杨辉三角与二项式定理PPT优秀课件

变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
练习
.已知 (12x)7 a0 a1xa2x2 a7x7 则a1a2 a7 -2
a1a3 a5 a7 -1094 a0 a2 a4 a6 1093
小结
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
+ ++ + ++ ++++
+++++
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于 它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 《
杨辉三角
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C 0 n,C 1 n,C n 2,,C n n
“杨辉三角” 与二项式系数的性质
复习 二项式定理 (a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn 展形式的第k+1项为
Tk+1= Cnkan-kbk
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r ) ,
其定义域是：0,1,2,,n
当 n6时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cm n Cnnm得到．
图象的对称轴：r n 2
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象；
c 最值。
两个计数原理
排列，排列数公式
组合，组合数公式
二项式定理
应用
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
在二项式定理中，令 a1,b1，则：
1 1 n C n 0 C n 1 C n 2 C n 3 ( 1 ) n C n n 特值法
0 (C n 0 C n 2 ) (C n 1 C n 3 )
C n 0 C n 2 C n 4 C n 1 C n 3 C n 5
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2 n
同时由于C
0 n

1，上式还可以写成：
C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
这是组合总数公式．
例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和。
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n r a n r b r C n n b n
中间项取得最大值。
二项式系数的性质 ②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
n
系数 C
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数
C
2 n
n 1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
③各二项式系数的和
在二项式定理中，令ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n 2 n
练习 1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( C ) (A)第6项 (B)第7项 （C）第8项 (D)第9项
已知 x4
1 x3
n的展开式中 10项 只系 有数 第,最
求第五项
解 依题意,n为偶数 且n110,n18 2
T5T41C 1 48 x1 84 4x 1 3 430x 64.0
由于：
Ckn

n(n1)(n2) (nk k(k1)!
1)
Ckn1

nk k
1
所以C
k n
相对于C
k n

1的增减情况由
n
k k
1
决定
二项式系数的性质
②增减性与最大值
由：nk11 kn1
k
2
可知，当k n 1 时，
2
二项式系数前半部分是逐渐增大的，由
对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6