2008年高考数学试卷(浙江.文)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文科）浙江卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

（1）已知集合{|0}A x x =>，{|12}B x x =-≤≤，则A
B =
（A ）{|1}x x ≥- （B ）{|2}x x ≤ （C ）{|02}x x <≤ （D ）{|12}x x -≤≤ （2）函数2
(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （A ）
2
π
（B ）π （C ）32π （D ）2π
（3）已知a ，b 都是实数，那么“2
2
b a >”是“a >b ”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）已知{}n a 是等比数列，4
1
252==a a ，，则公比q = （A ）2
1
-
（B ）2- （C ）2 （D ）21
（5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 （A ）12ab ≤
（B ）12
ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）22
3a b +≤ （6）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4
x 的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 （7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+
=x x
y 的图象和直线2
1=y 的交点个数是
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
（8）若双曲线122
22=-b
y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是
（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （9）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得
（A ）,a b αα⊂⊂ （B ）,//a b αα⊂ （C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥
A B
C
D （10）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成
的平面区域的面积等于 （A ）
12 （B ）4π （C ）1 （D ）2
π 二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）已知函数2
()|2|f x x x =+-，则(1)f =__________。

（12）若3
sin(
)25
π
θ+=，则cos2θ=_________。

（13）已知21F F 、为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB = 。

（14）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
(
)
C a A c b cos cos 3=-，
则=A cos。

（15）如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，
DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于 。

（16）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是 。

（17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，
且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答)。

三．解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（18）（本
题14分）已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p nq =+（,,n N p q *
∈为常数），且145
,,x x x 成等差数列，求： （Ⅰ）,p q 的值；
（Ⅱ）数列{}n x 的前n 项的和n S 的公式。

A B
C
D
E
F
（19）（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。

已知袋中共有10个球。

从袋中
任意摸出1个球，得到黑球的概率是5
2
；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是
9
7。

求： （Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；
（Ⅱ）袋中白球的个数。

（20）（本题14分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，
∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF ；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60？
（21）（本题15分）已知a 是实数，函数2
()()f x x x a =-。

（Ⅰ）若'
(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[]2,0上的最大值。

（22）（本题15分）已知曲线C 是到点P （83,21-
）和到直线8
5
-=y 距离相等的点的轨迹。

l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，,MA l MB x ⊥⊥轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得QA
QB
2
为常数。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学（文科）参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分 1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D 9．B 10．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．
11．2 12．7
25
- 13．8 14．3
15．
9π
2
（关键是找出球心，从而确定球的半径。

由题意，三角形DAC,三角形DBC 都是直角三角形，且有公共斜边。

所以DC 边的中点就是球心（到D 、A 、C 、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段DC 长度的一半。

） 16．[01]， 17．40
1. 答案：A
解析：本小题主要考查集合运算。

由B A ={}|1.x x ≥- 2. 答案：B
解析：本小题主要考查正弦函数周期的求解。

原函数可化为：sin 22y x =+，故其周期为
2.2
T π
π=
= 3. 答案：D
解析：本小题主要考查充要条件相关知识。

依题“a >b ”既不能推出 “a >b ”；反之，由“a >b ”也不能推出“2
2
b a >”。

故“2
2
b a >”是“a >b ”的既不充分也不必要条件。

4. 答案：D
解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。

由3352124a a q q ==⋅=⋅，解得1
.2
q = 5. 答案：C
解析：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。

由0,0a b ≥≥,且2a b +=，∴
222224()22()a b a b ab a b =+=++≤+，∴ 222a b +≥。

6. 答案：A
解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。

本题可通过选括号（即5个括号中4
个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。

故含4
x 的项的系数为
(1)(2)(3)(4)(5)15.-+-+-+-+-=-
7. 答案：C
解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。

原函数可化为： ])20[)(232cos(ππ
，∈+=x x y
=sin
,[0,2].2x x π∈作出原函数图像，截取[0,2]x π∈部分，其与直线2
1
=y 的交点个数是2个. 8. 答案：D
解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。

依题不妨取双曲线的右准线2
a x c =，则左焦
点1F 到右准线的距离为222a a c c c c ++=，左焦点1F 到右准线的距离为222
a c a c c c
--=，依题22
2222223,2c a c a c c a c a c
++==--即225c a =
，∴双曲线的离心率c e a ==
9. 答案：B
解析：本小题主要考查立体几何中线面关系问题。

∵两条不相交的空间直线a 和b ，∴存在平面
α，使得,//a b αα⊂。

10. 答案：C
解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。

由1ax by +≤恒成立知，当0x =时，1by ≤恒成立，∴01b ≤≤；同理01a ≤≤，∴以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11. 答案：2
解析：本小题主要考查知函数解析式，求函数值问题。

