第九章 强度理论345
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材料力学(单辉组)第九章强度理论
缺点 该强度理论未考虑主应力2的影响
相当应力 r3= 13
20
(IV)畸变能理论(第四强度理论)
破坏观点: 材料屈服强度极限状态取决于畸变能密度
即无论应力状态如何，只要畸变能密度uf达到材料屈 服极限状态的畸变能密度ufu，材料即发生屈服破坏
ufu---材料单向拉伸屈服时所测得畸变能密度
在三向应力状态下，
最大切应力
max= (1 3 )/2
材料单向拉伸时，与屈服强度u相应的极限
最大切应力
u= s /2
19
破坏条件(塑性屈服) 1 3 s
强度条件
1
3
s
ns
适用材料及应力状态
该强度理论与塑性材料的试验结果较为吻合， 符合塑性材料在达到一定的载荷后，会出现 明显的塑性变形，而最后剪断的试验现象
强度条件
1
(
2
3
)
u
nu
16
第二理论适用材料及应力状态
石料、混凝土受轴向压缩 沿横向发生破坏，产生纵 向开裂现象
铸铁:
缺点
3 1
3
1
有时理论预测与实验不符, 如铸铁在二向拉伸时比单向拉伸更安全
17
相当应力 强度理论中采用复杂应力状态中几个主 应力的一个综合值(相当于单轴拉伸时的应力)，
1
)2
23
以上是常用四个强度理论，实际上还存在 其它强度理论，如考虑许用拉应力和许用
压应力不同的莫尔强度理论、双剪力 强度理论等
四个常用的强度理论分为两类
强度理论
C 蠕变破坏 高温下的构件，当应力超过蠕变极限时，构件因变形过 高温下的构件，当应力超过蠕变极限时， 大而失效。 大而失效。或者构件因应力超过蠕变持久强度极限而导致蠕变断裂破坏
D 弹性失效 对于有刚度要求的构件，应力虽然尚末达到屈服应力， 对于有刚度要求的构件，应力虽然尚末达到屈服应力， 但因变形超过刚度要求而不能正常工作。细长杆和薄壁结构受压时， 但因变形超过刚度要求而不能正常工作。细长杆和薄壁结构受压时，当 应力超过屈曲临界应力时，会发生失稳屈曲而丧失承载能力。 应力超过屈曲临界应力时，会发生失稳屈曲而丧失承载能力。振动的构 如果振幅超过技术要求也能导致构件失效。 件，如果振幅超过技术要求也能导致构件失效。
材料力学， 土木2003， 2004年9月， 金培鹏副教授 材料力学， 土木 ， 年 月
青海大学建工系
§9.2.四个经典强度理论及相当应力 9.2.四个经典强度理论及相当应力
1).最大拉应力理论（第一强度理论） 1).最大拉应力理论（第一强度理论） 最大拉应力理论 是引起材料脆性破坏的主要原因. 这一理论认为最大拉应力 σ1 是引起材料脆性破坏的主要原因. 即不论 它是复杂应力状态或是单向应力状态, 它是复杂应力状态或是单向应力状态, 只要单元体中的最大拉应力 σ1 , 达到材料在单向拉伸下发生脆性断裂破坏是的极限应力值σb , 材料就 将发生脆性断裂破坏. 将发生脆性断裂破坏. 发生断裂的条件是
2).最大伸长线应变理论（第二强度理论） 2).最大伸长线应变理论（第二强度理论） 最大伸长线应变理论
是引起材料脆性断裂破坏的主要因素. 这一理论认为最大伸长线应变 ε1 是引起材料脆性断裂破坏的主要因素. 即不论它是复杂应力状态或是单向应力状态, 即不论它是复杂应力状态或是单向应力状态, 只要单元体中的最大伸长 应变 ε1 , 达到材料在单向拉伸下发生脆性断裂破坏时的伸长应变极限 0 材料就将发生脆性断裂破坏. 值 ε , 材料就将发生脆性断裂破坏.
材料力学第9章 强度理论.
二、关于脆性断裂的强度理论 三、关于塑性屈服的强度理论 四、莫尔强度理论
五、强度理论的统一形式
六、强度理论的应用
2018年10月8日星期一
北京邮电大学自动化学院
3
（1）材料不同、载荷相同之拉伸实验
脆性材料拉伸实验
塑性材料拉伸实验
2018年10月8日星期一
北京邮电大学自动化学院
4
（1）材料不同、载荷相同之扭转实验
2018年10月8日星期一
北京邮电大学自动化学院
14
（2）最大伸长线应变准则（第二强度理论）
基本观点： 材料中最大伸长线应变到达材料的脆断伸长线应变时， 即产生脆性断裂。
2018年10月8日星期一
max
b
15
北京邮电大学自动化学院
max
1
1 ( 2 3 )
s 1 2 2 2 相应的强度条件： 2 [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] [ ] n s
1 2
2018年10月8日星期一
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21
形状改变能密度准则： 相应的强度条件：
2 2 2 2( 12 23 13 ) s
r 3 1 3
b , 0 .2 , s
n
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 r4 2
rM
[ t ] 1 3 [ c ]
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E
b
b
E
最大伸长线应变准则： 1 ( 2 3 ) b
相应的强度条件： 1 ( 2 3 ) [ ] 适用范围：少数脆性材料
五、强度理论的统一形式
六、强度理论的应用
2018年10月8日星期一
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3
（1）材料不同、载荷相同之拉伸实验
脆性材料拉伸实验
塑性材料拉伸实验
2018年10月8日星期一
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4
（1）材料不同、载荷相同之扭转实验
2018年10月8日星期一
北京邮电大学自动化学院
14
（2）最大伸长线应变准则（第二强度理论）
基本观点： 材料中最大伸长线应变到达材料的脆断伸长线应变时， 即产生脆性断裂。
2018年10月8日星期一
max
b
15
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max
1
1 ( 2 3 )
s 1 2 2 2 相应的强度条件： 2 [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] [ ] n s
1 2
2018年10月8日星期一
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21
形状改变能密度准则： 相应的强度条件：
2 2 2 2( 12 23 13 ) s
r 3 1 3
b , 0 .2 , s
n
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 r4 2
rM
[ t ] 1 3 [ c ]
2018年10月8日星期一
