平面直角坐标系中的伸缩变换ppt课件
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（3）在伸缩变换下，平面直角坐 标系不变，在同一直角坐标系下进行 伸缩变换。
.
典型例题1
已知伸缩变换及原曲线方程，求变换后曲线方程 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形 经过伸缩变换
x’=2x y’=3y 后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
.
结论分析：
由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍 然变成直线，而圆可以变成椭圆。
C :
f (1 x, y)0（或
f
(x,
1
y)
0或
f
(1x,
1
y)
0）.
.
③.曲线 C:f(x,y)0
上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为
原来的 （或
f1 (x，,可y)得曲0线或Cf:(f(x,x,yy))00
1时表示拉伸）. 1 时表示压缩，
.
随堂练习
x'2x 1、在伸缩变换y'12y下，写出下列曲线 变换后的方程
.
典型例题3
已知原曲线方程及变换后曲线方程，求伸缩变换 例3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列 图形变换的伸缩变换： (1)直线x－2y=2变成直线2x′ － y′=4. (2)曲线x2－y2－2x=0变成曲线 x'216y'24x0.
.
随堂练习
3.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的 伸缩变换：
思考： 在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、 双曲线变成什么曲线？
.
有关曲线伸缩变换的一般性结论 ①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变 换作用下，点的共线性质保持不变。
②.曲线 C:f(x,y)0在伸缩变换
y
x x y
（或
x y
x 或
y
xy
xy ）作用下（,
1
时表示拉伸
, 1 时表示压缩），所得曲线 C的方程为：
1）2 x 3 y 1 0 2)y2 4x
x2 y2 3) 1
21
.
典型例题2
已知伸缩变换及变换后曲线方程，求原曲线方程
例2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
x' y'
Fra Baidu bibliotek
3x, y
后，曲线C变为曲线
x'29y'2 9,
求曲线C的方程并画出图象.
.
随堂练习
x'x 2、经过伸缩变换y'19y后，曲线变为 x2-9y2 1,求原方程
2
2
(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的
平移和伸缩变换得到?
.
y y
.
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y 2
y=3sinx
1
y=sinx
2
O
x
1
2
纵坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变。
两者的对应关系： x
y
x 3y
②
通常把 ② 叫做平
面直角坐标系中的一 个坐标伸长变换。
.
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲y=3sin2x? 写出其坐标变换.
y
1
2
O
x
1
1
x′= 2 x y′=3y
通常把 ③ 叫做平
3
面直角坐标系中的 一个坐标伸缩变换。
.
定义： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
:xy''xy
(0) (0)
的作用下，点P(x, y)对应P′ (x′, y′).
称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换.
.
注 （1） 0,0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到；
平面直角坐标系中 ------的伸缩变换
.
(1)怎样由正y 弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
1
2
3
O
x
1
y=sinx
y=sin2x
横坐标缩短为原来的1/2，纵坐标不变。
伸缩前点的坐标：(x, y)
通常把 ① 叫
伸缩后点的坐标：(x′, y′)
做平面直角坐
两者的对应关系：
x
1 2
x
①
标系中的一个 坐标压缩变换。
曲 线 4 x 2 9 y 2 3 6 变 为 曲 线 x ' 2 y ' 2 1
.
随堂练习
4.设M1是A1 (x1, y1)与B1 (x2, y2)的中点，经过伸 缩变换后，它们分别为M2，A2，B2， 求证： M2是A2B2的中点.
.
随堂练习
5.已知函数 y1cos2x3sinxcosx1,x R
.
典型例题1
已知伸缩变换及原曲线方程，求变换后曲线方程 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形 经过伸缩变换
x’=2x y’=3y 后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
.
结论分析：
由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍 然变成直线，而圆可以变成椭圆。
C :
f (1 x, y)0（或
f
(x,
1
y)
0或
f
(1x,
1
y)
0）.
.
③.曲线 C:f(x,y)0
上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为
原来的 （或
f1 (x，,可y)得曲0线或Cf:(f(x,x,yy))00
1时表示拉伸）. 1 时表示压缩，
.
随堂练习
x'2x 1、在伸缩变换y'12y下，写出下列曲线 变换后的方程
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典型例题3
已知原曲线方程及变换后曲线方程，求伸缩变换 例3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列 图形变换的伸缩变换： (1)直线x－2y=2变成直线2x′ － y′=4. (2)曲线x2－y2－2x=0变成曲线 x'216y'24x0.
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随堂练习
3.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的 伸缩变换：
思考： 在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、 双曲线变成什么曲线？
.
有关曲线伸缩变换的一般性结论 ①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变 换作用下，点的共线性质保持不变。
②.曲线 C:f(x,y)0在伸缩变换
y
x x y
（或
x y
x 或
y
xy
xy ）作用下（,
1
时表示拉伸
, 1 时表示压缩），所得曲线 C的方程为：
1）2 x 3 y 1 0 2)y2 4x
x2 y2 3) 1
21
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典型例题2
已知伸缩变换及变换后曲线方程，求原曲线方程
例2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
x' y'
Fra Baidu bibliotek
3x, y
后，曲线C变为曲线
x'29y'2 9,
求曲线C的方程并画出图象.
.
随堂练习
x'x 2、经过伸缩变换y'19y后，曲线变为 x2-9y2 1,求原方程
2
2
(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的
平移和伸缩变换得到?
.
y y
.
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y 2
y=3sinx
1
y=sinx
2
O
x
1
2
纵坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变。
两者的对应关系： x
y
x 3y
②
通常把 ② 叫做平
面直角坐标系中的一 个坐标伸长变换。
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(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲y=3sin2x? 写出其坐标变换.
y
1
2
O
x
1
1
x′= 2 x y′=3y
通常把 ③ 叫做平
3
面直角坐标系中的 一个坐标伸缩变换。
.
定义： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
:xy''xy
(0) (0)
的作用下，点P(x, y)对应P′ (x′, y′).
称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换.
.
注 （1） 0,0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到；
平面直角坐标系中 ------的伸缩变换
.
(1)怎样由正y 弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
1
2
3
O
x
1
y=sinx
y=sin2x
横坐标缩短为原来的1/2，纵坐标不变。
伸缩前点的坐标：(x, y)
通常把 ① 叫
伸缩后点的坐标：(x′, y′)
做平面直角坐
两者的对应关系：
x
1 2
x
①
标系中的一个 坐标压缩变换。
曲 线 4 x 2 9 y 2 3 6 变 为 曲 线 x ' 2 y ' 2 1
.
随堂练习
4.设M1是A1 (x1, y1)与B1 (x2, y2)的中点，经过伸 缩变换后，它们分别为M2，A2，B2， 求证： M2是A2B2的中点.
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随堂练习
5.已知函数 y1cos2x3sinxcosx1,x R