2017-2018学年秦皇岛市海港区八年级上期末数学试卷含答案解析

2017-2018学年秦皇岛市海港区八年级上期末数

学试卷含答案解析

一、选择题（每题3分，共30分）

1．在实数范畴内，有意义，则x的取值范畴是（）

A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1

2．在3.1415926，，，中，无理数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形D．圆

4．下列根式是最简二次根式的是（）

A． B．C．D．

5．若实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为（）

A．20 B．16 C．20或16 D．12

6．若分式的值为0，则x的值为（）

A．﹣1 B．1 C．±1 D．0

7．使两个直角三角形全等的条件是（）

A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等

C．一条边对应相等D．两条边对应相等

8．如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分不为A、B，连接AB，得到以下结论：（1）PA=PB；（2）OA=OB；（3）OP与AB互相垂直平分；（4）OP平分∠APB，正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，DE垂直平分AB，则∠DBC的度数为（）

A．10° B．20°C．30°D．40°

10．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，将线段AE沿AC翻折，得到线段AM，连结EM交AC于点N，连结DM、CM以下讲法：①AD= AE=AM，②∠ECA=∠MCA，③CN=EC，④AD=DM中，正确的是（

）

A．①② B．①②③C．①②③D．①②③④

二、填空题（每空2分，共20分）

11．化简：÷=；=．

12．如图，AD为Rt∠ABC的角平分线，∠B=90°，AC=5，DB=2，则D到AC距离为．

13．正方形的边长为a，它的面积与长为4cm、宽为12cm的长方形的面积相等，则a=cm．

14．已知=2，则=．

15．如图，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为．

16．某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时刻与骑车行36千米所用时刻相等，那么他的

步行速度为千米/小时．

17．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，D点从A 动身以每秒1cm的速度向B点运动，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时刻为秒．

18．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，BE⊥AC，P 为AD上一动点，则PE+PC的最小值为．

19．如图，数轴上A点表示数7，B点表示数5，C为OB上一点，当以OC、CB、BA三条线段为边，能够围成等腰三角形时，C点表示数．

三、解答题（共50分）

20．（9分）运算

（1）先化简，再求值+÷，其中a=+1．

（2）已知x=2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．

21．（12分）如图，8×8网格中，每个小正方形边长为1．

（1）分不画出△ABC绕O点逆时针旋转90°所得△A1B1C1及△AB C关于O点的中心对称图形；

（2）连结A2B，BB2，判定△A2B2B形状并证明；

（3）证明C2不在线段A2B上．

22．（10分）我们明白定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，那个定理的逆命题也是真命题．

（1）那个定理的逆命题是；

（2）下面我们来证明那个逆命题：

已知：如图1，CD是△ABC的中线，CD=AB

求证：△ABC为直角三角形．

（3）如图2已知线段AB和直线l，点C是直线l上一点，若△ABC 为直角三角形，请你用圆规和没有刻度的直尺确定点C位置．

23．（9分）锐角△ABC中，E、D分不为AB，AC上一点，BD与CE 相交于点M，BD=CE．

（1）若∠BDC=∠CEB=90°，如图①

①求证：△BDC≌△CEB；

②求证：AM平分∠BAC．

（2）若∠BDC≠90°，∠CEB≠90°，AB=AC，当BD=CE时，AM 不一定平分∠BAC，请你在图②中尺规画图举例，并直截了当写出当AM 不平分∠BAC时，∠BDC与∠CEB的关系．

24．（10分）取一张长方形纸片ABCD（如图①），AB=8，BC=a．

（1）当a=16时，按下列步骤操作

①将图①纸片对折，使较长的两边BC，AD重合，折痕为EF，再打开纸片，如图②．

②再折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕为BH，如图③

③连接AG，BG．

请证明△ABG是等边三角形．

（2）小明认为当a＜8时，折不出边长为8的等边三角形．你认为他的讲法正确吗？若不正确请通过运算讲明，a满足什么条件时能折出一个边长为8的等边三角形？

（3）当a足够大时，请你利用折纸，折出一个面积最大的等边三角形，并写出折法．

2017-2018学年河北省秦皇岛市海港区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（3分）在实数范畴内，有意义，则x的取值范畴是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1

