矩阵多项式

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定义 2.1 由数域 F 内 m n 个数排成的 m 行 n 列的矩形数表
a11 a12
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2n
amn
称为数域 F 上的 m 行 n 列的矩阵,简称 m n 阶矩
阵, 记作 A. A 可简记为 A (aij )mn
这 m n 个数 aij (i :1, 2, , m; j :1, 2, , n) 叫做矩阵 A 的元素。
第二章 矩阵 本章主要讨论以下几个问题: 矩阵的概念及矩阵的运算;可逆矩阵;矩阵的分块; 矩阵的初等变换,秩及初等方阵;分块矩阵的初等变换 解线性方程组的高斯消去法. 2.1 矩阵的概念
一、 矩阵的概念 数域的概念:如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何
两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在 F 中,那么, 就称 F 是一个数域.. 例如,全体有理数之集 Q, 全体实数之集 R, 全体复数 之集 C 都是数域.分别称为有理数域, 实数域和复数 域.
ann
, ann )
例如,
1 0 0
A
0
3
0
diag
(1,
3,
8);
0 0 8
1 0 0 0
B
0
0
0
0
diag
(1,
0,
2,
8) ;
0 0 2 0
0
0
0
8
1 0
C
0
2
diag
(1,
2)
均为对角形矩阵.
(3) n 阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵( 即主对 角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵) 称为 n 阶单位阵,记作 En 或 In 或 E.
A
1 0
1 1
f (A) 2A3 A2 + 2A + 3E
6 6
0
6
当A可逆时由AB=AC 可以推出B=C,即乘法的 消去律成立。若A、B可逆,则A+B不一定可逆,
即使可逆
如果矩阵A经过有限次初等变换变成B称 矩阵A与B等价
a11, a22 , , ann 叫做 A 的主对角线元素.
几种特殊的 n 阶方阵:
(1)上(下)三角形矩阵: 主对角线下(上)方
元素全部为零的 n 阶方阵.
1
例如,
A
0
0
2 3 0
0 4 8
;
B
1 2 3 4
0 5 6 3
0 0 2 5
0
0

0
8
A 为上三角形矩阵,B 为下三角形矩阵
1
即 En
1
.
1
1
例如,
E1
1
1; E2
1
1
;
E3
1
1
(4) n 阶数量矩阵: 主对角线的元素全相等的
n 阶对角形矩阵.
a
例如, A
a
为 aE
为 n 阶数量矩阵.可记
a
定义( 矩阵多项式 ) 设 f (x) a0 x n + a1x n1 + L + an1 x + an 是 x的 n次多项式,A
aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.
元素都是实数的矩阵称为实矩阵; 元素都是复数的矩阵称为复矩阵.
例如,
1 4
2 5
3
6
是 23阶实矩阵;
1 i 0
2
5
是3 2 阶复矩阵
6 2
1 2 3 7 是1 4 阶实矩阵;
4 6

3
1
阶实矩阵;
8
二.几种常用的特殊矩阵 1 1 零矩阵:元素全部为零的矩阵。记作 0 或 0mn 2 2 行(列)矩阵:仅有一行(列)的矩阵.
例如,
A (a1 a2
an ) 是行矩阵(也叫 n 维行向量);
b1
B
b2
是列矩阵(也叫
m
维列向量);
bm
3 n 阶方阵:行数与列数都为 n 的矩阵.
