复合函数与反函数习题(无答案)
1.3复合函数与反函数
数 zn x 在 R + 上严格增, 故对任意有理数 n r r , y x 在 R + 上亦为严格增. m
1/ n
例2
求函数 y e x 1 的反函数 .
x 2 解: e y 1
x ln( y 2 1) y e x 1 1 ，即原函数的值域为(1 , ) 反函数为 y ln( x 2 1) D f 1 (1 , )
( x)
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
定理1
设 y f ( x ), x D为严格增函数, 则 f 必
有反函数 f 1 , 且 f 1在其定义域 f ( D)上也是严格
增函数 .
类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f , 且 f 在其
二、反函数(inverse function)
设函数 f : D f ( D) 是单射，则它存在逆映 射
f
1
: f ( D ) D , 称此映射f 为函数f的 反函数.
y
1
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
D
y 反函数y f
1
x2
二、应用图形的“叠加 ”作函数 y x sin x 的图形 .
三、火车站行李收费规定如下：20千克以下不计费， 20~50千克每千克收费0.20元，超出50千克超出部 分每千克0.30元，试建立行李收费f(x)(元)与行李质 量x(千克)之间的函数关系，并作出图形
离散数学ch8[2]函数的复合与反函数
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第二部分 集合论 函数的复合与反函数
2021/4/5
1
8-2 复合函数和逆函数
一.复合函数 二.逆函数
三.单侧逆函数
2021/4/5
2
复合函数:定义
复合函数(合成函数)
设f：XY, g: YZ是两个函数， 则 gºf={<x,z>y(yY∧y=f(x)∧z=g(y))
称为g和f的复合函数，或合成函数
b)当f-1的自变元是Y的子集Y’时，f-1（Y’）表示Y’ 在f-1下的逆像。
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18
逆函数:逆像f-1（Y’）
例 考虑f是否有逆函数:
a
0
b
1
2 c
则f没有逆函数， 但f-1{{0}} ={b,c}, f-1{{1}} ={a}
3
f-1{{3,4}}=
d
4
2021/4/5
19
单侧逆函数
Ⅱ）xX,gºf(x)=g(f(x))=g(y)=x, ∴gºf=Ix。
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22
单侧逆函数:存在的充要条件
集合X 集合X
2021/4/5
集合Y 集合Y
单射f(x)
g(y)
23
单侧逆函数:存在的充要条件
b) f有右逆元当且仅当f是满射。
充分性：设g是f的右逆元， 则fºg=Iy,
∵ Iy是满射，∴由复合函数定理知，f是满射的。 必要性：用构造性证明）定义g如下：
单侧逆函数
设f: X→Y,g:Y→X, 如果gºf=Ix,则称 g是f的左逆元（左逆函数），
f是g的右逆元（右逆函数）。
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20
单侧逆函数:存在的充要条件
高三数学复合函数与反函数题库
高三数学复合函数与反函数题库题目1：求复合函数的解析式已知函数 f(x) = x^2 + 3 和 g(x) = 2x - 1，求复合函数 f(g(x)) 的解析式。
解析：要求复合函数 f(g(x)) 的解析式，就是将 g(x) 的表达式代入f(x) 中，然后进行化简。
首先，将 g(x) 的表达式代入 f(x) 中得到：f(g(x)) = (2x - 1)^2 + 3接下来，展开并化简这个表达式：f(g(x)) = (2x - 1)(2x - 1) + 3= 4x^2 - 4x + 1 + 3= 4x^2 - 4x + 4因此，复合函数 f(g(x)) 的解析式为 4x^2 - 4x + 4。
题目2：判断函数的反函数是否存在已知函数 f(x) = 2x + 1，判断函数 f(x) 的反函数是否存在，并给出存在时反函数的解析式。
解析：函数 f(x) 的反函数存在的条件是，f(x) 必须为一对一函数，即每个 y 值对应唯一的 x 值。
对于函数 f(x) = 2x + 1，其中任意两个不同的 x 值，经过 f(x) 的运算得到的结果 y 总是不同的。
因此，函数 f(x) 是一对一函数，反函数存在。
接下来，我们使用代换法求反函数的解析式。
设反函数为 f^(-1)(x)，则有：y = 2x + 1将 x 和 y 交换位置：x = 2y + 1解方程，得到反函数的解析式为：f^(-1)(x) = (x - 1) / 2因此，函数 f(x) 的反函数存在，并且反函数的解析式为 (x - 1) / 2。
