初中数学人教版八年级上册:第12章《全等三角形》全章教案

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(精)人教版数学八年级上册《全等三角形》全单元教案

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第十二章《全等三角形》单元备课一、教课剖析1、内容剖析:本章主要内容是学习全等三角形的观点、性质以及判断方法,应用全等三角形的性质和判断研究角均分线的性质,能够应用全等三等三角形的性质和判断以及角均分线的性质解决简单的几何老是,初步掌握推理证明的方法。

2、教材剖析:学生已经学过线段、角、订交线、平行线、相关三角形的一些知识,经过本章的学习能够丰富和加深学生对已学图形的认识,同时为学习其余图形打好基础,教材力争创建与生活场景邻近的、风趣的问题情境引入,使学生经历了从现实生活研究并抽象出几何模型,并应用几何模型解决实质问题的过程,在内容上重点研究三角形全等的判断方法经及应用,至于角均分线的改天换地的两上互逆定理,只需修业生认识其条件与结论之间的关系,不用介绍互逆定理的观点,经过联合详细问题,使学生理解证明的基本过程,初步掌握推理、证明的正确的方法是本章的难点,初步培育学生的推理能力。

二、教科书内容和课程学习目标(一)本章知识结构框图:(二)本章的学习目标:1.认识全等三角形的观点和性质,能够正确地辨识全等三角形中的对应元素。

2.研究三角形全等的判断方法,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式。

3.利用尺规作图作一个角等于已知角、作一个角的角均分线。

4、经历角均分线的性质和判断方法的研究过程,灵巧应用角均分线的性质和判断解决问题 .三、本章教课建议(一)着重研究结论(二)着重推理能力的培育1.注意减缓坡度,顺序渐进。

2.在不一样的阶段,安排不一样的练习内容,突出一个重点,每个阶段都提出明确要求,便于教师掌握。

3.着重剖析思路,让学生学会思虑问题,着重书写格式,让学生学会清楚地表达思虑的过程。

(三)着重联系实质三、几个值得关注的问题(一)对于内容之间的联系(二)对于证明一般状况下,证明一个几何中的命题有以下步骤:(1 )明确命题中的已知和求证;(2 )依据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;(3 )经过剖析,找出由已知推出求证的门路,写出证明过程。

初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十二章 全等三角形全等三角形 教案

初中数学人教八年级上册(2023年更新)第十二章 全等三角形全等三角形  教案

全等三角形的判定复题课教学目标:熟练运用适当的方法判定两三角形全等通过探究与交流培养学生几何逻辑思维能力让学生感受和发现数学中的几何图形直观美教学重点:能够判定两个三角形的全等教学难点:能够利用条件熟练的应用适当的方法迅速的解题教学过程:教学环节、内容、步骤师生互动策划备注(活动目的)教师活动学生活动引入展导知识梳理:引导学生复习全等三角形的判定方法1、通常用于判定两三角形全等的一般方法有方法有种,分别简记为____,______,____ ,____2、对于直角三角形(即Rt△),除了一般方法外:当两直角三角形有一组斜边和直角边分别相等时,两三角形______,简记______。

3、全等三角形的______相等,______相等。

回顾旧知,为后面的学习埋下伏笔主题展导1.合作探究2.学生展评证明全等三角形全等的基本思路:一、挖掘“隐含条件”判全等引导学生总结:公共边,公共角,对顶角这些都是隐含的边,角相等的条件思考:(1)已知两边:SSS, SAS, HL(2)已知两角:ASA, AAS(3)已知一边一角:SAS, ASA,AAS, HL1.如图(1),AB=CD,AC=BD,则△ABC≌△DCB吗?说说理由2.如图(2),点D在AB上,点E在AC上,CD与BE相交于点O,且AD=AE,AB若∠B=20°,CD=5cm,则∠C= __,BE=__,说说理由.3.如图(3),AC与BD相交于O,若OB=OD,∠A=∠C,若AB=3cm,则CD= __. 说说理由.学生通过自己探讨获得新知,使学生成为学习的主体,使学生学会学习,交流与合作。

3. 教师指导4. 反馈练习5.拓展延伸二、熟练转化“间接条件”判全等引导学生总结:等量加等量和相等,等量减等量差相等,都是用来间接找边和角相等的方法!5,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,试说明:BF=CF.能力提升:如图,在△ABC中, AC=BC,∠ACB=90°, ∠CAB的角平分线AE交边CB于E点,过E点作EF⊥AB于F,已知AB等于10㎝,求△EFB的周长?课后闯关: 略4.如图在△ABC、△ADE中∠B=∠D,AC=AE, 且∠CAE=∠BAD,1.独立思考2.小组讨论3.展示成果1.独立思考2.小组讨论3.展示成果略在教师的指导下主动构建知识的过程。

八年级数学上册第12章《全等三角形》全章教案(人教版)

八年级数学上册第12章《全等三角形》全章教案(人教版)

