平面直角坐标系中的伸缩变换ppt课件
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高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换(PPT)5-4
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
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Байду номын сангаас
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思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到 曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
～茂盛｜发展经济，开辟～。 【财运】名发财的运气：～亨通。 【财政】名政府部门对资财的收入与支出的管理活动：～收入｜～赤字。 【财政赤字】年 度财政支出大于财政收入的差额，会计上通常用红字表示，所以叫财政赤字。也叫预算赤字。 【财主】?名占有大量财产的人：土～｜大～。 【裁】①动用 刀、剪等把片状物分成若干部分：～纸｜～衣；发光字 / 不锈钢字 楼顶大字 ；服。②量整张纸分成的相等的若干份；开○： 对～（整张的二分之一）｜八～报纸。③动把不用的或多余的去掉；削减：～军｜～员｜这次精简机构，～了不少人。④安排取舍（多用于文学艺术）：别 出心～｜《唐诗别～》。⑤文章的体制、格式：体～。⑥衡量；判断：～判｜～决。⑦控制；抑止：～制｜制～｜独～。 【裁编】∥动裁减编制：～定岗。 【裁兵】∥ī动旧指裁减军队。 【裁并】动裁减合并（机构）。 【裁撤】动撤销；取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科室。 【裁处】动考虑决定并加以处 置：酌情～。 【裁定】动①裁决。②法院在审理案件或判决执行过程中，就某个问题做出处理决定。 【裁断】动裁决判断；考虑决定：这件事究竟怎样处理， 还望领导～。 【裁夺】动考虑决定：此事如何处置，恳请～。 【裁度】〈书〉动推测断定。 【裁缝】动剪裁缝制（衣服）：虽是布衫布裤，但～得体。 【裁缝】?名做衣服的工人。 【裁减】动削减（机构、人员、装备等）：～军备。 【裁剪】动缝制衣服时把衣料按一定的尺寸裁开：～技术｜这套衣服～得 很合身。 【裁决】动经过考虑，做出决定：如双方发生争执，由当地主管部门～。 【裁军】动裁减武装人员和军事装备。 【裁判】①动法院依照法律，对
平面直角坐标系中的伸缩变换-PPT课件
二.平面直角坐标系中的伸缩 变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到 曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 得到正弦曲线y=sin2x.
，就
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ，得
，在
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’= y’=3y
x 3
通常把
3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下， 直线仍然变成直线，而圆可以变成椭 圆。
思考：
在伸缩变换(4)下，椭圆是否可以变成圆？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
x’=x y’=3y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
预习： 极坐标系（书本P9-P11）
x’=x
y’=3y 2
通常把
2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到 曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 得到正弦曲线y=sin2x.
，就
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ，得
，在
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’= y’=3y
x 3
通常把
3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下， 直线仍然变成直线，而圆可以变成椭 圆。
思考：
在伸缩变换(4)下，椭圆是否可以变成圆？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
x’=x y’=3y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
预习： 极坐标系（书本P9-P11）
x’=x
y’=3y 2
通常把
2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
高二数学选修4-4-4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换.ppt
归纳总结：
坐标压缩变换：
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持
纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的1 ，得到点 2
P'( x' ,
y' ),即有{ x'
1 2
x (1)
y' y
此时，我们把(1)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标
压缩变换。
问题分析：
(2)怎样由正弦曲线y sin x得到曲线y 3sin x ?
点，在变换：{ x x( 0) y y( 0)
的作用下，点P( x, y)对到应点P( x, y)，称为平面
直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
例题分析：
例2、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中， 求 下 列 方 程 所 对应的图形经过伸缩变换{ x 2x 后的图形。
y 3 y (1)、2x 3 y 0 (2)、x2 y2 1
归纳总结：
坐标伸缩变换
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，经过上述
变换后变为点P'( x' ,
y' ),即有{ x'
1 2
x (3)
y' 3 y
此时，我们把(3)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标
伸缩变换.
