ③λa ＋λb 5.(1)重心 (2)重心自我检测1．2解析由BC →2＝16，得|BC →|＝4， |AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|＝|CB →|＝4. 而|AB →＋AC →|＝2|AM →|，故|AM →|＝2. 2．3解析 ①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．3．－14a ＋14b解析由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，又AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .4．3解析由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连结AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，①因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →，② 联立①②可得m ＝3. 5.43解析设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.课堂活动区例1 0解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行．变式迁移1 ②③④解析 ①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； ③只有零向量的模才为0，故③正确； ④AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确．例2 证明方法一如图所示，在四边形CDEF 中，EF →＋FC →＋CD →＋DE →＝0.① 在四边形ABFE 中， EF →＋FB →＋BA →＋AE →＝0.② ①＋②得 (EF →＋EF →)＋(FC →＋FB →)＋(CD →＋BA →)＋(DE →＋AE →)＝0. ∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴FC →＋FB →＝0，DE →＋AE →＝0.∴2EF →＝－CD →－BA →＝AB →＋DC →，即EF →＝12(AB →＋DC →)．方法二取以A 为起点的向量，应用三角形法则求证．∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD → ＝12(AB →＋DC →)＋AE → ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)．即EF →＝12(AB →＋DC →)．变式迁移2 解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c ， ∵MN →＝MD →＋DA →＋AN →，MD →＝－12DC →＝－12c ，DA →＝－AD →＝－b ，AN →＝12AB →＝12a ，∴MN →＝12a －b －12c ，DN →＋CN →＝DM →＋MN →＋CM →＋MN →＝2MN →＝a －2b －c .例3 解题导引 (1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．证明在△ABD 中，BD →＝AD →－AB →，因为AB →＝a ，AD →＝b ，所以BD →＝b －a . ∵N 点是BD 的三等分点， ∴BN →＝13BD →＝13(b －a )．∵BC →＝b ，∴CN →＝BN →－BC → ＝13(b －a )－b ＝－13a －23b .① ∵M 为AB 中点，∴MB →＝12a ，∴CM →＝－MC →＝－(MB →＋BC →)＝－⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＝－12a －b .② 由①②可得：CM →＝32CN →.由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ， ∴M 、N 、C 三点共线．变式迁移3 (1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝e 1－e 2＋3e 1＋2e 2＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →.∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2) ＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量的基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解之，得⎩⎨⎧λ＝32，k ＝43.∴k 的值为43.课后练习区1．②解析由减法的三角形法则知EF →＝OF →－OE →. 2．2解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b ＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.3．②③④解析题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．4.AD →＝23b ＋13c解析如图，AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23BC →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c . 5.23解析 ∵CD →＝CA →＋AD →，CD →＝CB →＋BD →，∴2CD →＝CA →＋CB →＋AD →＋BD →. 又AD →＝2DB →，∴2CD →＝CA →＋CB →＋13AB →＝CA →＋CB →＋13(CB →－CA →)＝23CA →＋43CB →. ∴CD →＝13CA →＋23CB →，即λ＝23.6．1＋32 32解析作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62.由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32，所以BF →＝32AB →，FD →＝32AC →，所以AD →＝AB →＋BF →＋FD →＝(1＋32)AB →＋32AC →.7.1λa ＋λ－1λb 解析 OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λ－1λP 1P 2→＝OP 1→＋λ－1λ(OP 2→－OP 1→)＝a ＋λ－1λ(b －a )＝1λa ＋λ－1λb .8．0解析由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12，得AP →＝12(AB →＋AC →)，即点P 为△ABC 中BC 边的中点，∴PB →＋PC →＝0.∴P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·0＝0.9．