杨辉三角与二项式定理PPT优秀课件
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1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质ppt课件
C50C51C52C53C54C55
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
r n1Cnn
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的
两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系
即0 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
典例解析
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1 等来整体得到所求。
赋值法
新知探究
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法再思考
已知(1 2x)7 a0 a1 x a2 x2
课堂练习
课堂练习
a+b 1）已知 C155
a, C195
b，那么
C10 16
=
；
2）(a b)9 的展开式中，二项式系数的最大值是 126 ；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一项的二项式
系数最大，则n= 19 ；
典型例题
典例解析
例1 证明在 (a b)n 的展开式中，奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数
项的二项式系数的和.
： 即证
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
r n1Cnn
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的
两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系
即0 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
典例解析
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1 等来整体得到所求。
赋值法
新知探究
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法再思考
已知(1 2x)7 a0 a1 x a2 x2
课堂练习
课堂练习
a+b 1）已知 C155
a, C195
b，那么
C10 16
=
；
2）(a b)9 的展开式中，二项式系数的最大值是 126 ；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一项的二项式
系数最大，则n= 19 ；
典型例题
典例解析
例1 证明在 (a b)n 的展开式中，奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数
项的二项式系数的和.
： 即证
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
120227高二数学(理)杨辉三角”及二项式系数的性质(1)(
(2)求a100
(1)写出这个三角形数表的第四行, 第五行各数。
第四行：17、18、20、24； 第五行：33、34、36、40、48
(2)求a100 a100=16640源自《考一本》P30 -P32
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
(3)该小弹子落入第 n层第 m 1个竖直 通道的概率与该小弹子 落入第 n层第 m个 竖直通道的概率之和等 于什么？
(2007年湖南)将杨三角中的奇数换成
1, 偶数换成0, 得到如图所示的0−1三角
数表: 第1行
11
第2行
101
第3行 第4行 第5行
1111 10001 110011
…… ……………………………
在交点处向左或向右是 等可能的。若竖直线段
有一条的为第一层 ,有两条 的为第二层 ,..., 以此类推 , 现有一颗小弹子从第一 层的通道里向下运动。
入口 第一层 第二层
第二 通道
第三层 第四层
(1)求该小弹子落入第四层 第二个竖直 通道的概率（从左到右 数）；
(2)猜想落入第 n 1层第 m个竖直通道 的里的概率；
研读教材P32-P33： 1. 什么是杨辉三角？ 2.“杨辉三角”与二项式系数间有怎 样的联系？ 3. 从杨辉三角的数表中, 你可以发现 哪些规律？
探究教材P35-P36： “杨辉三角” 中的一些秘密
(苏锡常联考模拟题 )如图是在竖直平面内
的一个“通道游戏”。 图中竖直线段和斜线段
表示通道 ,并且在交点处相通 ,假设一个小弹子
从上往下数, 第1次全行的数都 为1的是第1行, 第2次全行的数都为1 的是第3行, ……, 第n次全行的数都 为1的是第____行；第61行中1的个数 是____个。
(1)写出这个三角形数表的第四行, 第五行各数。
第四行：17、18、20、24； 第五行：33、34、36、40、48
(2)求a100 a100=16640源自《考一本》P30 -P32
谢谢欣赏
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(3)该小弹子落入第 n层第 m 1个竖直 通道的概率与该小弹子 落入第 n层第 m个 竖直通道的概率之和等 于什么？
(2007年湖南)将杨三角中的奇数换成
1, 偶数换成0, 得到如图所示的0−1三角
数表: 第1行
11
第2行
101
第3行 第4行 第5行
1111 10001 110011
…… ……………………………
在交点处向左或向右是 等可能的。若竖直线段
有一条的为第一层 ,有两条 的为第二层 ,..., 以此类推 , 现有一颗小弹子从第一 层的通道里向下运动。
入口 第一层 第二层
第二 通道
第三层 第四层
(1)求该小弹子落入第四层 第二个竖直 通道的概率（从左到右 数）；
(2)猜想落入第 n 1层第 m个竖直通道 的里的概率；
研读教材P32-P33： 1. 什么是杨辉三角？ 2.“杨辉三角”与二项式系数间有怎 样的联系？ 3. 从杨辉三角的数表中, 你可以发现 哪些规律？
探究教材P35-P36： “杨辉三角” 中的一些秘密
(苏锡常联考模拟题 )如图是在竖直平面内
的一个“通道游戏”。 图中竖直线段和斜线段
表示通道 ,并且在交点处相通 ,假设一个小弹子
从上往下数, 第1次全行的数都 为1的是第1行, 第2次全行的数都为1 的是第3行, ……, 第n次全行的数都 为1的是第____行；第61行中1的个数 是____个。
杨辉三角与二项式系数(优秀课件1)
0 n
1 n
2 n
n n
知识探究3:
C
函数角度： r n 可以看成以r为自变量的函数
（2）增减性与最大值
f（r），其定义域是｛0,1,·,n｝。 · ·
图象法解释
f（r） 20
f（r） 35 30
n为奇数； 如n=7
15
20
10
6 1 O O
n 2
n
3 n4
2
7
r
n
n为偶数； 如n=6
①关于r=n/2对称
n1 2
C CC CC CC
0 6
1 6
2 6
3 6
4 6