【分析】先按照二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x

的取值范畴即可．

【解答】解：∵在实数范畴内，有意义，

∴x﹣1≥0，解得x≥1．

故选：A．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．2．（3分）在3.1415926，，，中，无理数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】无理数常见的三种类型：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．【解答】解：3.1415926是有限小数，是有理数，

=2，是有理数，

=4，是有理数，

是开方开不尽的二次根式，是无理数．

故选：A．

【点评】本题要紧考查的是无理数的概念，把握无理数的常见类型是解题的关键．

3．（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形D．圆

【分析】按照轴对称图形与中心对称图形的概念判定即可．

【解答】解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形；

B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；

C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；

D、圆是轴对称图形，是中心对称图形；

故选：D．

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是查找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要查找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．（3分）下列根式是最简二次根式的是（）

A． B．C．D．

【分析】按照最简二次根式的定义即可求出答案．

【解答】解：（A）原式=，故A不是最简二次根式；

（C）原式，故C不是最简二次根式；

（D）原式=2，故D不是最简二次根式；

故选：B．

【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是明白得最简二次根式，本题属于基础题型．

5．（3分）若实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为（）

A．20 B．16 C．20或16 D．12

【分析】按照非负数的性质求出x、y，再分情形讨论求解．

【解答】解：按照题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，

解得x=4，y=8，

①4是腰长时，三角形的三边分不为4、4、8，

∵4+4=8，

∴不能组成三角形；

②4是底边时，三角形的三边分不为4、8、8，

能组成三角形，

周长=8+8+4=20．

综上所述，等腰三角形的周长是20．

故选：A．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情形讨论．

6．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）

A．﹣1 B．1 C．±1 D．0

【分析】直截了当利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．

【解答】解：∵分式的值为0，

∴x2﹣1=0，x≠0，

解得：x=±1．

故选：C．

【点评】此题要紧考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．

7．（3分）使两个直角三角形全等的条件是（）

A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等

C．一条边对应相等D．两条边对应相等

【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．

【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；

B、两个锐角相等，那么也确实是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；

C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；

D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．故选：D．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，能够发觉至少得有一组对应边相等，才有可能全等．

8．（3分）如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分不为A、B，连接AB，得到以下结论：（1）PA=PB；（2）OA= OB；（3）OP与AB互相垂直平分；（4）OP平分∠APB，正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】按照角平分线上的点到角的两边距离相等可得PA=PB，再利用“HL”证明Rt△APO和Rt△BPO全等，按照全等三角形对应角相等可得∠APO=∠BPO，全等三角形对应边相等可得OA=OB

【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，

∴PA=PB，故（1）正确；

在Rt△APO和Rt△BPO中，

，

∴Rt△APO≌Rt△BPO（HL），

∴∠APO=∠BPO，OA=OB，故（2）正确，

∴PO平分∠APB，故（4）正确，

OP垂直平分AB，但AB不一定垂直平分OP，故（3）错误，

故选：C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质与判定方法是解题的关键．9．（3分）如图，△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，DE垂直平分A B，则∠DBC的度数为（）

A．10° B．20°C．30°D．40°

【分析】先按照三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，进而可得出结论．

【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°，

∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°．

∵DE垂直平分AB，

∴∠ABD=50°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70﹣50°=20°．

故选：B．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，将线段AE沿AC 翻折，得到线段AM，连结EM交AC于点N，连结DM、CM以下讲法：①AD=AE=AM，②∠ECA=∠MCA，③CN=EC，④AD=DM中，正确的是（）

A．①② B．①②③C．①②③D．①②③④

【分析】只要证明△ABD≌△ACE，△ADM是等边三角形，AC垂直平分线段EM即可一一判定；

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠B=∠ACE=∠BAC=60°，

∵BD=CE，

∴△ABD≌△ACE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵线段AE沿AC翻折，得到线段AM，