第12章:全等三角形12.1全等三角形1.了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素.(重点)2.理解并掌握全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等.(重点)3.能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边.(难点)一、情境导入在我们的周围,经常可以看到形状、大小完全相同的图形,这类图形在几何学中具有特殊的意义.观察下列图案,指出这些图案中形状与大小相同的图形.你能再举出一些例子吗?二、合作探究探究点一:全等形和全等三角形的概念及对应元素【类型一】全等形的认识2013年第十二届全运会在辽宁举行,下图中的图形是全运会的会徽,其中是全等形的是()A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)解析:根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断.由此可以判断选项D是正确的.方法总结:判断两个图形是不是全等形,可以通过平移、翻折、旋转等方法,将两个图形叠合起来观察,看其是否能完全重合,有时还可以借助网格背景来观察比较.【类型二】全等三角形的对应元素如图,若△BOD≌△COE,∠B=∠C,指出这两个全等三角形的对应边;若△ADO≌△AEO,指出这两个三角形的对应角.解析:结合图形进行分析,分别写出对应边与对应角即可.C E;ADO与△AEO的对应解:BOD与△COE的对应边为:BO与CO,OD与OE,BD与△△角为:∠DAO与∠EAO,∠ADO与∠AEO,∠AOD与∠AOE.方法总结:找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形,另外记全等三角形时,对应顶点要写在对应的位置上,这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了.探究点二:全等三角形的性质【类型一】应用全等三角形的性质求三角形的角或边如图,△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,求∠DEF的度数和CF的长.解析:根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF的度数和CF的长.解:∵△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,∴∠D EF=∠B=50°,BC=EF=7,∴CF=BC-BF=7-4=3.方法总结:本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长,解决问题的关键是准确识别图形.【类型二】全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用如图,△ABC≌△ADE,∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,求∠ACB 的度数.解析:根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=2∠CAB+10°=120°,即∠CAB=55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数.解:∵ABC≌△ADE,∴∠CAB=∠EAD.∵∠EAB=120°,∠CAD=10°,∴∠EAB=∠EAD △+∠CAD+∠CAB=2∠CAB+10°=120°,∴∠C AB=55°.∵∠B=∠D=25°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠B=180°-55°-25°=100°,即∠ACB的度数是100°.方法总结:本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查,解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来.三、板书设计全等三角形1.全等形与全等三角形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等形;能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质:全等三角形的对应角、对应边相等.“首先展示全等形的图片,激发学生兴趣,从图中总结全等形和全等三角形的概念.最后 总结全等三角形的性质,通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理.通过实例 熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题.12.2三角形全等的判定第 1 课时 “边边边”1.了解三角形的稳定性,会应用“边边边”判定两个三角形全等.(重点)2.经历探索“边边边”判定全等三角形的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的 过程.(重点)3.在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索.(难点)一、情境导入问题提出:一块三角形的玻璃损坏后,只剩下如图①所示的残片,你对图中的残片作哪 些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃,与同伴交流.学生活动:观察,思考,回答教师的问题.方法如下:可以将图①的玻璃碎片放在一块纸板上,然后用直尺和铅笔或水笔画出一块 完整的三角形.如图②,剪下模板就可去割玻璃了.如果△ABC ≌ △A ′B ′△C ′,那么它们的对应边相等,对应角相等.反之,如果 ABC 与 △A ′B ′C ′满足三条边对应相等,三个角对应相等,即 AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,CA = C ′A ′,∠A =∠A ′,∠B =∠B ′,∠C =∠△C ′这六个条件,就能保证 ABC ≌ △A ′B ′C ′. 从刚才的实践我们可以发现:只要两个三角形三条对应边相等,就可以保证这两块三角形全 等.这种说法对吗?二、合作探究探究点:三角形全等的判定方法——“边边边”【类型一】 利用 SSS ”判定两个三角形全等 如图,AB =DE ,AC =DF ,点 E 、C 在直线 BF 上,且 BE =CF △.求证: ABC ≌△DEF .“解析:已知△ABC与△DEF有两边对应相等,通过BE=CF可得BC=EF,即可判定△ABC≌△DEF.⎧⎪BC=EF,证明:∵BE=CF,∴BE+EC=EC+CF,即BC=EF△.在ABC和△DEF中,∵⎨AB=DE,∴⎪⎩AC=DF,△ABC≌△DEF(SSS).方法总结:判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.【类型二】SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算如图所示,△ABC是一个风筝架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证:AD⊥BC.解析:要证AD⊥BC,根据垂直定义,需证∠1=∠2,∠1=∠2△可由ABD≌△ACD证得.⎧⎪AB=AC,证明:∵D是BC的中点,∴BD=CD△.在ABD和△ACD中,∵⎨BD=△C D,∴ABD≌△⎪⎩AD=AD,ACD(SSS),∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).∵∠1+∠2=180°,∴∠1=∠2=90°,∴AD⊥BC(垂直定义).方法总结:将垂直关系转化为证两角相等,利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用.【类型三】利用“边边边”进行尺规作图已知:如图,线段a、b、c△.求作:ABC,使得BC=a,AC=b,AB=c.(保留作图痕迹,不写作法)解析:首先画AB=c,再以B为圆心,a为半径画弧,以A为圆心,b为半径画弧,两弧交于一点C,连接BC,AC,即可得到△ABC.△解:如图所示, ABC 就是所求的三角形.方法总结:关键是掌握基本作图的方法,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.【类型四】 利用“SSS ”解决探究性问题如图,AD =CB ,E 、F 是 AC 上两动点,且有 DE =BF .(1)若 E 、F 运动至图①所示的位置,且有 AF =△C E ,求证: ADE ≌△CBF . (2)若 E 、F 运动至图②所示的位置,仍有 AF =△C E ,那么 ADE ≌△CBF 还成立吗?为什 么?(3)若 E 、F 不重合,AD 和 CB 平行吗?说明理由.解析:(1)因为 AF =CE ,可推出 AE =CF ,所以可利用 SSS 来证明三角形全等;(2)同样利用三边来证明三角形全等;(3)因为全等,所以对应角相等,可推出 AD ∥CB .⎧⎪AD =CB ,解:(1)∵AF =CE ,∴AF +EF =CE +EF ,∴AE =CF △.在 ADE 和△CBF 中,∵⎨DE =BF ,∴⎪⎩AE =CF ,△ADE ≌△CBF .⎧⎪AD =CB ,(2)成立.∵AF =CE ,∴AF -EF =CE -EF ,∴AE =CF △.在 ADE 和△CBF 中,∵⎨DE =BF ,⎪⎩AE =CF ,∴△ADE ≌△CBF .(3)平行.∵△ADE ≌△CBF ,∴∠A =∠C ,∴AD ∥BC .方法总结:解决本题要明确无论 E 、F 如何运动,总有两个三角形全等,这个在图形中 要分清.三、板书设计边边边1.三边分别相等的两个三角形全等.简记为“边边边”或“SSS ”. 2.“边边边”判定方法可用几何语言表示为:⎧⎪AB =A 1B 1,在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中,∵⎨BC =B 1C 1,∴△ABC ≌ △A 1B 1C 1(SSS). ⎪⎩AC =A C ,1 1“A D F B本节课从操作探究活动入手,有效地激发了学生的学习积极性和探究热情,提高了课堂的教学效率,促进了学生对新知识的理解和掌握.从课堂教学的情况来看,学生对“边边边”掌握较好,达到了教学的预期目的.存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难,不知道如何添加合理的辅助线,还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练.第2课时“边角边”1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”.(重点)2.能运用“边角边”判定方法解决有关问题.(重点)3.“边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找.(难点)一、情境导入小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了,他想画一个与原来完全一样的三角形,他该怎么办?请你帮助小伟想一个办法,并说明你的理由.想一想:要画一个三角形与小伟画的三角形全等,需要几个与边或角的大小有关的条件?只知道一个条件(一角或一边)行吗?两个条件呢?三个条件呢?让我们一起来探索三角形全等的条件吧!二、合作探究探究点一:应用“边角边”判定两三角形全等【类型一】利用SAS”判定三角形全等如图,、、、在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC△.求证:AEF≌△BCD.解析:由AE∥BC,根据平行线的性质,可得∠A=∠B,由AD=BF可得AF=BD,又AE =BC,根据SAS,即可证得△AEF≌△BCD.⎧⎪AE=BC,证明:∵AE∥BC,∴∠A=∠B.∵AD=BF,∴AF=BD△.在AEF和△BCD中,∵⎨∠A=∠B,⎪⎩AF=BD,∴△AEF≌△BCD(SAS).方法总结:判定两个三角形全等时,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.【类型二】“边边角”不能证明三角形全等下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF的是()A.AB=DE,∠B=∠E,BC=EFB.AB=DE,∠A=∠D,AC=DFC.BC=EF,∠B=∠E,AC=DFD.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF解析:要判断能不能使△ABC≌△DEF,应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角,只有选项C的条件不符合,故选C.方法总结:判断三角形全等时,注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等.解题时要根据已知条件的位置来考虑,只具备SSA时是不能判定三角形全等的.探究点二:全等三角形判定与性质的综合运用【类型一】利用全等三角形进行证明或计算已知:如图,BC∥EF,BC=BE,AB=FB,∠1=∠2,若∠1=45°,求∠C的度数.解析:利用已知条定方法可证明件易证∠ABC=∠FBE,再根据全等三角形的判△ABC≌△FBE,由全等三角形的性质即可得到∠C=∠BEF.再根据平行,可得出∠BEF的度数,从而可知∠C的度数.⎧⎪BC=BE,解:∵∠1=∠2,∴∠ABC=∠FBE△.在ABC和△FBE中,∵⎨∠ABC=∠FBE,∴△ABC⎪⎩AB=FB,≌△FBE(SAS),∴∠C=∠BEF.又∵BC∥EF,∴∠C=∠BEF=∠1=45°.方法总结:全等三角形是证明线段和角相等的重要工具.【类型二】全等三角形与其他图形的综合如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.求证:(1)AE=CG;(2)AE⊥CG.解析:(1)因为已知条件中有两个正方形,所以AD=CD,DE=DG,它们的夹角都是∠ADG加上直角,可得夹角相等,所以△ADE△和CDG全等;(2)再利用互余关系可以证明AE⊥CG.证明:(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形,∴AD=CD,GD=ED.∵∠CDG=90°+∠ADG,⎧⎪AD =CD ,∠ADE =90°+∠ADG ,∴∠CDG =∠ADE △.在 ADE 和△CDG 中,∵⎨∠ADE =∠CDG ,∴△ADE⎪⎩DE =GD ,≌△CDG (SAS),∴AE =CG ;(2)设 AE 与 DG 相交于 M ,AE 与 CG 相交于 △N ,在 GMN 和△DME 中,由(1)得∠CGD =∠AED , 又∵∠GMN =∠DME ,∠DEM +∠DME =90°,∴∠CGD +∠GMN =90°,∴∠GNM =90°,∴AE ⊥CG .三、板书设计边角边1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为“边角边”或“SAS ”. 2.“边角边”判定方法可用几何语言表示为:⎧⎪AB =A 1B 1,在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中,∵⎨∠B =∠B △1,∴ ABC ≌ △A 1B 1C 1(SAS). ⎪⎩BC =B C ,1 13.“SSA ”不能判定两个三角形全等.本节课从操作探究入手,具有较强的操作性和直观性,有利于学生从直观上积累感性认 识,从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情,提高了课堂的教学效率,促进了学生 对新知识的理解和掌握.第 3 课时 “角边角”“角角边”1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”, 角角边”.(重点) 2.能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题.(重点)3.“角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻 找.(难点)一、情境导入如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带哪块去?学生活动:学生先自主探究出答案,然后再与同学进行交流.教师点拨:显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的,而仅仅带③则可以,为什么呢?本节课我们继续研究三角形全等的判定方法.二、合作探究探究点一:应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等【类型一】应用“ASA”判定两个三角形全等如图,AD∥BC,BE∥DF,AE=△C F,求证:ADF≌△CBE.解析:根据平行线的性质可得∠A=∠C,∠DFE=∠BEC,再根据等式的性质可得AF=CE,然后利用ASA可证明△ADF≌△CBE.证明:∵AD∥BC,BE∥DF,∴∠A=∠C,∠DFE=∠BEC.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∠A=∠C,⎧⎪即AF=CE△.在ADF和△CBE中,∵⎨AF=CE,∴△ADF≌△CBE(ASA).⎪⎩∠DFA=∠BEC,方法总结:在“ASA”中,包含“边”和“角”两种元素,是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等,应用时要注意区分;在“ASA”中,“边”必须是“两角的夹边”.【类型二】应用“AAS”判定两个三角形全等如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于E.AD与BE交于F,若BF=AC,求证:△ADC≌△BDF.解析:先证明∠ADC=∠BDF,∠DAC=∠DBF,再由BF=AC,根据AAS即可得出两三角形全等.证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BDF=∠BEA=90°.∵∠AFE=∠BFD,∠DAC+∠AEF+∠AFE=180°,∠BDF+∠BFD+∠DBF=180°,∴∠DAC=∠DBF△.在ADC和△BDF∠DAC=∠DBF,⎧⎪中,∵⎨∠ADC=∠BDF,∴△ADC≌△BDF(AAS).⎪⎩AC=BF,方法总结:在“AAS”中,“边”是“其中一个角的对边”.【类型三】灵活选用不同的方法证明三角形全等如图,已知AB=AE,∠BAD=∠CAE,要使△ABC≌△AED,还需添加一个条件,这个条件可以是______________.解析:由∠BAD=∠CAE得到∠BAC=∠EAD,加上AB=AE,所以当添加∠C=∠D时,根据“AAS”可判断△ABC≌△AED;当添加∠B=∠E时,根据“ASA”可判断△ABC≌△AED;当添加AC=AD时,根据“SAS”可判断△ABC≌△AED.方法总结:判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.探究点二:运用全等三角形解决有关问题已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E△.求证:(1)BDA≌△AEC;(2)DE=BD+CE.解析:(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由AB=AC,利用AAS即可得证;(2)△由BDA≌△AEC,可得BD=AE,AD=EC,根据DE=DA+AE等量代换即可得证.证明:(1)∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°.∵AB⊥AC,∠ADB=∠CEA=90°,⎧⎪∴∠BAD+∠CAE=90°,∴∠ABD=∠CAE△.在BDA和△AEC中,∵⎨∠ABD=∠CAE,⎪⎩AB=AC,∴△BDA≌△AEC(AAS);(2)∵△BDA≌△AEC,∴BD=AE,AD=CE,∴DE=DA+AE=BD+CE.方法总结:利用全等三角形可以解决线段之间的关系,比如线段的相等关系、和差关系等,解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化.三、板书设计“角边角”“角角边”1.角边角:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA”.2.角角边:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为“角角边”或“AAS”.3.三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法.本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法.在寻找判定⎧⎪BF =CE ,⎩方法证明两个三角形全等的条件时,可先把容易找到的条件列出来,然后再根据判定方法去 寻找所缺少的条件.从课堂教学的情况来看,学生对“角边角”掌握较好,达到了教学的预 期目的.存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA ”的选择上混淆不清,还需要在今后 的教学中进一步加强巩固和训练.第 4 课时 “斜边、直角边”1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”.(重点)2.经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程,能运用“斜边、直角边”判定方法解 决有关问题.(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每 个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(1)你能帮他想个办法吗?(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是 他就肯定“两个直角三角形是全等的”,你相信他的结论吗?二、合作探究探究点一:应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图,已知∠A =∠D =90°,E 、F 在线段 BC 上,DE 与 AF 交于点 O ,且 AB =CD ,BE =CF .求证:△R t ABF ≌△R t DCE .解析:由题意可得△ABF △与 DCE 都为直角三角形,由 BE =CF 可得 BF =CE ,然后运用“HL ”即可判定 △R t ABF 与 △R t DCE 全等.证明:∵BE =CF ,∴BE +EF =CF +EF ,即 BF =CE .∵∠A =∠D =△90°,∴ ABF 与△DCE都为直角三角形.在 △R tABF 和 Rt △DCE 中,∵⎨⎪AB =CD ,∴△R t ABF ≌△R t DCE (HL).方法总结:利用“HL ”判定三角形全等,首先要判定这两个三角形是直角三角形,然后 找出对应的斜边和直角边相等即可.⎧⎪AB=AD,AC=AC,⎩探究点二:“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】利用“HL”判定线段相等如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE.求证:BC=BE.解析:根据“HL”证△R t ADC≌△R t AFE,得CD=EF,再根据“HL”证△R t ABD≌△R t ABF,得BD=BF,最后证明BC=BE.证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC=AE,∴△R t ADC ≌△R t AFE(HL).∴CD=EF.∵AD=AF,AB=AB,∴△R t ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.∴BD -CD=BF-EF.即BC=BE.方法总结:证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.【类型二】利用“HL”判定角相等或线段平行如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD,求证:∠1=∠2.解析:要证角相等,可先证明全等.即证△R t ABC≌△R t ADC,进而得出角相等.证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=△90°,∴ABC与△ACD为直角三角形.在Rt△ABC和△R t ADC中,∵⎨∴△R t ABC≌△R t ADC(HL),∴∠1=∠2.⎪方法总结:证明角相等可通过证明三角形全等解决.【类型三】利用“HL”解决动点问题如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等?解析:本题要分情况讨论:(1)Rt△APQ≌△R t CBA,此时AP=BC=5cm,可据此求出P点的⎪⎩PQ=AB,∴Rt△ABC≌△Rt QPA(HL),∴AP=BC=5cm;⎧⎪AP=AC,⎧⎪⎩“位置.(2)Rt△QAP≌△R t BCA,此时AP=AC,P、C重合.解:根据三角形全等的判定方法HL可知:(1)当P运动到AP=BC时,∵∠C=∠QAP=90°.在△R t ABC与△R t QPA中,∵⎨AP=BC,(2)当P运动到与C点重合时,AP=AC.在△R t ABC与△R t QPA中,∵⎨∴△R t QAP⎪PQ=AB,≌△R t BCA(HL),∴AP=AC=10cm,∴当AP=5cm或10cm时,△ABC才能和△APQ全等.方法总结:判定三角形全等的关键是找对应边和对应角,由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解.【类型四】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图,CD⊥AB于D点,BE⊥AC于E点,BE,CD交于O点,且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.解析:已知BE⊥AC,CD⊥AB可推出∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°,由AO平分∠BAC 可知∠1=∠2,然后根据AAS△证得AOD≌△AOE,根据ASA△证得BOD≌△COE,即可证得OB=OC.证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°.∵AO平分∠BAC,⎧⎪∠ADC=∠AEB,∴∠△1=∠2.在AOD和△AOE中,∵⎨∠1=∠2,⎪⎩OA=OA,⎧⎪∠BDC=∠CEB,∴△AOD≌△AOE(AAS).∴OD=OE△.在BOD和△COE中,∵⎨OD=OE,∴△BOD≌⎪⎩∠BOD=∠COE,△COE(ASA).∴OB=OC.方法总结:判定直角三角形全等的方法除“HL”外,还有:SSS、SAS、ASA、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1.斜边、直角边:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.2.方法归纳:(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”,除此之外,还可以选用“SAS”ASA”.两点,再分别以E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP,交CD “AAS”以及“SSS”(2)寻找未知的等边或等角时,常考虑转移到其他三角形中,利用三角形全等来进行证明.本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行.在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时,要让学生进行合作交流.在寻找未知的等边或等角时,常考虑将其转移到其他三角形中,利用三角形全等来进行证明.此外,还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.12.3角的平分线的性质第1课时角平分线的性质1.经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理.(重点)2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.(难点)一、情境导入问题:在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P点建两条路,一条到公路,一条到铁路.问题1:怎样修建道路最短?问题2:往哪条路走更近呢?二、合作探究探究点一:角平分线的作法如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F12于点M.若∠ACD=120°,求∠MAB的度数.知,AM是∠CAB的平分线,∴∠MAB=∠CAB=30°.⎧⎪DF=BD,⎧⎪CD=DE,⎩DE⎩解析:根据AB∥CD,∠ACD=120°,得出∠CAB=60°,再根据AM是∠CAB的平分线,即可得出∠MAB的度数.解:∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180°,又∵∠ACD=120°,∴∠CAB=60°,由作法12方法总结:通过本题要掌握角平分线的作图步骤,根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键.探究点二:角平分线的性质【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等如图:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.解析:(1)根据角平分线的性质,可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离,即CD=DE.再根据Rt△CDF≌△R t EDB,得CF=EB;(2)利用角平分线的性质证明△ADC△和ADE全等得到AC=AE,然后通过线段之间的相互转化进行证明.证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.∵在△R t DCF和△R tDEB中,∵⎨∴△R t CDF≌△R t EDB(HL).∴CF=EB;⎪DC=DE,(2)∵AD是∠BAC的平分线,⊥AB,DC⊥AC,∴CD=DE△.在ADC与△ADE中,∵⎨⎪AD=AD,∴△ADC≌△ADE(HL),∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.方法总结:角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等.【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,△SABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是()A.6B.5C.4D.3解析:过点D作DF⊥AC于F,∵AD△是ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DF=DE=2,∴△S ABC=×4×2+AC×2=7,解得AC=3.故选D.⎧⎪CD=CD,DE=DF,“⎩1122方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法.【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为E,F.求证:CE=CF.解析:由角平分线的性质可得DE=DF,再利用HL”证明Rt△CDE和△R t CDF全等,根据全等三角形对应边相等证明即可.证明:∵CD是∠ACG的平分线,DE⊥AC,DF⊥CG,∴DE=DF.在Rt△CDE和△R t CDF中,∵⎨∴△R t CDE≌△R t CDF(HL),∴CE=CF.⎪方法总结:全等三角形的判定离不开边,而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据,可作为判定三角形全等的条件.三、板书设计角平分线的性质1.角平分线的作法;2.角平分线的性质;3.角平分线性质的应用.本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题,需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.第2课时角平分线的判定1.掌握角平分线的判定定理.(重点)2.会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题.(难点)一、情境导入⎧⎪中新网和田2015年2月25日电,新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城.如图,某考古队为进行研究,寻找一座古城遗址.根据资料记载,该城在森林附近,到两条河岸的距离相等,到古塔的距离是3000m.根据这些资料,考古队很快找到了这座古城的遗址.你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗?请你试一试.(比例尺为1∶100000)二、合作探究探究点一:角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠BAC的平分线.解析:先判定△R t BDE和△R t CDF全等,得出DE=DF,再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线.证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE与△CDF 是直角三角形.在△R t BDE和△R t CDF中,∵⎨BE=CF,⎪⎩BD=CD,∴△R t BDE≌△R t CDF,∴DE=DF,∴AD是∠BAC的平分线.方法总结:证明一条射线是角平分线的方法有两种:一是利用三角形全等证明两角相等;二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.【类型二】角平分线性质和判定的综合如图所示,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,下面给出四个结论,①AD平分∠EDF;②AE=AF;③AD上的点到B、C两点的距离相等;④到AE、AF距离相等的点,到DE、DF的距离也相等.其中正确的结论有() A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC可得DE=DF,由此易得△ADE≌△ADF,故∠ADE =∠ADF,即①AD平分∠EDF正确;②AE=AF正确;角平分线上的点到角的两边的距离相等,AO ,BO ,CO 都是角平分线,所以有∠CBO =∠ABO = ∠ABC ,∠BCO =∠ACO = ∠ACB ,∠ABC +故③正确;∴④到 AE 、AF 距离相等的点,到 DE 、DF 的距离也相等正确;①②③④都正确.故选 D.方法总结:运用角平分线的性质或判定时,可以省去证明三角形全等的过程,可以直接 得到线段或角相等.【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题如图,已知:△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点 D .求证:AD 是∠BAC 的平分线.解析:分别过点 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ,垂足分别为 E 、F 、G ,然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知 DE =DG ,再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明.证明:分别过 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ,垂足分别为 E 、F 、G ,∵BD 平分∠CBE , DE ⊥BE ,DF ⊥BC ,∴DE =DF .同理 DG =DF ,∴DE =DG ,∴点 D 在∠EAG 的平分线上,∴AD 是 ∠BAC 的平分线.方法总结:在遇到角平分线的问题时,往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段,利 用角平分线的判定或性质解决问题.探究点二:三角形的内角平分线【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数在△ABC 中,点 O 是△ABC 内一点,且点 O 到△ABC 三边的距离相等.若∠A =40°,则∠BOC 的度数为( )A .110°B .120°C .130°D .140°解析:由已知,O 到三角形三边的距离相等,所以 O 是内心,即三条角平分线的交点,1 12 2∠ACB =180°-40°=140°,∠OBC +∠OCB =70°,∠BOC =180°-70°=110°,故选 A.。