题目3：求反函数的导数已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5，判断函数 f(x) 的反函数是否存在，并求反函数的导数。
解析：根据题目2的解析，函数 f(x) 的反函数存在，因此我们可以求出反函数的解析式，然后利用导数的定义进行计算。
首先，设反函数为 f^(-1)(x)，则有：y = 2x^2 + 3x - 5将 x 和 y 交换位置：x = 2y^2 + 3y - 5解方程，得到反函数的解析式为：f^(-1)(x) = (-3 ± √(25 + 8x)) / 4接下来，我们利用导数的定义来计算反函数的导数。
函数的复合与反函数的计算
函数的复合与反函数的计算在数学中，函数的复合和反函数是重要的概念。
函数的复合是将两个函数组合在一起形成一个新的函数，而反函数则是原函数的逆运算。
本文将详细介绍函数的复合和反函数的计算方法。
一、函数的复合函数的复合是指将两个函数相互组合形成一个新函数。
设有函数f(x) 和 g(x)，那么它们的复合函数可以表示为 f(g(x))。
具体来说，对于给定的输入 x，先将 x 输入到函数 g(x) 中，然后再将 g(x) 的输出作为f(x) 的输入。
例如，我们有两个函数 f(x) = 2x + 3 和 g(x) = x^2，要计算这两个函数的复合函数 f(g(x))，先将 x 输入到 g(x) 中得到 g(x) = x^2，再将 g(x)的结果输入到 f(x) 中，即 f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2) + 3 = 2x^2 + 3。
二、反函数的计算反函数是指给定一个函数 f(x)，找到一个函数 g(x)，使得 f(g(x)) = x，并且 g(f(x)) = x。
换句话说，反函数是原函数的逆运算。
要计算函数的反函数，需要进行如下步骤：1. 设原函数为 f(x)。
2. 将 f(x) 表示为 y = f(x)。
3. 交换自变量和因变量，即将 y = f(x) 改写为 x = f^(-1)(y)。
4. 解上述方程得到 f^(-1)(y)。
5. 将 f^(-1)(y) 表示为反函数 f^(-1)(x)。
需要注意的是，并非所有函数都存在反函数。
函数存在反函数的条件是函数是一一对应的。
举例说明，假设有函数 f(x) = 2x + 3，要计算它的反函数 f^(-1)(x)。
首先将 f(x) 表示为 y = 2x + 3，然后将 x 和 y 互换位置得到 x = 2y + 3，解方程可以得到 y = (x - 3) / 2，因此反函数为 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。
三、函数复合和反函数的关系函数的复合和反函数有着紧密的联系。
复合函数题
复合函数题一、选择题1. 已知f(x)=x^2，g(x)=2x + 1，则f(g(x))=（）- A.(2x + 1)^2- B.2x^2+1- C.4x^2+1- D.4x^2+4x+1解析：f(g(x))就是将g(x)作为f(x)的自变量代入f(x)中。
因为g(x)=2x + 1，f(x)=x^2，所以f(g(x))=(2x + 1)^2=4x^2+4x + 1。
答案为D。
2. 若y = f(u)，u=φ(x)，且f(u)和φ(x)均可导，y = f(φ(x))，则y^′=（） - A.f^′(u)- B.φ^′(x)- C.f^′(u)·φ^′(x)- D.f^′(φ(x))+φ^′(x)解析：根据复合函数求导法则，若y = f(u)，u=φ(x)，则y^′=f^′(u)·φ^′(x)。
答案为C。
3. 设f(x)=√(x)，g(x)=x + 1，则g(f(x))的定义域为（）- A.[0,+∞)- B.[-1,+∞)- C.(-1,+∞)- D.(0,+∞)解析：首先求g(f(x))的表达式，g(f(x))=√(x)+1。
对于√(x)，要使其有意义，则x≥slant0，所以g(f(x))的定义域为[0,+∞)。
答案为A。
4. 已知f(x)=sin x，g(x)=x^2，则f(g((π)/(2)))=（）- A.1- B.0- C.sinfrac{π^2}{4}- D.sin(π)/(2)解析：先求g((π)/(2))，g((π)/(2)) = ((π)/(2))^2=frac{π^2}{4}。
再求f(g((π)/(2)))=f(frac{π^2}{4})=sinfrac{π^2}{4}。
答案为C。
5. 若f(x)=e^x，g(x)=ln x，则f(g(x))=（）- A.x- B.e^ln x- C.ln e^x- D.1解析：f(g(x))=e^ln x=x（x>0）。
第04节 反函数与复合函数
e
1
1 1
图1--33
1
o
x
1 ( x 0, x 1), 例6 设 f ( x) 1 x
求 f [ f ( x)] , f f [ f ( x)].
