清华大学电磁学笔记

= q/4πε0R =ρR2/3ε0(r<=R)
电容
4.无穷大均匀带电平面(σ)
电场强度E(d) =σ/2ε0
注：计算电势时不能用无穷远点作为零电势点，因为不存在无穷大的带电平面，而在无穷远处多么大的带电平面都不能看作无穷大
注2：面电荷σdS两侧电场强度的跳变ΔE=σ/ε0，这是电场的一个局部性质
5.均匀带电圆柱面\带电线(R,σ,λ=2πrσ)
满足Laplace方程Laplacian(f)=0的纯量函数叫做调和函数
7.梯度场是无旋场∇×∇f=0,旋度场不散∇.∇×f=0
8.
常见带电体的电场
1.点电荷q：
电场强度E(r) = q/4πε0r2
电势U(r) = q/4πε0r
2.均匀带电球壳(R, q/σ)：
电场强度E(r) = q/4πε0r2=σR2/ε0r2(r>R)
在匀强电场中受力矩M=p×E
8.圆柱电容(r1<r2,εr)
电容C=2πεrl/ln(r2/r1)
静电场中的导体和电介质
（个人约定：X表示实际量，X0表示自由量，X’表示极化量，如ρ,ρ0,ρ’分别代表总电荷密度，自由电荷密度，极化电荷密度，为了避免混淆，可写作ρe）
静电场中的导体为达到静电平衡，内部不会有电荷，电场强度为零，由上述面电荷局部性质可得，静电场中的导体附近的电场强度为σ/ε0
2.矢量(vector):符合三角形加法,对坐标变换(旋转)有协变性(covariant,countravariant)
1)矢量在轴上的分量用上标表示X=x1i+x2j+x3k
在轴上的投影用下标表示x1=X.i,x2=X.j,x3=X.k
2)内积(inner product): A·B = ATB = AxBx+AyBy+AzBz
对于线电荷和点电荷，We都是无穷大，也就是说将无穷远处的电荷集中在一维线或者零维点上需要做无穷大的功。
说明：关于相互作用能的讨论起点就是点电荷，为什么又推导出点电荷的势能为无穷大呢？因为使用积分公式计算点电荷势能时同时计算了点电荷“内部”各部分电荷之间的相互作用能，这部分能量是点电荷的自能，在前面所述的过程中不会做功，所以可以忽略。
Sketch of Proof:假设电容器是被不断输入dQ，以获得Q的电量，则有
dW = UdQ = QdQ/C
积分可得W=Q2/2C = 1/2 CU2
虚功原理
假设受力物体作一小位移Δz，则物体势能的变化ΔW=FΔz，如果知道W的表达式，对z作偏导，就可以求出F的值。
使用虚功原理求平行板电容器之间的力：
可以证明，电子平均自由程λ=2mvσ/(nee2)，平均碰撞事件τ=2mσ/(nee2)
真空中的静磁场
运动的电荷在磁场中会受到力的作用，且力的作用与速度方向和某一“特定方向”都垂直。定义磁感应强度F=qv×B，B=F/qv⏊
有磁感应强度定义，可以推出安培力公式dF=j×BdV(体电流元)，dB=i×BdS(面电流元)，dF=Idl×B(电流元)和洛仑兹力公式F=qE+qv×B
关于载有稳恒电流的导体，有实验定律：U=IR，其中R=ρl/S，ρ称为电阻率
定义电导率σ= 1/ρ，对欧姆定律取微分，可得欧姆定律微分形式：
j=σE
焦耳定律：P = I2R，定义热功率密度p=ΔP/ΔV，则有p=j2/σ
用经典电子论解释欧姆定律和焦耳定律：
假设电子平均每τ时间与晶格碰撞一次，碰撞后各向同性地散射，碰撞前电子获得的宏观定向速度u1=aτ=-eτE/m，若电子的平均自由程为λ，平均热运动速率为v，那么电子漂移速度u=(u1+u0)/2，u0各向同性，故平均为0，u=u1/2=-eλE/(2mv)
可以证明，这样定义的静电能We=1/2∭Vρe0(r)U(r)dV。
注意：上式并不能说明加入电介质以后极化电荷对静电能没有贡献，因为极化电荷改变了U(r)
电荷体系在外场中的静电能：
把一群电荷看作一个体系，则它在外场中的静电能属于相互作用能，不包括电荷体系自身各部分相互作用的自能。
对于点电荷体系，We=∑qiU(ri)
5)并积AB=ABT结果是一个张量
3.Nabla算符nabla=(∂/∂x1,∂/∂x2,∂/∂x3)
