计算机图形学_第十一章_三维形体的表示

定义的结果。
物体的CSG树表示
物体的体素构造表示法 （ CSG ， Constructive Solid Geometry ）是用两个物体间的并、交、差正则集合运算 操作生成一个新的物体的方法。
•用CSG法时，实体的构造过程是集合运算的过程。这个 过程可用二叉树结构表示，这种树称为CSG树。 •树的叶节点表示体素或带有几何变换参数的体素，非终
实体的定义
定义点集的正则运算r如下：
r A c i A
i为取内点运算；c为取闭包运算；A为一个点集。那么i· 即 A 为A的全体内点组成的集合，称为A的内部，它是一个开集。 c·A为A的内部的闭包，是i· 与其边界点的并集，它本身是一 i· A
个闭集。
实体的定义
正则点集不一定是实体。如下图所示的物体，它是正则点集，但它 不是有效的物体。为了得到有效的物体，我们必须排除下图所示的情况 ，在此我们引入二维流形的概念。所谓二维流形是指对于实体表面上的 任何一点，都可以找到一个围绕着它的任意小的邻域，该邻域在拓扑上 与平面上的一个圆盘是等价的。
•几何信息是指物体在欧氏空间中的位置、形状和大小； •拓扑信息是指拓扑元素(顶点、边和表面)的数量及其相
互间的连接关系；
•拓扑信息构成物体的“骨架”，而几何信息则犹如附着
在这一“骨架”上的“肌肉”。
边界表示法
边界表示的数据结构
•翼边数据结构：以边及其相关的环和棱边来组织数据结
构。
•半边数据结构：是对翼边数据结构的改进，多面体的边 界表示在拓扑上分为5个层次，即体（Solid）←→面（ Face）←→环（Loop）←→半边（HalfEdge）←顶点（ Vertex）。
半边数据结构
边界表示法
•欧拉公式：对于任意的简单多面体，其面（f）、边（e ）、顶点（v）的数目满足：
v- e + f = 2
•在对形体的结构进行修改时，必须保证这个公式成立，
才能够保证形体的有效性。
边界表示法
广义欧拉公式：对于任意的正则形体，引入形体的其他 几个参数：形体所有面上的内孔总数（r）、穿透形体的 孔洞数（h）和形体非连通部分总数（s），则形体满足 公式： v - e + f = 2 ( s - h ) + r
•被运动的基体； •基体运动的路径； •如果是变截面的扫描，还要给出截面的变化规律。
扫描表示
有3种扫描方式：
•平移Sweep •旋转Sweep •广义Sweep
平移Sweep
将物体A沿着轨迹P平移得到物体B，称B为sweep体 平移sweep----将一个二维区域沿着一个矢量方向推移。
旋转Sweep
实体的定义
实体就是有效的物体，亦即客观世界中确实存在的物 体。比如，下图所示的带有悬挂面的立方体就不是实体 ，在客观世界中也不存在这样的物体。
实体的定义
作为实体或者有效的物体应该满足以下的条件： ①刚性。一个实体必须具有一定的形状（流体不属于实体造型 技术描述的对象）。 ②维数一致性。在三维空间中，一个实体的各个部分必须都是 三维的，不能存在悬挂的、孤立的边界。 ③有限性。一个实体必须占有有限的空间。 ④边界的确定性。根据实体的边界可以确定实体的内、外部。 ⑤封闭性。经过一系列的刚体运动及任意序列的集合运算之后 ，仍然是有效的实体。
边界表示法
物体的边界表示
•边界表示法（Brep-Boundary Representation）通过描述物体
的边界来表示一个物体 。
•所谓的边界指的就是物体内部
点与外部点的分界面，因此， 定义了物体的边界，该物体也 就被唯一地定义了。
边界表示法
边界表示法的一个很重要的特点是：描述物体的信息包 括几何信息与拓朴信息两个方面
Lecture 11
三维形体的表示
概述
三维造型技术是一项研究在计算机中，如何建立恰当 的模型来表示自然界中形态丰富的三维物体的技术。 三维造型技术根据造型对象分成三类：
•第一类是曲面造型，这种造型方法研究在计算机内如何
描述一张曲面。
•第二类是立体造型方法，它研究如何在计算机内定义、
表示一个三维物体。
八叉树表示法优点主要是： ①形体表示的数据结构简单。 ②简化了形体的集合运算。 ③简化了隐藏线（或面）的消除。 ④分析算法适合于并行处理。 八叉树表示的缺点也是明显的， 主要是占用的存储多，只能近似 表示形体，以及不易获取形体的 边界信息等。
分型几何方法—自然景物的模拟
分形指的是数学上的一类几何形体，在任意尺度上都 具有复杂并且精细的结构。一般来说分形几何体都是自 相似的，即图形的每一个局部都可以被看作是整体图形 的一个缩小的复本。
实体的定义
一个实体的表面必须具备以下的性质： ①连通性。实体表面上任意两点都可用该表面上的一条路径连接起来。 ②有界性。一个实体的表面把空间分为互不连通的两部分，其中实体内 的部分是有限的。 ③非自相交性。一个实体的表面不可自相交。 ④可定向性。一个实体的表面两侧可明确定义出实体的内侧和外侧。 ⑤封闭性。对多面体而言，一个实体表面的封闭性是由表面上多边形网 格各元素的拓扑关系确定的，即每条边连接且仅连接两个面，每条边有 且仅有两个端点。
