数学模型在生态系统的应用研究

数学模型在生态系统的应用研究

蔡卫

中国矿业大学，江苏徐州（221008）

E-mail ：caiwei3594967@

摘 要: 本文研究的是种群在一定的生态系统中数量消长的问题，考虑到种群的增长只受环

境承载能力的影响；受种群间相互竞争、相互依存、竞争合作以及捕食等方面的制约。因此，本文建立了种群间互动关系的Logistic 模型、相互竞争模型、共生模型、竞争合作模型和捕

食模型, 并且对这些模型进行初步的生态学分析。

关键词：种群，数学模型，生态环境，竞争合作

中图分类号：Q148

1. 引言

随着我国经济的发展，环境受到人类的破坏越来越严重，人们逐渐意识到环境的重要性。

野生动物的生长受到环境的制约，特别人们生活对环境的干预加大。近年来，许多生态学专

家研究一些野生动物的生长规律，取得了很好的成就，为人类对野生动物的保护打下了坚实

的理论基础。本文利用生态学知识，将自然界种群间的关系定义为：相互竞争、相互依存、竞争合作以及捕食等关系，然后建立数学模型，量化生物种群增长受环境制约的关系，为研

究种群长期的生存和发展提供了理论依据。

2. 种群数学模型的构建和分析

2.1 种群增长的Logistic 模型

假设种群的生长只受环境承载能力的影响，与其他因素无关；种群是在有限的环境中生

长的；种群该地区的空间范围是封闭的,即在所研究的时间范围内不存在迁移的现象。用

()t N 代表种群在时间t 的数量，则假设种群()t N 只是时间t 的函数，且()t N 是连续和充分光滑的。那么它的导数dt dN （•N ）给出了这个种群的增长率。而N N •

则给出了种群个体的平均增长率。记()N r 为个体的平均增长率，K 为种群在此环境中总的饱和水平，r 为种群个

体的内禀增长率[1]，则()N r 应该是种群大小的一个减函数，为了简单起见，假设()N r 为N

的线性减函数，则()N r =⎟⎠

⎞⎜⎝⎛

−K N r 1，并且存在一个饱和水平0>K ，使()0=K r 。 于是可以得到如下种群增长的模型：

N K N r dt

dN )1(−= （1）利用分离变量法和分项分式，得到方程（1）的解析解为：

rt ce K t N −+=1)(，00N N K c −= 其中c —— 0

0N N K c −=，0N ——（0=t ）时种群的个体数量 Logistic [1]模型种群数量随时间增长曲线如图所示：

图1种群数量随时间增长曲线

Fig1 Kinds amount with the growth curve in time

2.2 种群的相互竞争模型

种群Logistic 模型只描述了给定环境中单个种群数量增长的演变过程, 而在实际生态环境

中, 更多的情况下是一个环境中有两个或两个以上种群生存, 那么这些企业之间就要存在相

互竞争, 或相互依存,或弱肉强食的关系。为了分析的简便, 本文只考察自然生态系统中两个

种群相互关系( 以下同)。

假定种群 1 和种群2独自在一个生态系统中生存时, 两个种群数量增长演变均遵循

Logistic 规律。记()t x 1、()t x 2分别是两个种群的数量, 1r 、2r 是两个种群的增长率,1N 、2

N 是它们数量的最大增长量。种群1 和种群2 在一个环境中生存时, 存在着相互竞争关系, 相

互影响对方的产出量, 建立的模型[2]为：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=112222222211111111N x q N x x r dt dx N x q N x x r dt dx 其中因子⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝

⎛−111N x 反映由于种群 1 对于生态系统有限资源的消耗而导致的对它本身增长量的阻滞作用。由于种群2 是在同一环境中生存, 它消耗环境中相同的有限资源对种群1 产生影响因子为2

21N x q −,其中1q 表示单位数量的种群2( 相对于2N 而言) 消耗的供养种群1的资源为单位数量的种群1 ( 相对于1N 而言) 消耗的供养种群1的资源的1q 倍。类似地, 对种群2中的各因子可作相应的解释。

2.3 种群相互依存模型

假设种群 1 生存能力比种群2的大的多，种群1可以独立存在，其种群增长数量按

Logistic 模型规律增长,种群2为种群1提供必要的资源，有助于种群1 的生存。种群2没

有种群1 存在会死亡，方程中的2r 为其种群数量的负增长率,如果没有种群1, 种群2单独

存在的生态系统中, 其产出水平可以描述为:

222x r dt

dx −= 由于种群1 的存在, 对种群2 意味着直接的生存环境的扩大、稳定的生存条件的需求, 这样

种群2 的增长水平可以描述为:

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝

⎛+−=1122221N x q x r dt dx 这里2q 表示每单位种群1生态环境饱和度对种群2增长水平的贡献。1q 表示单位种群

2( 相对于2N 而言) 提供的供养种群1的生存资源为单位种群1( 相对于1N 而言) 消耗的供

养种群1 的资源的1q 倍。这样种群1和种群2的共生模型[2]为:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=112222222211111111N x q N x x r dt dx N x q N x x r dt dx 假设种群1 的生存能力和种群2的相近，它们各自对对方的生存有促进作用。此时，两者

的共生模型为:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=112222222211111111N x q N x x r dt dx N x q N x x r dt dx 2.4 种群的竞争合作模型

在这个模型中，本文不单独考虑竞争的一面, 也不单独考虑合作的一面, 而是将竞争和

合作两个方面结合起来考虑，并由此建立生态模型。两个种群之间的竞争或两个种群之间的

合作, 对某个种群的作用并非只是积极或消极单一方面作用。不管是竞争, 还是合作, 都有

可能促进种群的发展, 也可能抑制种群的发展。用ij a ，ij b 分别表示j 种群对i 种群的相关影

响系数, 其中- 1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=11211212222222122121111111N x b x a N x x r dt dx N x b x a N x x r dt dx 2.5种群间捕食模型

自然界中最常见的种群关系是竞争和捕食,而捕食关系的现实形态表现为种群数量随时

间的增减变化, 根据Volterra 的捕食模型[3]，可以得到种群的数量随时间的变化模型：