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E
b
b
E
最大伸长线应变准则： 1 ( 2 3 ) b
相应的强度条件： 1 ( 2 3 ) [ ] 适用范围：少数脆性材料
工程力学强度理论
2、比较能说明问题的是下面的实验：用钢、铜、镍等塑性
金属制成薄壁管，让它受内压力q和外拉力P的共同作用，
得到一个二向应力状态。实验时调整P 和q ，可得到σ1、
σ2 、 σ3不同组合。
1
P
P
2
3、结论：第三强度理论计算的结果与试验结果相差约达 10%～ 15%。而用第四强度理论计算的结果与实验误差约在 5%以内。第三强度偏安全（工业设计、化工）、第四强度 偏实际、经济（钢结构）。
§9.1 强度理论的概念
（3）相当应力状态：
复杂应力状态根据同等安全原则，按照一定的条件，代之 以单向应力状态，称为相当应力状态。
（4）相当应力σr（Equivalent Stress）
相当应力状态的作用应力。
（5）失效准则： u
（6）失效准则研究模式
σ2
σ3
σ1
σr
σr σu
σu
§9.1 强度理论的概念
方法二：
第三强度理论： r3
2 x
4
2 x
1232 464.682 178.39MPa
第四强度理论： r4
2 x
3
2 x
1232 3 64.682 166.28MPa
强度理论例题
例4 图示工字钢截面简支梁，许用应力为[σ]=170MPa ，
[τ]=100MPa 。试校核梁的强度。
550kN 550kN 550kN
（7）强度理论：
认为无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料破坏 都是由某一特定因素引起的，从而可利用单向应力状态下的 试验结果，建立复杂应力状态的强度条件。这种关于材料破 坏的学说称为强度理论 （Strength Theory） 。
材料力学第9章 强度理论
由于物体在外力作用下所发生的弹性变形既包括 物体的体积改变，也包括物体的形状改变，所以可推 断，弹性体内所积蓄的变形比能也应该分成两部分： 一部分是形状改变比能（畸变能） ，一部分是体积改 变比能 。 在复杂应力状态下，物体形状的改变及所积蓄的 形状改变比能是和三个主应力的差值有关；而物体体 积的改变及所积蓄的体积改变比能是和三个主应力的 代数和有关。
注意：图示应力状态实际上为弯扭组合加载对 应的应力状态，其相当应力如下：
r 3 2 4 2 [ ] 2 2 [ ] r 4 3
可记住，便于组合变形的强度校核。
例1 对于图示各单元体,试分别按第三强度理论及第四强度理论 求相当应力。
120 MPa 140 MPa
r4
1 2 2 2 [(0 120) ( 120 120) ( 120 0) ] 120MPa 2
140 MPa
（2）单元体（b）
σ1 140MPa
σ 2 110MPa
σ3 0
110 MPa
σr 3 σ1 σ 3 140MPa 1 2 2 2 σr 4 [30 110 ( 140) ] 128MPa 2
1u
1u
E
b
E
1 1 1 2 3 E
1u
1u
E
b
E
1 2 3 b
强度条件为： 1 2 3
b
n
[ ]
实验验证： a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝； b) 脆性材料在双向拉伸-压缩应力状态下,且压应 力值超过拉应力值时,该理论与实验结果相符合。
σ1 94 .72MPa σ 3 5 .28MPa
材料力学第九章强度理论 ppt课件
假定：无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时的 极限应力σu，材料即破坏。
在单向拉伸时，极限应力 σu =σb 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
第一强度理论强度条件：
1 [ ]
[ ] b
n
PPT课件
5
第一强度理论—最大拉应力理论
2 1
3
=b
PPT课件
15
单向拉伸时： 1 s , 2 3 0
Uu
1
6E
2s2
屈服破坏条件是：
1 2
( 1
2 )2
(
2
3 )2
( 3
1)2
s
第四强度理论强度条件：
1 2
(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1)2
[
（单位MPa）
PPT课件
23
其次确定主应力
1＝29.28MPa, 2＝3.72MPa, 3＝0
max= 1< [] = 30MPa
结论：强度是安全的。
PPT课件
23 11 10
（单位MPa）
24
课本例题9.3 已知： 和，试写出最大剪应力理论
和形状改变能密度理论的表达式。
解：首先确定主应力
屈服破坏条件是： max s
PPT课件
12
最大剪应力理论
2 1
3
=s
max
1
3
2
o max
强度理论教学方案
第9章 强度理论§9-1 强度理论的概念１．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。
２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。
３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为 []σσ≤ ，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为 []ττ≤ 。
建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是： １）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设； ２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。
３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。
§9-2 四个强度理论1 .最大拉应力准则（第一强度理论）基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。
表达式：uσσ=+m ax复杂应力状态321σσσ≥≥， 当01>σ， 1max σσ=+简单拉伸破坏试验中材料的正断抗力b u σσσ==1，032==σσ最大拉应力脆断准则：b σσ=1 (9-1a)相应的强度条件：[]bbn σσσ=≤1 (9-1b)适用范围：虽然只突出 1σ 而未考虑32,σσ 的影响，它与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。
特别适用于拉伸型应力状态（如0321=>≥σσσ），混合型应力状态中拉应力占优者（,0,031<>σσ但31σσ> ）。