代入求解即可。

12. 答案：725-
解析：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用。

由3sin(
)2
5π
θ+=
可知，3cos 5
θ=；而2237
cos 22cos 12()1525
θθ=-=⨯-=-。

13. 答案：8
解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。

依题直线AB 过椭圆的 左焦点1F ,在2F AB 中，
22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB =
14.
答案：
3
解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。

依题由正弦定理得：
sin )cos sin cos B C A A C
-⋅=⋅,即
cos sin()sin B A A C B
⋅=+=,∴
cos 3
A =
15. 答案：
92
π 解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。

其关键是找出球心，从而确定球的半径。

由题意，三角形DAC,三角形DBC 都是直角三角形，且有公共斜边。

所以DC 边的中点就是球心（到D 、A 、C 、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段DC 长度的一半。

16. 答案：[0,1]
解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。

依题()0b a b ⋅-=，即
2||0b a b ⋅-=，∴2||||cos ||a b b θ⋅=且[0,].2
π
θ∈，又a 为单位向量，∴||1a =，
∴||cos ,[0,].2
b π
θθ=∈∴||[0,1].b ∈
17. 答案：40
解析：：本小题主要考查排列组合知识。

依题先排除1和2的剩余4个元素有22
2228A A ⋅=种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有1
5A 种插法，∴不同的安排方案共有221225240A A A ⋅⋅=种。

三、解答题
18．本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分． （Ⅰ）解：由13x =，得23p q +=，
又4424x p q =+，5
525x p q =+，且1542x x x +=，得
5532528p q p q ++=+，
解得1p =，1q =．
（Ⅱ）解：2
(222)(12)n n S n =++
++++
+
1(1)
222
n n n ++=-+
． 19．本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力．满分14分．
（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为2
1045
⨯
=． 记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A ，则
242102
()15
C P A C ==．
（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ， 设袋中白球的个数为x ，则
2102107
()1()19
x C P B P B C -=-=-=，
得到5x =．
20．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：
（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，
可得四边形BCGE 为矩形，
又ABCD 为矩形， 所以AD EG
∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．
因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．
（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．
所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角． 在Rt EFG △
中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =．
又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．
于是sin 2
BH BE BEH =∠=
． 因为tan AB BH AHB =∠， 所以当AB 为
9
2
时，二面角A EF C --的大小为60． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直
D A B E
F
C
H
G
角坐标系C xyz -．
设AB a BE b CF c ===，，，
则(000)C ，，
，)A a ，
，0)B ，
，0)E b ，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，
，(30)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．
因为CB ⊥平面DCF ，
所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．
（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =--，，(30)CE b =，，
， 所以0EF CE =，||2EF
=，从而
3()02b c b -+-=⎧=，
，
解得34b c =
=，．
所以0)E ，，(040)F ，，．
设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE =，0n EF
=，
解得n =． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，
，，
所以||1|cos |2
||||4BA n n BA BA n a <>===，，
得到92
a =
． 所以当AB 为
9
2
时，二面角A EF C --的大小为60． 21．本题主要考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．
（Ⅰ）解：2
()32f x x ax '=-，
因为(1)323f a '=-=， 所以0a =．
又当0a =时，(1)1f =，(1)3f '=，
所以曲线()y f x =在(1(1))f ，处的切线方程为320x y --=． （Ⅱ）解：令()0f x '=，解得10x =，223
a
x =． 当
203
a
≤，即0a ≤时，()f x 在[02]，
上单调递增，从而 max (2)84f f a ==-．
当
223
a
≥，即3a ≥时，()f x 在[02]，
上单调递减，从而 max (0)0f f ==．
当2023a <
<，即03a <<时，()f x 在203a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在223a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
上单调递增，从而max 8402023a a f a -<⎧=⎨
<<⎩，
≤，，．
综上所述， max 84202a a f a -⎧=⎨
>⎩，≤，
，
． 22．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思
想方法和综合解题能力．满分15分． （Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则
||NP =
N 到直线5
8
y =-的距离为58y +．
58y =+．
化简，得曲线C 的方程为2
1()2
y x x =+． （Ⅱ）解法一：
设22x x M x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，，直线:l y kx k =+，则
()B x kx k +，，从而
||1|QB x =+． 在Rt QMA △中，因为 2
22||(1)14x QM x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
，
2
222(1)2||1x x k MA k ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
=+． 所以2
22222(1)||||||(2)4(1)x QA QM MA kx k +=-=++ . 2||
1QA k =+， 2||12||QB x
QA x
k +=+．
当2k =时，2
||||QB QA =
从而所求直线l 方程为220x y -+=．
解法二：设2
2x x M x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，，直线:l y
kx k =+，则()B x kx k +，，从而
||1|QB x =+．
过(10)-，垂直于l 的直线11
:(1)l y x k =-+．
因为||||QA MH =，所以2||1QA k =
+，
2||12||QB x QA x k
+=+．
当2k =时，2
||||QB QA =
从而所求直线l 方程为220x y -+=．。