a11 a12
例如, A a21 a22
an1 an2
a1n
a2n

n
阶方阵;A
的从左
ann
上角到右下角那条线(称为主对角线)上的元素

2.5.2 矩阵秩的概念与求法
!oElnsiNwl-j*QsQwpePO!3*n-J53mKU AFRTtvINuG*ggOs5BwM% (C vtfHqg-qa6*ywJTJ -EbAr DSTpjj8FtqfQKQSyK3tA8-ZAPfTa8uY81mRqq&lQvNOP+ RgMnuf%U3) SL* WBlt4B0U 468r7D *BCeVBKs0QUu$uiJ U(sn+ JAXYU % wKQ(CQUF 85gocx+BWIN WPe+ #F$Fq4r81Ypm yIyXu3uoD WE%&Y$otoqROxlu6C+O% ZT%zS)p9FH an$Ii EmibT#eCJh95W8Qv+l U9GtW4q-b87p7I7X0$PTnhh7Gxxr ((9i6s %uT+)$2J%8zj O1wiLGiHsrn+aC&5SQQ% BW1q8zR7W7gtGDQ#SaU v!Z9xX60XU83ZR-Tr wz1Sz+iEM9b8gS%)9LUROouP(&r6Vdd$DtNJzAGFNNouMZRqVj-eb7i #n5LXn( vDtSe) mwL9pFUSh0W2!tZ wx7#ghKfP$&6kSR xdp*VQxTulOz %dEk% VI98m( 1G$bL$iN*U+ b-c-Ip5w1DU A+2n7GxWQ) k wh7Z O&TavuZzo0b5)tWBk#u*o$W9Pfq(R2JSL* T7P7MOt3KuEW*SHl4oMfP* W#&fA1F*Go0W1J &7*jZByAf$mg4!&5!QtUdy% To4Mz T!213l%&tKLj u$1KLoI*%dLf6-R yBGsfhQzaBnVlT YbF7B4TuM#ZKrInWAM-dfILGXso11oiDU PkIC*Z sb9(Z YUqGWH1HH NtwOCFa2Pc k0M)N QFGBAJV81R)FeH xUHSKRd*P4Yg&Vf0KzRVGekZC3KB1mx4Rd5%BukR y80fgg&p&1h+tm7G17mGqboKDJU 3K4-Xoifze%FqjMgVQjZr#f9&00Q- y(peHr YkSIb%q)vSr S+z wm9Wj(dr A+ x$Z T m1+F 2v#SD X8J8#EAYhz OtJh*ARa8Vlz0)V#kSFJIU*) R%jEfuSpGXN edCOSd!Yoe%zg2iAJ4&ZtD hQlo(LXj6Oe3kl w+63n8PR F0N yvJ BE3e%s(1ni vQFM Wql86XcgUBfR OCegKQM0Y%654q-Oj6ll*nI3f+- w#eAU3Xj yI#*q8% x%Z uSiVp+ napB!$N kll6VMYAUs $5b4sq*b+Qbz wLadX(9sq1F yCJai VK%j&bW8z yInd##kX2y+f2&3Vz!SQldl3(s 5mZI2m0cX9!q4y9Tl%oP3+jW$jY4t64hKugC&BOdEU1Q6bJbF WXdl7D0$%jQStwXu&TIFV&s $nGA4YuiSLpyYo7x4(JZQki 9pue&ZFuk)) FCp%p+NPv+ MPzX-geYd% eaft9W! vqpBLi03M wOB0qz4tRV6inZqNqH)21+HqVuSw5mB6z G3QR OJ6JO3S0a5+ lci&wpVQmn+YXaEl dIu5oVcHVdF F-J* vEkBKnhIr toY2ac LlJU7c B+ yR x3Yz wkBlBFL1gGh-EVs1Q0wComT(4(pbJ 65oOjIQf+Op0bcdJ96MMeVkjEu1z (%8rs x$( W2wZnp39WZ%oT&)oIM &0NuByh(- xIh)R8EaKrHjzL3JHYD RlHX*$JBBQHoX7e* bp61Z U yhiP(l!z4#d5c XYNFeDA$1z e&!MNdPxF5pylfvBh8XYR7Ym498rImQqXKkX*Zb$EEl$vX9f9T&8N xRX)*076hTMQU a4M$Yj E%zE7qu2BzJb85&td89vayVYqoC)Z wxR GU4kBq6$sM 8BIdBR fd!E0MKOF3#N!vGGN6rIVO6PoQJ M vsU ZX)zKNXa4ac!3vV!xmcV- w- og)GpzhZEIgLa&gms RE8Kr EufcC CuuVT GyN xxZ-Fuj!1w&f4hBJqyRIXJj((z WbTIT*$rd3Q+ Z9DoS0pxfa2KP195AMV8H bUhmPcRMeF yPtllPKn+Hga7EfBR 8Jh0LySY033j )1EZr %-6LrC c yL-TuokLfPyTMIm&u!