请同学们用自己的语言来 归纳一下平面直角坐标系 的伸缩变换！
归纳总结：
定义：设点P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一
如图示：在正弦曲线y sin x上任取一点P( x, y), 保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长原来的3倍， 则正弦曲线y sin x就变成曲线y 3sin x.
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5
10
高中数学 1.1.2平面直角坐标系中的伸缩变课件 新人教版选修4-5
h
4
思考：
从平面直角坐标系中的点的对应关系出发， 你认为“保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的 1/2”的实质是什么？
坐标压缩变换：
设P(x, y)是平面直角坐标系中任的意一点，保持
纵坐标y不变，将横坐x标缩为原来的1，得到点
2
P'( x' ,
y'),那么{x'
1 2
x(1)
y' y
我们把(1)式叫做平面直角坐标中系的一个坐标
压缩变换。
h
5
(2)怎样由 y 正 sixn 得 弦到 曲 y曲 3 线 sixn 线 ?
如图，在y正 si弦 n x上曲 任线 取 P(x一 ,y),点 保持横 x不 坐 变 标 ，将 y伸 纵 长 坐 原 3倍 标 来 ， 的 那么正y弦 si曲 n x就线 变成 y曲 3sin x 线
8
6
4
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同
一直角坐标系下进行伸缩变换。
h
11
例2、在平面直角坐标 ，系 求中 下列方程所 对应的图形经过伸 换{x缩 y 变 32xy后的图形。
(1) 2x3y0 (2) x2 y2 1
h
12
解：(1)由伸缩变换
{
x y
2 3
xy 得到{
x y
1
2 1
x (5)
h
2
选修4-4 坐标系与参数方程
兰溪三中 叶勇钧
h
3
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y=sin2x
y=sinx x
2
O
如图，在正 ys弦 in x上 曲任 线取P(一 x,y)点
第1章1.1 直角坐标系平面上的伸缩变换课件人教新课标
38
[解] 设曲线 C 上任意一点 M(x，y)，经过变换后对应点 M′(X， Y)．
由X2Y＝＝3yx
X＝3x 得Y＝2y
(*)
又 M′(X，Y)在曲线 x2＝18y 上，
∴X2＝18Y
①
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39
将(*)代入①式得 (3x)2＝18×(12y)． 即 x2＝y 为曲线 C 的方程． 可见仍是抛物线，其中 p＝12，抛物线 x2＝y 的焦点为 F(0，14)．准 线方程为 y＝－14.
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29
2．已知 B 村位于 A 村的正西方向 1 千米处，原计划经过 B 村沿 着北偏东 60°的方向埋设一条地下管线 m，但 A 村的西北方向 400 米 处，发现一古代文物遗址 W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将 遗址 W 周围 100 米范围划为禁区．试问：埋设地下管线 m 的计划需 要修改吗？
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36
解答本题的关键：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的 意义与作用；二是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．
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37
3．若将例题中第(2)题改为：如果曲线 C 经过变换后得到的曲线 的方程为 x2＝18y，那么能否求出曲线 C 的焦点坐标和准线方程？请 说明理由．
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17
[解] 法一 (坐标法)以 A 为坐标原点 O，AB 所在的直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系 xOy，则 A(0,0)，
设 B(a,0)，C(b，c)， 则 AC 的中点 E(b2，2c)， 由对称性知 D(b－a，c)， 所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
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直角坐标系中的伸缩变换课件PPT
03 伸缩变换的矩阵表示
二维伸缩变换的矩阵表示
总结词
描述二维平面上的点通过伸缩变换后的坐标变化。
详细描述