2 .最大伸长线应变准则（第二强度理论）基本观点：材料中最大伸长线应变到达材料的脆断伸长线应变 u ε时，即产生脆性断裂。
表达式：uεε=+m ax复杂应力状态321εεε≥≥，当01>ε，[])(13211max σσνσεε+-==+E简单拉伸破坏试验中材料的脆断伸长线应变b σσ=1，032==σσ，Ebb u σεε==最大伸长线应变准则：b σσσνσ=+-)(321（9-2a ）相应的强度条件： []bbn σσσσνσ=≤+-)(321 （9-2b ）适用范围：虽然考虑了2σ，3σ的影响，它只与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合（如图9-1所示），铸铁在混合型压应力占优应力状态下（01>σ313,0,σσσ<<）的实验结果也较符合，但上述材料的脆断实验不支持本理论描写的2σ，3σ对材料强度的影响规律。
工程力学教学课件 第9章强度理论
11.4
y
102
2020/4/15
(图d)
29
9-2、经典强度理论
用型钢表查得该截面
Iz2500 4,bcm 9mm,
则a点应力为
σa Mya Iz 113.4MPa τa QSz(a)bIz 48.7MPa
r4a23a214 M1 P[a ]
满足强度条件，因此选用20b工字钢是合适的。
2020/4/15
塑性变形或断裂的事实。 (max0)
局限性：
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%，偏安全
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，
2020/4/15
14
9-2、经典强度理论
4. 形状改变比能理论（第四强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是
由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。
强度条件
1 2(12)2(23)2(31)2 nss
实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理 论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。
2020/4/15
16
9-2、经典强度理论 强度理论的统一表达式： r []
相当应力
r,1 1[]
r,313[]
r,21(23)[]
r,41 2(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2 []
2020/4/15
35
9–3、 莫尔强度理论
莫尔强度理论并不简单地假设材料的破坏是由单一因素 （应力、应变、比能）达到极限值而引起的，它是以各种应 力状态下材料破坏的试验结果为依据而建立的带有一定经验 性的强度理论。
y
2
3
z
2020/4/15
1
3
2
2011材料力学强度理论(水电)
12
圆柱形大理石试样， 圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压 时会产生显著的塑性变形而失效。 时会产生显著的塑性变形而失效。
13
四种强度理论的适用范围： 四种强度理论的适用范围： （1）在三向拉应力状态下，不论是塑形材料，还是脆性 ）在三向拉应力状态下，不论是塑形材料， 材料，都会发生脆性断裂破坏。宜采用最大拉应力（ 材料，都会发生脆性断裂破坏。宜采用最大拉应力（第 一强度）理论。 一强度）理论。 （2）对于脆性材料，在二向拉伸应力状态下应采用最大拉 ）对于脆性材料， 应力（第一强度）理论； 应力（第一强度）理论；在二向应力状态中压应力的绝对 值比拉应力大的情况下，宜采用第二强度理论（ 值比拉应力大的情况下，宜采用第二强度理论（最大伸长 线应变理论）。 线应变理论）。 （3）对于塑形材料，除了三向拉伸应力状态外，宜采用第三、 ）对于塑形材料，除了三向拉伸应力状态外，宜采用第三、 第四强度理论。 第四强度理论。 特别地，对承受内压的钢管，宜采用第三强度理论； 特别地，对承受内压的钢管，宜采用第三强度理论； 而横力弯曲的钢梁，宜采用第四强度理论。 而横力弯曲的钢梁，宜采用第四强度理论。 （4）在三向压应力状态下，不论是塑形材料还是脆性材料， ）在三向压应力状态下，不论是塑形材料还是脆性材料， 普遍地发生屈服失效，因此，都应采用第四强度理论。 普遍地发生屈服失效，因此，都应采用第四强度理论。 14
3
解决这类问题，往往是依据部分实验的结果，经过推理， 解决这类问题，往往是依据部分实验的结果，经过推理，提出 一些假说，推测材料强度失效的原因，从而建立强度条件。 一些假说，推测材料强度失效的原因，从而建立强度条件。 3.构件由于强度不足而引起的两种失效（破坏）形式 3.构件由于强度不足而引起的两种失效（破坏） 构件由于强度不足而引起的两种失效 (1) 脆性断裂： 脆性断裂： 以出现裂纹或断裂为破坏标志。 以出现裂纹或断裂为破坏标志。
材料力学理论
第九章 强 度 理 论第一节 强度理论的概念固体材料制作的杆件或零件的强度问题，是材料力学研究的最基本问题之一。
所谓杆件的强度，就是指杆件抵抗破坏的能力。
工程中当杆件承载达到一定程度时，其材料一般就会在杆件危险截面上的危险点处首先发生屈服或裂开而进入危险状态。
因此，为了保证杆件能够正常工作，必须找出杆件材料进入危险状态的原因，并由此建立相应的强度条件。
在本章以前，对于各种杆件的强度计算，总是先计算出其横截面上的最大正应力max σ和最大剪应力m ax τ，然后从这两个方面建立其强度条件为：正应力强度条件 ][m a x σσ≤剪应力强度条件 ][m a x ττ≤式中材料的许用应力[]σ和[]τ，是分别先由单向应力状态的试验或纯剪切试验测定在破坏时试件的极限应力（屈服极限或强度极限），然后除以适当的安全系数s n （或b n ）得到的。
这种强度条件并没有考虑材料的破坏是由什么因素（或主要原因）引起的，因此，对于不考虑材料的破坏是由什么因素引起，而直接根据试验结果建立强度条件的方法，只对危险截面上危险点处是单向应力状态和纯剪应力状态这类特殊情况才适用。
在工程中，实际结构及其杆件的危险点并不一定是处于单向或纯剪应力状态，而是处于任意二向应力状态或三向应力状态，即复杂应力状态，此时又如何建立强度条件？仍通过直接试验求出极限应力是不可能的。
因为在复杂应力状态下，三个主应力1σ、2σ和3σ之间的比例可能有无限多种，要在每一种比例下都通过对材料的直接试验来确定其极限应力值，那不仅是十分繁冗的，而且也是难以做到的。
因此，必须找到某种方法，以便能够利用单向应力状态和纯剪应力状态下试验获得的极限应力数据，来建立复杂应力状态下的强度条件。