第十二章 全等三角形【教案】八年级上册数学

第十二章  全等三角形【教案】八年级上册数学

一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“全等三角形”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.三角形的全等在初中几何中占有重要地位,是研究四边形、圆的基础模型.本单元的学习内容经历尺规作图的过程,通过所得三角形的唯一性确定全等判定的基本事实,并基于基本事实进行推理,让学生感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观和推理能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十二章“全等三角形”,本章包括三个小节:12.1全等三角形;12.2三角形全等的判定;12.3角的平分线的性质.“全等三角形”主题的主要内容是:认识全等三角形——研究全等三角形的判定方法——应用全等三角形得到角平分线的性质和判定.本单元通过对全等三角形概念的理解,基于概念对全等三角形性质的理解,以及在概念的依据下,通过减少条件探索全等三角形判定方法的过程中,培养学生的抽象能力,发展几何直观,体会数学的严谨性,培养推理能力.研究的逻辑主线是对图形形状、大小的直观感悟到用数量关系刻画图形特征.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十二章全等三角形,学生在前面学习了三角形的基础上,初步积累了关于三角形基本知识的认知经验,因此,在实际教学中应充分引导学生运用几何直观,培养学生的几何思维能力,在几何直观的基础上发展抽象能力和推理能力.四、单元学习目标1.经历全等形、全等三角形概念的形成过程,理解全等三角形的概念,培养初步的抽象能力.2.能识别全等三角形中的对应边与对应角,理解全等三角形的性质,形成几何直观,发展推理能力.3.经历探索三角形全等的判定过程,掌握基本事实SSS,SAS,ASA,并证明定理AAS,形成几何直观,发展抽象能力、推理能力.4.能用尺规作图:作一个角等于已知角;已知三边、两边及夹角、两角及夹边等作三角形;作已知角的平分线.理解尺规作图的基本原理.5.经历探索角平分线性质定理和判定定理的过程,经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,提升几何直观,发展推理能力.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

最新人教版八年级上册第12章《全等三角形》全章教案(共8份)

最新人教版八年级上册第12章《全等三角形》全章教案(共8份)

一、课前导学:(学生自学课本31-32页内容,并完成下列问题)(一)全等有关定义: 1、能够______________的两个图形叫做全等形, 能够______________的两个三角形叫做全等三角形,两个全等图形的______和_____ 完全相同.2、一个图形经过平移、______、_________后所得的图形与原图形全等.3、把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做 ,重合的边叫做 ,重合的角叫做 .“全等”用“ ”表示,读作 .4.若△ABC 与△DEF 全等,记作:_________________,(对应顶点的字母写在对应位置上)对应顶点有:点___和点___,点___和点___,点___和点___;对应角有:____和____,_____和_____,_____和_____; 对应边有:____和____,______和____,_____和_____.(二)全等三角形的性质:1.思考:全等三角形的对应边、对应角有什么关系?为什么?2.归纳:全等三角形的_________;全等三角形的___________.3.几何语言描述:∵△ABC ≌ △DEF (已知)∴ AB=DE,_____ ,______ (全等三角形的对应边相等) ∠ A=∠ D, _______ ,________ (________________ ) (三)找全等三角形的对应元素1. 若△ABC ≌△DBC , 2 若△ABC ≌△CDA ,对应边是_____________ , 对应边是_____________ ,对应角是_____________ ; 对应角是_____________ ;教 学 过 程 设 计B C E F A B CDBAB C E F【思考】:找全等三角形的对应元素时有什么规律呢?二、合作、交流、展示:(一) 交流展示1:找全等三角形对应元素1.如图,△OCA ≌△OBD ,C 和B ,A 和D 是对应顶点, 2.如图,△ABN ≌△ACM ,∠B和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边.写出这两个三角形中的对应边和对应角. 写出其他对应边及对应角.【归纳】:寻找全等三角形的对应元素的一般规律.(二).交流展示2: 全等三角形性质及其应用1.如图△EFG ≌△NMH,∠F 和∠M 是对应角.在△EFG 中,FG 是最长边. 在△NMH 中,MH 是最长边.EF=2.1㎝,EH=1.1㎝,HN=3.3㎝. (1)写出其他对应边及对应角.(2)求线段MN 及线段HG 的长.2.如图,△ABC ≌△DEC,CA 和CD,CB 和CE 是对应边.∠ACD 和∠BCE 相等吗?为什么?三、巩固与应用1. 课本第33页第3题;2. 课本第34页第6题;3. 如图,若△ABC ≌△DEF ,回答下列问题:(1)若△ABC 的周长为17 cm ,BC=6 cm ,DE=5 cm ,则DF = cm ; (2)若∠A =50°,∠E=75°,则∠ACB= 度.四、小结:1.知识: 2.思想方法: 五、作业:《作业本》第8页. 六、课后反思:N M CB ANMGH FEDCBEAF EDCB A DC B O一、课前导学:(学生自学课本35-37页内容,并完成下列问题)1.三角形全等条件的探究:两个三角形满足三边分别相等,三个角分别相等,则这两个三角形全等. 思考:判定两个三角形全等是否一定要六个条件?条件能否尽可能少呢?(动手画一画并回答下列问题) (1).只给一个条件:一组对应边相等(或一组对应角相等),•画出的两个三角形一定全等吗? (2).给出两个条件画三角形,有____种情形.按下面给出的两个条件,画出的两个三角形一定全等吗?①一组对应边相等和一组对应角相等 ②两组对应边相等 ③两组对应角相等 (3)、给出三个条件画三角形,有____种情形.按下面给出三个条件,画出的两个三角形一定全等吗?①三组对应角相等②三组对应边相等(按课本35页探究2画图实验)2.归纳三角形全等判定方法(1)归纳:三边对应相等的两个三角形 ,简写为“ ”或“ ”. 用数学语言表述: 在△ABC 和'''A B C ∆中,∵''AB A B AC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌ ( )教 学 过 程 设 计C 'B 'A 'C B AAB O3.运用“边边边”证明两个三角形全等:已知:如图,△ABC 是一个钢架,AB=AC ,AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架. 求证:△ABD ≌△ACD .证明:∵D 是BC∴ =∴在△ 和△ 中 AB= BD= AD=∴△ABD △ACD( )【温馨提示】:证明的书写步骤:①准备条件:证全等时需要用的间接条件要先证好;②证明三角形全等过程三步骤:A 、写出在哪两个三角形中,B 、摆出三个条件用大括号括起来,C 、写出全等结论. 二、合作、交流、展示:1.如图,点B 、E 、C 、F 在同一直线上,且AB=DE ,AC=DF ,BE=CF ,请将下面说明ΔABC ≌ΔDEF 的过程和理由补充完整. 解:∵BE=CF (_____________) ∴BE+EC=CF+EC 即BC=EF在ΔABC 和ΔDEF 中 AB=________ (________________)__________=DF (_______________) BC=__________∴ΔABC ≌ΔDEF (_____________)变式1:你能证明∠ A=∠ D 吗? 变式2;请你能提出几个要证明的结论?2.如图,已知AB=DE ,BC=EF ,AF=DC ,求证: EF ∥BC .3.已知:∠AOB. 求作:∠A ′O ′B ′ ,使∠A ′O ′B ′=∠AOB. 作法:1)以点___为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA ,____于点C ,D ; 2)画一条射线O ′A ′,以点___为圆心,___长为半径画弧,交__于点C ′; 3)以点C ′为圆心,____长为半径画弧,与第2步中所画的弧交于点D ′; 4)过点D ′画射线O ′B ′,则∠A ′O ′B ′=∠AOB. 三、巩固与应用:课本第37页第1、2题;四、小结:1.全等判定方法: 2.证明全等格式: 3.思想方法: 五、作业:《作业本》第9页. 六、课后反思:A B C D EF A B D EFC 'B 'A 'C B A一、课前导学:(学生自学课本37-39页内容,并完成下列问题) 1. 探究新知 探究一:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等? (1)动手试一试(请在右方空白处作图) 已知:△ABC求作:'''A B C ∆,使''A B AB =,''A C AC =,'A A ∠=∠ 作法:①画∠DA ’E=∠A ;②在射线AD ’上截取A ’B ’=AB,在射线A ’E 上截取A ’C ’=AC ; ③连接B ’C ’.(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上,观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完重合? (3)归纳;由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定(二):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 (可以简写成“ ”或“ ”) (4)用数学语言表述全等三角形判定(二) 在△ABC 和'''A B C ∆中,''AB A B B BC =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌ ( )2.探究二:两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等?通过画图或实验可以得出: 3 .运用“边角边”证明两个三角形全等:教 学 过 程 设 计证明:在△ABC 和△DEC 中,⎪⎩⎪⎨⎧==∠=CB CA 1 ∴ △ABC ≌ ( )∴ AB= . 【温馨提示】:证明的书写步骤:①准备条件:证全等时需要用的间接条件要先证好;②证明三角形全等过程三步骤:A 、写出在哪两个三角形中,B 、摆出三个条件用大括号括起来(按边-角—边)C 、写出全等结论.二、合作、交流、展示:1.如图1,已知AD ∥BC ,AD =CB ,求证:△ABC ≌△CDA 。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形全章教案

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形全章教案

12.1全等三角形教学目标:1了解全等形及全等三角形的的概念;2 理解全等三角形的性质3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念,培养学生的几何直觉,4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣重点:探究全等三角形的性质难点:掌握两个全等三角形的对应边,对应角教学过程:观察下列图案,指出这些图案中中形状与大小相同的图形问题:你还能举出生活中一些实际例子吗?这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。

能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用≅表示,读作“全等于”两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如DEF ABC ∆∆和全等时,点A 和点D ,点B 和点E ,点C 和点F 是对应顶点,记作DEF ABC ∆≅∆把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合 的角叫做对应角思考:如上图,12。

1-1DEF ABC ∆≅∆,对应边有什么关系?对应角呢? 全等三角形性质: 全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等。

思考:(1)下面是两个全等的三角形,按下列图形的位置摆放,指出它们的对应顶点、对应边、对应角DADBD(2)将ABC ∆沿直线BC 平移,得到DEF ∆,说出你得到的结论,说明理由?B(3)如图,,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ,AD 与AE 是对应边,已知: 30,43=∠=∠B A ,求ADC ∠的大小。

BC小结:作业:P33—1,2,312.2 三角形全等的判定(1)教学目标①经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程. ②掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性. ③通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神. 教学难点三角形全等条件的探索过程.一、复习过程,引入新知多媒体显示,带领学生复习全等三角形的定义及其性质,从而得出结论:全等三角形三条边对应相等,三个角分别对应相等.反之,这六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等.二、创设情境,提出问题根据上面的结论,提出问题:两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢?组织学生进行讨论交流,经过学生逐步分析,各种情况逐渐明朗,进行交流予以汇总归纳.三、建立模型,探索发现出示探究1,先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C',满足上述条件中的一个或两个.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?让学生按照下面给出的条件作出三角形.(1)三角形的两个角分别是30°、50°.(2)三角形的两条边分别是4cm,6cm.(3)三角形的一个角为30°,—条边为3cm.再通过画一画,剪一剪,比一比的方式,得出结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.出示探究2,先任意画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗?让学生充分交流后,在教师的引导下作出△A'B'C',并通过比较得出结论:三边对应相等的两个三角形全等.四、应用新知,体验成功实物演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架,它的大小和形状是固定不变的.鼓励学生举出生活中的实例.给出例l,如下图△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D 的支架,求证△ABD≌△ACD.ADB C让学生独立思考后口头表达理由,由教师板演推理过程.例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图,作法如下:①以A为圆心画弧,分别交角的两边于点B和点C;②分别以点B、C为圆心,相同长度为半径画两条弧,两弧交于点D;③画射线AD.AD就是∠BAC的平分线.你能说明该画法正确的理由吗?例3 如图四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试.ADB C五、巩固练习教科书第37页的思考及练习.六、反思小结回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论,提炼数学思想,掌握数学规律.七、布置作业1.必做题:教科书第43页习题12.2中的第1、2题.2.选做题:教科书第44页第9题.12.2 三角形全等的判定(2)教学目标①经历探索三角形全等条件的过程,培养学生观察分析图形能力、动手能力.②在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.③通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神.教学难点指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.知识重点应用“边角边”证明两个三角形全等,进而得出线段或角相等.教学过程(师生活动)一、创设情境,引入课题多媒体出示探究3:已知任意△ABC,画△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A.教帅点拨,学生边学边画图,再让学生把画好的△A'B'C',剪下放在△ABC 上,观察这两个三角形是否全等.ABCDE二、交流对话,探求新知根据前面的操作,鼓励学生用自己的语言来总结规律: 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS)补充强调:角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两对边.三、 应用新知,体验成功出示例2,如图,有—池塘,要测池塘两端A 、B 的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ,连接AC 并延长到D ,使CD =CA ,连接BC 并延长到E ,使CE =CB .连接DE ,那么量出DE 的长就是A 、B 的距离,为什么?让学生充分思考后,书写推理过程,并说明每一步的依据. (若学生不能顺利得到证明思路,教师也可作如下分析: 要想证AB =DE , 只需证△ABC ≌△DEC△ABC 与△DEC 全等的条件现有……还需要……)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决. 补充例题:1、已知:如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 求证: △ABD ≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE (已知)ABCDEFM∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD 与△ACE AB=AC (已知) ∠BAD= ∠CAE (已证) AD=AE (已知) ∴△ABD ≌△ACE (SAS) 思考: 求证:1.BD=CE 2. ∠B= ∠C 3. ∠ADB= ∠AEC变式1:已知:如图,AB ⊥AC,AD ⊥AE,AB=AC,AD=AE. 求证:⑴ △DAC ≌△EAB 1. BE=DC 2. ∠B= ∠ C 3. ∠ D= ∠ E 4. BE ⊥CD四、再次探究,释解疑惑出示探究4,我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法,得出结论:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.教师演示:方法(一)教科书39页图12.2-7.方法(二)通过画图,让学生更直观地获得结论.五、巩固练习教科书第39页,练习(1)(2).六、小结提高1.判定三角形全等的方法;2.证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述,其他学生补充,让学生自己将知识系统化,以自己的方式进行建构.七、布置作业1.必做题:教科书第43页,习题12.2第3、4题.2.选做题:教科书第44页第10题.3.备选题:(1)小明做了一个如图所示的风筝,测得DE=DF,EH=FH,你能发现哪些结沦?并说明理由.(2)如图,∠1=∠2,AB=AD,AE=AC,求证BC=DE.12.2 三角形全等的判定(3)教学目标①探索并掌握两个三角形全等的条件:“ASA”“AAS”,并能应用它们判别两个三角形是否全等.②经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维.③敢于面对教学活动中的困难,能通过合作交流解决遇到的困难.教学重点理解,掌握三角形全等的条件:“ASA”“AAS”.教学难点探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用.教学过程(师生活动)创设情境复习:师:我们已经知道,三角形全等的判定条件有哪些?生:“SSS”“SAS”师:那除了这两个条件,满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