解
1 1 1 x 1 f f ( x) . x 1 f ( x) 1 1 x 1 x 1 x 1 1 f f f ( x) x. 1 f f ( x) 1 x 1 x
2
2
解：由 y ln( x 1 x ) ，解得
x 1 x e
2
y
(1)
1 x x ，得
2
将左边乘
1 x x 再除
2
1 1 x x
2
e
y
y
即
1 x x e
2
(2)
（1）－（2）整理后得
e e x 2
y
y
将上式中的 y 换成 x ， x 换成 y ，因此 得出 y ln( x 1 x ) 的反函数是
2
e e y 2
x
x
.
例3 求 y
3
x 1 x
2
3
x 1 x2
的反函数．
解：将 y
3
x 1 x
2
3
x 1 x
2
两边立方, 得
y x 1 x 3( x 1 x ) ( x 1 x 2 )
3 2 3 2 2 3
3( 3 x 1 x 2 )( 3 x 1 x 2 ) 2 x 1 x 2
1 x 1 x ) 2 1( x 0) , 例7 设 f ( x x 2x 2x 1 求 f ( x).
反函数和复合函数的求导法例
ln
1 1
x x
)
1
1 x
1 x2
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
复合函数的反函数练习题
复合函数的反函数练习题一、基础题1. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2，求(f ∘ g)(x)的反函数。
2. 已知函数f(x) = 3x 5，求f(f(x))的反函数。
3. 设函数f(x) = 4 x，g(x) = 1/x，求(g ∘ f)(x)的反函数。
4. 已知函数f(x) = 5x + 2，g(x) = 2x 1，求(f ∘ g)(x)的反函数。
5. 设函数f(x) = log_2(x)，g(x) = 2^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
二、提高题1. 设函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
2. 已知函数f(x) = sqrt(x + 1)，g(x) = x^2 1，求(f ∘g)(x)的反函数。
3. 设函数f(x) = sin(x)，g(x) = arccos(x)，求(g ∘ f)(x)的反函数。
4. 已知函数f(x) = cos(x)，g(x) = arctan(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
5. 设函数f(x) = tan(x)，g(x) = arccot(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
三、综合题1. 设函数f(x) = (1/2)^x，g(x) = 2^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
2. 已知函数f(x) = (3/4)x + 7，g(x) = (4/3)x 28/3，求(f∘ g)(x)的反函数。
3. 设函数f(x) = |x 5|，g(x) = x^2，求(f ∘ g)(x)的反函数。
4. 已知函数f(x) = x^3，g(x) = sqrt[3](x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。
5. 设函数f(x) = log_3(x)，g(x) = 3^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
四、变换题1. 设函数f(x) = 1/(x+1)，g(x) = 1/x，求(f ∘ g)(x)的反函数。
解函数的复合与反函数的练习题
解函数的复合与反函数的练习题一、解函数的复合在数学中，函数的复合是指将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值。
通过函数的复合，我们可以得到更复杂的函数，从而解决一些复杂的问题。
下面是一些关于函数的复合的练习题，请仔细思考并解答。
练习题1:已知函数f(x) = 2x + 1， g(x) = x^2，求复合函数h(x) = f(g(x))。
解答：首先将函数g(x)代入函数f(x)中，得到h(x) = f(g(x)) = f(x^2)。
接下来，将x^2代入函数f(x)中，得到h(x) = f(x^2) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1。
所以，复合函数h(x) = 2x^2 + 1。
练习题2:已知函数f(x) = √x， g(x) = 2x，求复合函数h(x) = g(f(x))。
解答：首先将函数f(x)代入函数g(x)中，得到h(x) = g(f(x)) = g(√x)。