实践表明，杆件的危险点无论在单向应力状态下，还是在复杂应力状态下，其破坏的形式大体可以分为两类：一类是脆性断裂．．．．，一类是塑性屈服．．．．（或塑性流动）。
这些破坏到底是由哪些因素引起的？其中起决定作用的主要因素是什么？自从17世纪以来，一些科学家在观察、试验、理论分析和总结前人经验的基础上先后对引起材料破坏的主要因素提出了种种假说，并根据这些假说建立了供工程设计计算的强度条件，通常就把这些假说称为强度理论．．．．。
《材料力学 第2版》_顾晓勤第09章第5节 强度理论
第九章 复杂应力状态和强度理论
举例：如图所示的二向应力状态在机械设计中常
常遇到，例如圆轴扭转和弯曲的联合、圆轴扭转和拉 伸的联合以及梁的弯曲等。这时可将相当应力的公式
进一步简化，将 x ， y 0 ， x 代入公式得
max m in
2
2
2
2
此应力状态下的三个主应力为
1 max 2 0 3 min
r4 [ ]
此容器满足强度条件。
1 b / E
1
1 Eห้องสมุดไป่ตู้
[1
( 2
3)]
1 ( 2 3) b
第二强度理论 建立的强度条件
1 ( 2 3 ) [ ]
第 5 节 强度理论
第九章 复杂应力状态和强度理论
3、最大切应力理论（第三强度理论）
这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因
素。即无论什么应力状态，只要最大切应力达到单 向应力状态下的极限切应力，材料就要发生屈服破 坏。于是危险点处于复杂应力状态的构件发生塑性 屈服破坏的条件为：
第 5 节 强度理论
第九章 复杂应力状态和强度理论
二、四种强度理论
1、最大拉应力理论（第一强度理论）
该理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最 大拉压力。即无论什么应力状态下，只要构件内一 点处的最大拉压力达到单向应力状态下的极限应力， 材料就要发生脆性断裂。于是危险点处于复杂应力 状态的构件发生脆性断裂破坏的条件为：
1 2
[(1
2
)
2
(
2
3
)2
(
3
1
)2
]
s
第四强度理论建立的强度条件
1 2
[(1
2
)2
九章强度理论PPT课件
（第四强度理论，20世纪初，Mises） 无论材料处于什么应力状态，只要畸
变能密度达到极限值，就发生屈服破坏。
变形能：构件弹性变形储存的应变能。
应变能密度: 材料单位体积储存的变形能。 分为两部分：体积改变能密度vv 畸变能密度vd
只改变体积
只改变形状
畸变能密度
vd
=
1
6E
s1 -s 2 2 s 2 -s 3 2 s 3 -s1 2
2
2
sx
-s y
2
4t
2 xy
s = s x s y - 1 22
sx
-s y
2
4t
2 xy
s = 0
例题
主应力为
s1＝29.28MPa, s2＝3.72MPa, s3＝0
smax= s1< [st] = 30MPa
结论：满足强度条件。
23 11 10
MPa
例题
P
P=200kN
120 14
s3
强度条件:
s1
sb
n
= s
适用范围: 脆性材料拉、扭； 一般材料三向拉；
铸铁二向拉-拉，拉-压（st＞ sc）
45°
铸铁断口
s3=－t
45°
Kt
s1=t
拉断！
二、最大伸长线应变理论（17世纪末）
无论材料处于什么应力状态，只要最
大伸长线应变达到极限值，材料就发生脆
性断裂。
破坏原因：etmax （最大伸长线应变）
MPa
已知 ： 铸铁构件上 危险点的应力状态。 铸铁拉伸许用应力
[st] =30MPa。
求：试校核该点的 强度。
例题
解：首先根据材料 和应力状态确定失效 形式，选择强度理论。
变能密度达到极限值，就发生屈服破坏。
变形能：构件弹性变形储存的应变能。
应变能密度: 材料单位体积储存的变形能。 分为两部分：体积改变能密度vv 畸变能密度vd
只改变体积
只改变形状
畸变能密度
vd
=
1
6E
s1 -s 2 2 s 2 -s 3 2 s 3 -s1 2
2
2
sx
-s y
2
4t
2 xy
s = s x s y - 1 22
sx
-s y
2
4t
2 xy
s = 0
例题
主应力为
s1＝29.28MPa, s2＝3.72MPa, s3＝0
smax= s1< [st] = 30MPa
结论：满足强度条件。
23 11 10
MPa
例题
P
P=200kN
120 14
s3
强度条件:
s1
sb
n
= s
适用范围: 脆性材料拉、扭； 一般材料三向拉；
铸铁二向拉-拉，拉-压（st＞ sc）
45°
铸铁断口
s3=－t
45°
Kt
s1=t
拉断！
二、最大伸长线应变理论（17世纪末）
无论材料处于什么应力状态，只要最
大伸长线应变达到极限值，材料就发生脆
性断裂。
破坏原因：etmax （最大伸长线应变）
MPa
已知 ： 铸铁构件上 危险点的应力状态。 铸铁拉伸许用应力
[st] =30MPa。
求：试校核该点的 强度。
例题
解：首先根据材料 和应力状态确定失效 形式，选择强度理论。
材料力学：第九章 强度理论
不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力σ1 达到材料单向拉 伸断裂时的最大拉应力 σ1u (即σb)，材料即发生断裂
－材料的断裂条件
强度条件
σ1 － 构件危险点处的最大拉应力 [σ] － 材料单向拉伸时的许用应力
最大拉应变理论（第二强度理论）
理论要点
引起材料断裂的主要因素－最大拉应变 e1
e1 e1u
宜用第一强度理论考虑强度问题
一种常见应力状态的强度条件
单向、纯剪切联合作用
塑性材料 强度条件：
纯剪切许用应力
单向、纯剪 切联合作用
纯剪切情况下（s = 0）
塑性材料强度条件:
[σ] τmax 2
[σ] τmax 3
强度理论的应用
使用强度理论进行强度校核的步骤：
(1)画剪力图、弯矩图，确定危险截面； (2)据应力公式，确定截面上的危险点； (3)求最大应力； (4)根据材料性质, 选择合适的强度理论,
当
时, 材料屈服
强度条件
－材料的屈服条件
s1 , s2 , s3 － 构件危险点处的工作应力 [s] － 材料单向拉伸时的许用应力
例题 例2-1 铸铁构件危险点处受力如图,
试校核强度，[s]=30 MPa
解： (1) 列出已知条件
(2) 计算应力最大值
(3) 选择强度理论, 进行校核 （压应力 < 拉应力）
承压薄壁圆筒应力分析
三种应力: 轴向x, 周向y, 径向z
承压薄壁圆筒应力分析
(1) 轴向应力 筒底压力
筒壁应力
(2) 周向应力
1
(3) 径向应力
径向应力/周向应力
很小的量
故 s r 很小, 忽略不计
承压薄壁圆筒强度条件
－材料的断裂条件
强度条件
σ1 － 构件危险点处的最大拉应力 [σ] － 材料单向拉伸时的许用应力
最大拉应变理论（第二强度理论）
理论要点
引起材料断裂的主要因素－最大拉应变 e1
e1 e1u
宜用第一强度理论考虑强度问题
一种常见应力状态的强度条件
