(完整word)高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型,推荐文档

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x -
1
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x
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x -
1
2
x
知识梳理
（一）函数的单调性
1. 函数单调性定义：对于给定区间 D 上的函数 f(x)，若对于任意 x 1 ,x 2 ∈D,
当 x 1 <x 2 时，都有 f(x 1 ) <f(x 2 )，则称 f(x)是区间 D 上的增函数，D 叫 f(x)单调递增区间． 当 x 1 <x 2 时，都有 f(x 1 )> f(x 2 )，则称 f(x)是区间 D 上的减函数，D 叫 f(x)单调递减区间．
2. 函数单调性的判断方法：
（1） 从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，
则此函数是减函数。

（2） 一般地，设函数 y = f (x ) 的定义域为 I ．如果对于属于定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个自变量的值
x 1 ， x 2 ，且 x 1 < x 2 ，则 x 1 - x 2 < 0
（1） f (x )- f (x )< 0则 ⇔ f (x 1 )- f (x 2 ) > 0 (x ≠ x )即f (x ) 在区间 A 上是增函数；
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（2） f (x )> f (x )则 ⇔ f (x 1 )- f (x 2 ) < 0 (x ≠ x )即f (x ) 在区间 A 上是减函数． 1 2
如果函数 y =
这一区间叫做 y = f (x ) 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，
f (x ) 的单调区间．
单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区
间上函数是增函数或减函数
（3）
复合函数单调性判断方法：设 y = f (u ), u = g (x ), x ∈[a , b ], u ∈[m , n ]
若内外两函数的单调性相同，则 y = f ⎣ g (x )⎦ 在 x 的区间 D 内单调递增， 若内外两函数的单调性相反时，则 y = f ⎣ g (x )⎦ 在 x 的区间 D 内单调递减． （同增异减）
3. 常见结论
若 f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；
若 f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数 1
f (x )
在其定义域内为减函数．
【题型一、单调性的判断】例、写出下列函数的单调区间
（1）y =kx +b, （2）y =k
，（3）y =ax 2 +bx +c ．x
如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
【题型二、用定义法证明单调性】
例、定义法证明函数y=2x+3 在(-∞,+∞) 的单调性.
1
例、判断函数f（x）＝x +在（0,1）上的单调性．
x
【变式训练1】证明函数f (x) =x + 2 在(-1,+∞) 上是增函数．
x +1
【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。

【题型三、单调性的运用】
例、已知f (x) = (-k 2 + 3k + 4)x + 2k -1 在R 上是增函数,则k 的取值范围．
例、函数f (x) =x2 + 2(a -1)x + 2 在(-∞, 4] 上是减函数,则求a 的取值范围．
【变式训练2】已知函数f (x) =x2 + 2ax + 2, x ∈[-5, 5]上是单调函数，a 的取值范围是．
3
【变式训练3】函数f（x）是R 上的减函数,求f（a2－a＋1）与f（4）的大小关系．
【题型四、抽象函数的单调性及其应用】
例、已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是．
x 2 + 2x - 3
例、设 f （x ）定义在 R +上，对于任意 a 、b ∈R +，有 f （ab ）＝f （a ）＋f （b ） 求证：（1）f （1）＝0；
1
（2）f （ x ）＝－f （x ）；
（3）若 x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，则 f （x ）在（1，+∞）上是减函数．
【题型五、复合函数的单调性】 例、求函数 f (x ) =
的单调递减区间。

x 2 - 4x -5
求f(x)= 的单调区间
课后作业：
一、选择题
1 、函数f(x)＝|x| 和g(x)＝x(2－x) 的递增区间依次是( )
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，[1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
2、当| x |≤ 1 时，函数y =ax + 2a + 1 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（）
A. a ≥-
1
3B. a ≤-1 C．-1 <a <-
1
3
D．-1 ≤a ≤-
1
3
3、若函数f (x) 在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f (x) 在区间（a，c）上
（）
A. 必是增函数
B. 必是减函数
C. 是增函数或是减函数
D. 无法确定增减性
二、填空题
4、函数f (x) = 2x 2 -mx + 3 ,当x ∈[-2,+∞) 时,是增函数,当(-∞,-2] 时是减函数,则f(1)=
5、已知f (x) 在定义域内是减函数，且f (x) > 0 ，在其定义域内判断下列函数的单调性：
①y = f (x) +a ( a 为常数)是；②y =a -f (x) ( a 为常数)是；
③ y =
1
f (x)
是；④y =| f (x)2 | 是．
6、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3 在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是．
7、若函数f(x)＝Error!则f(x)的递减区间是．
三、解答题
8、讨论函数f(x) =x 2 - 2ax + 3 在(-2,2)内的单调性。