解设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，…………………………………………………………(4分)AB →＝OB →－OA →＝t b －a .……………………………………………………………………(6分)要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，……………………………………………………………………(8分)∴⎩⎨⎧－23＝－λ，13＝λt .∴⎩⎨⎧λ＝23，t ＝12.……………………………………………………(13分)∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．……………………………………………(14分)10．解取AE 的三等分点M ，使|AM |＝13|AE |，连结DM .设|AM |＝t ，则|ME |＝2t .又|AE |＝14|AC |，∴|AC |＝12t ，|EC |＝9t ， |AD ||AB |＝|AM ||AE |＝13，……………………………………………………………………………(5分)∴DM ∥BE ，∴|PC ||DC |＝|PE ||DM |＝|EC ||MC |＝911.∴|DP |＝211|DC |.∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →) ＝13AB →＋211⎝⎛⎭⎫－13AB →＋AC → ＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211b .……………………………………………………………(14分) 11．解 (1)∵点G 是△ABO 的重心， ∴GA →＋GB →＋GO →＝0.……………………………………………………………………(2分) (2)∵M 是AB 边的中点， ∴OM →＝12(a ＋b )．∵G 是△ABO 的重心， ∴OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．∵P 、G 、Q 三点共线，∴PG →∥GQ →，且有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.……………………………………………………(5分)又PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋(n －13)b ，∴(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]．……………………………………………………(8分) 又因为a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－13λ13＝λ(n －13)，…………………………………………(10分)消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.……………………………………………(14分)。

高中数学【向量的线性运算】导学案

高中数学【向量的线性运算】导学案学习目标1.会利用公式进行向量的混合运算;2.了解平面向量的线性运算. 课堂探究一、体系构建结构完善进一步完善向量混合运算以及平面向量线性运算的概念. 二、题型分类典例精讲题型一向量的加法与数乘向量的混合运算例1 如下图所示,讨论3a+3b 与3(a+b )之间的关系.变式训练1 化简:5a+b+2(a+b ).题型二向量的线性运算例2 如图所示,已知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC⃗⃗⃗⃗⃗ .变式训练2如图,平行四边形ABCD 中,点M 在AB 的延长线上,且BM=12AB ,点N 在BC 上,且BN=13BC ,求证:M ,N ,D 三点共线.核心素养专练(一)基础过关1.已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足等式OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.等腰梯形2.已知向量a ,b ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a-2b ,则一定共线的三点是( )A.B ,C ,DB.A ,B ,CC.A ,B ,DD.A ,C ,D3.(多选题)设e 1,e 2是两个不共线的向量,关于向量a ,b 共线的有( ) A.a=2e 1,b=-2e 1 B.a=e 1-e 2,b=-2e 1+2e 2 C.a=4e 1-25e 2,b=e 1-110e 2 D.a=e 1+e 2,b=2e 1-2e 24.已知A ,B ,P 三点共线,O 为平面内任一点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .5.两个非零向量a ,b 不共线.(1)若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b ),求证:A ,B ,D 三点共线; (2)求实数k ,使ka+b 与2a+kb 共线.6.如图所示,已知D ,E 分别为△ABC 的边AB ,AC 的中点,延长CD 至M 使DM=CD ,延长BE 至N 使BE=EN.求证:M ,A ,N 三点共线.(二)能力提升1.已知△ABC 和点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在实数m 使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则m 的值为( )A.2 B .3 C.4 D.52.如图所示,平行四边形ABCD ,E 在边AB 上,且BE=14BA ,F 为对角线BD 上的点,且BF=15BD ,则( )A.E ,F ,C 三点共线,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13FC⃗⃗⃗⃗⃗ B.E ,F ,C 三点共线,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14FC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.E ,F ,C 三点共线,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15FC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.E ,F ,C 三点不共线3.如图所示,在▱ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,M 为BC 的中点,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a ,b 表示)4.如图,已知在▱ABCD 中,M 为AB 的中点,N 在BD 上,3BN=BD. 求证:M ,N ,C 三点共线.5.如图,设G 为△ABC 的重心,过G 的直线l 分别交AB ,AC 于P ,Q ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1m +1n=3.(三)探索研究设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗。