第14章(静电场中的导体)剖析
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求解有导体时的静电场遵循的两条基本原则：
1）无论电荷如何重新分布，体系的电荷必须满 足电荷守恒定律。
2）金属在达到静电平衡时，金属内部的场强必定 为零。
例14.1 已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁
边放入导体板B, B 原来不带电。
求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布
(2)将B板接地，求电荷分布及空间的电场分布.
ES S 0
得
E
0
靠近导体表面电荷密度大 的地方场强大；面电荷密 度小的地方场强小。
3）孤立的导体处于静电平衡时，它的表面各处的面电 荷密度与导体表面的曲率有关，在导体表面凸出而尖 锐的地方（曲率较大），电荷面密度较大；在表面平 坦的地方（曲率较小），电荷面密度较小；在表面凹 进去的地方（曲率为负），电荷面密度更小。
当导体不带电也不受外电场的作用时,金属导体中 大量的自由电子和晶格点阵的正电荷相互中和,整个 导体或其中任一部分都是呈电中性的。这时,在导体 中正负电荷均匀分布,除了微观热运动外,没有宏观电 荷运动。
二、静电感应(electrostatic induction )
当把一个不带电的导体放入静电场，在最初极短暂的时间 内（约10-6 s），导体内会有电场存在。这个电场将驱使导体内 的自由电子相对于晶格点阵作宏观的定向运动，从而引起导体 中正负电荷的重新分布，结果使导体的一端带正电荷，另一端 带负电荷，这种现象称导体的静电感应现象。
E
E
E
Ei=0
（a）
（b）
（c）
E'
感应电荷
++++++ ++++
E0
感应电荷
感应电荷：由静电感应所产生的电荷。 感应电场：感应电荷在导体内部激发电场，它改
变了导体内部各处的电场分布。 导体内部任意一点的电场强度为：
E E0 E
三、导体的静电平衡
把金属导体放入静电场中时，导体中的自由电子 受静电场的作用而产生定向移动，导体上的电荷分 布发生改变，同时反过来改变导体内部和周围静电 场分布，直到两者达到静电平衡状态为止。
E 0
3．孤立的导体处于静电平衡时，其表面曲率越大 的地方，面电荷密度也越大。
曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大 曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小 曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小
§14-3 有导体存在时静电场的分析与计算
导体放入静电场中时，电场会影响导体上的电荷 分布，同时，导体上的电荷分布也会影响电场的分布. 这种相互影响将一直持续到达到静电平衡，这时导体 上的电荷分布以及周围的电场分布也就不再改变了。 这时的电荷分布以及电场的分布可以根据静电场的基 本规律、电荷守恒以及导体静电平衡条件加以分析和 计算.
1 A 2 3 B 4
EI EII EIII
I
II Ⅲ
分析：可利用静电平衡条件 (Eint =0, ES⊥表面)、电荷守 恒和静电场的基本规律(场强 叠加原理、高斯定律等)进行 求解。
解:根据静电平衡条件，导体内部无电荷，不考虑边 缘效应，电荷均匀分布在表面上。
设4个表面上的面电荷密度分别为σ1,σ2,σ3, σ4，电场 线如图。
根据电荷守恒定律பைடு நூலகம் A板 1S 2S Q
B板 3S 4S 0
根据静电平衡条件，板间(区域 II)电场与板面垂直，且板内电 场为零。故作一两底分别在两 个金属板内而侧面垂直于板面 的封闭面作为高斯面，则通过 此高斯面的电通量Φe=0。
1 A 2 3 B 4
EI EII EIII
I
II Ⅲ
根据高斯定律：
S
E
dS
1
0
qint
qint 0
2 3 0
由于静电平衡时，导体内场强
处处为零，即EP=0，因而有：
EP
1 20
2 20
3 20
4 2 0
0
1
2 3 4 P E4 E1
第14章 静电场中的导体
§14-1 导体的静电平衡 一.金属导体的电结构
核 电子云
原子中电荷分布示意图
金属由许多小晶粒组成,每个晶粒内的原子作有序 排列而构成晶格点阵。当组成晶体时,每个原子中最 外层的价电子都不再属于某个原子,而成为所有原子 共有并在晶体中作共有化运动的自由电子群,使留在 点阵上的原子成为带正电的离子。所以,金属导体在 电结构方面的重要特征是具有大量的自由电子.
