平面与点的相关位置

uuuuur
uur
向量 QM0 在平面 的单位法向量 n0 上的射影叫做点 M0 与平面
之间的离差，记做
uuuuur
射影uur n0
QM
0
（3.2－1）
2. 点与平面之间的距离
uur r 定理 3.2.1 点 M0 与平面 n0 r p 0间的离差为
uur ur
n0 r0 p ，
（3.2－2）
如果 F1F2 0, F3F4 0 表明点 M1, M 2 在1, 2 所构成的相邻二面角内. F1F2 0, F3F4 0 表明点 M1, M 2 在1, 2 所构成的同一二面角内. F1F2 0, F3F4 0 表明点 M1, M 2 在1, 2 所构成的对顶二面角内.
1 : A1x B1 y C1z D 0 ， 2 : A2 x B2 y C2z D 0 的 位置 关系， 将点 M1, M 2 的坐标分别代入 1, 2 方程左边， 即 F1 A1x1 B1 y1 C1z1 D ， F2 A1x2 B1 y2 C1z2 D ，
F3 A2 x2 B2 y2 C2 z2 D ， F4 A2 x2 B2 y2 C2 z2 D
的距离为 d Ax0 By0 Cz0 D （3.2－4） A2 B2 C2
二、平面划分空间问题， 三元一次不等式的几何意义
ຫໍສະໝຸດ Baidu结论：
若点 M1 x1, y1, z1 , M2 x2, y2, z2 不在平面 : Ax By Cz D 0 上，
则 M1, M 2 位于平面 同侧的充要条件是： F1 Ax1 By1 Cz1 D, F2 Ax2 By2 Cz2 D 与同号
三、例题
例1 设点 M 2, 4,3 ，平面 : 2x 1y 2z 3 0 ，求点 M
到平面 间的离差与距离.
例2 设平面 为 Ax By Cz D 0 ,它与联结两点 M1 x1, y1, z1 ,
uuuuur uuuuur
M2 x2, y2, z2 的直线相交于点 M ，且 M1M MM2 ，
Contents
一、点与平面的距离 二、平面划分空间问题，
三元一次不等式的几何意义
一、点与平面的距离
1. 点与平面的离差 2. 点与平面之间的距离
1. 点与平面的离差
定义 3.2.1 一点与平面上的点之间的最短距离，叫做 该点与平面之间的距离。
定义 3.2.2 如果自点 M0 到平面 引垂线，其垂足为 Q ，那么
ur uuuuur uuur 这里 r0 OM0, p OP .
推论 1 点 M0 x0, y0, z0 与平面 x cos y cos z cos p 0
间的离差是 x0 cos y0 cos z0 cos p . （3.2－3）
推论 2 点 M0 x0, y0, z0 与平面 Ax By Cz D 0 间
求证：
Ax1 By1 Cz1 D .
Ax2 By2 Cz2 D
例3 试求由平面1 : 2x 1y 2z 3 0, 2 : 3x 2 y 6z 1 0 所构成
的二面角的角平分面的方程，在此二面角内有点 M 1, 2, 3 .
说明 判别两点 M1 x1, y1, z1 ， M2 x2, y2, z2 与平面