5 6
6 6
1
6 15 20 15
6
1
课堂练习：
1） (a b) 的展开式中，二项式系数的最大值 是 ；
9
2）若 (a b) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ；
n
二项式系数的性质
（a＋b） C a ＋C a ＝
且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
11
一般地， a b)n 展开式的二项式系数 (
C , C ,C 有如下性质：
（1）C
m n
0 n
1 n
n n
C
nm n
（2）
n 2 n
C C
m n
m1 n
C
m n1
（3）当n为偶数时， C
当n为奇数时， C （4）
0 n 1 n
最大
n 1 2 = n
C
n 1 2 n
n
且最大
C C C 2
杨辉三角与二项式系数PPT优秀课件
第三条斜线上：1+3+6+10=
20 C63
第四条斜线上：1+4+10= 15 C64
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
C 11＋＋11＋＋11＋＋ ．．．．．．＋＋11＝＝ 1 （（第第11条条斜斜线线 ）） n
C C 1 1 C 2 1 C 3 1 C n 1 1n2 （第2条斜线 ） C C 2 2 C 3 2 C 4 2 C n 2 1n3 （第3条斜线 ）
探究３、横行规律 1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 各个数字为奇数？ 2n-1
第0行
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
行的
则第2n行的数字Hale Waihona Puke 什么特点？ 除两端的1之外都是偶数.
想从一第想三：个如数图起，，写任出一斜数线都上等各于行前数两字个的数和的，和有;什么 规这律就？是著名的斐波那契数列 。
ab4
14641
ab5 1 5 10 10 5 1
ab6 1 6 15 20 15 6 1
……
……
abn
c
0 n
c
1 n
c
2 n
……
c
r n
……
c n1 n
c
n n
三、教学过程 探究１： 杨辉三角之雾里看花
1、与二项式定理的关系：
表中的每个数都是二项式
C 系数，第n行的第r+1个数是
"杨辉三角"与二项式系数 高二（16）班
教学目标
1.了解杨辉及杨辉三角的有关历史； 2. 对杨辉三角进行探究； 3.能利用杨辉三角进行简单的应用
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二项式系数的性质PPT课件
,
C1n
,
C
2 n
,,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
C
0 n
C2n
C1n
C3n
2n 2
2n1
赋值法
例题
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0 __1_;
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
C
n n
m
得到．
图象的对称轴：r n 2
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
练习：
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
r 8
所以当r 8时，系数绝对值最大的项为
T9
C
8 20
312
28
x12
y8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最
大的项，则有
TTrr
1 1
Tr Tr 2
课件1：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
C nn 1 1
探究一
性质1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
1
C C
r
n
1
n r
n
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1 5
10
5
1
…
… …10… …
……
…
1 C1n1 C 2n1 … C rn 1 … C nn 12 1
… C rn C rn 1 … C nn 1 1
(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
二项式系数与杨辉三角
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
这个表叫做二项
式系数表,也称
“杨辉三角”
1
3
6
10
15
1
4 1
10 5
20 15
1
6
1
《
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
杨
辉
在国外，这个表被称为帕斯卡三角。认为是法国数学家帕斯卡
+1
2
与
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1 5
10
10
5
1
…
…
…
…
…
…
…
…
； 1 C1 C 2 … C r … C n 2
教版高中数学人教A版选修2-3第一章-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学课件 (共17张PPT)
“杨辉三角”与二项式系 数的性质
湖南师大附中 杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理：
(a + b)n = C 0an + C 1an- 1b + L + C nbn
n
n
n
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨 辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数 C n 0,C n 1,C n 2,L,C n n1,C n n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2,Ln)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
（4）求 a0a1a2La2014 的值。
(1 )1 ( 2 )1
(3) 1 32014 (4)32014
2
5 总结归纳与作业布置
自主小结：
数学知识： 思想方法：
作业布置： 《5.3》上的相应练习题
课后思考： 探索“杨辉三角”所蕴含的 其他数字规律。
思考题1、（2007湖南）将杨辉三角中 的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图 所示的0—1三角数表．从上往下数，第 1次全行的数都为1的是第1行，第2次全 行的数都为1的是第3行，…，第 n 次全 行的数都为1的是第 行。
T3=C5 2(2x)240x2 T4=C3 5(2x)380x3
湖南师大附中 杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理：
(a + b)n = C 0an + C 1an- 1b + L + C nbn
n
n
n