∴AE=AM，CE=CM，∠ACE=∠ACM，故②正确，

∴AD=AE=AM，故①正确，

∴AC垂直平分线段EM，

∵∠ECN=60°，∠CNE=90°，

∴∠CEN=30°，

∴CN=EC，故③正确，

∵∠CAE=∠CAM，∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD=∠CAM，

∴∠DAM=∠BAC=60°，

∴△ADM是等边三角形，

∴AD=AM，故④正确，

故选：D．

【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确查找全等三角形就解决咨询题，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题（每空2分，共20分）

11．（4分）化简：÷=2；=，2．

【分析】直截了当利用二次根式的乘除运算法则运算得出答案．

【解答】解：÷==2；

=5．

故答案为：2，2．

【点评】此题要紧考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．

12．（2分）如图，AD为Rt∠ABC的角平分线，∠B=90°，AC=5，D B=2，则D到AC距离为2．

【分析】过D作DE⊥AC，利用角平分线的性质解答即可．

【解答】解：过D作DE⊥AC，

∵AD为Rt∠ABC的角平分线，∠B=90°，

∴DE=BD=2，

即D到AC距离为2，

故答案为：2

【点评】此题考查角平分线的性质，关键是利用角平分线的性质解答．13．（2分）正方形的边长为a，它的面积与长为4cm、宽为12cm的长方形的面积相等，则a=4cm．

【分析】按照题意可得方程a2=4×12，再利用开平方法解出a的值即可．

【解答】解：由题意得：a2=4×12，

a=±，

a=±4，

∵a＞0，

∴a=4，

故答案为：4．

【点评】此题要紧考查了算术平方根，关键是把握如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么那个正数x叫做a的算术平方根．14．（2分）已知=2，则=﹣1．

【分析】按照已知得：a=2b，代入所求分式，将所有的a换成2b，化简可得结论．

【解答】解：∵=2，

∴a=2b，

则，

=，

=，

=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】此题要紧考查了分式的值，正确得出a，b的关系是解题关键．15．（2分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=5，∠ABC与∠AC B的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为14．

【分析】按照角平分线的性质，可得∠DBO与∠OBC的关系，∠ECO 与∠OCB的关系，按照平行线的性质，可得∠DOB与∠BOC的关系，∠E OC与∠OCB的关系，按照等腰三角形的判定，可得OD与BD的关系，O E与CE的关系，按照三角形的周长公式，可得答案．

【解答】解：由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得

∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB．

由DE∥BC，得

∠DOB=∠BOC，∠EOC=∠OCB，

∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO，

∴DO=BD，OE=EC．

C△ADE=AD+DE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC=14．

故答案为14．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质是解题关键，又利用了角平分线的性质，平行线的性质．16．（2分）某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时刻与骑车行36千米所用时刻相等，那么他的

步行速度为4千米/小时．

【分析】设他的步行速度为x千米/小时，则他骑自行车的速度为（x+ 8）千米/小时，按照题意得出方程=，求出方程的解即可．【解答】解：设他的步行速度为x千米/小时，则他骑自行车的速度为（x+8）千米/小时，

方程为=，

方程两边都乘以x（x+8）得：12（x+8）=36x，

解得：x=4，

经检验x=4是所列方程的解，

即他的步行速度为4千米/小时，

故答案为：4．

【点评】本题考查了分式方程的应用，能按照题意列出方程是解此题的关键．

17．（2分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，D 点从A动身以每秒1cm的速度向B点运动，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时刻为秒．

【分析】画出图形，按照勾股定明白得答即可．

【解答】解：如图所示：

∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，

∴AC=，

∵ED'是AC的中垂线，

∴CE=5，

连接CD'，

∴CD'=AD'，

在Rt△BCD'中，CD'2=BD'2+BC2，

即AD'2=62+（8﹣AD'）2，

解得：AD'=，

∴当D点运动到AC的中垂线上时，运动时刻为秒，

故答案为：

【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是按照勾股定理构建直角三角形进行解答．

18．（2分）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，BE ⊥AC，P为AD上一动点，则PE+PC的最小值为．