9、设f(x)是定义在(0,+∞）上的增函数，f(2)=1 ，且f(xy)=f(x)+f(y)，求满足不等式f(x)+f(x-3)≤2 的x 的取值范围.
（二）函数的奇偶性
知识梳理
1、函数奇偶性定义：
1、一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有f (-x)=f (x)，那么就称函数f (x)为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称.
2、一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有f (-x)=-f (x)，那么就称函数f (x)为奇函数. 奇函数图象关于原点对称.
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．
2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0 或f(x)=-f(-x)，则f(x)是奇函数．
（2）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称．
（3）利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数．
3、函数奇偶性的性质：
奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
9 -x 2 1 + x
1 -
x
4、（1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。

若 x 是定义域中的一个数值，则-x 也必然在定义域中，因此， 函数 y = f (x ) 是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。

换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具奇偶性。

（2） 若奇函数 f (x ) 在 x = 0 处有定义，则 f (0) = 0 。

（3） F 1(x ) = f (x ) + f (-x ) 为偶函数， F 2 (x ) = f (x ) - f (-x ) 为奇函数。

（4） 函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，而单调性是相对于定义域内某个区间而言的，是局部性质。

【题型一、有关函数奇偶性的判断或证明的问题】
例、判断下列函数的奇偶性。

① f (x ) = (x - 1)
, ② f (x ) = ,
③ f (x ) =
⎪x 2
+ x ⎪⎩x - x 2 (x < 0)
(x > 0)
④ f (x ) =
⑤ f (x ) =
| x + 2 | -2
【方法技巧】判断函数的奇偶性，第一步是要先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，就是非奇非偶函数，如果对称，接下去再去找 f(x)与 f(-x)之间的关系，牢记好，在定义域内 f(x)=f(-x)则为偶函数，f(-x)=-f(x)
则为奇函数。

【变式训练 4】函数 f (x ) = x - 1
(x ≠ 0) 是(
) x
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
x 2 - 1 1 - x 2
【变式训练 5】若函数y =x2 +bx +c 是偶函数，则有 ( )
A. b ∈R, c ∈R
B. b ∈R, c = 0
C. b = 0, c = 0
D. b = 0, c ∈R
【变式训练 6】设函数f (x) =ax3 + 2bx -1，且f (-1) = 3, 则f (1) 等于（）
A.-3
B.3
C.-5
D. 5
【题型二、应用函数奇偶性求值、求解析式】
例、（1）已知偶函数f (x) 的定义域是(-∞,0) ⋃ (0,+∞) ，当x < 0 时f (x) =x3 + 1 ，求f (x) 的解析式.（2）已知奇函数g(x) 的定义域是 R，当x > 0 时g(x) =x 2 + 2x ，求g(x) 的解析式.
【变式训练7】已知f (x) 是定义在R 上的奇函数，且当x > 0 时，f (x) =x 2 - 2x + 3 ，求f (x) 的解析式。