在二维直角坐标系中，伸缩变换可以通过一个矩阵来表示。假设原点为 $(x, y)$， 经过伸缩变换后变为 $(x', y')$，则变换矩阵可以表示为
二维伸缩变换的矩阵表示
• $\begin{pmatrix}
02
在直角坐标系中，设原点为 $O(0,0)$，点$P(x,y)$经过伸缩变 换后变为点$P'(x',y')$，则变换公 式为：$x' = kx, y' = ky$，其中 $k$为伸缩系数。
伸缩变换的性质
伸缩变换保持点之间 的距离不变，即 $|OP| = |OP'|$。
伸缩变换可以同时对 x和y进行放大或缩小， 但比例系数必须相同。
伸缩变换的理论研究
01
02
03
理论框架
深入探讨伸缩变换的基本 原理、数学表达和推导过 程，建立完善的理论框架。
性质研究
研究伸缩变换的性质，如 线性、可逆性、连续性和 可微性等，并探讨其在不 同坐标系下的表现。
几何意义
从几何角度解释伸缩变换， 探究其在图形、曲线和曲 面等几何对象上的应用和 表现。
伸缩变换的应用研究
02 伸缩变换在直角坐标系中 的应用
横向伸缩变换
总结词
在直角坐标系中，横向伸缩变换 是指沿x轴方向的伸长或缩短。
详细描述
横向伸缩变换通过乘以一个大于1 的系数来增加x轴上的长度，或者 乘以一个小于1的系数来减小x轴 上的长度。这种变换不会改变点 在y轴上的坐标。
纵向伸缩变换
总结词
纵向伸缩变换是指沿y轴方向的伸长或缩短。
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曲 线 4 x 2 9 y 2 3 6 变 为 曲 线 x ' 2 y ' 2 1
.
随堂练习
4.设M1是A1 (x1, y1)与B1 (x2, y2)的中点，经过伸 缩变换后，它们分别为M2，A2，B2， 求证： M2是A2B2的中点.
.
随堂练习
5.已知函数 y1cos2x3sinxcosx1,x R
C :
f (1 x, y)0（或
f
(x,
1
y)
0或
f
(1x,
1
y)
0）.
.
③.曲线 C:f(x,y)0
上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为
原来的 （或
f1 (x，,可y)得曲0线或Cf:(f(x,x,yy))00
1时表示拉伸）. 1 时表示压缩，
.
随堂练习
x'2x 1、在伸缩变换y'12y下，写出下列曲线 变换后的方程
思考： 在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、 双曲线变成什么曲线？
.
有关曲线伸缩变换的一般性结论 ①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变 换作用下，点的共线性质保持不变。
②.曲线 C:f(x,y)0在伸缩变换
y
x x y
（或
x y
x 或
y
xy
xy ）作用下（,
1
时表示拉伸
, 1 时表示压缩），所得曲线 C的方程为：
1）2 x 3 y 1 0 2)y2 4x
x2 y2 3) 1
21
.
典型例题2
已知伸缩变换及变换后曲线方程，求原曲线方程
例2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
x' y'
3x, y
后，曲线C变为曲线
x'29y'2 9,
求曲线C的方程并画出图象.
.
随堂练习
x'x 2、经过伸缩变换y'19y后，曲线变为 x2-9y2 1,求原方程
y y
.
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y 2
y=3sinx
1
y=sinx
2
O
x
1
2
纵坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变。
两者的对应关系： x
y
x 3y
②
通常把 ② 叫做平
面直角坐标系中的一 个坐标伸长变换。
.
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲y=3sin2x? 写出其坐标变换.
.
典型例题3
已知原曲线方程及变换后曲线方程，求伸缩变换 例3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列 图形变换的伸缩变换： (1)直线x－2y=2变成直线2x′ － y′=4. (2)曲线x2－y2－2x=0变成曲线 x'216y'24x0.
.
随堂练习
3.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的 伸缩变换：
平面直角坐标系中 ------的伸缩变换
.
(1)怎样由正y 弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
1
2
3
O
x
1
y=sinx
y=sin2x
横坐标缩短为原来的1/2，纵坐标不变。
伸缩前点的坐标：(x, y)
通常把 ① 叫
伸缩后点的坐标：(x′, y′)
做平面直角坐
两者的对应关系：
x
1 2
x
①
标系中的一个 坐标压缩变换。
（3）在伸缩变换下，平面直角坐 标系不变，在同一直角坐标系下进行 伸缩变换。
.