收缩到一个点，说明导体内 任意点均无净电荷存在，带
S P
电导体的电荷只能分布在外
表面上。
2）处于静电平衡的导体其表面上各处的电荷面密度
与该处表面附近的电场强度的大小成正比.
静电平衡状态下，导体表面外附近空间的场强 E 与 该处导体表面的面电荷密度的关系为
E
0
矢量式为
证：在导体表面附近 P 点作扁圆柱 形高斯面，圆柱侧面与ΔS 垂直， 圆柱的上底通过 P，下底在导体内 部，两底都与ΔS 平行，并无限靠
静电平衡状态：导体内部和表面都没有电荷定向 移动的状态。
导体内部电场强度为： E内 E0 E 0
四、导体的静电平衡条件
导体内部任意一点的电场强度都为零,导体表 面上任意一点的场强垂直于该点表面.
推论:静电平衡时的 导体是等势体，其表面是等势面.
Eint=0 （a）
En E
en θ
p
Et
（b）
近它，通过高斯面的电通量
E 0 en
en
E P
S
E cosdS E cosdS E cosdS E cosdS
S
上底
下底
园柱侧面
沿下底的积分为零。 侧面上场强与法线垂直, cos cos 0
2
E cosdS ES 上底
en
E P S
高斯面内包围的电荷为 S
用反证法证明,如果导体表面场强切向分量不为零,电荷将仍 沿表面运动,则仍未达平衡.
§14-2 静电平衡的导体上的电荷分布
1）处于静电平衡的导体，电荷只能分布在导体的外 表面上。
在导体内围绕任一点 P 作闭合面 S，S 面上的各点
场强均为零，闭合面的电通量
E dS 0
S
P 点是任意点，S 面也可以
尖端放电(point charge)
导体的尖端附近场强很大，使气体被“击穿”产生 的放电现象，称为尖端放电。避雷针就是根据尖端 放电的原理制造的。
小结：处于静电平衡的导体上的电荷分布有如下规律：
1．导体内部净电荷为零，电荷只能分布在导体表面．
2．导体表面附近的场强与该处导 体表面的电荷面密度成正比。
1）无论电荷如何重新分布，体系的电荷必须满 足电荷守恒定律。
2）金属在达到静电平衡时，金属内部的场强必定 为零。
例14.1 已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁
边放入导体板B, B 原来不带电。
求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布
(2)将B板接地，求电荷分布及空间的电场分布.
ES S 0
得
E
0
靠近导体表面电荷密度大 的地方场强大；面电荷密 度小的地方场强小。
3）孤立的导体处于静电平衡时，它的表面各处的面电 荷密度与导体表面的曲率有关，在导体表面凸出而尖 锐的地方（曲率较大），电荷面密度较大；在表面平 坦的地方（曲率较小），电荷面密度较小；在表面凹 进去的地方（曲率为负），电荷面密度更小。
当导体不带电也不受外电场的作用时,金属导体中 大量的自由电子和晶格点阵的正电荷相互中和,整个 导体或其中任一部分都是呈电中性的。这时,在导体 中正负电荷均匀分布,除了微观热运动外,没有宏观电 荷运动。
二、静电感应(electrostatic induction )
当把一个不带电的导体放入静电场，在最初极短暂的时间 内（约10-6 s），导体内会有电场存在。这个电场将驱使导体内 的自由电子相对于晶格点阵作宏观的定向运动，从而引起导体 中正负电荷的重新分布，结果使导体的一端带正电荷，另一端 带负电荷，这种现象称导体的静电感应现象。
E
E
E
Ei=0
（a）
（b）
（c）
E'
感应电荷
++++++ ++++
E0
感应电荷
感应电荷：由静电感应所产生的电荷。 感应电场：感应电荷在导体内部激发电场，它改
变了导体内部各处的电场分布。 导体内部任意一点的电场强度为：
E E0 E
三、导体的静电平衡
把金属导体放入静电场中时，导体中的自由电子 受静电场的作用而产生定向移动，导体上的电荷分 布发生改变，同时反过来改变导体内部和周围静电 场分布，直到两者达到静电平衡状态为止。
E 0
3．孤立的导体处于静电平衡时，其表面曲率越大 的地方，面电荷密度也越大。
曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大 曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小 曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小
§14-3 有导体存在时静电场的分析与计算
导体放入静电场中时，电场会影响导体上的电荷 分布，同时，导体上的电荷分布也会影响电场的分布. 这种相互影响将一直持续到达到静电平衡，这时导体 上的电荷分布以及周围的电场分布也就不再改变了。 这时的电荷分布以及电场的分布可以根据静电场的基 本规律、电荷守恒以及导体静电平衡条件加以分析和 计算.