4.纯量场有梯度(gradient),∇f =Grad(f)=nabla(f)
5.矢量场有散度(divergence),div(F)=∇.F,有旋度(curl),curl(F)=∇×F
6.对纯量场有Laplace算符Laplacian∆=∇.∇,∆f=nabla.nabla(f)
电场强度E(r) =λ/2πε0r
6.平行板电容器(d,S,εr)
电容C=εrd/S
电场强度E=σ/εr
7.电偶极子(q,r>>l)
电场强度E(r)=-p/4πε0r3+3(p.r.r)/4πε0r5=(-p+3(p.er)er)/(4πε0r3)
电势φ(r)=1/4πε0r3(p.r)=-p.∇Φ0，其中Φ0=1/4πε0r
电像法（参考费曼物理学讲义）：
如果把一片金属箔弯成等势面的形状，并将空间分为闭合导体壳内和其外两个部分，那么两个部分的电场情况应当互不干扰。比如说，在电偶极子中垂线处置一无限大的金属板，金属板恰好和零势能面重合，所以空间内的电场不会变化。撤去一边的负电荷，正电荷那侧的电场情况不会改变。如果问你一个无限大金属板一侧有一个电荷，电场如何，你就可以假定另一侧有一个异号电荷，然后撤去金属板，因为这两件事情都是不会改变所求电场的。
如果电荷连续分布，W = 1/2∫dqU，具体地，、
对于体电荷，We= 1/2∭Vρe(r)U1(r)dV，其中U1(r)是除了ρe(r)dV以外的其他电荷在r处产生的电势
对于面电荷，We= 1/2∬Sσe(r)U1(r)dS
经过计算，U(r)-U1(r)是高阶无穷小，所以上面的U1可以用总电势U代替
Maxwell
Gauss’ law for electric fields
Gauss’ law for magnetic fields
The generalized Ampere’s law
Faraday’s Law
Lorentz force law
数学基础
1.标量(纯量，scalar):经过坐标变换(旋转)后不变的量
W=Q2/2C，如果保持电荷不变，两板间距加大Δz，ΔW=Q2Δ(1/2C)=FΔz，所以F=-(Q2/2)(Δ(1/C)/Δz)，对于平行板电容器，Δ(1/C)/Δz=1/(εS)，这样就可以得到F=Q2/(2εS)=QE/2
假想另一种情况，保持两板电势差不变，W=CU2/2，ΔW=ΔC*U2/2，这样求出了F=-QE/2，方向不对！这里，虚功原理被无用了，因为保持两板电势差不变而移动Δz时，电源对极板会做功，所以上面的ΔW计算的不正确
HID中，ρ=ρ0/εr，ρ’= -ρ0(εr-1)/εr
极化电荷ρ’与P的关系：
参考教材P44的证明，对于电介质内闭合曲面S及其中的体积V，有
ρe’= -∇.P
在电介质1、2界面处取面元dS，过dS作一无限薄的盒子为高斯面，可得介面处：
σe’= -(P2-P1).n其中n由介质1指向介质2
特别地，如果电介质2是真空：
稳恒电流
定义电流密度j=ΔI/ΔS0n0，对于导体任一有限截面，I=∬Sj.dS
电流连续方程：对于导体内某一闭合曲面S，内部电荷与电流密度有关系：
∯Sj.dS= -dq/dt，
利用Gauss定理，有电流连续方程的积分形式
∇.j+∂ρe/∂t = 0
电流稳恒的时候，电荷的分布不随时间变化
∇.j=0
欧姆定律：
电介质：
静电场中的电介质会在电场的作用下极化，产生极化电荷(又称束缚电荷，与自由电荷对应)，并对原来的电场产生影响。
基本定义与换算关系：
定义某区域内的电极化强度矢量P=Sum(p)/V，其中p是V内各电介质分子的电偶极矩。
各向同性电介质(Homogeneous Isotropic Dielectric, HID)极化率χe，相对介电常数εr=1+χe，介电常数ε=εrε0
σe’=P1.n
P与总电场E的关系：
(1)各向同性电介质P=χeε0E，其中χe称为极化率
(2)各向异性电介质：P=χeε0E，其中χe是张量
(3)铁电体：P与E没有单值关系，它们之间的依赖关系用电滞回线描述