接下来，将√x代入函数g(x)中，得到h(x) = g(√x) = 2(√x) = 2√x。
所以，复合函数h(x) = 2√x。
二、解函数的反函数函数的反函数是指对于函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x，并且g(f(x)) = x，那么函数g(x)就是函数f(x)的反函数。
练习题3:已知函数f(x) = 3x - 2，求函数f(x)的反函数g(x)。
解答：要求函数f(x)的反函数g(x)，首先可以令g(x) = y，然后将y代入函数f(x)中，得到f(g(x)) = 3g(x) - 2 = x。
接下来，解方程3g(x) - 2 = x，将g(x)与x互换位置，得到3g(x) = x + 2，再将等式两边除以3，得到g(x) = (x + 2) / 3。
所以，函数f(x)的反函数g(x) = (x + 2) / 3。
练习题4:已知函数f(x) = 2x + 1，求函数f(x)的反函数g(x)。
高中数学三角函数的复合与反函数应用解析
高中数学三角函数的复合与反函数应用解析在高中数学中，三角函数是一个重要的概念。
而在三角函数的学习中，复合函数和反函数是两个常见的应用。
本文将通过具体的题目举例，分析和说明这两个应用的解题技巧，并适用于高中学生及其父母。
一、复合函数的应用复合函数是指将一个函数作为另一个函数的输入。
在三角函数中，常见的复合函数应用是求解复合函数的值。
下面通过一个例子来说明。
例题：已知函数f(x) = sin(x)，g(x) = x^2，求解f(g(π/4))。
解析：首先，将g(x)的函数值代入f(x)中。
由于g(x) = x^2，所以g(π/4) =(π/4)^2 = π^2/16。
然后，将g(π/4)的值代入f(x)中。
由于f(x) = sin(x)，所以f(g(π/4)) = sin(π^2/16)。
最后，利用计算器或查表等方法，求解sin(π^2/16)的近似值。
这个例题中，复合函数的应用是通过将g(π/4)的值代入f(x)来求解f(g(π/4))的值。
通过这个例题，我们可以看出复合函数的应用是通过将一个函数的值代入另一个函数来求解复合函数的值。
二、反函数的应用反函数是指一个函数与其逆函数互为对方的输入输出关系。
在三角函数中，常见的反函数应用是求解反函数的值。
下面通过一个例子来说明。
例题：已知函数f(x) = sin(x)，求解f^(-1)(1)。
解析：首先，我们知道sin(x)在闭区间[-π/2, π/2]上是单调递增的，且在该区间上的值域为[-1, 1]。
因此，f^(-1)(1)存在。
然后，我们需要找到sin(x) = 1的解。
根据三角函数的定义，我们知道当x =π/2时，sin(x) = 1。
因此，f^(-1)(1) = π/2。
这个例题中，反函数的应用是通过求解sin(x) = 1的解来求解f^(-1)(1)的值。
通过这个例题，我们可以看出反函数的应用是通过求解函数的方程来求解反函数的值。
三、一反三通过以上的例题，我们可以看出复合函数和反函数的应用在高中数学中是非常常见的。
复合函数与反函数 初等函数
第3节 复合函数与反函数 初等函数
一、复合函数 二、反函数 三、初等函数 四、小结与习题
一、复合函数 映射—函数 复合映射—复合函数
g (D)
1.复合函数定义 定义：设有两个函数
y f (u),u D1
u g ( x), x D
如果 g (x) 的值域 Rg 与 f (u ) 的定义域 D f 满足
Rg D f
则称由函数 u g (x) 与函数 y f (u ) 构成一个
( 复合函数， 记作：f g 即 ( f g）x) f ( g ( x)), x D
f ( g ( x))
与 g ( f ( x)) 不是同一个函数；
第三，函数的复合可由多个函数构成。
2 y (u) lg u (u (0,), u ( x) - x ( x R) 例2．设
由于 故
R( ) (-,0],
R( ) D( ) (-,0) (0,)
2 x
是初等函数。 注：分段函数一般不是初等函数，如符号函数 y sgn x不是初等函数，绝对值函数 y x 虽然可
x x2 分段表示，但由于
，故仍是初等函数。
四、小结与习题
1.复合函数的复合与分解 2.反函数及其求法 3.基本初等函数、初等函数的形式以及相关 图像与性质 4.习题1-3分析 1、3、4双数，7、8、9
性质（单调性、奇偶性）
x (3)指数函数—— y a（a 0，且a 1），x (-,)
分a 1和0 a 1 两种情况，讨论指数函数的图像
高中数学练习题附带解析三角函数的复合与反函数