【分析】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于P，连接EF，过C作CN⊥AB于N，按照三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，按照勾股定理求出AD，按照三角形面积公式求出CN，按照对称性质求出CP+ EP=CM，按照垂线段最短得出CP+EP≥，即可得出答案．【解答】解：

作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于P，连接EP，过C作C N⊥AB于N，

∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，

∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，

∴M在AB上，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12，

∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，

∴CN=，

∵E关于AD的对称点M，

∴EP=PM，

∴CP+EP=CP+PM=CM，

按照垂线段最短得出：CM≥CN，

即CP+EP≥，

即CP+EP的最小值是，

故答案为：

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线咨询题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．

19．（2分）如图，数轴上A点表示数7，B点表示数5，C为OB上一点，当以OC、CB、BA三条线段为边，能够围成等腰三角形时，C点表示数2或2.5或3．

【分析】按照等腰三角形的两边相等进行解答即可．

【解答】解：∵数轴上A点表示数7，B点表示数5，

∴BA=2，

∵以OC、CB、BA三条线段为边围成等腰三角形时，

若CB=BA=2，则OC=5﹣2=3，因此C点表示数为3，

若OC=BA=2，因此C点表示数为2，

若OC=CB，则OC=5÷2=2.5，因此C点表示数为2.5，

故答案为：2或2.5或3．

【点评】本题考查了等腰三角形两边相等的性质，注意分类讨论得出是解题关键．

三、解答题（共50分）

20．（9分）运算

（1）先化简，再求值+÷，其中a=+1．

（2）已知x=2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．

【分析】（1）先按照分式的混合运算顺序和运算法则运算可得；

（2）按照x的值，能够求得题目中所求式子的值．

【解答】解：（1）原式=+?

=+

=，

当a=+1时，

原式==1+；

（2）∵x=2﹣，

∴x2=（2﹣）2=7﹣4，

∴（7+4）x2+（2+）x+

=（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+

=1+1+

=2+．

【点评】本题考查分式与二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确分式与二次根式化简求值的方法．

21．（12分）如图，8×8网格中，每个小正方形边长为1．

（1）分不画出△ABC绕O点逆时针旋转90°所得△A1B1C1及△AB C关于O点的中心对称图形；

（2）连结A2B，BB2，判定△A2B2B形状并证明；

（3）证明C2不在线段A2B上．

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出△A1B1C1和△A2B2C2；

（2）先运算出B2B2=20，A2B22=5，A2B2=25，然后按照勾股定理的逆定理进行判定；

（3）运算A2C2+BC2≠A2B可判定C2不在线段A2B上．

【解答】（1）解：如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；

（2）解：△A2B2B为直角三角形．

理由如下：∵B2B2=22+42=20，A2B22=22+12=5，A2B2=32+42=25，∴B2B2+A2B22=A2B2，

∴△A2B2B为直角三角形；

（3）证明：∵A2C2==，BC2==，A2B=5，

∴A2C2+BC2≠A2B，

∴C2不在线段A2B上

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：按照旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此能够通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理的逆定理．

22．（10分）我们明白定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，那个定理的逆命题也是真命题．

（1）那个定理的逆命题是如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么那个三角形是直角三角形；

（2）下面我们来证明那个逆命题：

已知：如图1，CD是△ABC的中线，CD=AB

求证：△ABC为直角三角形．

（3）如图2已知线段AB和直线l，点C是直线l上一点，若△ABC 为直角三角形，请你用圆规和没有刻度的直尺确定点C位置．

【分析】（1）直截了当得出它的逆命题；

（2）先判定出∠A=∠1，∠B=∠2，最后用三角形的内角和定理，即可求出∠1+∠2=90°，即可得出结论；

（3）过点A，B作线段AB的垂线交直线l于C，C，再以线段AB为直径作圆，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，