单向、纯剪切联合作用
塑性材料 强度条件：
纯剪切许用应力
单向、纯剪 切联合作用
纯剪切情况下（s = 0）
塑性材料强度条件:
[σ] τmax 2
[σ] τmax 3
强度理论的应用
使用强度理论进行强度校核的步骤：
(1)画剪力图、弯矩图，确定危险截面； (2)据应力公式，确定截面上的危险点； (3)求最大应力； (4)根据材料性质, 选择合适的强度理论,
当
时, 材料屈服
强度条件
－材料的屈服条件
s1 , s2 , s3 － 构件危险点处的工作应力 [s] － 材料单向拉伸时的许用应力
例题 例2-1 铸铁构件危险点处受力如图,
试校核强度，[s]=30 MPa
解： (1) 列出已知条件
(2) 计算应力最大值
(3) 选择强度理论, 进行校核 （压应力 < 拉应力）
承压薄壁圆筒应力分析
三种应力: 轴向x, 周向y, 径向z
承压薄壁圆筒应力分析
(1) 轴向应力 筒底压力
筒壁应力
(2) 周向应力
1
(3) 径向应力
径向应力/周向应力
很小的量
故 s r 很小, 忽略不计
承压薄壁圆筒强度条件
第九章强度理论
E E
强度条件： 1 ( 2 3 ) [ ] 适用对象：脆性破坏，ε1 >0
jx
n
3. 最大切应力理论（第三强度理论） 破坏原因：一点处的切应力达到了材料所能 承受的最大切应力。 破坏条件：τmax = τjx
τjx是指材料做单向拉伸时的最大的切应力。
1 3
1 r4 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
σri称为相当应力
低碳钢
τ
σ
1
( ) 2 2
2
2
2 0 3
( ) 2 2
2
2
用第三强度理论：
r 3 1 3 2 ( ) 2 2 2 4 2
3
3
I z 71.14106 m4
d 0.8510 m
2）校核切应力强度
2
Iz S z ,max
24.6210 m
2
max
200103 24.6210 0.8510 Iz d 95.5MPa [ ] 100MPa
FS,max S z ,max
两种破坏形式： 1. 脆性破坏 1）破坏前没有明显的塑性变形， 2）大多数脆性材料发生脆性破坏， 3）铸铁在三向等值受压时发生塑性破坏； 2. 塑性破坏 1）破坏前发生明显的塑性变形， 2）大多数塑性材料发生塑性破坏， 3）低碳钢在三向等值受拉时发生脆性破坏；
二、四个常用的强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
破坏原因：一点处的拉应力达到了材料所能承受的 最大拉应力。
破坏条件：σ1 =σjx
σjx是指材料做单向拉伸时的强度极限。
强度条件： 1 ( 2 3 ) [ ] 适用对象：脆性破坏，ε1 >0
jx
n
3. 最大切应力理论（第三强度理论） 破坏原因：一点处的切应力达到了材料所能 承受的最大切应力。 破坏条件：τmax = τjx
τjx是指材料做单向拉伸时的最大的切应力。
1 3
1 r4 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
σri称为相当应力
低碳钢
τ
σ
1
( ) 2 2
2
2
2 0 3
( ) 2 2
2
2
用第三强度理论：
r 3 1 3 2 ( ) 2 2 2 4 2
3
3
I z 71.14106 m4
d 0.8510 m
2）校核切应力强度
2
Iz S z ,max
24.6210 m
2
max
200103 24.6210 0.8510 Iz d 95.5MPa [ ] 100MPa
FS,max S z ,max
两种破坏形式： 1. 脆性破坏 1）破坏前没有明显的塑性变形， 2）大多数脆性材料发生脆性破坏， 3）铸铁在三向等值受压时发生塑性破坏； 2. 塑性破坏 1）破坏前发生明显的塑性变形， 2）大多数塑性材料发生塑性破坏， 3）低碳钢在三向等值受拉时发生脆性破坏；
二、四个常用的强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
破坏原因：一点处的拉应力达到了材料所能承受的 最大拉应力。
破坏条件：σ1 =σjx
σjx是指材料做单向拉伸时的强度极限。
材料力学第9章强度理论
第9章 强度理论
9.1强度理论概述
9.1.1引言
构件发生轴向拉（压）、扭转和纯弯曲变形时，危险点处于单向应力状态或 纯剪切应力状态，相应的强度条件为
式中σ °和
°——分别表示材料在轴向拉（压）和纯剪切时的极限应力
，其值是通过试验测定。
可见，简单应力状态下的强度条件是建立在试验基础上的，相对比较简单。
图9.1
图9.2
从主应力角度考虑，复杂应力状态单元体的3个主应力可以
有无限多个组合，因此，要想重现实际中遇到的各种复杂应
力状态并不容易。同时，进行复杂应力状态试验的设备和试 件加工相当复杂，因此，要想通过直接试验来建立复杂应力 状态下的强度条件实际上是不行的，需要寻找新的途径。
9.1.2强度理论的概念 为了解决问题，只能从简单应力状态的试验结果出发，推测材料破坏的主要 原因。构件在外力作用下，任意一点都有应力和变形，而且积蓄了应变能。 可以设想，材料的破坏与危险点的应力、应变或应变能等某个因素有关。从 长期的实践和试验数据中分析材料破坏的现象，进行推理，对材料破坏的原 因提出各种假说。这种假说认定材料的破坏是某一特定因素引起的，不论是 在简单应力状态还是在复杂应力状态下，都是由同一因素引起的破坏，所以 可以将简单应力状态下的试验结果与复杂应力状态下构件的破坏联系起来。 这样就建立了强度理论。 综合分析材料破坏的现象发现，材料破坏也遵循一定的规律，构件由于强度 不足所引起的失效主要有以下两种形式：
也比较多。
9.4莫尔强度理论 随着科学技术的进步和试验条件的改进，在上述4种常用 强度理论的基础上，又有其他的强度理论陆续被提出， 如莫尔强度理论、双剪强度理论等。其中，莫尔强度理 论比较典型，在工程中也得到了较为广泛的应用。
莫尔提出了极限应力圆的定义，即在
9.1强度理论概述
9.1.1引言
构件发生轴向拉（压）、扭转和纯弯曲变形时，危险点处于单向应力状态或 纯剪切应力状态，相应的强度条件为
式中σ °和
°——分别表示材料在轴向拉（压）和纯剪切时的极限应力
，其值是通过试验测定。
可见，简单应力状态下的强度条件是建立在试验基础上的，相对比较简单。
图9.1
图9.2
从主应力角度考虑，复杂应力状态单元体的3个主应力可以
有无限多个组合，因此，要想重现实际中遇到的各种复杂应
力状态并不容易。同时，进行复杂应力状态试验的设备和试 件加工相当复杂，因此，要想通过直接试验来建立复杂应力 状态下的强度条件实际上是不行的，需要寻找新的途径。