高中数学练习题附带解析三角函数的复合与反函数高中数学练习题附带解析：三角函数的复合与反函数一、选择题1. 已知函数 $f(x)=sinx, g(x)=cosx$，则复合函数 $f(g(x))$ 等于（）A. $tanx$B. $cotx$C. $-sinx$D. $-cosx$2. 已知 $\sin x=0.8$，则 $x$ 的近似值为（）A. $0.6435$B. $0.9273$C. $0.7739$D. $0.5019$3. 函数 $f(x)=\arctan x$ 的反函数为（）A. $f^{-1}(x)=\tan x$B. $f^{-1}(x)=\cot x$C. $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$D. $f^{-1}(x)=\tan^{-1} x$4. 若直角三角形中对边为$3$，斜边为$5$，则其一角正弦值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{1}{5}$D.$\frac{5}{3}$5. 设 $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$，则 $\tan^{-1}(-\tan x)=$（）A. $-\pi-x$B. $-\frac{\pi}{2}+x$C. $-\frac{\pi}{2}-x$D. $-\pi+x$二、填空题1. 已知 $\sin x=\frac{2}{3}$，则 $\cos(x+\frac{\pi}{6})=$________2. 已知 $\cos(\sin^{-1}x)=\sqrt{1-x^2}$，则 $\sin(\cos^{-1}x)=$________3. 已知 $f(x)=\cos^{-1}(2x^2-1)$，则$f(\frac{\sqrt{6}}{4})=$________三、计算题1. 已知 $\sin x= \frac{1}{4}$，$\sin y =\frac{3}{5}$，$\cos x < 0$，$\cos y > 0$，求 $\sin(x+y)+\cos(x-y)$ 的值。
指数函数与对数函数的方程与复合与反函数练习题
指数函数与对数函数的方程与复合与反函数练习题指数函数与对数函数是高中数学中重要的概念和工具，它们在解方程、描述增长和衰减的过程等方面具有广泛的应用。
本文将通过练习题的形式，帮助读者巩固指数函数与对数函数的知识并培养解题能力。
练习题一：指数函数的方程1. 解方程 $2^x = 8$。
解析：将8写成2的指数形式，即$8=2^3$。
因此，原方程可写为$2^x = 2^3$。
根据指数函数相等的性质，可得$x=3$。
2. 解方程 $5^{2x-1} = \frac{1}{125}$。
解析：将$1/125$写成5的指数形式，即$1/125 = 5^{-3}$。
根据指数函数相等的性质，可得$2x-1=-3$。
解得$x=-1$。
练习题二：对数函数的方程1. 解方程 $\log_2{x} = 3$。
解析：根据对数函数的定义，可将方程改写为$2^3 = x$。
计算得$x=8$。
2. 解方程 $\log{x} = 2$，其中以10为底。
解析：根据对数函数的定义，可将方程改写为$10^2 = x$。
计算得$x=100$。
练习题三：指数函数与对数函数的复合1. 计算复合函数 $f(x) = \log_2{(2^x)}$ 的值。
解析：根据复合函数的定义，$f(x) = \log_2{(2^x)} = x \cdot \log_2{2} = x$。
因此，对于任意的 $x$，$f(x) = x$。
2. 计算复合函数 $g(x) = 2^{\log_5{x}}$ 的值。
解析：根据复合函数的定义，$g(x) = 2^{\log_5{x}} =x^{\log_5{2}}$。
因此，$g(x)$ 的值与 $x$ 的关系取决于$\log_5{2}$ 的值。
练习题四：指数函数与对数函数的反函数1. 求函数 $y = \log_2{x}$ 的反函数。
解析：设反函数为 $f^{-1}(x)$，则根据反函数的定义，$f(f^{-1}(x)) = x$。
深入理解三角函数的反函数与复合函数模拟试题
深入理解三角函数的反函数与复合函数模拟试题近年来，三角函数的反函数与复合函数在数学中的应用越来越广泛。
深入理解三角函数的反函数与复合函数对于提高数学能力和解决实际问题都具有重要意义。
本文将通过模拟试题，帮助读者更好地理解三角函数的反函数与复合函数。
1. 对以下函数进行判断，并简要说明为什么它们是三角函数的反函数。
(1) y = sin(x)(2) y = cos(x)(3) y = tan(x)解析：(1) y = sin(x)的反函数是y = arcsin(x)。
因为sin(arcsin(x)) = x，即反函数的应用可以将sin函数的输出逆向还原为输入值。
(2) y = cos(x)的反函数是y = arccos(x)。
同样地，cos(arccos(x)) = x，反函数的应用可逆向还原cos函数的输出为输入值。
(3) y = tan(x)的反函数是y = arctan(x)。
tan(arctan(x)) = x，反函数的应用可逆向还原tan函数的输出为输入值。
2. 求下列复合函数的解析式。