人教版数学八年级上册第十二章《全等三角形》教案

人教版数学八年级上册第十二章《全等三角形》教案

12. 1 全等三角形一、 学习目标1、 知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。

2、 知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形 全等。

3、 能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。

二、 重点难点教学重点:全等三角形的性质。

教学难点:找全等三角形的对应边、对应角。

三、 合作探究1. 观察P 2图案,指出这些图案中中形状与大小相同的图形2 •学生自己动手(同桌两名同学配合)取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上, 画下图形,照图形裁下来,纸样与三角板 _______ 、 _______ 完全一样.3.获取概念形状与大小都完全相同的两个图形就是 ________________ .(要是把两个图形放在一起, 能够完全重合,就可以说明这两个图形的形状、大小相同. )即:全等形的准确定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.推得出全等三角形的概念: __________________________________ 对应顶点: _____________________________ 、对应角: ________________________________________ 、对应边: _________________________________ 。

“全等”符号: __________________________________________ 读作“全等于” 导入新课将厶ABC 沿直线BC 平移得△ DEF 将厶ABC 沿 BC 翻折180。

得到△DBC 将厶ABC 旋转180 ° 得厶AED议一议:各图中的两个三角形全等吗?得出: _____ ◎△ DEF, △ ABC^ ______ , △ ABC^ ____ . (注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上) 启示:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,?但 ______ 、 _____ 都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形 __________ ,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略. 观察与思考:寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?对应角呢? 全等三角形的性质: _____________________ , ________________________ 。

2024年度第12章《全等三角形》全章教案(含反思)

2024年度第12章《全等三角形》全章教案(含反思)
24
完成情况检查和批改方式
课堂检查
利用课堂时间对学生的作业完成情况进行抽查,了解学生 掌握情况。
课后批改
教师课后对学生的作业进行详细批改,标注错误和不足之 处,给出改进建议。
学生互评
鼓励学生之间相互交换作业进行批改,相互学习,相互借 鉴。
2024/2/3
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问题解答和辅导跟进
2024/2/3
课堂解答
例题3
通过给定条件,构造全等 三角形并解决实际问题。
11
教材内容整合与拓展
01
对全章内容进行梳理和 总结,形成清晰的知识 体系。
2024/2/3
02
拓展全等三角形在其他 数学领域的应用,如几 何变换、相似三角形等 。
03
04
引入相关数学史和数学 文化内容,激发学生的 学习兴趣和探究欲望。
12
设计综合性问题和开放 性问题,提高学生的思 维能力和创新能力。
教学难点
全等三角形判定方法的灵活运用、解决实际问题的思路和方法。针对这些难点,教师将采用多种教学手段和方法 进行突破,如通过例题讲解、练习巩固、小组讨论等方式帮助学生理解和掌握相关知识。同时,教师还将根据学 生的实际情况进行有针对性的辅导和指导,以确保每个学生都能够顺利掌握所学知识。
2024/2/3
14
互动式讨论法实施
小组讨论
组织学生进行小组讨论,让他们 交流彼此的想法和解题思路,相
互启发、相互学习。
2024/2/3
提问与答疑
鼓励学生提出问题,教师及时解答 ,同时引导学生通过讨论自主解决 问题。
分享与交流
让学生分享自己的解题方法和学习 心得,促进彼此之间的交流与合作 。
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多媒体辅助教学运用

人教版八年级上册第十二章12.1全等三角形(教案)

人教版八年级上册第十二章12.1全等三角形(教案)
人教版八年级上册第十二章12.1全等三角形(教案)
一、教学内容
人教版八年级上册第十二章12.1全等三角形:
1.全等三角形的定义与性质;
2.全等三角形的判定方法:SSS、SAS、ASA、ห้องสมุดไป่ตู้AS、HL;
3.全等三角形的实际应用;
4.举例说明全等三角形在几何证明中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力,通过全等三角形的学习,使学生能够理解和运用全等变换,把握图形的运动和位置关系;
首先,我意识到需要更多地强调全等三角形判定方法的实际应用。学生们在理解了基本概念后,可能仍然不知道如何将这些知识运用到具体问题中。在未来的教学中,我打算引入更多与生活相关的实例,让学生们明白全等三角形不仅仅是一个几何学的概念,而是与我们的生活息息相关。
其次,我发现在小组讨论环节,有些学生参与度不高,可能是因为他们对全等三角形的应用还不够自信。为了提高学生的参与度,我考虑在下次课上进行一些小组竞赛,鼓励学生们积极思考,增强他们解决问题的信心。
举例:在证明全等三角形的过程中,学生需要明确指出哪些角是对应角,哪些边是对应边,而不是简单地比较三角形的角和边是否相等。
-难点三:将全等三角形的理论知识应用到解决实际问题中。学生在面对实际问题时,可能不知道如何将问题转化为全等三角形的问题来解决。
举例:在解决平面图形的面积问题时,学生需要能够识别图形中的全等三角形,并利用全等性质来简化计算过程。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解全等三角形的基本概念。全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,它们的对应角相等,对应边相等。它是几何学中的一个重要概念,可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。这个案例展示了全等三角形在实际中的应用,以及它如何帮助我们解决问题。

2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第12章12.2 三角形全等的判定(第4课时)

2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第12章12.2 三角形全等的判定(第4课时)

第十二章全等三角形12.2.三角形全等的判定第4课时直角三角形全等的判定一、教学目标【知识与技能】掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神.二、课型新授课三、课时第4课时,共4课时。

四、教学重难点【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL.【教学难点】熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺、圆规等。

学生:三角尺、直尺、圆规。

六、教学过程(一)导入新课小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗?(出示课件2-4)(二)探索新知1.师生互动,探究直角三角形全等的判定方法教师问1:判定两个三角形全等的条件有哪些?(出示课件6)学生回答:SSS、SAS、AAS、ASA教师提出问题:前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用?(出示课件7)教师问2:两个直角三角形,除了直角相等外,还要满足几个条件,这两个直角三角形就全等了?(出示课件8)(让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答:分析:1.再满足一边一锐角对应相等,就可用“AAS”或“ASA”证全等了.2.再满足两直角边对应相等,就可用“SAS”证全等了.教师问3:那么,如果满足斜边和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等吗?学生不能作肯定回答,经过小组讨论,只能作出猜测:可能全等.教师讲解:现在不要求马上给出结论.看看通过动手探究,你是否能得出结论.直角三角形我们用Rt△表示.教师问4:如图,已知AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,△ABC≌△DEF 吗?(出示课件9)学生讨论并回答:证明三角形全等不存在SSA定理.所以一般的三角形不一定全等.教师问5:如果这两个三角形都是直角三角形,即∠B=∠E=90°,且AC=DF,BC=EF,现在能判定△ABC≌△DEF吗?(出示课件10)我们完成下边的问题:思考:任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC 上,看看它们是否全等.(课件出示11-14,师生一起看题)(学生独立探究,动手作图)分析:画法直接由教师给出,而不安排学生画出,是考虑学生画图有一定的难度,况且作图不是本节课的重点.教师问6:Rt△ABC就是所求作的三角形吗?学生回答:是要求作的三角形.教师问7:画好后,把Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC上,看它们全等吗?学生动手做后回答:全等.教师问8:这样你发现了什么结论?学生回答:有一条斜边和直角边相等的两个直角三角形全等》教师板书:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边,直角边”或“HL”).总结点拨:(出示课件15)“斜边、直角边”判定方法文字语言:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言:在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中,AB=A′B′,BC=B′C′,∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).警示注意:(1)一是“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法;二是应用“HL”时,虽只有两个条件,但必须先有两个三角形是Rt△的条件.(2)“SSA”可以判定两个直角三角形全等,但是“边边”指的是斜边和一直角边,而“角”指的是直角.例1:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC﹦BD.求证:BC﹦AD.(出示课件17)师生共同解答如下:证明:∵ AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠C与∠D 都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中,AC=BD .∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.例2:如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE.(出示课件22)师生共同解答如下:证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC =AE,∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF.∵AD=AF,AB=AB,∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF. 即BC=BE.总结点拨:(出示课件23)证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.例3:如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系?师生共同解答如下:解:在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF .∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.(三)课堂练习(出示课件29-34)1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有()A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等2. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E ,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长为()A.1 B.2 C.3 D.43.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,则△ADB与△ADC________(填“全等”或“不全等”),根据_______________(用简写法).4. 如图,在△ABC中,已知BD⊥AC,CE ⊥AB,BD=CE.求证:△EBC≌△DCB.5. 如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证:BF=DE.6. 如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等?参考答案:1.D2.A3. 全等HL4. 证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BEC=∠BDC=90 °.在Rt△EBC 和Rt△DCB 中,CE=BD,BC=CB .∴Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).5. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90 °.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中,AB=CD,AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.6. 解:(1)当P运动到AP=BC时,∵∠C=∠QAP=90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中,∵PQ=AB,AP=BC,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),∴AP=BC=5cm;(2)当P运动到与C点重合时,AP=AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中,∵PQ=AB,AP=AC,∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL),∴AP=AC=10cm,∴当AP=5cm或10cm时,△ABC才能和△APQ全等.(四)课堂小结今天我们学了哪些内容:1.直角三角形“HL”判定方法2.灵活选择三角形全等的判定方法来解决问题(五)课前预习预习下节课(12.3)教材48页到49页的相关内容。

2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第12章 全等三角形12.1 全等三角形教案

2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第12章 全等三角形12.1 全等三角形教案

第十二章全等三角形12.1 全等三角形一、教学目标【知识与技能】1.掌握全等形、全等三角形的概念,能应用符号语言表示两个三角形全等;2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素,理解全等三角形的性质,并解决相关简单的问题.【过程与方法】掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.【情感、态度与价值观】联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】全等三角形的概念、性质及对应元素的确定.【教学难点】全等三角形对应元素的识别.五、课前准备教师:课件、三角尺、全等图形等。

学生:三角尺、直尺、全等图形、三角形纸板。

六、教学过程(一)导入新课观察这些图片,你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗?(出示课件2-3)(二)探索新知1.观察图形,学习全等图形教师问1:下列各组图形的形状与大小有什么特点?(出示课件5)学生回答:每一组图中的两个图形形状相同,大小相等.教师问2:观察思考:每组中的两个图形有什么特点?(出示课件6)学生回答:前三组图形的形状相同,大小也相等,第4组图形的形状相同,但是大小不相等,第5组图形的形状不相同,但是大小相等.教师问3:它们能够完全重合吗?你能再举出一些类似的例子吗?学生讨论分析,教师引导后学生回答:举例:学生手中含30度角的三角板;含45度角的三角板;学生手中的小量角器;由同一张底片洗出的尺寸相同的照片;两本数学书等.教师讲解:由图①②③中的图形,我们可以看到,它们的形状相同,大小相等,像这样,形状相同、大小相同的图形放在一起能够完全重合,能够完全重合的两个图形叫做全等形.教师问4:同学们讨论一下,全等图形有什么性质呢?学生回答:全等图形的形状相同,大小相等.总结点拨:全等图形定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形.全等形性质:如果两个图形全等,它们的形状和大小一定都相等.2.师生互动,认识全等三角形的概念教师问5:观察下边的两个三角形,它们的形状和大小有何特征?学生回答:它们的形状相同,大小相等.教师问6:这两个三角形能够完全重合吗?学生回答:能够完全重合教师问7:这两个三角形能够完全重合之后,△ABC的顶点A、B、C与△DEF的顶点D、E、F那两个点重合呢?它们的边呢?它们的角呢?学生回答:点A与点D重合,点B与点E重合,点C与点F重合,边AB 与边DE重合,边AC与边DF重合,边CB与边FE重合,∠A与∠D重合,∠B与∠E重合,∠C与∠F重合.教师总结:(出示课件9)像上图一样,把△ABC 叠到△DEF上,能够完全重合的两个三角形,叫做全等三角形. 把两个全等的三角形重叠到一起时,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.教师问8:平移、翻折、旋转前后的两个三角形什么变化,什么没有变化呢?学生讨论并回答:三角形的形状和大小没有变化,位置变化了.教师问9:把一个三角形平移、旋转、翻折,变换前后的两个三角形全等吗?(出示课件10)学生回答:平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.总结点拨:(出示课件11)一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状和大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等.学生小组活动:教师提出下列要求:①请你用事先准备好的三角形纸板通过平移、翻折、旋转等操作得到你认为美丽的图形;②在练习本上画出这些图形,标上字母,并在小组内交流;③指出这些图形中的对应顶点、对应边、对应角.教师问10:请同学们观察分析,指出下列图形的对应边、对应角和对应顶点.学生分组做完后并点名回答教师问11:寻找对应元素有什么方法和规律吗?学生思考交流后,师生共同归纳、板书.(出示课件13)1. 有公共边,则公共边为对应边;2. 有公共角(对顶角),则公共角(对顶角)为对应角;3.最大边与最大边(最小边与最小边)为对应边;最大角与最大角(最小角与最小角)为对应角;4. 对应角的对边为对应边;对应边的对角为对应角.教师问12:全等三角形的对应边、对应角有什么数量关系?学生回答:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.教师问:全等三角形用什么表示呢?学生阅读教材32页内容回答:全等”用符号“≌”表示,△ABC全等于△DEF,记作△ABC≌△DEF.教师问13:全等三角形有哪些性质呢?学生讨论回答:全等三角形的对应边相等,对应角相等.总结点拨:全等的表示方法:“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”. (出示课件15)警示:记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等的性质:(出示课件16-17)全等三角形的对应边相等,对应角相等.几何语言:∵△ABC≌△DEF(已知),∴AB=DE,AC=DF,BC=EF(全等三角形对应边相等),∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(全等三角形对应角相等).例1:如图,若△BOD≌△COE,∠B=∠C,指出这两个全等三角形的对应边;若△ADO≌△AEO,指出这两个三角形的对应角.(出示课件18)师生共同解答如下:解:△BOD与△COE的对应边为:BO与CO,OD与OE,BD与CE;△ADO与△AEO的对应角为:∠DAO与∠EAO,∠ADO与∠AEO,∠AOD与∠AOE.例2:如图,△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,求∠DEF的度数和CF的长.(出示课件20)师生共同解答如下:解:∵△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,∴∠DEF=∠B=50°,BC=EF=7,∴CF=BC–BF=7–4=3.例3:如图,△EFG≌△NMH,EF=2.1cm,EH=1.1cm,NH=3.3cm.(1)试写出两三角形的对应边、对应角;(2)求线段NM及HG的长度;(3)观察图形中对应线段的数量或位置关系,试提出一个正确的结论并证明.(出示课件22-23)师生共同解答如下:解:(1)对应边有EF和NM,FG和MH,EG和NH;对应角有∠E和∠N,∠F和∠M,∠EGF和∠NHM.(2)解:∵△EFG≌△NMH,∴NM=EF=2.1cm,EG=NH=3.3cm.∴HG=EG –EH=3.3 – 1.1=2.2(cm).(3)解:结论:EF∥NM证明:∵ △EFG≌△NMH,∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.总结点拨:全等三角形的性质:能够重合的边是对应边,重合的角是对应角,对应边所对的角是对应角.对应角所对的边是对应边;两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边; 两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角.(三)课堂练习(出示课件27-30)1.能够_________的两个图形叫做全等形.两个三角形重合时,互相__________的顶点叫做对应顶点.记两个全等三角形时,通常把表示___________顶点的字母写在_________的位置上.2.如图,△ABC≌ △ADE,若∠D=∠B,∠C= ∠AED,则∠DAE=_______;∠DAB=__________ .3.如图,△ABC≌△BAD,如果AB=5cm,BD=4cm,AD=6cm,那么BC 的长是( )A.6cmB.5cmC.4cmD.无法确定4.在上题中,∠CAB的对应角是( )A.∠DABB.∠DBAC.∠DBCD.∠CAD5. 如图所示,△ABD≌△CDB,下面四个结论中,不正确的是( )A.△ABD 和△CDB 的面积相等B.△ABD 和△CDB 的周长相等C.∠A +∠ABD =∠C +∠CBDD.AD∥BC,且AD = BC6.如图,△ABC ≌△AED,AB是△ABC 的最大边,AE是△AED的最大边,∠BAC 与∠ EAD是对应角,且∠BAC=25°,∠B= 35°,AB =3cm,BC =1cm,求出∠E,∠ ADE 的度数和线段DE,AE 的长度.参考答案:1. 重合重合对应相对应2. ∠BAC ∠EAC3.A4.B5.C6. 解:∵ △ABC ≌△AED,(已知)∴∠E= ∠B = 35°,(全等三角形对应角相等)∠ADE =∠ACB =180°–25°–35°=120 °,(全等三角形对应角相等) DE = BC =1cm,AE = AB =3cm.(全等三角形对应边相等)(四)课堂小结今天我们学了哪些内容:1.全等三角形的有关概念2.全等三角形的性质3.寻找对应元素的方法(五)课前预习预习下节课(11.2)教材35页到教材37页的相关内容。