实体模型
•实体模型使用有向边的右手法则来确定所在面的外法线方向，即用右手
沿边的顺序方向握住，大拇指所指的方向为该面的外法线方向。
•数据结构不仅记录了全部的几何信息，而且还记录了所有的点、线、面
、体的拓扑信息。这就是实体模型与线框模型或表面模型的根本区别。 实体模型的构造方法通常使用体素，经集合论中的交、并、差运算构成 复杂形体。
•第三类造型方法是自然景物模拟，研究如何在计算机内
模拟自然景物，如云、水流、树等等。
概述
三维几何造型现已开始被广泛地应用在工业生产及艺术造 型的各个领域。
•机械行业
• 设计方面，几何造型方法可以逼真地反映物体的外观，检查零件之间的 装配关系，高效、准确地生成生产图纸； • 分析计算方面，它可以精确地计算出零件的质量、质心、转动惯量、表 面积等物性参数；
决于其所用体素以及所允许的几何变换和正则集合运算 算子。
物体的CSG树表示
CSG树表示具有以下优点：
① 数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的管理比较容易。
② CSG表示可方便地转换成边界（Brep）表示。
③ CSG方法表示的形体的形状，比较容易修改。 但CSG树表示也如下的缺点： ① 对形体的表示受体素的种类和对体素操作的种类的限制，也就是说， CSG方法表示形体的覆盖域有较大的局限性。 ② 对形体的局部操作不易实现，例如，不能对基本体素的交线倒圆角。 ③ 由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地表示在CSG中，故 显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间。
分形造型的常用模型
•随机插值模型 •粒子系统模型 •正规文法模型 •迭代函数系统模型
随机插值模型
•模型不是事先决定各种图素和尺度，而是用一个随机过程的
采样路径作为构造模型的手段。
•构造二维海岸线的模型可以选择控制大致形状的若干初始点
在相邻两点构成的线段上取其中点，并沿垂直连线方向随机偏 移一个距离，再将偏移后的点与该线段两端点分别连成两个线 段。这样下去可得到一条曲折的有无穷细节回归的海岸线 。
实体的定义
有了二维流形的概念之后，我们可以这样来描述实 体：对于一个占据有限空间的正则点集，如果其表面是 二维流形，则该正则点集为实体(有效物体)。
正则集合运算
能产生正则几何体的集合运算称为正则集合运算。正则集合运算保 证集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、悬面 。
正则集合运算与传统集合运算的区别主要是在对产生结果的边界面的 处理上，其内部点是一致的 。
பைடு நூலகம்
可产生人们头脑中的某种设计想象或艺术模型。
形体的表示
在计算机中表示形体的方法通常有三种：
•线框模型 •表面模型 •实体模型
线框模型
线框模型采用三维形体的全部顶点及边的集合来描述 三维形体，即用三维形体的顶点表和边表两个表的数据 结构来表示三维模型。
线框模型
线框模型的主要优点是结构简单，处理容易，在CPU时间及存储方面 开销低 。线框模型也有非常显著的缺点。
将一个二维区域绕旋转轴旋转一周。
广义Sweep
广义sweep
• 任意物体沿着任意轨迹推移； • 推移过程中物体可以变形。
八叉树法
三维物体的八叉树表示是一种层次数据结构，它首先在三维空间中定 义一个能够包含所表示物体的立方体，且立方体的3条棱边分别与x、y、 z轴平行，边长为2n。
•若立方体内空间完全由所表示的物体所占据，则物体可用这个立方体予 以表示，否则将立方体等分为8个小块，每块仍为一个子立方体，其边长 为原立方体边长的 1/2。将这 8 个子立方体依次编号为 0， 1 ， 2， …， 7，
• 计算机辅助制造时，可以引用几何造型的结果，直接规划数控加工的刀 具轨迹；
• 运动分析方面，几何造型系统可以完成机械手的动作规划、运动模拟以 及零件间的干涉检查等。
概述
•计算机艺术、动画片制作、模拟仿真、计算机视觉、机器人
等领域都把几何造型作为基础。
•利用三维几何造型技术，既可产生已有物体的真实模型，也
正则集合运算
在正则集合运算中，要考虑如何消除或不产生悬点，悬边和悬面，在 实体造型中，实现正则集合运算有两种方法：间接法和直接法。
•间接法是先按普通集合运算求出结果，后用一些规则判断，消除不符合 正则几何定义的部分(即悬边、悬面等)，从而得到正则几何体；
•直接法则是定义正则集合算子的表达式，用以直接得出符合正则几何体
维立体的表面，因而其造型体的覆盖面较广，无论解析的或非 解析的目标均可用表面模型来描述。
•表面模型又分为平面模型和曲面模型两种。前者以多边形网