(1) y = sin(arcsin(x))(2) y = arccos(cos(x))(3) y = tan(arctan(x))解析：(1) y = sin(arcsin(x)) = x。
这是由于sin和arcsin函数互为反函数，复合后可以还原为x。
(2) y = arccos(cos(x)) = x + k2π，其中k为整数。
在复合函数中，arccos和cos函数互为反函数，可以将其还原。
(3) y = tan(arctan(x)) = x。
tan和arctan函数互为反函数，复合后可还原为x。
3. 给定复合函数y = sin(2x + π/6)，求y的周期与相位差。
解析：对于y = sin(2x + π/6)而言，根据正弦函数的一般式y = A*sin(Bx + C)的特点可知，其周期为2π/B，相位差为-C/B。
高中数学复合函数练习试题
WORD 格式第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,假设A mB,那么y 关于x 函数的y=f[g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： (一)例题剖析：(1)、f (x)的定义域,求f [g(x)]的定义域思路：设函数f (x)的定义域为D,即x W D ,所以f 的作用范围为D,又f 对g(x)作用,作用范 围不变,所以g(x)wD,解得x wE, E 为f [g(x)]的定义域.例1.设函数f (u)的定义域为(0,1),那么函数f (ln x)的定义域为.解析：函数f (u)的定义域为(0, 1)即u w (0, 1),所以f 的作用范围为(0, 1) 又f 对inx 作用,作用范围不变,所以 0 < ln x < 1 解彳导x W (1, e),故函数f (in x)的定义域为(1, e)例2.假设函数f(x) =^1-,那么函数f [f(x)]的定义域为 .x 1 1解析：由f (x)= ,知x # —1即f 的作用氾围为｛x u R|x 丰—1｝,又f 对f(x)作用所以x 1x~- -1f (x) W R 且f (x) ¥ —1 ,即 f [f (x)]中 x 应满足 «f(x)一⑵、f Ig(x)】的定义域,求f(x)的定义域思路：设f [g(x)]的定义域为D,即x w D ,由此得g(x) w E ,所以f 的作用范围为E,又f 对x 作用,作用范围不变,所以 x w E, E 为f (x)的定义域.例3.f (3-2x)的定义域为x w I —1, 2],那么函数f (x)的定义域为.解析：f(3—2x)的定义域为[-1, 2],即x wl —1, 2],由此得3 —2x 亡[―1, 5] 即函数f(x)的定义域为[一1, 5]2例4.f (x 2 Y _lg x ,那么函数f (x)的定义域为 ________________________________x x 2 -82 22x x解析：先求f 的作用范围,由f (x 2 -4) = lg ———,知———> 0 f(x)的定义域为 x - 8 x -8可编辑；x R|x = -1 且x= -2)专业知识 WORD 格式(4,十叼⑶、f [g(x)l 的定义域,求f h(x)]的定义域思路：设f Ig(x)]的定义域为D,即x w D ,由此得g(x) w E , f 的作用范围为E ,又f 对h(x) 作用,作用范围不变,所以h(x) w E ,解得x w F , F 为f Ih(x)]的定义域.例5.假设函数f(2x )的定义域为[—1, 1],那么f (log 2 x)的定义域为.1解析：f(2x )的定义域为1—1, 1],即x w I —1, 1],由此得2x w , 22f 的作用范围为.(,2 ।又f对10g 2 x 作用,所以log 2 xw [； , 2l,解得x w[J 2, 4]即f (log 2 x)的定义域为IV 2 , 4 ] (二)同步练习：21、函数f(x)的定义域为[0,1],求函数f(x )的定义域.答案：[一1, 1]2、函数f(3—2x)的定义域为[一3,3],求f(x)的定义域.答案：[—3,9]13(--.0) .. (1 -3、函数y=f (x 2)的定义域为(一1,°),求f (12x 一1.的定义域.答案：22三、复合函数单调性问题(1)引理证实函数y= f (g(x)).假设u =g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c , d),又函数y = f (u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数 y = f (g(x))在区间(a,b )上是增函数.