9.1.2强度理论的概念 为了解决问题，只能从简单应力状态的试验结果出发，推测材料破坏的主要 原因。构件在外力作用下，任意一点都有应力和变形，而且积蓄了应变能。 可以设想，材料的破坏与危险点的应力、应变或应变能等某个因素有关。从 长期的实践和试验数据中分析材料破坏的现象，进行推理，对材料破坏的原 因提出各种假说。这种假说认定材料的破坏是某一特定因素引起的，不论是 在简单应力状态还是在复杂应力状态下，都是由同一因素引起的破坏，所以 可以将简单应力状态下的试验结果与复杂应力状态下构件的破坏联系起来。 这样就建立了强度理论。 综合分析材料破坏的现象发现，材料破坏也遵循一定的规律，构件由于强度 不足所引起的失效主要有以下两种形式：
也比较多。
9.4莫尔强度理论 随着科学技术的进步和试验条件的改进，在上述4种常用 强度理论的基础上，又有其他的强度理论陆续被提出， 如莫尔强度理论、双剪强度理论等。其中，莫尔强度理 论比较典型，在工程中也得到了较为广泛的应用。
莫尔提出了极限应力圆的定义，即在
材料力学课件 第9章 强度理论
18
第九章 强度理论
首页
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例题 一铸铁构件 bL= 400MPa， by= 1200MPa，一平面应力状
态点按莫尔强度理论屈服时，最大剪应力为450MPa，试求该点
的主应力值。 M
[ y]
P
O2 3
解：做莫尔理论分析图
KL
sinO2M O1L
oN
O3 O1 1 [ L]
O1O2
by
首页
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例题 某铸铁构件危险点的应力如图所示，若许用拉应力
[ ] 30MPa ，试校核其强度。
y 20MPa
解 由图可知，x与y截面的应力为
10MPa x
15MPa
x 10MPa, x 15MPa, y 20MPa
计算最大正应力与最小正应力，得到
max m in
26.2MPa 16.2MPa
密度值，材料即发生屈服。
ud max uds
ud
1
6E
1 2 2 2 3 2 3 1 2
1）破坏判据： 2）强度准则
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
s
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
3）实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。
10
第九章 强度理论
即主应力为： 1 26.2MPa, 2 0, 3 16.2MPa
上式中主应力 3 虽为压应力，但其绝对值小于主应力 1 所以，宜采用
最大拉应力理论校核强度，显然有1
[
]
说明该构件满足强度要求。
11
第九章 强度理论
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薄壁圆筒实例
承压薄壁圆筒应力分析 承压薄壁圆筒强度条件 例题
2018/10/11
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13
薄壁圆筒实例
2018/10/11
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14
承压薄壁圆筒应力分析
横与纵截面上均存在的正应力，对于 薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布
轴向应力
第九章 复杂应力状态强度问题
§1 引言 §2 关于断裂的强度理论 §3 关于屈服的强度理论 §4 强度理论的应用
§5 承压薄壁圆筒强度计算
2018/10/11
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1
§3 关于屈服的强度理论
最大切应力理论
畸变能理论
试验验证
2018/10/11
武汉体育学院体育工程与信息技术系
2
s max s 0 s 0 2 2 1 2 2 2 2 2 s s 4 s min
s1 1 2 2 s s 4 s3 2 塑性材料：
s2 0
s r3 s 2 4 2 [s ]
s r4 s 2 3 2 [s ]
M max M max h 133.3 MPa [s ] Wz 2I z
[
]
采用第三强度理论
[ ] 0.5[s ] 80 MPa
2018/10/11
max [ ]
11
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例 题
3. 腹板翼缘交界处强度校核
M max h d 119.5 MPa Iz 2 F max b 2 F max bd ( h d ) 2 46.4 MPa a h h 2d 8I zt 2I zt
2 D FR p
4
pD 2 1 sx 4 Dd
2018/10/11
sx
pD 4d
15
武汉体育学院体育工程与信息技术系
承压薄壁圆筒应力分析
周向应力
2s t (1d ) p(1 D ) 0
pD st 2d
1
径向应力
s r max p
s r max p 2d st pD D 2d
谢谢
2018/10/11 武汉体育学院体育工程与信息技术系 23
2018/10/11
武汉体育学院体育工程与信息技术系
8
纯剪切许用应力
s r3 s 2 4 2 [s ]
s r4 s 2 3 2 [s ]
纯剪切情况下（s= 0）
塑性材料:
s r3 2 [s ] [s ]
2 [s ] [ ] 2
s r4 3 [s ]
强度条件
s r,3 s 1 s 3 [s ]
s1 , s3 － 构件危险点处的工作应力 [s] － 材料单向拉伸时的许用应力
2018/10/11 武汉体育学院体育工程与信息技术系 3
畸变能理论-第四强度理论
理论要点 引起材料屈服的主要因素－畸变能, 其密度为 vd 不论材料处于何种应力状态，当 时, 材料屈服 1 s 1 s 2 2 s 2 s 3 2 s 3 s 1 2 vd
解：1. 应力分析
st
pD 2d
sx
pD 4d
pD t 2M D 2d 2d
s max s x s t s x s t 2 2 3 17 pD 2 2 t 8 d s min s 1 3 17 pD s2 0 8 d s3
max (s 1 s 低碳钢,三向等拉， ,断裂 3)/ 2 0
低碳钢，低温断裂
2018/10/11 武汉体育学院体育工程与信息技术系 7
一种常见应力状态的强度条件
单向、纯剪切联合作用
s max s x s y s x s y 2 x 2 2 s min
2
最大切应力理论-第三强度理论
理论要点 引起材料屈服的主要因素－最大切应力 max 不论材料处于何种应力状态，当
max s ,单拉
时, 材料屈服 s s3 max 1
2
s s,单拉
s s 0 s s
2 2
s 1 s 3 s s －材料的屈服条件
pDl 1 2 4dE
2018/10/11