【题型三、抽象函数的奇偶性的判断】
例、设函数 f (x )，g (x )的定义域为 R ，且 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
【变式训练 8】设 f (x ) 是定义在 R 上的一个函数，则函数 F (x ) = f (x ) - f (-x ) ，在 R 上一定是(
)
A ．奇函数
B ． 偶 函 数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数.
【题型四、有关函数奇偶性的综合问题】
例、设奇函数 f (x ) 在(0, +∞) 上为增函数，且 f (1) = 0
，则不等式
f (x ) - f (-x )
x
< 0 的解集为
（）
A、(-∞, -1) ⋃ (1, +∞)
B、(-∞, -1) ⋃ (0,1)
C、(-1, 0) ⋃ (1, +∞)
D、(-1, 0) ⋃ (0,1)
例、已知函数f (x) =ax2 +bx +c 是定义在[2a,1-a]上的偶函数，则a =，b =．
例、设函数f (x) 对任意x, y ∈R ，都有f (x +y) =f (x) +f ( y) ，求证f (x) 是奇函数；
【变式训练9】设f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c 是常数)且f (-7) = 7 ,则f（7）= ．
若y＝（m－1）x2＋2mx＋3 是偶函数，则m ＝．
⎪
⎩
⎧-x 2 + 2x , x > 0,
已知函数 f (x )＝ ⎨0, x = 0,
⎪x 2 + mx , x < 0
是奇函数．求实数 m 的值；
1. 周期函数
(三)函数的周期性
对于函数 y ＝f (x )，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数 y ＝f (x )为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
2. 最小正周期
如果在周期函数 f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f (x )的最小正周期．
例、设 f (x ) 是(-∞, +∞) 上的奇函数， f (x + 2) = - f (x ) ，当 x ∈[0,1] 时， f (x ) = x ，求 f (7.5) 的值。

例、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A．f(－25)<f(11)<f(80)
B．f(80)<f(11)<f(－25)
C．f(11)<f(80)<f(－25)
D．f(－25)<f(80)<f(11)
【变式训练】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1 时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x 轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
x
课后作业
1．函数 f (x )=4x 2－mx ＋5 在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则 f (1)等于（
）
A ．－7
B ．1
C ．17
D ．25
2．已知函数 f (x )在区间[a ，b ]上单调，且 f (a )f (b )＜0，则方程 f (x )=0 在区间[a ，b ]内（
）
A ．至少有一实根
B ．至多有一实根
C ．没有实根
D ．必有唯一的实根3．已知函数 f (x )=8＋2x －x 2，如果 g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数 g (x )
（
）
A ．在区间(－1，0)上是减函数
B ．在区间(0，1)上是减函数
C ．在区间(－2，0)上是增函数
D ．在区间(0，2)上是增函数
4. 若函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y = f ( x ) 图象上的是（
）
A ． (a ， - f (a ))
B ． (-a ， - f (a ))
C ． (-a ， - f (-a ))
D ． (a ，f (-a ))
5. 下列函数中为偶函数的是（
）
A. y =
B. y = x
C. y = x 2
D. y = x 3 +
1
a ⋅ 2 x +a - 2
6.已知函数f (x) =
2 x +1
(x ∈R) 是奇函数，则a 的值为（）
A. -1
B. - 2 C．1 D．2
7.设偶函数f (x) 的定义域为R ，当x ∈[0,+∞)时，f (x) 是增函数，则f (-2), f () ，f (-3) 的大小关系是（）
A f ()> f (-3) >f (-2)
B f ()> f (-2) >f (-3)
C f ()< f (-3) <f (-2)
D f ()<f (-2) <f (-3)
8.若函数y =f (x) 是奇函数，f (1) = 3 ，则f (-1) 的值为.
9.已知分段函数f (x) 是奇函数，当x ∈[0,+∞) 时的解析式为y =x 2 ，则这个函数在区间(-∞,0) 上的解析式为．
10.判断下列函数是否具有奇偶性：
(1) f (x) =x +x3 +x5 ；(2) f (x) =x2 , x ∈(-1, 3) ；
(3) f (x) =-x 2 ；(4) f (x) = 5x + 2 ；(5) f (x) = (x + 1)(x - 1) .
a
11. 已知函数f(x)＝x2＋x (x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．
12. 已知定义在R 上的函数y＝f(x)满足条件f 题：
①函数f(x)是周期函数；(x＋3)(x－3)
2 ＝－f(x)，且函数y＝f 4 为奇函数，给出以下四个命
3
(－，0)
②函数f(x)的图象关于点 4 对称；
③函数f(x)为R 上的偶函数；
④函数f(x)为R 上的单调函
数．其中真命题的序号为．
变式训练答案：
1、
2、
3、
4、
5、6、7、8、
9、
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。