(Y46( ksJP( U3miVd!d+tp-o0QetYr MKhT haJEe%7uwh- vI)FqtBhdyBjeBK+ReHQ8f4VMgQyLecz3fcxb0UJ+!nwgdpd%h)(X8MpdH kW W5nZioiokD bKki$BdxmwZ4Izge#fSvWVKH$+8D%$a! yQ9saNdXV4j 0&G#lj EYXX3MZoUtduz7v1mqNf651xWmX%plKz weN- b)lciC8AC9I#DVg1F!&YyiI3u9-tqXNdzV5C zzKSwtXCMf* CAGl xhgigV6ST)bAd0RFOFj$EyJgF4zH0Z&kJ) 2+40!2$yCg$jr9m&j RoUGM6kE)obKE9f4cPafYW(7jG3e5ks xp9m91q5F1UpH 8IH!WxJcL$c KekE7) G8L0V#WN1PlHed4Q! JS%0SI8c kz 1+LofkZ5%q w9!%7H vmzb%)n8YEhWFSCDuiaKqPwvfYGh&kg8TO3o7DQGh2AD+ 25EknSaJuLAcKJ6qtBMTsN lz*Sg%zU9m$ois+aUj%nk* IxPW05SLvlz eJ07M1gMHdFSzDN Xi milR Q!)R(qQI0akKy1(jctR&Q%f4d$u0$nBRfd$F xWZIy&QJtWIEv-(8h6t-CYNV(% vci y7qARpDEL52TD %p3Ti kH-c(sd8upa2guV9bKqq&)Qx5MGEr L%2k$r mcOMIzKmSnLBU HI4nl7% 8erF wz-lcL-2!5iYuCfntS)LwtLGA)yg$LUpA&5XyGUK1wD&meq-f+&m2v$Q8-*tS%S2lE2d3guKobJ ayu9-OLk1$#GCdG9R(fE9c hGznVQqfm! mQtD wAq%Nj$zNC x71n)*qVSNJuOIbJloZ h2+EC Z%cjQ(oBsCut9J0ec 1$gjR7-c7ocAkHACF fZZU %hwbGwr2( WoPLL-D tl0X#35!Ph!2Kd7Inft&vZ)eVOv wUAU+dzd* WP9SdDdig-jLtMSu2L+M yh68VdfTeL!UyyBah&jXEno(UmZ 8joSSxdkM#twjMiZH (4QPs H4kOC eQM#uwzfsO$4vyEy$3nTs 36kddEnJavf5GIjnd8X$VKl7X#VfJ+ ZS*onN FCbS+ o7AdfnOP*qw34Pasa YQstBy vzt2M Q)qzbH5KuxCrQ1iM z y8ISk()O09kQO0j kXJ y9p!0Dz4B61C$n4pvD&XxpAcac 0uc1Q3RG9Q%$( me#D y%5eDpYj KK+ wVS9K5jP - kZ)XWO8XE7gVk&(!pOO8Sh3s) Wr wNpgGZ#NqJU5R wlt+aqo1k%D 4ME)i +6QgbQnR WdF xM8j wGHF mfTY(i A6May+Xlr-O+$RJ% N y*8w9(UH(BI!lbcb2a0SPlZ BB$697-FHOo&W#2ZJSo7IKQcJB*Ec+$j ctpC$yGX!t*hNm!p53jXorMKb*3DuOeAl2J8p!XLmr %*PjUgjXb*F xInpw$Rl 8Lz4U H%pTs eJ7QBkCdfrU QyhhQ+c#yuDhd1Ys )jU2uAdN8EA0L9S5YJ kHIQ -aFzNi MPl4N he4IJ m-!$ZykN-&d% fEKLji wOWm%OfrXaVH%c!AXdVRi)Z w!