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨 辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数 C n 0,C n 1,C n 2,L,C n n1,C n n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2,Ln)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
（4）求 a0a1a2La2014 的值。
(1 )1 ( 2 )1
(3) 1 32014 (4)32014
2
5 总结归纳与作业布置
自主小结：
数学知识： 思想方法：
作业布置： 《5.3》上的相应练习题
课后思考： 探索“杨辉三角”所蕴含的 其他数字规律。
思考题1、（2007湖南）将杨辉三角中 的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图 所示的0—1三角数表．从上往下数，第 1次全行的数都为1的是第1行，第2次全 行的数都为1的是第3行，…，第 n 次全 行的数都为1的是第 行。
T3=C5 2(2x)240x2 T4=C3 5(2x)380x3
杨辉三角与二项式系数的性质ppt
Tk 1 Cnkbnk ak ;Tk 1 Cnk ank (b)k
4.在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr xr Cnn xn
观察猜想
(a+b)n= Cn0an+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn
展开式的二项式系数Cn0 ,Cn1 ,Cn2 ,Cnr ,Cnn 有什么变化规律？二项式系数最大的是哪 一项？ 为了研究它的一般规律，我们先来观察 n为特殊值时，二项展开式中二项式系 数有什么特点？
1 33 1 1 4641
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Cnn
当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大 当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
最大项与增减性
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1的大小.
Cnk
k
!
n! (n
k)!
n
k k
1
(k
1)!
n! (n
k
1)!
1 5 10 10 5 1
32 25
1 6 15 20 15 6 1 64 26
求证 : Cn0 Cn1 Cn2....... Cnn 2n
证明:
在（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ …+ Cnran-rbr+ …+Cnnbn
令a=b=1，则
2n
C
0 n
Cn1
n是偶数时，中间的一项 取得最大值；
11 121
当n是奇数时，中间的两项
1 33 1
和
教版高中数学人教A版选修2-3第一章-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学课件 (共17张PPT)
“杨辉三角”与二项式系 数的性质
湖南师大附中 杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理： (a + b)n = Cn0an + Cn1an-1b + L + Cnnbn
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 , ,n )
1 复习引入
4、二项展开式有哪些基本特征？
（1）共有 n 1 项 （2）字母 a 的最高次数为 n ,且按降幂排列，
字母 b 的最高次数为 n ，且按升幂排列 （3）各项中 a 与 b 的指数幂的和都是n
（4）各项的二项式系数依次为
Cnk(k0,1,2, n) ，且与a , b 无关
2 知识提炼
构成首项为11，公比为11的等比数列。
3 合作探究
探究2、如果把“杨辉三角”中第一斜
行的数看做一个数列 x n （从右上往左下
看），则其通项公式为 x n 1 ，照此规律
把“杨辉三角”中的第二斜行的数看做一
个数列 y n ，则其通项公式是什么？把
“杨辉三角”中的第三斜行的数看做一个
数列 z n ，则其通项公式是什么？
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨 辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数C n 0,C n 1,C n 2, ,C n n1,C n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2, n)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
yn nCn1
湖南师大附中 杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理： (a + b)n = Cn0an + Cn1an-1b + L + Cnnbn
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 , ,n )
1 复习引入
4、二项展开式有哪些基本特征？
（1）共有 n 1 项 （2）字母 a 的最高次数为 n ,且按降幂排列，
字母 b 的最高次数为 n ，且按升幂排列 （3）各项中 a 与 b 的指数幂的和都是n
（4）各项的二项式系数依次为
Cnk(k0,1,2, n) ，且与a , b 无关
2 知识提炼
构成首项为11，公比为11的等比数列。
3 合作探究
探究2、如果把“杨辉三角”中第一斜
行的数看做一个数列 x n （从右上往左下
看），则其通项公式为 x n 1 ，照此规律
把“杨辉三角”中的第二斜行的数看做一
个数列 y n ，则其通项公式是什么？把
“杨辉三角”中的第三斜行的数看做一个
数列 z n ，则其通项公式是什么？
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨 辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数C n 0,C n 1,C n 2, ,C n n1,C n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2, n)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
yn nCn1
3.3二项式定理与杨辉三角课件(人教B版)
二项式定理在组合理论、开高 次方、高阶等差数列求和，以 及差分法中都有广泛的应用．
数学上我同样有建树
二项式定理研究的是
的展开式.
(a b)2 a?2 2ab b2 (a b)3 ?(a b)2(a b) (a b)4 (?a b)3(a b)
……
(a b)100 ? (a b)n ?
b3
a3 3a2b 3ab2 b3
我们已经知道
a b2 a 2 2ab b 2 a b3 a3 3a 2b 3ab2 b3
那你知道
a b4 a b5
a b 100 呢
解决问题的关键：
(1)次数;(2)项数;(3)系数.