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19
习题： 1.教材：9－5、19、22
2018/10/11
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精品课件！
2018/10/11 武汉体育学院体育工程与信息技术系 21
精品课件！
2018/10/11 武汉体育学院体育工程与信息技术系 22
5
§4 强度理论的应用
强度理论的选用
一种常见应力状态的强度条件 纯剪切许用应力 例题
2018/10/11
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6
强度理论的选用
一般情况 脆性材料：抵抗断裂的能力 < 抵抗滑移的能力 塑性材料：抵抗滑移的能力 < 抵抗断裂的能力 第一与第二强度理论，一般适用于脆性材料 第三与第四强度理论，一般适用于塑性材料 全面考虑 材料的失效形式，不仅与材料性质有关，且 与应力状态形式、温度与加载速率等有关
vd vds ,单拉
[ 6E
]
vds,单拉
1 2 ss 3E
1 2
s 1 s 2 2 s 2 s 3 2 s 3 s 1 2 s s －屈服条件
s r4
1 2
强度条件
s 1 s 2 2 s 2 s 3 2 s 3 s 1 2 [s ]
s1 , s2 , s3 － 构件危险点处的工作应力 [s] － 材料单向拉伸时的许用应力
2018/10/11 武汉体育学院体育工程与信息技术系 4
试验验证
钢、铝 二向屈 服试验
最大切应力理 论与畸变能理 论与试验结果 均相当接近， 后者符合更好
2018/10/11
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sa
[
]
如采用第三强度理论
s r3 s a2 4 a2 151.3 MPa [s ]
4. 讨论
对短而高薄壁截面梁, 除应校核smax作用处的强度 外,还应校核max作用处, 及腹板翼缘交界处的强度
2018/10/11
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12
§7 承压薄壁圆筒的强度计算
解：1. 问题分析
危险截面－截面C+
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FS max 140 kN, M max 5.6 104 N m
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例 题
危险点：横截面上下边缘；中性轴处； 腹板翼缘交界处 2. smax与max作用处强度校核
s max
F max 2 2 max bh b t h 2d 63.1 MPa 8I zt
pD 4d
s3 0
脆性材料：
s r1
s r2
pD 2 [s ] 4d
塑性材料：
s r3
s r4
3 pD [s ] 4d
2018/10/11
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17
例 题
例5-1 已知: [s], E, , M D3p/4。 按第三强度理论建立筒体强度条件 计算筒体轴向变形
d D / 20 s r 一般忽略不计
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承压薄壁圆筒强度条件
st
pD 2d
sx
pD 4d
s r max p
仅适用于的d D / 20 薄壁圆筒
强度条件
s 1 s t
pD 2d
s 2 s x
pD [s ] 2d pD [s ] 2d
[s ] 3 [s ] [ ] 3
[ ] 0.5 ~ 0.577[s ]
2018/10/11
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9
例 题
例4-1 钢梁, F=210 kN, [s] = 160MPa, h = 250 mm, b = 113 mm, t =10mm, d = 13mm, Iz = 5.2510-5 m4, 校核强度
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例 题
2. 强度分析
s 1 3 17 pD 8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d s3
s2 0
17 pD [s ] 4d
s r3 s 1 s 3
3. 轴向变形分析
x 1 s x s t
E
l x
l x x l l s x s t E
承压薄壁圆筒应力分析 承压薄壁圆筒强度条件 例题
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薄壁圆筒实例
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承压薄壁圆筒应力分析
横与纵截面上均存在的正应力，对于 薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布
轴向应力
第九章 复杂应力状态强度问题
§1 引言 §2 关于断裂的强度理论 §3 关于屈服的强度理论 §4 强度理论的应用
§5 承压薄壁圆筒强度计算
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1
§3 关于屈服的强度理论
最大切应力理论
畸变能理论
试验验证
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2
s max s 0 s 0 2 2 1 2 2 2 2 2 s s 4 s min
s1 1 2 2 s s 4 s3 2 塑性材料：
s2 0
s r3 s 2 4 2 [s ]
s r4 s 2 3 2 [s ]
M max M max h 133.3 MPa [s ] Wz 2I z
[
]
采用第三强度理论
[ ] 0.5[s ] 80 MPa
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max [ ]
11
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例 题
3. 腹板翼缘交界处强度校核
M max h d 119.5 MPa Iz 2 F max b 2 F max bd ( h d ) 2 46.4 MPa a h h 2d 8I zt 2I zt
2 D FR p
4
pD 2 1 sx 4 Dd
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sx
pD 4d
15