人教版八年级上册数学第12章 全等三角形第 全章教案

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第十二章全等三角形第1课时全等三角形的概念及性质知识要点1.____________相同的图形放在一起能够完全重合,能够完全重合的两个图形叫做全等形.2.能够________的两个三角形叫做全等三角形.3.一个图形经过平移、翻折、旋转,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形________.4.把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做____________,重合的边叫做________,重合的角叫做________.表示方法:△ABC≌△DEF(对应顶点要写在对应位置上) .5.全等三角形的对应边________,全等三角形的对应角________.精典范例例1下列图形中,与已知图形全等的是()例2如图,沿直线AC对折,△ABC与△ADC重合,则:(1)△ABC≌________;(2)AB,AC,BC的对应边分别是______________;(3)∠B,∠BCA的对应角分别是______________.例3如图,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠OAD=80°,求∠C 的度数.例4如图,△EFG≌△NMH,∠F和∠M是对应角.在△EFG中,FG是最长边.在△NMH中,MH是最长边.EF=2.1cm,EH=1.1cm,NH=3.3cm.(1)写出其他对应边及对应角;(2)求线段NM及线段HG的长度.变式练习1.下列各组图形中,是全等的图形是()2.如图,△ABC与△BAD全等,可表示为,∠C与∠D是对应角,AC与BD是对应边,其余的对应角是,其余的对应边是.3如图,将△ABC沿绕点A旋转之后得到△ADE,则:(1)△ABC≌________;(2)AB,AC的对应边分别是____________;(3)∠BCA的对应角是________.4.如图,已知△ACF≌△DBE,AD=9 cm,BC=5 cm,求AB的长.5如图,△ABC≌△DEF,A与D,B与E分别是对应顶点,∠B =60°,∠A=68°,AB=13cm,则∠F=________°,DE=________cm.巩固练习1.如图,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列结论不正确的是()A.BC=DE B.∠E=∠CC.∠B=∠D D.∠B=∠E2.有下列说法:①全等形的形状相同、大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长、面积分别相等.其中正确的是()A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④3.如图,已知两个三角形全等,则∠α的度数是()A.72°B.60°C.58° D.50°4.已知△ABC≌△DEF,A与D,B与E,C与F分别为对应顶点,若AB=7 cm,BC=5 cm,AC=8 cm,则EF=()A.5 cm B.6 cmC.7 cm D.8 cm5.如图,△ACB≌△DCE,∠BCE=30°,则∠ACD的度数为()A.20° B.30°C.35° D.40°6.如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠DCE=()A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB7.如图,△ABC≌△A′B′C′,其中∠A=36°,∠C′=24°,则∠B=.8.如图,已知△ABC≌△BAD,A和B,C和D分别是对应顶点.如果AB=6,BD=5,AD=4,那么BC的长度是.9.如图,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠BCA=2∶2∶5.若△A′B′C≌△ABC,∠BCA′=20°,则∠BCB′=________.10.如图,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠BEA=135°,则∠C的度数为________.11.如图,△ABC≌△DFE,AB∥DF,AC∥DE,写出相等的边和相等的角.12.如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,△ABE≌△ACD,∠C=42°,AB=9,AD=6,G为AB延长线上一点.(1)求∠EBG的度数;(2)求CE的长.13.如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F,若DE=7,BC=4,∠D=35°,∠C=60°.求:(1)线段AE的长;(2)∠DFA的度数.14.如图,把三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE的内部时.(1)写出图中一对全等的三角形,并写出它们的所有对应角.(2)设∠AED的度数为x,∠ADE的度数为y,那么∠1,∠2的度数分别是多少(用含有x或y的代数式表示)?(3)∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请找出这个关系.第十二章全等三角形第2课时三角形全等的判定(1)——SSS知识要点1.________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).2.只用________的直尺和______作图的方法叫做尺规作图,用尺规作一个角等于已知角的依据是________.精典范例例1如图,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以判定() A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△ACEC.△BDE≌△CDED.以上答案都不对例2如图,用直尺和圆规作一个已知角的平分线的示意图,依据“ ”判定△COM和△CON全等,从而说明OC是∠AOB 的.例3如图,OA=OB,AC=BC.求证:△AOC≌△BOC.例4如图,C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.求证:△ACD≌△CBE.例5如图,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF.求证:AE∥FB.变式练习1.如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC与BD相交于点E,若不再添加任何字母与辅助线,要使△ABC≌△DCB,则还需增加的一个条件是()A.AC=BDB.AC=BCC.BE=CED.AE=DE2.如图,已知OA=OB,AC=BC,∠1=30°,则∠ACB的度数是.3.如图,A,C,F,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF.求证:△ABC≌△DEF.4如图,AD=CB,AE=FC,DF=BE.求证:AD∥BC.5如图,AB=AC,BP=CP.求证:△ABP≌△ACP.巩固练习1.如图,用尺规作出∠OBF=∠AOB,作图痕迹中的弧MN是()A.以点B为圆心,OD长为半径的弧B.以点B为圆心,DC长为半径的弧C.以点E为圆心,OD长为半径的弧D.以点E为圆心,DC长为半径的弧2.如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”判定△ABC和△FED全等,有下列四个条件:①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE.其中可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④3.如图,AB=A1B1,BC=B1C1,AC=A1C1,且∠A=110°,∠B=40°,则∠C1=()A.110° B.40° C.30° D.20°4.如图,已知AB=AC,BD=DC,那么下列结论中不正确的是()A.△ABD≌△ACDB.∠ADB=90°C.∠BAD是∠B的一半D.AD平分∠BAC5.如图,在△ABC中,AD=DE,AB=BE,∠A=85°,则∠DEC =________.6.如图,BC=DC,AB=AD.求证:AC平分∠BAD.7.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E两点在BC上,且有AD=AE,BD=CE.若∠BAD=30°,∠DAE=50°,求∠BAC的度数.8.如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.(1)求证:△ABC≌△DEF.(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.9.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.求证:∠B=∠D.10.如图,AB=CD,AD=CB,在DA,BC的延长线上分别任取一点E,F,连接EF.求证:(1)AB∥CD;(2)∠E=∠F.11.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE.求证:∠3=∠1+∠2.12.如图,AB=AC,DB=DC,EB=EC.(1)图中有几对全等三角形?请一一写出来;(2)选择(1)中的一对全等三角形加以证明.第十二章全等三角形第3课时三角形全等的判定(2)——SAS知识要点__________________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).精典范例例1可以保证△ABC≌△A′B′C′的条件是()A.AB=A′B′,AC=A′C′,∠C=∠C′B.AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′C.AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′D.AB=A′B′,BC=B′C′,∠B=∠B′例2如图,已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,应用“SAS”要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是.例3如图,已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE.求证:△ABE≌△DCE.例4如图,已知AC平分∠BAD,AB=AD.求证:△ABC≌△ADC.例5如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.例6如图,已知AB∥DC,AB=DC,AE=CF.求证:△ABF≌△CDE.变式练习1.如图,若AO=DO,只需补充,就可以根据SAS判定△AOB≌△DOC.2如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.3如图,已知AD⊥BC于点D,且BD=CD.求证:△ABD≌△ACD.4如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:∠C=∠E.5.如图,AB=AC,点E,F分别是AB,AC的中点,求证:△AFB ≌△AEC.巩固练习1.如图,AC与BD相交于点O.若OA=OD,则要用“SAS”证明△AOB≌△DOC,还需添加的条件是()A.AB=DC B.OB=OCC.∠A=∠D D.∠AOB=∠DOC2.如图,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件是()A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD3.如图,AC,BD相交于点E,AC=BD,AE=BE,∠B=35°,∠1=95°,则∠D的度数是()A.60°B.35°C.50°D.75°4.如图,DC=EA,EC=BA,DC⊥AC,BA⊥AC,垂足分别是C,A,则BE与DE的位置关系是.5.如图,点A在BE上,AD=AE,AB=AC,∠1=∠2=30°,则∠3的度数为.6.如图,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.7.如图,点C为AB中点,CD=BE,CD∥BE.求证:∠D=∠E.8.如图,点A,F,C,D在同一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:BC∥EF.9.如图,AB⊥BD于B,CD⊥BD于D,AB=CD.求证:∠A=∠C.10.如图,E,F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF,AE=CF,BE=DF.求证:AD=BC.11.如图,AD是△ABC的高线,AD=BD,DE=DC,∠C=75°,求∠AEB的度数.12.如图,△ABC,△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE =90°,点E在AB上.求证:△CDA≌△CEB.13.如图,AD∥BC,AE=CF,AD=BC,点E,F在直线AC 上,试猜想线段DE与BF有何关系(位置关系与数量关系),并说明你的猜想.第十二章全等三角形第4课时三角形全等的判定(3)——ASA和AAS知识要点1.__________________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).2.__________________________________相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).精典范例例1如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AC=AD.例2如图,∠1=∠2,∠B=∠D.求证:AB=CD.例3如图,B,C,E三点在同一条直线上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B.求证:△ABC≌△CDE.例4如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB ∥CD,AE=DF,∠A=∠D.求证:AB=CD.例5如图,点A,D,C,E在同一条直线上,AB∥EF,AB=EF,∠B=∠F,AE=10,AC=7,则CD的长为()A.5.5 B.4 C.4.5 D.3例6如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于点O.已知AB=AC,现添加下列条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是()A.∠B=∠C B.AD=AEC.BD=CE D.BE=CD变式练习1.如图,AE和BD相交于点C,∠A=∠E,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.2.如图,已知∠1=∠2,∠B=∠D.求证:CB=CD.3.如图,AC=BC,请你添加一对边或一组角相等的条件,使AD=BE.你所添加的条件是____________________.4.如图,线段AD与BC相交于点O,连接AB,CD,且∠B=∠D,若要根据ASA判定△AOB≌△COD,应添加的条件是.5.如图,AD为△ABC的中线,且CF⊥AD于点F,BE⊥AD,交AD 的延长线于点E.求证:BE=CF.巩固练习1.小强一不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块,如图,现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去2.下列各图中的a,b,c分别为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形与左侧△ABC全等的是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙3.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()A.∠B=∠CB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD4.如图,AD和CB相交于点E,BE=DE,请添加一个条件,使△ABE≌△CDE(只添一个即可),你所添加的条件是.5.如图,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要说明△ABC≌△DEF.(1)若以“SAS”为依据,还需添加的条件为;(2)若以“ASA”为依据,还需添加的条件为;(3)若以“AAS”为依据,还需添加的条件为.6.如图,点D,A,C在同一直线上,AB∥CE,AB=CD,∠B=∠D.求证:△ABC≌△CDE.7.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.求证:△AEF≌△DEB.8.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD.9.如图,在四边形ABCD中,E点在AD上,∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:△ABC≌△DEC.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线MN,AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,求证:DE=AD+BE.11.如图,D是△ABC的边AB上一点,E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.求证:AB=CF+BD.第十二章全等三角形第5课时三角形全等的判定(4)——HL知识要点____________________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).精典范例例1已知下列语句:(1)有两个锐角相等的直角三角形全等;(2)一条斜边对应相等的两个直角三角形全等;(3)三个角对应相等的两个三角形全等;(4)两个直角三角形全等.其中正确语句的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3例2如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是()A.AC=ADB.AB=ABC.∠ABC=∠ABDD.∠BAC=∠BAD例3如图,点C,E,B,F在一条直线上,AB⊥CF于B,DE⊥CF 于E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.例4如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE=BF.求证:AE=DF.变式练习1.下列各组条件中,能判断两个直角三角形全等的是()A.两组直角边对应相等B.一组边对应相等C.两组锐角对应相等D.一组锐角对应相等2.如图,已知AD是△ABC的BC边上的高,下列能使△ABD≌△ACD 的条件是()A.AB=ACB.∠BAC=90°C.BD=ACD.∠B=45°3.如图,∠A=∠D=90°,AC=BD.求证:OB=OC.4.如图,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE.求证:AB∥CD.5如图,AC⊥CB,DB⊥CB,垂足分别为C,B,AB=DC.求证:∠ABD=∠ACD.巩固练习1.使两个直角三角形全等的条件可以是()A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条边对应相等2.下列说法正确的是()A.有两条边分别相等的两个直角三角形全等B.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等C.有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等D.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等3.如图,∠A=90°,AB=AC,D,E分别是AB,AC上一点,BE 交CD于F.若要补充一个条件,使得△ABE≌△ACD,在下列条件中,不能补充的条件是()A.AD=AEB.BE=CDC.BF=CFD.∠B=∠C4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4 cm,CE=3 cm,则DE=cm.5.如图,AC⊥CF于C,DE⊥CF于E,AB=DF,CE=BF.求证:AC=DE.6.如图,AB⊥AC,AC⊥DC,AD=BC.求证:(1)AB=CD;(2)AD∥BC.7.如图,AC=DF,AC⊥BC,DF⊥DE,且AE=BF,∠A=60°,试求∠DEF的度数.8.如图,AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD =AF,AC=AE.求证:BC=BE.9.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于点F,且BF=AC.(1)证明:DF=DC;(2)求∠ABC的度数.10.在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.(1)如图①,若B,C在DE的同侧,且AD=CE.求证:AB⊥AC.(2)如图②,若B,C在DE的两侧,其他条件不变,AB⊥AC仍然成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.第十二章全等三角形第6课时角的平分线的性质(1)知识要点1.角的平分线上的点到角的两边的距离________.2.会用尺规作图画角平分线.3.一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即(1)明确命题中的已知和求证;(2)根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证;(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.精典范例例1如图,作∠AOB的角平分线.例2如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.例3.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为()A.6 B.5 C.4 D.3例4如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,且BD=CD.求证:BE=CF.变式练习1.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长度是()A.2 B.3C.4 D.62.如图,已知△ABC,求作:△ABC的角平分线CE.3.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是()A.10 B.15 C.20 D.304.如图,在△ABC中,AB=BC,高AD,CE相交于F,AF=CF.求证:FD=FE.巩固练习1.如图,观察尺规作图痕迹,下列说法错误的是()A.OE是∠AOB的平分线B.OC=ODC.点C,D到OE的距离不相等D.∠AOE=∠BOE2.如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是()A.PC=PDB.∠CPD=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD3.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD 平分∠ABC ,则△BCD 的面积为( ) A .7.5 B .8 C .15 D .无法确定4.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AD 是角平分线,DE ⊥AB 于点E ,则下列结论错误的是( ) A .BD +DE =BC B .DE 平分∠ADB C .DA 平分∠EDC D .AC +DE >AD5.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,以顶点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC ,AB 于点M ,N ,再分别以点M ,N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线AP 交边BC 于点D ,若CD =4,AB =15,则△ABD 的面积是 .6.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D .已知AC =3,AD =2,则点D 到AB 边的距离为________.7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E.(1)若DC=5,则DE=________;(2)若BC=8,BD=5,则DE=________;(3)若∠B=45°,BE=6,则CD=________;(4)若BC=20,BD∶CD=3∶2,则点D到AB的距离是________.8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=12,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=4,则△ABD的面积为________.9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD是角平分线,DE⊥AB,E为垂足.若△ADE的周长等于10cm,求AB的长.10.如图,已知三段公路(线段AB以及射线AC,BD),请在AB的下方区域用尺规作一点P,使点P到三条公路的距离相等(保留作图痕迹,不写作法).11.如图,OC是∠AOB的平分线,AC⊥OB于D,BC⊥OA于E.求证:AC=BC.12.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.(1)若△ABC的面积是40cm2,AB=12cm,AC=8cm,求DE的长.(2)求证:S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.。