(4)压电体：P不仅与E有关，还与压力有关
(5)驻极体：被极化后保持极化特性，处于永恒极化状态
对于连续电荷体系，We=∭Vρe(r)U(r)dV
摒弃了“超距作用”的概念，按照“近距作用”的观点，静电能应该为电场所具有：
电场能：
静电能密度we= 1/2D.E
静电场能量We=∭VwedV = We0+ W’，将D=ε0E+P带入，可得：
We0= 1/2∭ε0E2dV
W’= 1/2∭P.EdV
特别地，对于电容，We= 1/2CU2
3)外积(outer product): A×B =Det({i,j,k},A,B)
外积满足对加法的结合律，且Outer(A,B)+Outer(B,A)=0
4)三重积
A×(B×C) =(A·C)·B–(A·B)·C（结果在BC张成的平面上）
A·(B×C) = (A×B)·C = (C×A)·B =det(A,B,C)
导电平面附近的点电荷：
一无限大导电平面附近有一个点电荷q，求电场，只需假定平面对侧有一个异号电荷-q，计算这对偶极子的电荷即可。而且，作为核对，求出电场后可以进一步求出无限大导电平面表面的面电荷分布。对这面电荷积分，一定会得到像电荷-q。
导电球体附近的点电荷
假想一个球心为O，半径为a的球，在x轴上，距O点b处有一电荷q，那么在Oq连线上距O a2/b处放置一个电荷q’=-qa/b，那么球上的各点电势为零，如果按照球的形状制作一个同样大小，带电q’的球，可以代替q’产生同样的电场。如果这球带电不是q’，或者电势不为0，我们也总可以在球心处再放置一像电荷q’’，让q’与q’’联合模拟导电球的电场。
为了计算方便，定义电位移矢量D=ε0E+P，对于(1)介质，D=εE，其中ε=εrε0=(1+χe)ε0，E是合外电场，于是有电介质中静电场的基本定理
∇.D=ρe0
∇×E= 0
由此可以推出电位移矢量在界面两端的local关系：
(D2-D1).n=σe0
(E2-E1)×n=0
采用D来描述电场的好处就是所有方程中只出现自由电荷，不会出现一般未知的极化电荷。
对于存在HID的体系，一种简单自然的想法是将极化电荷ρ’计算在内，即ρe(r)=ρe0(r)+ρe’(r)，仍然有We0=1/2∭Vρe(r)U(r)dV然而，这种计算方法与相互作用能的定义并不协调，因为在不存在极化电荷的地方(比如说平行板电容器的中心位置)，外力仍需做功改变电介质分子的取向，所以外力做功A’=We=We0+W极化，其中We0是体系的“宏观静电能”，W极化是极化能。
就像球壳上的所有电荷集中在球心一样
= 0(r<=R)
电势U(r) = q/4πε0r =σR2/ε0r(r>R)
= q/4πε0R =σR/ε0(r<=R)
3.均匀带电球(R, q/ρ)：
电场强度E(r) = q/4πε0r2=ρR3/3ε0r2(r>R)
对球壳运用叠加原理
= 0(r<=R)
电势U(r) = q/4πε0r =ρR3/3ε0r(r>R)
毕奥-萨伐尔定律：
dB= (μ0/4π)(Idl×r/r3)
注：用于等效的像电荷总是和被替代的电荷相等
静电能
静电体系的能量分为外场能和相互作用能，相互作用能是由于电荷处于体系内其他电荷（包括自己）的电场内，而对零势能面得到的势能。如果电荷立即消失而电场保持，体系能量不变，也就是说“电荷的势能”其实是电场的势能。
真空中点电荷间的相互作用能：Winter= 1/2∑qiUi= 1/8πε0∑qiqj/rij
唯一性定理：
唯一性定理：
闭合曲面S包围着区域V，给定V中的自由电荷分布ρ0(V)பைடு நூலகம்以及S上各点处的(i)S电势或者(ii)电场强度的法向分量，如果V中包含导体，则还需给定各导体的(i)电势或者(ii)总电荷，V内的电场可以被唯一确定。
解释静电屏蔽：一封闭导体壳接地以后，以该导体壳内表面为S面，假设内部没有导体和自由电荷，那么S上各点电势均为0(接地)，所以S内的电场情况是唯一确定的，与S面以外的世界无关。向V中放入导体和自由电荷，根据叠加原理，S内部的电场情况也应该只与S及S内部的世界决定。S外部也是这样。