∴它逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么那个三角形是直角三角形，

故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么那个三角形是直角三角形；

（2）如图，

∵CD是△ABC的中线，

∴AD=BD=AB，

∵CD=AB，

∴AD=CD=BD，

∴∠A=∠1，∠B=∠2，

在△ABC中，∠A+∠B+∠1+∠2=180°，

∴∠1+∠2+∠1+∠2=180°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC为直角三角形；

（3）如图2所示，△ABC和△ABC'为所求作的图形，

【点评】此题是三角形综合题，要紧考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，尺规作图，把握差不多作图是解本题的关键．23．（9分）锐角△ABC中，E、D分不为AB，AC上一点，BD与CE 相交于点M，BD=CE．

（1）若∠BDC=∠CEB=90°，如图①

①求证：△BDC≌△CEB；

②求证：AM平分∠BAC．

（2）若∠BDC≠90°，∠CEB≠90°，AB=AC，当BD=CE时，AM 不一定平分∠BAC，请你在图②中尺规画图举例，并直截了当写出当AM 不平分∠BAC时，∠BDC与∠CEB的关系．

【分析】（1）①按照直角三角形全等的判定定理得到Rt△ADB≌Rt△AEC；

②按照全等三角形的性质得到∠ABD=∠ACE，得到MB=MC，证明△AMB≌△AMC，按照全等三角形的性质证明结论；

（2）按照题意画出图形，由②的结论解答．

【解答】（1）①证明：在Rt△ADB和Rt△AEC中，

，

∴Rt△ADB≌Rt△AEC；

②证明：∵Rt△ADB≌Rt△AEC，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠MBC=∠MCB，

∴MB=MC，

在△AMB和△AMC中，

∴△AMB≌△AMC，

∴∠BAM=∠CAM，即AM平分∠BAC；

（2）如图②AB=AC，BD=CE，

AM不平分∠BAC，

以C为圆心，CE为半径作弧，交AB于H，作CF⊥AB于F，BG⊥A C于G，

则CH=CE=BD，

∴∠CHE=∠CEH，

由②得，△HCF≌△DBG，

∴∠BDC=∠CHB，

∵∠BEC+∠CEH=180°，

∴∠BEC+∠BDC=180°．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，把握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

24．（10分）取一张长方形纸片ABCD（如图①），AB=8，BC=a．

（1）当a=16时，按下列步骤操作

①将图①纸片对折，使较长的两边BC，AD重合，折痕为EF，再打开纸片，如图②．

②再折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕为BH，如图③

③连接AG，BG．

请证明△ABG是等边三角形．

（2）小明认为当a＜8时，折不出边长为8的等边三角形．你认为他的讲法正确吗？若不正确请通过运算讲明，a满足什么条件时能折出一个边长为8的等边三角形？

（3）当a足够大时，请你利用折纸，折出一个面积最大的等边三角形，并写出折法．

【分析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质即可得出结论；

（2）先判定出BM=EG，再利用勾股定理求出EG，即可得出结论；

（3）按照折叠的性质即可得出结论．

【解答】解：（1）证明：

∵折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕为BH，

∴AB=BG，

∵将长方形ABCD沿EF折叠，较长的两边BC，AD重合，折痕为EF，∴EF⊥AB，AE=BE，

∴AG=BG，

∴AB=BG=AG，

∴△ABG是等边三角形；

（2）如图③，过点G作GM⊥BC于M，

∴四边形BEGM是长方形，

∴EG=BM，

由（1）知，EG是等边三角形ABG的高，

∵AB=8，

∴BG=8，BE=4，

按照勾股定理得，EG==4，

∴BM=4＜8，

∴当a＜8时，折不出边长为8的等边三角形的讲法是错误的，

即：a≥4时能折出一个边长为8的等边三角形；

（3）如图②，

①将图①纸片对折，使较长的两边BC，AD重合，折痕为EF，再打开纸片，

②再折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕为BH，

③将△BGH沿着BG折叠，得到△BGM，

则△BHM是等边三角形．

【点评】此题是四边形综合题，要紧考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，长方形的判定，勾股定理，把握折叠的性质是解本题的关键．