最新人教版初二数学八年级上册 第十二章全等三角形 全单元教案

最新人教版初二数学八年级上册 第十二章全等三角形 全单元教案

第十二章全等三角形12.1全等三角形◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握全等形、全等三角形的概念,能应用符号语言表示两个三角形全等;2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素,理解全等三角形的性质,并解决相关简单的问题.【过程与方法】掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.【情感、态度与价值观】联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】全等三角形的性质及其应用.【教学难点】能正确地识别全等三角形的对应元素.◇教学过程◇一、情境导入观察下面这些图形,它们能够完全重合吗?二、合作探究探究点1全等形的概念典例1下列四组图形中,是全等图形的一组是()[解析]观察图形的特点可发现:A,B,C中的两个图形大小不同,D则完全相同.[答案] D变式训练全等形是指()A.形状相同的两个图形B.面积相同的两个图形C.两张中国地形图,两个等腰三角形都是全等形D.能够完全重合的两个平面图形[答案] D【归纳总结】记住能够完全重合的两个图形叫做全等形,完全重合指的是不仅形状相同,大小也相同;面积相等的图形不一定重合.探究点2全等三角形的概念典例2如图,如果△ABC≌△CDA,∠BAC=∠DCA,∠B=∠D,对于以下结论: ①AB与CD是对应边;②AC与CA是对应边;③点A与点A是对应顶点;④点C与点C是对应顶点;⑤∠ACB与∠CAD是对应角.其中正确的是()A.2个B.3个C.4个D.5个[解析]AB与CD是对应边,①正确;AC与CA是对应边,②正确;点A 与点C是对应顶点,③错误;点C与点A是对应顶点,④错误;∠ACB与∠CAD是对应角,⑤正确.[答案] B探究点3全等三角形的性质典例3如图,△ABC≌△A'B'C,∠ACB=90°,∠A'CB=20°,则∠BCB'的度数为()A.20°B.40°C.70°D.90°[解析]∵△ACB≌△A'CB',∴∠ACB=∠A'CB',∴∠BCB'=∠A'CB'-∠A'CB=70°.[答案] C全等三角形的性质:能够重合的边是对应边,重合的角是对应角,对应边所对的角是对应角.对应角所对的边是对应边;两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边;两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角.探究点4利用全等三角形的性质解决问题典例4如图所示,△ABD≌△ACD,∠BAC=90°.(1)求∠B的大小;(2)判断AD与BC的位置关系,并说明理由.[解析](1)∵△ABD≌△ACD,∴∠B=∠C,又∵∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.(2)AD⊥BC.理由:∵△ABD≌△ACD,∴∠BDA=∠CDA,∵∠BDA+∠CDA=180°,∴∠BDA=∠CDA=90°,∴AD⊥BC.三、板书设计全等三角形全等三角形◇教学反思◇由于学生学习平面几何的时间不长,识图能力还比较薄弱,学生的思维依赖于具体的直观形象,在教学时借助几何画板演示图形的形成与变换,来帮助学生更好地发现理解图形的特征,尤其对于较复杂的几何图形中的对应边、对应角,方便学生迅速地找出,简化难点.12.2三角形全等的判定第1课时利用三边判定三角形全等(SSS)◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握边边边的内容;2.能初步应用边边边条件判定两个三角形全等.【过程与方法】经历探索三角形全等条件的过程,体会用操作、归纳得出数量结论的过程.【情感、态度与价值观】通过探索三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想,乐于探究的良好品质以及发现问题的能力.◇教学重难点◇【教学重点】判定三角形全等的条件.【教学难点】理解边边边条件判定三角形全等.◇教学过程◇一、情境导入在课堂上,老师要求同学们每人画一个三角形,使三角形的三边长分别为3 cm,5 cm,7 cm,老师发现小明和他同桌画的三角形不一样大,肯定地说,你们看看谁画错了,老师是怎么知道的呢?二、合作探究探究点1边边边判定两三角形全等典例1在△ABC与△DEF中,AB=DF,AC=DE,CB=EF,那么()A.△ABC≌△DEFB.△ABC≌△DFEC.△ABC≌△EDFD.△ABC≌△EFD[解析]在△ABC与△DEF中,∴△ABC≌△DFE(SSS). [答案] B探究点2边边边判定两三角形全等的应用典例2已知:如图,A,C,F,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF,求证:△ABC≌△DEF.[解析]∵AF=DC,∴AF-CF=DC-CF,即AC=DF,在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SSS).把它分成两个全等三角形,并给出证明.[解析]连接AC,则△ABC≌△ADC,证明如下:在△ABC与△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS).三、板书设计利用三边判定三角形全等三角形全等的判定◇教学反思◇本节课是全等三角形判定的第一节,主要是用SSS判定两个三角形全等,在授课过程中,通过同学们的操作、交流、互动,基本实现了同学们对全等三角形的判定(SSS)的多层面了解.在实际应用时,应强调证明格式的问题,但学生在证的过程中,找全等条件还有一定的难度,今后要多加练习.第2课时利用两边及其夹角判定三角形全等(SAS)◇教学目标◇【知识与技能】掌握边角边条件的内容,能初步应用边角边条件判定两个三角形全等.【过程与方法】经历探索三角形边角边判定定理的过程,在观察中寻求新知,在探索中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法.【情感、态度与价值观】通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生观察分析图形的能力及运算能力,培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.◇教学重难点◇【教学重点】边角边判定两三角形全等.【教学难点】寻求三角形全等的条件.◇教学过程◇一、情境导入在上节课的讨论中,我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.给出三个条件时,有四种可能,能说出是哪四种吗?二、合作探究探究点1用边角边判定两个三角形全等典例1如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:△ABC≌△DEC.[解析]∵∠1=∠2,∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA,即∠ACB=∠DCE,在△ABC和△DEC中,∴△ABC≌△DEC(SAS).探究点2边角边判定的应用典例2如图,点E,F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF,求证:△ABF≌△CDE.[解析]∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,∵AB∥CD,∴∠A=∠C,在△ABF与△CDE中,∴△ABF≌△CDE(SAS).探究点3边边角不能判定两三角形全等典例3如图,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要证明△ABC≌△DEF,需要添加一个条件为:.(只添加一个条件即可)[解析]∵BC=EF,∠ABC=∠DEF,AB=DE,∴△ABC≌△DEF(SAS). [答案]BC=EF全等三角形我们已经学过2种判定方法,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边,利用两边及其夹角判定三角形全等三角形全等的判定◇教学反思◇本节课的内容是运用“边角边”方法证明两个三角形全等,仍然通过画图验证引入边角边的判定方法,所设计的例题、练习都是运用“边角边”方法进行证明,学生会用“边角边”判定方法解决实际问题.第3课时利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)◇教学目标◇【知识与技能】掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件,能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究全等三角形条件的过程,掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,使学生获得一些研究问题的经验和方法,发展实践能力和创新精神.◇教学重难点◇【教学重点】已知两角一边的三角形全等探究.【教学难点】灵活运用三角形全等条件证明.◇教学过程◇一、情境导入学完“三角形全等判定”后,小明把一块三角形纸片分为如图四块,分别给了编号为1、2、3、4的四名同学,要求他们画出与原三角形全等的三角形,则编号为几的同学能完成任务?你的根据是什么?二、合作探究探究点1用角边角判定两三角形全等典例1根据已知条件,能画出唯一△ABC的是()A.AC=4,AB=5,BC=10B.AC=4,AB=5,∠B=60°C.∠A=50°,∠B=60°,AB=2D.∠C=90°,AB=5[解析]AC+AB=4+5=9<10=BC,三边不能组成三角形,A不正确;∵AC=4,AB=5,∠B=60°,SSA不能证出两三角形全等,∴不能确定唯一的三角形,B不正确;∵∠A=50°,∠B=60°,AB=2,ASA能证出两三角形全等,∴能确定唯一的三角形,C正确;∠C=90°,AB=5不能确定唯一的三角形,D不正确.[答案] C探究点2用角角边判定两三角形全等典例2如图,AC=AE,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:△ABC≌△ADE.[解析]∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠EAC+∠2,即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中,∴△ABC≌△ADE(AAS).探究点3判定三角形全等的综合应用典例3如图所示,在下列条件中,不能判断△ABD≌△BAC的条件是()A.∠D=∠C,∠BAD=∠ABCB.∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BACC.BD=AC,∠BAD=∠ABCD.AD=BC,BD=AC[解析]A符合AAS,能判断△ABD≌△BAC;B符合ASA,能判断△ABD≌△BAC;C符合SSA,不能判断△ABD≌△BAC;D符合SSS,能判断△ABD≌△BAC.[答案] C三、板书设计利用两角一边判定三角形全等三角形全等的判定◇教学反思◇本节是全等三角形的ASA,AAS两种判定方法,三角形全等是证明线段相等、角相等的重要方法之一,对今后的学习是至关重要的,要求学生学好全等三角形,也为后面相似三角形的学习打下了良好的基础.第4课时直角三角形全等的判定◇教学目标◇【知识与技能】掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神.◇教学重难点◇【教学重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题.【教学难点】解决简单的推理证明问题.◇教学过程◇一、情境导入小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗?二、合作探究探究点1直角三角形全等的判定典例1如图,用三角尺可按下面的方法画角平分线:在∠AOB 的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,通过证明△OMP≌△ONP,可以说明OP是∠AOB的角平分线,那么△OMP≌△ONP的依据是()A.SSSB.SASC.AASD.HL[解析]∵两三角尺为直角三角形,∴∠OMP=∠ONP=90°,∵OM=ON,OP=OP,∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL).[答案] D【归纳总结】直角三角形的特殊判定方法HL,是指两个直角三角形具有斜边和一条直角边分别相等时,两个直角三角形全等.应注意用HL 证明全等的格式.探究点2HL的应用典例2如图,A,F,E,B四点共线,AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF,AC=BD.求证:△ACF≌△BDE.[解析]∵AC⊥CE,BD⊥DF,∴∠ACE=∠BDF=90°,在Rt△ACE和Rt△BDF中,∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL),∴∠A=∠B,∵AE=BF,∴AE-EF=BF-EF,即AF=BE,在△ACF和△BDE中,∴△ACF≌△BDE(SAS).探究点3三角形全等判定的综合应用典例3如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性.[解析]BF⊥AE.理由:∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.又BC=AC,BD=AE,∴△BDC≌△AEC(HL).∴∠CBD=∠CAE.又∵∠CAE+∠E=90°.∴∠EBF+∠E=90°.∴∠BFE=90°,即BF⊥AE.全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.三、板书设计直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定◇教学反思◇本节的内容是直角三角形全等的判定方法,主要让学生在回顾全等三角形判定的基础上,进一步研究直角三角形全等的判定的方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对公理的多层次的理解.12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质◇教学目标◇【知识与技能】会作一个角的平分线,探索并证明角平分线的性质定理.【过程与方法】经历探索角的平分线的性质,提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题成功体验,逐步培养学生的理性精神.◇教学重难点◇【教学重点】角的平分线的性质的证明及运用.【教学难点】角平分线的性质的探究.◇教学过程◇一、情境导入在纸上任意画一个角,用剪刀剪下,用折纸的方法,如何确定角的平分线?有一个简易平分角的仪器(如图),其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点,沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线,为什么?二、合作探究探究点1角平分线的尺规作图典例1如图,以点B为圆心,任意长为半径画弧,与角的两边分别相交于点A,C,分别以点A,C为圆心,相同的半径画弧,相交于点D,则BD是角的平分线的依据是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS[解析]由作图可知,△ABD和△CBD中,BA=BC,AD=CD,再加上BD 为公共边,可有SSS判定两个三角形全等.[答案] A探究点2角平分线的性质典例2如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC,若BC=16,BD=10,则点D到AB的距离是()A.9B.8C.7D.6[解析]∵BC=16,BD=10,∴CD=6.由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD=6.[答案] D探究点3角平分线的性质的应用典例3直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址共有()A.一处B.两处C.三处D.四处[解析]如图,可选择的地址有四处.[答案] D【技巧点拨】本题考查的是角平分线的性质,熟记性质及其基本图形是解题的关键,注意分类讨论,不要漏掉所围成区域外面的三个点.变式训练在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到两边距离相等的点应是()A.C点B.D点C.E点D.F点[答案] C三、板书设计角平分线的性质角平分线的性质◇教学反思◇本节课的内容为角平分线的性质,注重用数学语言给出条件和结论,让学生熟悉这定理的条件和结论后,再拿一些具体题目让学生在情境当中运用这两个定理.第2课时角的平分线的判定◇教学目标◇【知识与技能】掌握角平分线性质的逆定理,并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.【过程与方法】经历探究角平分线性质逆定理的过程,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.【情感、态度与价值观】结合实际,创造丰富的情境,提高学生的学习兴趣,让他们在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,树立学习的信心.◇教学重难点◇【教学重点】角平分线性质和判定的应用.【教学难点】运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.◇教学过程◇一、情境导入小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么?二、合作探究探究点1角平分线的判定典例1如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,下列说法:①点P在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是()A.①②③④B.①②③C.④D.②③[解析]∵点P到AE,AD,BC的距离相等,∴点P在∠BAC的平分线上,故①正确;点P在∠CBE的平分线上,故②正确;点P在∠BCD的平分线上,故③正确;点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上,故④正确,综上所述,正确的是①②③④.[答案] A探究点2角平分线判定的应用典例2如图,BE⊥AC,CF⊥AB,BE与CF交于点D,DE=DF,连接AD.求证:(1)∠FAD=∠EAD;(2)BD=CD.[解析](1)∵BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF,∴AD是∠BAC的平分线,∴∠FAD=∠EAD.(2)∵△ADF与△ADE是直角三角形,DE=DF,AD=AD,∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴∠ADF=∠ADE,∵∠BDF=∠CDE,∴∠ADF+∠BDF=∠ADE+∠CDE,即∠ADB=∠ADC,在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴BD=CD.【技巧点拨】本题考查的是角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键.探究点3角平分线性质与判定的综合应用典例3如图,AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线,它们交于点P.求证:BP为∠MBN的平分线.[解析]过P作三边AB,BC,AC的垂线段PD,PE,PF,∵AP是△ABC的外角平分线,PD⊥AD,PF⊥AC,∴PD=PF,∵CP是△ABC的外角平分线,PF⊥AC,PE⊥BC,∴PE=PF,∴PD=PE,PD⊥AD,PE⊥BC,∴BP为∠MBN的平分线.三、板书设计角平分线的判定角平分线的判定◇教学反思◇本节课的内容是角平分线的判定,有前面线段的垂直平分线的性质以及判定,这里的教学过程重点应通过学生作图理解判定中“角的内部”四个字的必要性,在角的外部有没有满足条件的点,引导学生从垂线的角度,点到线段、射线的距离方面加以理解.。