1 A 2 3 B 4
EI EII EIII
I
II Ⅲ
分析：可利用静电平衡条件 (Eint =0, ES⊥表面)、电荷守 恒和静电场的基本规律(场强 叠加原理、高斯定律等)进行 求解。
解:根据静电平衡条件，导体内部无电荷，不考虑边 缘效应，电荷均匀分布在表面上。
设4个表面上的面电荷密度分别为σ1,σ2,σ3, σ4，电场 线如图。
根据电荷守恒定律பைடு நூலகம் A板 1S 2S Q
B板 3S 4S 0
根据静电平衡条件，板间(区域 II)电场与板面垂直，且板内电 场为零。故作一两底分别在两 个金属板内而侧面垂直于板面 的封闭面作为高斯面，则通过 此高斯面的电通量Φe=0。
1 A 2 3 B 4
EI EII EIII
I
II Ⅲ
根据高斯定律：
S
E
dS
1
0
qint
qint 0
2 3 0
由于静电平衡时，导体内场强
处处为零，即EP=0，因而有：
EP
1 20
2 20
3 20
4 2 0
0
1
2 3 4 P E4 E1
第14章 静电场中的导体
§14-1 导体的静电平衡 一.金属导体的电结构
核 电子云
原子中电荷分布示意图
金属由许多小晶粒组成,每个晶粒内的原子作有序 排列而构成晶格点阵。当组成晶体时,每个原子中最 外层的价电子都不再属于某个原子,而成为所有原子 共有并在晶体中作共有化运动的自由电子群,使留在 点阵上的原子成为带正电的离子。所以,金属导体在 电结构方面的重要特征是具有大量的自由电子.
收缩到一个点，说明导体内 任意点均无净电荷存在，带
S P
电导体的电荷只能分布在外
表面上。
2）处于静电平衡的导体其表面上各处的电荷面密度
与该处表面附近的电场强度的大小成正比.
静电平衡状态下，导体表面外附近空间的场强 E 与 该处导体表面的面电荷密度的关系为
E
0
矢量式为
证：在导体表面附近 P 点作扁圆柱 形高斯面，圆柱侧面与ΔS 垂直， 圆柱的上底通过 P，下底在导体内 部，两底都与ΔS 平行，并无限靠
静电平衡状态：导体内部和表面都没有电荷定向 移动的状态。
导体内部电场强度为： E内 E0 E 0
四、导体的静电平衡条件
导体内部任意一点的电场强度都为零,导体表 面上任意一点的场强垂直于该点表面.
推论:静电平衡时的 导体是等势体，其表面是等势面.
Eint=0 （a）
En E
en θ
p
Et
（b）
近它，通过高斯面的电通量
E 0 en
en
E P
S
E cosdS E cosdS E cosdS E cosdS
S
上底
下底
园柱侧面
沿下底的积分为零。 侧面上场强与法线垂直, cos cos 0
2
E cosdS ES 上底
en
E P S
高斯面内包围的电荷为 S
用反证法证明,如果导体表面场强切向分量不为零,电荷将仍 沿表面运动,则仍未达平衡.
§14-2 静电平衡的导体上的电荷分布
1）处于静电平衡的导体，电荷只能分布在导体的外 表面上。
在导体内围绕任一点 P 作闭合面 S，S 面上的各点
场强均为零，闭合面的电通量
E dS 0
S
P 点是任意点，S 面也可以
尖端放电(point charge)
导体的尖端附近场强很大，使气体被“击穿”产生 的放电现象，称为尖端放电。避雷针就是根据尖端 放电的原理制造的。
小结：处于静电平衡的导体上的电荷分布有如下规律：
1．导体内部净电荷为零，电荷只能分布在导体表面．
2．导体表面附近的场强与该处导 体表面的电荷面密度成正比。