用瑞利_李兹法求解瞬时非稳态滑动轴承油膜力的新算法

第 6 期
肖忠会, 等: 用瑞利2李兹法求解瞬时非稳态滑动轴承油膜力的新算法 其中
K = c1 K 1 + c2 K 2
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以利用修正后的 k 重复上述的求解过程。 算例表明 结果收敛得很快, 对 k 的初值的设定不敏感。
) : 首先引入参数 0 < ∆ ≤ Χ 下面我们来求 r ( Η ,
b = c3 [ ( v + 2u ) b 1 + ( - u + 2v ) b 2 ] 显然式 ( 24) 要取得最小值, 需要满足下式:
a = K
- 1
( 25) ( 26)
油膜破裂边界 # 可以表示为 Φ= ∆, 将 Η归一化, 得 Η ≤ 1。然后我们用 ∆ ): L ag range 多项式插值来表示 r ( Η 到 新的自变量 Γ : 0 ≤ Γ=
r ( Γ) = w ( Γ)
b
其中 ∆ 参数表示油膜的破裂边界, 我们使用了一 个迭代过程来获取 ∆ 。 先设一个初值 ∆ = Χ , 如果方 程 ( 26) 的解满足 a ≥ 0, 那么就表示没有出现油膜 破裂, 油膜充满了整个油叶, 此时可以令 ∆ = Χ 直
用瑞利2李兹法求解瞬时非稳态滑动轴承 油膜力的新算法
肖忠会, 沈光琰, 郑铁生3 , 张 文
( 复旦大学 力学与工程科学系, 上海 200433)
摘 要: 提出了一个利用瑞利2李兹方法求解 R eyno lds 边界条件下非稳态滑动轴承油膜力的近似算法, 充分利用 油膜力分布的特性, 用双曲余弦函数来表示油膜力的轴向压力分布, 而用多项式函数插值法来求解油膜力的周向 压力分布, 并同时计算出油膜力的破裂边界。 算例表明本算法达到了相当高的精度, 可用于转子系统的非线性数 值分析, 能大大降低数值求解瞬态油膜力的计算时间。 关键词: 有限轴承; 油膜力; R eyno lds 边界条件; 瑞利- 李兹法 中图分类号: TH 133. 3 文献标识码: A
J ( p ) = m in J ( q )
q∈K
c2 = c3 =
k
2 2
k
) - 2k Κ] [ sin h ( 2k Κ ) [ k Κco sh ( k Κ )] sin h ( k Κ ( 15)
首先我们给 k 设一个初值, 就可以先确定式
( 4) ( 14) , 然后通过式 ( 15) 先计算出 c1 , c2 和 c3 的值, 这
- Κ
Κ
( 9)
d 1 =
∫
0
Χ
3 2 ) r′ (Η ) dΗ h (Η , d2 =
) r (Η ) dΗ h (Η ∫
3 2 0
Χ
分布 p ≥ 0。
d3 =
) r (Η ) dΗ f (Η ∫
0
Χ
( 10)
) 决定, 因此如果假设 因为 d 1 , d 2 和 d 3 仅由 r ( Η ) 是一个事先知道的函数, 那么就可以将 d 1 , d 2 r (Η
f = ( - u + 2v ) sin Η+ ( v + 2u ) co s Η
将式 ( 14) 代入式 ( 9) 求得
) c1 = 2Κ+ Κ co sh ( 2k Κ
式中 h 是油膜厚度, f 是 “载荷” 函数, 当轴颈做大 扰动时, 它们是随时间变化的, 因此这是一个非定 常问题, 由于边界 # 是自由边界, 这是一个非线性 问题。 根据变分原理[ 7 ] , 其等价泛函问题为 求 p 满足
)。 接得到 r ( Η 如果 a n < 0, 表示出现了油膜破裂, 需
) = r (Η
T l ( Γ) a
当 0 ≤ Γ≤ 1 其它
( 18)
0
其中
a = {a i } i= 1, n , l ( Γ) = { l i ( Γ) } i= 1, n
T T
n
要减少 ∆ 的值, 重新计算 a 直到 a n = 0。 求得压力分布后在单片油叶上积分得到局部
( 5)
1 K = {q ∈ c ( 8 ) q ≥0 in 8 , and q = 0 on 5 8 } ( 6)
式中 K 为 Sobo lev 空间上的一个非负函数闭凸子 集。 由于自由边界 # 附近的压强非常接近于零, 其 附近的压强积分对整个油膜力大小并无太大影响, 我们近似认为 # 为平行于轴承轴线的直线, 并且设 压力分布的实验函数可以分离变量为
∫
- Κ
Κ
) dΦ r (Η ) g (Φ
0
∫
Χ
co s Η sin Η
dΗ = - c3
b1 a b2 a
T
T
般来说, 由于高次多项式插值会出现数值不稳定的 情况, 所以在实际运用中, 很少会使用高次插值。 我 们根据短轴承油膜力表达式以及雷诺边界条件的 要求, 取权函数 w ( Γ) 为