人教版初中八年级数学上册《第十二章 全等三角形》大单元整体教学设计

人教版初中八年级数学上册《第十二章 全等三角形》大单元整体教学设计

人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》——大单元整体教学设计一、内容分析与整合(一)教学内容分析《全等三角形》作为人教版初中八年级数学上册第十二章的核心内容,不仅是几何学知识体系中的一个重要里程碑,也是学生深化几何思维、培养逻辑推理能力的关键章节。

本章内容设计逻辑严密,层次分明,旨在通过系统的学习,使学生全面掌握全等三角形的基本概念、判定方法及其在实际问题中的应用,为后续深入探索相似三角形、三角函数等更高级的数学概念打下坚实的基础。

本章首先从全等三角形的定义切入,明确了两个三角形在完全重合时被称为全等三角形,这一基本概念为后续的学习奠定了理论基础。

教材详细展开了三角形全等的几种主要判定方法,即SSS(三边相等)、SAS(两边及夹角相等)、ASA(两角及夹边相等)和AAS(两角及非夹边相等),每一种判定方法都配以清晰的图形说明和严密的逻辑推理,帮助学生理解并掌握如何根据给定的条件判断两个三角形是否全等。

为了增强学生的实践能力和探索精神,本章还特别融入了“信息技术应用:探究三角形全等的条件”这一环节,鼓励学生利用计算机软件或数学工具进行动态演示和实验操作,通过直观的视觉体验加深对三角形全等判定方法的理解。

这种信息技术与数学教学的深度融合,不仅丰富了教学手段,也极大地提升了学生的学习兴趣和参与度。

本章末尾引入了“角的平分线的性质”这一内容,进一步拓展了全等三角形的应用范畴。

通过学习角的平分线如何影响三角形的形状和大小,学生能够从更广阔的视角理解全等三角形的本质,同时也为后续学习其他几何概念提供了有力的支撑。

《全等三角形》这一章节不仅是对几何学基础知识的深入探索,更是培养学生逻辑思维、空间想象能力和实践操作能力的重要载体。

通过本章的学习,学生不仅能够建立起全等三角形的完整知识体系,还能够在解决实际问题的过程中,体验到数学的严谨之美,为后续的数学学习和个人发展奠定坚实的基础。

教师应充分利用教材资源,结合多样化的教学方法,激发学生的学习兴趣,引导他们主动探索,从而在掌握知识的同时,培养良好的数学素养和创新能力。

人教版初中八年级上册数学《全等三角形》精品教案可编辑全文

人教版初中八年级上册数学《全等三角形》精品教案可编辑全文
(1)全等三角形的对应边相等,对应角相等.( √ ) (2)全等三角形的周长相等,面积也相等.( √ ) (3)面积相等的三角形是全等三角形.( × ) (4)周长相等的三角形是全等三角形.( × )
综合应用
2.如图,△ABC≌△ADE,则AB = ___A_D___, ∠E = __∠__C___.若∠BAE = 120°,∠BAD = 40°,则∠BAC = __8_0_°___.
点A与点D是对应点,则下列结论错误的是( D ).
(A) ∠COA =∠BOD ;
(B) ∠A =∠;
(D) OB =OA .
O
A
D
练习2 △ABN ≌△ACM, ∠ABN 和
∠ACM 是对应角,AB 和AC 是对应边.则下列 结论错误的是( C ).
(A)∠AMC =∠ANB ; (B)∠BAN =∠CAM ; A (C)BM =MN ; (D)AM =AN .
推进新课
问题2 请同学们用复写纸画出两个三角形, 并用剪刀剪下其中一个三角形,观察这两个三角 形有何关系?
知识点1 全等形、全等三角形及其有关概念
问题3 请同学用语言归纳出问题1 和问题2 中 两个图形有何关系?
全等形的定义: 能够完全重合的两个图形叫做全等形. 全等三角形的定义: 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
追问1 请同学们将问题2 的两个三角形分别 标为△ABC、△DEF,观察这两个三角形有何对 应关系?
点A 与点D、点B 与点E、 点C 与点F 重合,称为对应顶点;
边AB 与DE、边BC 与EF、 边AC 与DF 重合,称为对应边;
∠A 与∠D、∠B 与∠E、 ∠C 与∠F 重合,称为对应角.
追问2 你能用符号表示出这两个全等三角形吗?

人教版八年级上册数学第12章全等三角形第全章教案

人教版八年级上册数学第12章全等三角形第全章教案

人教版八年级上册数学第12章全等三角形第全章教案第十二章全等三角形第1课时全等三角形的概念及性质知识要点1.____________相同的图形放在一起能够完全重合,能够完全重合的两个图形叫做全等形.2.能够________的两个三角形叫做全等三角形.3.一个图形经过平移、翻折、旋转,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形________.4.把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做____________,重合的边叫做________,重合的角叫做________.表示方法:△ABC≌△DEF(对应顶点要写在对应位置上) .5.全等三角形的对应边________,全等三角形的对应角________.精典范例例1下列图形中,与已知图形全等的是()例2如图,沿直线AC对折,△ABC与△ADC重合,则:(1)△ABC≌________;(2)AB,AC,BC的对应边分别是______________;(3)∠B,∠BCA的对应角分别是______________.例3如图,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠OAD=80°,求∠C 的度数.例4如图,△EFG≌△NMH,∠F和∠M是对应角.在△EFG中,FG 是最长边.在△NMH中,MH是最长边.EF=2.1cm,EH=1.1cm,NH=3.3cm.(1)写出其他对应边及对应角;(2)求线段NM及线段HG的长度.变式练习1.下列各组图形中,是全等的图形是()2.如图,△ABC与△BAD全等,可表示为,∠C与∠D是对应角,AC与BD是对应边,其余的对应角是,其余的对应边是.3如图,将△ABC沿绕点A旋转之后得到△ADE,则:(1)△ABC≌________;(2)AB,AC的对应边分别是____________;(3)∠BCA的对应角是________.4.如图,已知△ACF≌△DBE,AD=9 cm,BC=5 cm,求AB的长.5如图,△ABC≌△DEF,A与D,B与E分别是对应顶点,∠B =60°,∠A=68°,AB=13cm,则∠F=________°,DE=________cm.巩固练习1.如图,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列结论不正确的是()A.BC=DE B.∠E=∠CC.∠B=∠D D.∠B=∠E2.有下列说法:①全等形的形状相同、大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长、面积分别相等.其中正确的是()A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④3.如图,已知两个三角形全等,则∠α的度数是()A.72°B.60°C.58° D.50°4.已知△ABC≌△DEF,A与D,B与E,C与F分别为对应顶点,若AB=7 cm,BC=5 cm,AC=8 cm,则EF=()A.5 cm B.6 cmC.7 cm D.8 cm5.如图,△ACB≌△DCE,∠BCE=30°,则∠ACD的度数为()A.20° B.30°C.35° D.40°6.如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠DCE=()A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB7.如图,△ABC≌△A′B′C′,其中∠A=36°,∠C′=24°,则∠B=.8.如图,已知△ABC≌△BAD,A和B,C和D分别是对应顶点.如果AB=6,BD=5,AD=4,那么BC的长度是.9.如图,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠BCA=2∶2∶5.若△A′B′C≌△ABC,∠BCA′=20°,则∠BCB′=________.10.如图,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠BEA=135°,则∠C的度数为________.11.如图,△ABC≌△DFE,AB∥DF,AC∥DE,写出相等的边和相等的角.12.如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,△ABE≌△ACD,∠C =42°,AB=9,AD=6,G为AB延长线上一点.(1)求∠EBG的度数;(2)求CE的长.13.如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F,若DE=7,BC=4,∠D=35°,∠C=60°.求:(1)线段AE的长;(2)∠DFA的度数.14.如图,把三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE的内部时.(1)写出图中一对全等的三角形,并写出它们的所有对应角.(2)设∠AED的度数为x,∠ADE的度数为y,那么∠1,∠2的度数分别是多少(用含有x或y的代数式表示)?(3)∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请找出这个关系.第十二章全等三角形第2课时三角形全等的判定(1)——SSS知识要点1.________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).2.只用________的直尺和______作图的方法叫做尺规作图,用尺规作一个角等于已知角的依据是________.精典范例例1如图,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以判定() A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△ACEC.△BDE≌△CDED.以上答案都不对例2如图,用直尺和圆规作一个已知角的平分线的示意图,依据“ ”判定△COM和△CON全等,从而说明OC是∠AOB 的.例3如图,OA=OB,AC=BC.求证:△AOC≌△BOC.例4如图,C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.求证:△ACD≌△CBE.例5如图,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF.求证:AE∥FB.变式练习1.如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC与BD相交于点E,若不再添加任何字母与辅助线,要使△ABC≌△DCB,则还需增加的一个条件是()A.AC=BDB.AC=BCC.BE=CED.AE=DE2.如图,已知OA=OB,AC=BC,∠1=30°,则∠ACB的度数是.3.如图,A,C,F,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF.求证:△ABC≌△DEF.4如图,AD=CB,AE=FC,DF=BE.求证:AD∥BC.5如图,AB=AC,BP=CP.求证:△ABP≌△ACP.巩固练习1.如图,用尺规作出∠OBF=∠AOB,作图痕迹中的弧MN是()A.以点B为圆心,OD长为半径的弧B.以点B为圆心,DC长为半径的弧C.以点E为圆心,OD长为半径的弧D.以点E为圆心,DC长为半径的弧2.如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”判定△ABC和△FED全等,有下列四个条件:①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE.其中可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④3.如图,AB=A1B1,BC=B1C1,AC=A1C1,且∠A=110°,∠B=40°,则∠C1=()A.110° B.40° C.30° D.20°4.如图,已知AB=AC,BD=DC,那么下列结论中不正确的是() A.△ABD≌△ACDB.∠ADB=90°C.∠BAD是∠B的一半D.AD平分∠BAC5.如图,在△ABC中,AD=DE,AB=BE,∠A=85°,则∠DEC =________.6.如图,BC=DC,AB=AD.求证:AC平分∠BAD.7.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E两点在BC上,且有AD =AE,BD=CE.若∠BAD=30°,∠DAE=50°,求∠BAC的度数.8.如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.(1)求证:△ABC≌△DEF.(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.9.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.求证:∠B=∠D.10.如图,AB=CD,AD=CB,在DA,BC的延长线上分别任取一点E,F,连接EF.求证:(1)AB∥CD;(2)∠E=∠F.11.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE.求证:∠3=∠1+∠2.12.如图,AB=AC,DB=DC,EB=EC.(1)图中有几对全等三角形?请一一写出来;(2)选择(1)中的一对全等三角形加以证明.第十二章全等三角形第3课时三角形全等的判定(2)——SAS知识要点__________________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).精典范例例1可以保证△ABC≌△A′B′C′的条件是()A.AB=A′B′,AC=A′C′,∠C=∠C′B.AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′C.AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′D.AB=A′B′,BC=B′C′,∠B=∠B′例2如图,已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,应用“SAS”要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是.例3如图,已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE.求证:△ABE≌△DCE.例4如图,已知AC平分∠BAD,AB=AD.求证:△ABC≌△ADC.例5如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.例6如图,已知AB∥DC,AB=DC,AE=CF.求证:△ABF≌△CDE.变式练习1.如图,若AO=DO,只需补充,就可以根据SAS判定△AOB≌△DOC.2如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.。