典型例题1
已知伸缩变换及原曲线方程，求变换后曲线方程 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形 经过伸缩变换
x’=2x y’=3y 后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
.
结论分析：
由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍 然变成直线，而圆可以变成椭圆。
y
1
2
O
x
1
1
x′= 2 x y′=3y
通常把 ③ 叫做平
3
面直角坐标系中的 一个坐标伸缩变换。
.
定义： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
:xy''xy
(0) (0)
的作用下，点P(x, y)对应P′ (x′, y′).
称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换.
.
注 （1） 0,0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到；
2
2
(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的
平移和伸缩变换得到?
.
.
随堂练习
4.设M1是A1 (x1, y1)与B1 (x2, y2)的中点，经过伸 缩变换后，它们分别为M2，A2，B2， 求证： M2是A2B2的中点.
.
随堂练习
5.已知函数 y1cos2x3sinxcosx1,x R
C :
f (1 x, y)0（或
f
(x,
1
y)
0或
f
(1x,
1
y)
0）.
.
③.曲线 C:f(x,y)0
上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为
原来的 （或
f1 (x，,可y)得曲0线或Cf:(f(x,x,yy))00
1时表示拉伸）. 1 时表示压缩，
.
随堂练习
x'2x 1、在伸缩变换y'12y下，写出下列曲线 变换后的方程
思考： 在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、 双曲线变成什么曲线？
.
有关曲线伸缩变换的一般性结论 ①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变 换作用下，点的共线性质保持不变。
②.曲线 C:f(x,y)0在伸缩变换
y
x x y
（或
x y
x 或
y
xy
xy ）作用下（,
1
时表示拉伸
, 1 时表示压缩），所得曲线 C的方程为：
1）2 x 3 y 1 0 2)y2 4x
x2 y2 3) 1
21
.
典型例题2
已知伸缩变换及变换后曲线方程，求原曲线方程
例2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
x' y'
3x, y
后，曲线C变为曲线
x'29y'2 9,
求曲线C的方程并画出图象.
.
随堂练习
x'x 2、经过伸缩变换y'19y后，曲线变为 x2-9y2 1,求原方程
y y
.
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y 2
y=3sinx
1
y=sinx
2
O
x
1
2
纵坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变。
两者的对应关系： x
y
x 3y
②
通常把 ② 叫做平
面直角坐标系中的一 个坐标伸长变换。
.
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲y=3sin2x? 写出其坐标变换.
.
典型例题3
已知原曲线方程及变换后曲线方程，求伸缩变换 例3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列 图形变换的伸缩变换： (1)直线x－2y=2变成直线2x′ － y′=4. (2)曲线x2－y2－2x=0变成曲线 x'216y'24x0.
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随堂练习
3.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的 伸缩变换：
平面直角坐标系中 ------的伸缩变换
.
(1)怎样由正y 弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
1
2
3
O
x
1
y=sinx
y=sin2x
横坐标缩短为原来的1/2，纵坐标不变。
伸缩前点的坐标：(x, y)
通常把 ① 叫
伸缩后点的坐标：(x′, y′)
做平面直角坐
两者的对应关系：
x
1 2
x
①
标系中的一个 坐标压缩变换。
（3）在伸缩变换下，平面直角坐 标系不变，在同一直角坐标系下进行 伸缩变换。
.
典型例题1
已知伸缩变换及原曲线方程，求变换后曲线方程 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形 经过伸缩变换
x’=2x y’=3y 后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
.
结论分析：
由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍 然变成直线，而圆可以变成椭圆。
y
1
2
O
x
1
1
x′= 2 x y′=3y
通常把 ③ 叫做平
3
面直角坐标系中的 一个坐标伸缩变换。
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定义： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
:xy''xy
(0) (0)
的作用下，点P(x, y)对应P′ (x′, y′).
称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换.
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注 （1） 0,0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到；
2
2
(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的
平移和伸缩变换得到?
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