物理是我 的强项
二项式定理，又称牛顿二项式 定理，由艾萨克·牛顿于1664 、1665年间提出．
n
①项： a n a n1b ankbk bn
②系数：C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
个(a b)中选b
个(a b)相乘
C
k n
个(a b)中选a
③展开式：
二项式定理
1.上式右边称为二项展开式; 2.二项展开式的项数为n+1项； 3.各项字母a按降幂排列,次数由n减到0, 字母b按升幂排列,次数由0增到n; 各项次数等于二项式的次数n; 4. 称为二项式系数,它是组合数,其 下标为二项式的次数,上标由0增到n;
(a b)4
(a b)5 (a b)6
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
《
详 解
杨辉三角
九
章
算
法
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94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象；
c 最值。
两个计数原理
排列，排列数公式
组合，组合数公式
二项式定理
应用
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
“杨辉三角” 与二项式系数的性质
复习 二项式定理 (a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn 展形式的第k+1项为
Tk+1= Cnkan-kbk
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r ) ,
其定义域是：0,1,2,,n
当 n6时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cm n Cnnm得到．
图象的对称轴：r n 2
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2 n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
这是组合总数公式．
例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和。
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n r a n r b r C n n b n
变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
练习
.已知 (12x)7 a0 a1xa2x2 a7x7 则a1a2 a7 -2
a1a3 a5 a7 -1094 a0 a2 a4 a6 1093
小结
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
练习 1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( C ) (A)第6项 (B)第7项 （C）第8项 (D)第9项
已知 x4
1 x3
n的展开式中 10项 只系 有数 第,最
求第五项
解 依题意,n为偶数 且n110,n18 2
T5T41C 1 48 x1 84 4x 1 3 430x 64.0
+ ++ + ++ ++++
+++++
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于 它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
《
杨辉三角
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C 0 n,C 1 n,C n 2,,C n n
中间项取得最大值。
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
n
系数 C
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数
C
2பைடு நூலகம்n
n 1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
③各二项式系数的和
在二项式定理中，令ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n 2 n
在二项式定理中，令 a1,b1，则：
1 1 n C n 0 C n 1 C n 2 C n 3 ( 1 ) n C n n 特值法
0 (C n 0 C n 2 ) (C n 1 C n 3 )
C n 0 C n 2 C n 4 C n 1 C n 3 C n 5
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
由于：
Ckn
n(n1)(n2) (nk k(k1)!
1)
Ckn1
nk k
1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
n
k k
1
决定
二项式系数的性质
②增减性与最大值
由：nk11 kn1
k
2
可知，当k n 1 时，
2
二项式系数前半部分是逐渐增大的，由
对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象；
c 最值。
两个计数原理
排列，排列数公式
组合，组合数公式
二项式定理
应用
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
“杨辉三角” 与二项式系数的性质
复习 二项式定理 (a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn 展形式的第k+1项为
Tk+1= Cnkan-kbk
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r ) ,
其定义域是：0,1,2,,n
当 n6时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cm n Cnnm得到．
图象的对称轴：r n 2
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2 n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
这是组合总数公式．
例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和。
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n r a n r b r C n n b n
变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
练习
.已知 (12x)7 a0 a1xa2x2 a7x7 则a1a2 a7 -2
a1a3 a5 a7 -1094 a0 a2 a4 a6 1093
小结
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
练习 1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( C ) (A)第6项 (B)第7项 （C）第8项 (D)第9项
已知 x4
1 x3
n的展开式中 10项 只系 有数 第,最
求第五项
解 依题意,n为偶数 且n110,n18 2
T5T41C 1 48 x1 84 4x 1 3 430x 64.0
+ ++ + ++ ++++
+++++
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于 它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
《
杨辉三角
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C 0 n,C 1 n,C n 2,,C n n
中间项取得最大值。
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
n
系数 C
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数
C
2பைடு நூலகம்n
n 1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
③各二项式系数的和
在二项式定理中，令ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n 2 n
在二项式定理中，令 a1,b1，则：
1 1 n C n 0 C n 1 C n 2 C n 3 ( 1 ) n C n n 特值法
0 (C n 0 C n 2 ) (C n 1 C n 3 )
C n 0 C n 2 C n 4 C n 1 C n 3 C n 5
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
由于：
Ckn
n(n1)(n2) (nk k(k1)!
1)
Ckn1
nk k
1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
n
k k
1
决定
二项式系数的性质
②增减性与最大值
由：nk11 kn1
k
2
可知，当k n 1 时，
2
二项式系数前半部分是逐渐增大的，由
对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且