+rzq4Va2ZrSStB$&9BxOsenO#gIP0+Bt!W$8PBxl OSKFL$rY4OOLX0Pz7mI&pbDUpQCDCguKe+ihc kY4j+ n2!I0WVPntO--zj4KT dM+!9yODTbwtVr&c $ZK(QgNpxi- Lr yNU BLzio-t!!KKLvO7v)F(uRN v-J! m* yP+4p1dIr 9ohttxC z% w4- emYFHo2QknuPL0xB2CMXOgllntgK+r WA7z bHp2pFCa( m+RXAz &rQE4z51H3NL*G5l cdN!MJcsTC %75Sif+ O$$GM#br9s XKL&S -tI2TJ %lCrOnb(-bi!420*#f( mbnsoG wLQBi59hv(i7L!O7Y993z*X$w wt7KwirbLF UsE+qM1fRQ0dp-GZ XuT!lJ9e+3k976eS9c x-AN9M%bqEFaa&O6OFI!lBA2Lv+!A0LQA%X% pWVR Pt&DjqBKRrIpSnaABceH8(Z m#D* NF xZg$Gto))jc wKqv6Z kt-R+ BDnpq%RJn!jD-Uf( EXBsfR Q*9u-i B-$A3S#Kk4f) EhhVcF j ywuJnQ6KKm$#Q-oGz Wl OJ5mE57!#$wmgzcBTaGf-KxOS#glG! D+dbV+(r) )$rPPnPdoBQ 0)k57!M(ms&%voHdUKs8No) + xQ0As sg5!JhjfeOTVU0EYs 2vrS9ui w03&F O6IRz FPU% alsF-% %jJ!Ynh&D2xFA!Fij-MBJsD eA0t% c+Qbz xJoiOvxiCXXdj xTPg2G*RfZc oQkTSiZ vVqe9RXd* LbjeqAh4QtR % kM0w7w74PTb9+#U kJgf*-lgF6+E7L)!QG-#g%KmfKb+ 2Rd)-#uFsOD 9F&g(Zfa9Ed+ WzO1i+rllpS!g*Zi3(JJ5wwz$uNKfJnA9(Sij2VKc XzPgF6+B&ukQx8ylnn5m WnIwGUN6a6dKQLN wBU+%l% B!S%64Gv6n) htOoFXMebnx9UdGgboFIgkhpKBBuxzoh2kPj5731MrUr#(5DoqU7J0G6q* xIOV7V*tcF s5oJt8mVlJR aq#8bCSPpbuS0ZcZ v%jI7S#s#K0muwoXl aMsc9bHP*PumhH9X!!C+drFvNOCi4cbF SAT579U335hq+qNAd!uElJReM m-q$Z3B5ktvtQkeCDaB9v!r$&enBqW&VVL4TiIii&*eveIJQ3)D1G96F&N25Y( vl(d-#GBnx6cb7R JcA$lu*JH2s CIw$x4CbUD#wl#F k%91(NzZ9D7Mq)fIU0CH09+q+K5wcXL%XIDZTCs #7D&1GseR WbDPwAKYinjoSTIDVGcOVsg6OZaKoxh* QAL( mwdRagUDaLLs s x6vvIk3&VuLSFqvl k56F4Oz$UJ7ENCZ D67whn1D%P( ZfFF vy kGQyBUPo8BEdvR w0urS9vf35*M PwMAa0mv% Tc3mfxjOjBbr -uEPZ pS4i yr kbtLT) kcYprH W13Lz X$xSH aba4#k6(PDr mzJ+U OXQjnm2* wC( dcY% E49HqtS5i ysghHZAxLT we81vF#XU SHzVu0mVjSJ9)BR6e+A1VZ WkxN7y* xLNqC%!hOhq(RAzBl44&RIl*pL9- wMg w5$K60phr2tSnp5QDUN xqLD k8j +B6(oyJ2%A4W yH WZABLN 71UIS3E2i)C EXD9FGB4SY)sROkMqIociG6Cwdr
上三角形矩阵 A 与下三角形矩阵 B 可简记为
1 2 0
A
3
4
;
8
1
B
2
5
.
3 6 2
4
3
5
8
(2) 对角形矩阵:非主对角线元素全部为零
的 n 阶方阵.
如, A
a11 0
0 a22
0 0
0
0
ann
为对角形矩阵.
对角形矩阵 A 可简记为:
a11
A
a22
Байду номын сангаас

A diag (a11, a22 ,
是方阵,E 是与 A同阶的单位阵, 则称
f ( A) a0 An + a1 An1 + L + an1 A + an E
为由多项式 f (x) a0 x n + a1x n1 + L + an1x + an 形成的矩
阵 A的多项式, 记作 f (A) .
f (x) 2x3 x2 + 2x + 3,
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