- 2 w ( Γ) = h ( ∆Γ) sin ( Π Γ)
第22卷第6期
2005 年 12 月
计 算 力 学 学 报
Ch inese Journa l of Com puta tiona l M echan ics
V o l. 2 2 , N o. 6 D ecem ber 2005
文章编号: 100724708 ( 2005) 0620685205
和 d 3 看作常量。 此时求解极值问题变为求解如下 的 Eu ler 2 L ag range 方程
图 1 局部坐标系中单片油叶及其柱坐标展开 F ig. 1 C ro ss section of one p ad of bearing
(Φ ) d 2g ″
) = d 1g (Φ
d 3, g (-
[3 ] [2 ] [1 ]
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学
学
报
第 22 卷
充零算相比几乎可以忽略不计。
) 可用双曲余弦函数来表示, g ( Φ ) = co sh g ( Φ (k Κ ) - co sh ( k Φ ) , 推导如下:
2 基本方程及求解
如图 1 所示, ob - uv 为原点在轴叶中心的固定 坐标系, u , v , u 和 v 为轴颈中心的无量纲位移和速 度 ( 量纲比为 C 和 C Ξ, Ξ 为轴颈自转角速度, C 为间 隙) ; Η和 Φ分别为周向与轴向柱坐标, 8 为单片油 叶在柱坐标中的展开。 Η Φ= 8 = [ 0, Χ] × [ - Κ , Κ], Κ= L D 为长径比。 8 = 8 + ∪ 8 0 , 8 + 为正压 区, 8 0 为 零 压 区, # 为 两 者 的 分 界 ( 自 由 边 界 ) 。
) = g (Κ ) = 0 Κ ( 11)
正压区中 p 满足的无量纲雷诺方程为
-
方程 ( 11) 的解为
) = b [ co sh ( k Κ ) g (Φ )] co sh ( k Φ ( 12)
5 3 5p h 5Η 5Η
p
58 +
5 3 5p h = f in 8 + 5Φ 5Φ 5p 5n
刚性支承的转子, 由于其支承部分不能向系统 提供足够的阻尼, 致使转子无法平稳地越过临界转 速而只能限制在低速范围内工作, 所以对于一大类 要求在超临界转速以上运行的高速转子, 或重载转 子, 其支承大多数都必须实现流体润滑。 滑动轴承 中的油膜力在旋转机械中主要起着提供支承力, 抑 制振动的作用。 油膜力的计算是通过求解一定边界 条件下的雷诺方程得到的。 传统的轴承2转子系统 的动力学分析都是借助于线性化的描述, 基于小扰 动的假设将非线性系统简化为一个用八个刚度, 阻 尼系数表征的线性模型 , 这时只需要计算轴心在 静平衡位置的油膜力和八个动特性参数, 因此可以 用有限元法或有限差分法配合充零算法 或互补 算法 来算得 R eyno ld s 边界条件下的油膜力, 然 后就可以计算分析转子系统的动力特性。 然而在很 多情况下, 转子不再仅仅局限在平衡位置的附近做 小扰动, 此时的轴承2转子系统的动力学行为会表 现出很强的非线性, 线性分析已经失效, 只有借助 于分析原始的非线性动力方程, 才能更彻底更清晰 地了解系统的运动特性。 在非线性分析中, 求解系 统动力响应的每一步都需要重复计算油膜力, 如果 仍 然采用线性分析时所用的大规模油膜力计算方
( 19)
l i ( Γ) =
j = 1, ≠ i
∏
Γ - Γj Γi - Γj
坐标系下的单片油叶油膜力:
f f
u v
Γi= i - 1 n - 1, ( i = 1, …, n ) 是插值函数的基点,
l i ( Γ) ( i = 1, …, n ) 是L ag range 多项式的基函数。 一
= -
( 27)
其中
J (q) =
样就把这个二维的极值问题变成了下面的一维问
1 2
κh
8
3
5q + 5Η
2
5q 5Φ
2
dΗ dΦ -
κf
8
qd Η dΦ
题:
) 满足 求解函数 r ( Η ) ∈ {c1 [ 0, Χ] r ( Η ) ≥ 0 in ( 0, Χ ) r (Η ) = 0} r ( 0) = r ( Χ ( 16)
收稿日期: 2003212222; 修改稿收到日期: 20042062221 基金项目: 国家自然科学基金重大项目 (19990510) ; 国家重点基 础研究专项经费基金 (G1998020316) 资助项目 1 作者简介: 肖忠会 (19702) , 男, 博士; 沈光琰 (19792) , 女, 硕士; 郑铁生3 (19492) , 男, 教授 1
) = g (Φ ) r (Η ) q (Η ,Φ ( 7)