数学人教版八年级上册第12章第一节全等三角形教案

数学人教版八年级上册第12章第一节全等三角形教案
5.培养学生的合作交流能力:通过小组讨论、交流分享,激发学生的团队协作精神,提高合作交流能力。
本节课的核心素养目标旨在培养学生在新教材要求下的综合能力,为学生的全面发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-全等三角形的定义:理解全等三角形的含义,即能够完全重合的两个三角形。
-全等三角形的判定方法:掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法,并能准确应用。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调全等三角形的判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS)和性质这两个重点。对于难点部分,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示全等三角形的基本原理和判定方法。
-实际问题转化为数学模型:学生需要将现实生活中的几何问题抽象为全等三角形的数学模型,这是学生感觉难度较大的地方。
举例解释:
-在判定方法的选择上,教师可以通过对比不同判定方法的特点,指导学生如何根据题目条件快速选择合适的方法。
-对于空间想象力的培养,教师可以设计一些动手操作的活动,如让学生制作全等三角形的模型,通过实际操作来增强空间感知。
-全等三角形的性质:了解全等三角形的对应角相等、对应边相等等性质,并能够运用这些性质解决几何问题。
-实际应用:将全等三角形的性质和判定方法应用于解决实际问题,,可以通过实际操作教具或多媒体演示,让学生直观理解全等的概念。
-在讲解判定方法时,通过具体例题,如两个三角形的三边分别相等,引导学生运用SSS判定全等。
-在实际问题转化的教学中,教师可以提供一些典型例题,如房屋建筑中的三角形结构问题,引导学生如何将实际问题抽象为数学模型,并应用全等三角形的性质和判定方法来解决。
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初中数学人教版八年级上册实用资料第十二章全等三角形12.1全等三角形1.了解全等形及全等三角形的概念.2.理解全等三角形的性质.重点探究全等三角形的性质.难点掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律,能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.一、情境导入一位哲人曾经说过:“世界上没有完全相同的叶了”,但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案.你能举出这样的例子吗?二、探究新知1.动手做(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起,观察它们能重合吗?(2)把手中三角板按在纸上,画出三角形,并裁下来,把三角板和纸三角形放在一起,观察它们能够重合吗?得出全等形的概念,进而得出全等三角形的概念.能够完全重合的两个图形叫做全等形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.观察观察△ABC与△A′B′C′重合的情况.总结知识点:对应顶点、对应角、对应边.全等的符号:“≌”,读作:“全等于”.如:△ABC≌△A′B′C′.3.探究(1)在全等三角形中,有没有相等的角、相等的边呢?通过以上探索得出结论:全等三角形的性质.全等三角形的对应边相等,对应角相等.(2)把△ABC沿直线BC平移、翻折,绕定点旋转,观察图形的大小形状是否变化.得出结论:平移、翻折、旋转只能改变图形的位置,而不能改变图形的大小和形状.把两个全等三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.如△ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,其中点A和点D,点B 和点E,点C和点F是对应顶点;AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.三、应用举例例1如图,△ADE≌△BCF,AD=6 cm,CD=5 cm,求BD的长.分析:由全等三角形的性质可知,全等三角形的对应边相等,找出对应边即可.解:∵△ADE≌△BCF,∴AD=BC.∵AD=6 cm,∴BC=6 cm.又∵CD=5 cm,∴BD=BC-CD=6-5=1(cm).四、巩固练习教材练习第1题.教材习题12.1第1题.补充题:1.全等三角形是()A.三个角对应相等的三角形B.周长相等的三角形C.面积相等的两个三角形D.能够完全重合的三角形2.下列说法正确的个数是()①全等三角形的对应边相等;②全等三角形的对应角相等;③全等三角形的周长相等;④全等三角形的面积相等.A.1B.2C.3D.43.如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=85°,∠B=60°,AB=8,EF=5,求∠DFE 的度数与DE的长.补充题答案:1.D2.D3.∠DFE=35°,DE=8五、小结与作业1.全等形及全等三角形的概念.2.全等三角形的性质.作业:教材习题12.1第2,3,4,5,6题.本节课通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验,加深对三角形全等、对应含义的理解,即培养了学生的画图识图能力,又提高了逻辑思维能力.12.2三角形全等的判定(4课时)第1课时“边边边”判定三角形全等1.掌握“边边边”条件的内容.2.能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等.3.会作一个角等于已知角.重点“边边边”条件.难点探索三角形全等的条件.一、复习导入多媒体展示,带领学生复习全等三角形的定义及其性质,从而得出结论:全等三角形的对应边相等,对应角相等.反之,这六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等.思考:三角形的六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等吗?二、探究新知根据上面的结论,提出问题:两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢?出示探究1:先任意画出一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个.你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗?(1)三角形的两个角分别是30°,50°.(2)三角形的两条边分别是4 cm,6 cm.(3)三角形的一个角为30°,一条边为3 cm.学生剪下按不同要求画出的三角形,比较三角形能否和原三角形重合.引导学生按条件画三角形,再通过画一画,剪一剪,比一比的方式得出结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.出示探究2:先任意画出一个△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,C′A′=CA.把画好的△A′B′C′剪下,放到△ABC上,它们全等吗?让学生充分交流后,教师明确已知三边画三角形的方法,并作出△A′B′C′,通过比较得出结论:三边分别相等的两个三角形全等.强调在应用时的简写方法:“边边边”或“SSS”.实物演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架,它的大小和形状是固定不变的.明确:三角形的稳定性.三、举例分析例1如右图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证:△ABD≌△ACD.引导学生应用条件分析结论,寻找两个三角形的已有条件,学会观察隐含条件.让学生独立思考后口头表达理由,由教师板演推理过程.教师引导学生作图.已知∠AOB,求作∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.讨论尺规作图法,作一个角等于已知角的理论依据是什么?教师归纳:(1)什么是尺规作图;(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”.四、巩固练习教材第37页练习第1,2题.学生板演.教师巡视,给出个别指导.五、小结与作业回顾反思本节课对知识的研究探索过程,小结方法及结论,提炼数学思想,掌握数学规律.进一步明确:三边分别相等的两个三角形全等.布置作业:教材习题12.2第1,9题.本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件;运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等.在课堂上让学生参与到探索的活动中,通过动手操作、实验、合作交流等过程,学会分析问题的方法.通过三角形稳定性的实例,让学生产生学数学的兴趣,学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物,为下一节内容的学习打下基础.第2课时“边角边”判定三角形全等1.掌握“边角边”条件的内容.2.能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等.重点“边角边”条件的理解和应用.难点指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.一、复习引入1.什么是全等三角形?2.全等三角形有哪些性质?3.“SSS”具体内容是什么?二、新知探究已知△ABC ,画一个三角形△A′B′C′,使AB =A′B′∠B =∠B ′,BC =B′C′. 教师画一个三角形△ABC.先让学生按要求讨论画法,再给出正确的画法.操作:(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠,观察能重合在一起吗?(2)上面的探究说明什么规律?总结:判定两个三角形全等的方法:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS ”.三、举例分析多媒体出示教材例2.例2 如图,有一池塘,要测池塘两端A ,B 的距离,可先在平地上取一个点C ,从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ,使CD =CA.连接BC 并延长到点E ,使CE =CB.连接DE ,那么量出DE 的长就是A ,B 的距离,为什么?分析:如果证明△ABC ≌△DEC ,就可以得出AB =DE. 证明:在△ABC 和△DEC 中,⎩⎨⎧CA =CD ,∠1=∠2,CB =CE ,∴△ABC ≌△DEC(SAS ). ∴AB =DE.归纳解决实际问题的一般方法是:分析实际问题,按要求画出图形,根据图形及已知条件选择对应的方法.四、课堂练习如图,已知AB =AC ,点D ,E 分别是AB 和AC 上的点,且DB =EC.求证:∠B =∠C.学生先独立思考,然后讨论交流,用规范的书写完成证明过程. 五、小结与作业 1.师生小结:(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法.(2)在判定两个三角形全等时,要注意使用公共边和公共角. 2.布置作业:教材习题12.2第3,4题.本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法,让学生自己动手操作,合作交流,通过学生之间的质疑讨论,发现此定理中角必为夹角,从而得出“边角边”的判定方法.不仅学习了知识,也训练了思维能力,对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好,但要强调书写的格式的规范,同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时,通常通过证明这两个三角形全等来解决.第3课时“角边角”和“角角边”判定三角形全等1.掌握“角边角”及“角角边”条件的内容.2.能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等.重点“角边角”条件及“角角边”条件.难点分析问题,寻找判定两个三角形全等的条件.一、复习导入1.复习旧知:(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?三个角、三个边、两边一角、两角一边.(2)到目前为止,可以作为判定两三角形全等的方法有几种?各是什么?2.[师]在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等.二、探究新知1.[师]三角形中已知两角一边有几种可能?[生](1)两角和它们的夹边;(2)两角和其中一角的对边.做一做:三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4 cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?学生活动:自己动手操作,然后与同伴交流,发现规律.教师活动:检查指导,帮助有困难的同学.活动结果展示:以小组为单位将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.提炼规律:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.(可以简写成“角边角”或“ASA”) [师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个△ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB=A′B′呢?[生]能.学生口述画法,教师进行多媒体课件演示,使学生加深对“ASA”的理解.[生](1)先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长;(2)画线段A′B′,使A′B′=AB;(3)分别以A′,B ′为顶点,A ′B ′为一边作∠DA′B′,∠EB ′A ′,使∠DA′B′=∠CAB ,∠EB ′A ′=∠CBA ;(4)射线A′D 与B′E 交于一点,记为C′.即可得到△A′B′C′.将△A′B′C′与△ABC 重叠,发现两三角形全等. [师]于是我们发现规律:两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等.(可以简写成“角边角”或“ASA ”) 这又是一个判定两个三角形全等的条件. 2.出示探究问题:如图,在△ABC 和△DEF 中,∠A =∠D ,∠B =∠E ,BC =EF ,△ABC 与△DEF 全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?证明:∵∠A +∠B +∠C =∠D +∠E +∠F =180°, ∠A =∠D ,∠B =∠E , ∴∠A +∠B =∠D +∠E. ∴∠C =∠F.在△ABC 和△DEF 中,⎩⎨⎧∠B =∠E ,BC =EF ,∠C =∠F ,∴△ABC ≌△DEF(ASA ). 于是得规律:两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 例 如下图,点D 在AB 上,点E 在AC 上,AB =AC ,∠B =∠C.求证:AD =AE.[师生共析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中,所以要证AD =AE ,只需证明△ADC ≌△AEB 即可.学生写出证明过程.证明:在△ADC 和△AEB 中,⎩⎨⎧∠A =∠A ,AC =AB ,∠C =∠B ,∴△ADC ≌△AEB(ASA ). ∴AD =AE.[师]到此为止,在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束.请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结.学生活动:自我回忆总结,然后小组讨论交流、补充.三、随堂练习1.教材第41页练习第1,2题. 学生板演. 2.补充练习图中的两个三角形全等吗?请说明理由.四、课堂小结有五种判定两个三角形全等的方法: 1.全等三角形的定义 2.边边边(SSS ) 3.边角边(SAS ) 4.角边角(ASA ) 5.角角边(AAS )推证两个三角形全等,要学会联系思考其条件,找它们对应相等的元素,这样有利于获得解题途径.五、课后作业教材习题12.2第5,6,11题.在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下,本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难,让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程,在这节课的教学中,学生也了解了分类思想和类比思想.第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等1.探索和了解直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”. 2.会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.重点探究直角三角形全等的条件.难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明.一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(1)你能帮他想个办法吗?(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?方法一:测量斜边和一个对应的锐角(AAS );方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA 或AAS ). 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗? 二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt △ABC ,使∠C =90°.再画一个Rt △A ′B ′C ′,使∠C′=90°,B ′C ′=BC ,A ′B ′=AB.把画好的Rt △A ′B ′C ′剪下来,放到Rt △ABC 上,它们全等吗?画一个Rt △A ′B ′C ′,使∠C′=90°,B ′C ′=BC ,A ′B ′=AB. 想一想,怎么样画呢?按照下面的步骤作一作: (1)作∠MC′N =90°;(2)在射线C′M 上截取线段B′C′=BC ;(3)以B′为圆心,AB 为半径画弧,交射线C′N 于点A′;(4)连接A′B′.△A ′B ′C ′就是所求作的三角形吗?学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC 上,观察这两个三角形是否全等.由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL ”. 多媒体出示教材例5如图,AC ⊥BC ,BD ⊥AD ,垂足分别为C ,D ,AC =BD.求证:BC =AD.证明:∵AC ⊥BC ,BD ⊥AD , ∴∠C 与∠D 都是直角.在Rt △ABC 和Rt △BAD 中,⎩⎨⎧AB =BA ,AC =BD , ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL ). ∴BC =AD.想一想:你能够用几种方法判定两个直角三角形全等?直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS,ASA,AAS,SSS,还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”.三、巩固练习如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由.学生独立思考完成.教师点评.四、小结与作业1.判定两个直角三角形全等的方法:斜边、直角边.2.直角三角形全等的所有判定方法:定义,SSS,SAS,ASA,AAS,HL.思考:两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等?3.作业:教材习题12.2第7题.本节课教学,主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上,进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对公理的多层次的理解.在教学过程中,让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法,一步步培养他们的逻辑推理能力.12.3角的平分线的性质掌握角的平分线的性质和判定,能灵活运用角的平分线的性质和判定解题.重点角的平分线的性质和判定,能灵活运用角的平分线的性质和判定解题.难点灵活运用角的平分线的性质和判定解题.一、复习导入1.提问角的平分线的定义.2.给定一个角,你能不用量角器作出它的平分线吗?二、探究新知(一)角的平分线的画法教师出示:已知∠AOB.求作:∠AOB的平分线.然后让学生阅读教材第48页上方思考.(教师演示画图)通过对分角仪原理的探究,得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法,师生共同完成具体作法.(二)角的平分线的性质试验:(1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P;(2)分别过点P作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足为D,E;(3)测量PD和PE的长,观察PD与PE的数量关系;(4)再换一个新的位置看看情况怎样?归纳总结得到角的平分线的性质.分析讨论PD=PE的理由.(三)角平分线的判定教师指出:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.(1)写出已知、求证.(2)画出图形.(3)分析证明过程.巩固应用:解决教材第49页思考(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点1.例题:教材第50页例题.2.针对例题的解答,提出:P点在∠A的平分线上吗?通过例题明确:三角形的三个内角的平分线相交于一点.练习:教材第50页练习.三、归纳总结引导学生小组合作交流:(1)本节课学到了哪些知识?(2)你有什么收获?四、布置作业教材习题12.3第1~4题.教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开,先从出示问题开始,鼓励学生思考,探索问题中所包含的数学知识,让学生经历了知识的形成与应用的过程,从而更好的理解掌握角平分线的性质。

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