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承压薄壁圆筒应力分析
周向应力
2s t (1d ) p(1 D ) 0
pD st 2d
1
径向应力
s r max p
s r max p 2d st pD D 2d
谢谢
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2018/10/11
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8
纯剪切许用应力
s r3 s 2 4 2 [s ]
s r4 s 2 3 2 [s ]
纯剪切情况下（s= 0）
塑性材料:
s r3 2 [s ] [s ]
2 [s ] [ ] 2
s r4 3 [s ]
强度条件
s r,3 s 1 s 3 [s ]
s1 , s3 － 构件危险点处的工作应力 [s] － 材料单向拉伸时的许用应力
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畸变能理论-第四强度理论
理论要点 引起材料屈服的主要因素－畸变能, 其密度为 vd 不论材料处于何种应力状态，当 时, 材料屈服 1 s 1 s 2 2 s 2 s 3 2 s 3 s 1 2 vd
解：1. 应力分析
st
pD 2d
sx
pD 4d
pD t 2M D 2d 2d
s max s x s t s x s t 2 2 3 17 pD 2 2 t 8 d s min s 1 3 17 pD s2 0 8 d s3
max (s 1 s 低碳钢,三向等拉， ,断裂 3)/ 2 0
低碳钢，低温断裂
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一种常见应力状态的强度条件
单向、纯剪切联合作用
s max s x s y s x s y 2 x 2 2 s min
2
最大切应力理论-第三强度理论
理论要点 引起材料屈服的主要因素－最大切应力 max 不论材料处于何种应力状态，当
max s ,单拉
时, 材料屈服 s s3 max 1
2
s s,单拉
s s 0 s s
2 2
s 1 s 3 s s －材料的屈服条件
pDl 1 2 4dE
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习题： 1.教材：9－5、19、22
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精品课件！
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5
§4 强度理论的应用
强度理论的选用
一种常见应力状态的强度条件 纯剪切许用应力 例题
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强度理论的选用
一般情况 脆性材料：抵抗断裂的能力 < 抵抗滑移的能力 塑性材料：抵抗滑移的能力 < 抵抗断裂的能力 第一与第二强度理论，一般适用于脆性材料 第三与第四强度理论，一般适用于塑性材料 全面考虑 材料的失效形式，不仅与材料性质有关，且 与应力状态形式、温度与加载速率等有关
vd vds ,单拉
[ 6E
]
vds,单拉
1 2 ss 3E
1 2
s 1 s 2 2 s 2 s 3 2 s 3 s 1 2 s s －屈服条件
s r4
1 2
强度条件
s 1 s 2 2 s 2 s 3 2 s 3 s 1 2 [s ]
s1 , s2 , s3 － 构件危险点处的工作应力 [s] － 材料单向拉伸时的许用应力
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试验验证
钢、铝 二向屈 服试验
最大切应力理 论与畸变能理 论与试验结果 均相当接近， 后者符合更好
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sa
[
]
如采用第三强度理论
s r3 s a2 4 a2 151.3 MPa [s ]
4. 讨论
对短而高薄壁截面梁, 除应校核smax作用处的强度 外,还应校核max作用处, 及腹板翼缘交界处的强度
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§7 承压薄壁圆筒的强度计算
解：1. 问题分析
危险截面－截面C+
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FS max 140 kN, M max 5.6 104 N m
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例 题
危险点：横截面上下边缘；中性轴处； 腹板翼缘交界处 2. smax与max作用处强度校核
s max
F max 2 2 max bh b t h 2d 63.1 MPa 8I zt
pD 4d
s3 0
脆性材料：
s r1
s r2
pD 2 [s ] 4d
塑性材料：
s r3
s r4
3 pD [s ] 4d
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例 题
例5-1 已知: [s], E, , M D3p/4。 按第三强度理论建立筒体强度条件 计算筒体轴向变形
d D / 20 s r 一般忽略不计
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承压薄壁圆筒强度条件
st
pD 2d
sx
pD 4d
s r max p
仅适用于的d D / 20 薄壁圆筒
强度条件
s 1 s t
pD 2d
s 2 s x
pD [s ] 2d pD [s ] 2d
[s ] 3 [s ] [ ] 3
[ ] 0.5 ~ 0.577[s ]
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例 题
例4-1 钢梁, F=210 kN, [s] = 160MPa, h = 250 mm, b = 113 mm, t =10mm, d = 13mm, Iz = 5.2510-5 m4, 校核强度
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例 题
2. 强度分析
s 1 3 17 pD 8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d s3
s2 0
17 pD [s ] 4d
s r3 s 1 s 3
3. 轴向变形分析
x 1 s x s t
E
l x
l x x l l s x s t E