证实：在区间(a,b)内任取两个数 x 1, x 2,使a < x 1 < x 2 < b由于 u = g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以 g(x 1) a g(x 2),记 u 1 = g(x 1), u 2=g(x 2) 即 u 1 >u 2JLu 1 ,u 2 曰(c,d)由于函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f (u 1) < f (u 2),即f (g(x 1)) < f (g(x 2)), 故函数 y = f (g(x))在区间(a,b)上是增函数.(2).复合函数单调性的判断整理分享可编辑复合函数的单调性是由两个函数共同决定.为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表：专业知识i 确定函数的定义域；五将复合函数分解成两个简单函数：y = f (u)与u = g(x)iii 分别确定分解成的两个函数的单调性；iv假设两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),那么复合后的函数y = f (g(x))为增函数； 假设两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减 函数),那么复合后的函数 y = f(g(x))为减函数.(4)例题演练2例1、求函数y=l0g l (x —2x —3)的单调区间,并用单调定义给予证实.2 2斛：TE 乂域 x —2x —3>0= x >3wJ(；x < -1 o 单调减区间是(3,+w ) 设22x 1 ,x 2 =(3, F )且x 1 < x 2 贝U y 1= 10g l(x 1 —2x 1—3) y 2 = log 1 (x 2—2x 2—3)22,2 2(x 1 -2x 1 -3) 一 (x 2 -2x 2一⑤=(x 2-x 1 )(x 2 +x 1 —2) x 2 Ax i > 3x 2 - x 1 > 022 _…_ 1 .x 2+x 1—2A0 (x 1 -2x 1 -3) >(x 2 -2x 2 -3) 又底数 0<鼻<1:y 2—y 1 <0 即 y 2 < y 1 .. y 在(3,十整)上是减函数.同理可证：y 在(_吗—1)上是增函数.［例］2、讨论函数f (x ) = 1og a (3x 2 —2x —1)的单调性.1［解］由3x 2 — 2x —1 >0得函数的定义域为{x | x >1,或x <——}.3那么当 a >1 时,假设 x>1, .「u=3x 2—2x —1 为增函数,：f(x) = 1og a (3x 2—2x —1)为增函数.41右 x <u =3x 2—2x —1 为减函数.f (x) = 1og a (3x 2—2x — 1)为减函数.31WORD 格式可编辑以上规律还可总结为：“同向得增,异向得减〞或“同增异减〞(3)、复合函数y = f (g(x))的单调性判断步骤：整理分享当0 <a <1 时,右x >1 ,那么f(x) =1 og3x2-2x-1)为减函数,右x<——,那么3 f(x) =1 o g(3x2-2x -1)为增函数.(5)同步练习:专业知识整理分享1 .函数y= 10g l 〔x2 —3x + 2〕的单调递减区间是〔〕2A. 〔—8, 1〕B. 〔2,十8〕C. 〔—8, 3 〕D. 〔 3 ,十8〕答案：B2 22找出以下函数的单调区间.〔1〕y =a^2q3x42〔a>1〕;〔2〕 y =23〞3...... ............... 3,3答案：〔1〕在〔一CO ,―］上是增函数,在［―,+幻〕上是减函数.22〔2〕单调增区间是［―1,1］,减区间是［1,3］.3、讨论 y =log a (a x —1),(a >0,且a#0)的单调性.答案：a >1,时〔0,十/〕为增函数,1>aA0时,〔_g,0〕为增函数. 变式练习、选择题解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,x-1>0所以410g 1 (x —1)之0解彳导1<x&2. 答案:22 .函数y= 10g l 〔x2-3x + 2〕的单调递减区间是〔〕 2上单调递减,在〔2,十8〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原那么,函数〔2,十8〕上单调递减.答案：B3 .假设 2 1g (x-2y) = lg x+ lg y,那么y 的值为()xA. 4B. 1 或1C. 1 或 4D. 14 4y 1 、x错斛：由 21g (x — 2y) = lg x+ lg y,得(x — 2y) =xy,斛得 x= 4y 或 x= y,那么有—=一或一=x 4 y1.答案：选B 正解：上述解法忽略了真数大于 0这个条件,即x-2y>0,所以x>2y.所以x=y 舍掉.只有x = 4y.答案：D4.假设定义在区间〔T , 0〕内的函数f 〔x 〕 = log 2a 〔x + 1〕满足f 〔x 〕 >0,那么a 的取值范围为〔〕专业知识1.函数f (x)=J l0g l 〔x —1〕的定义域是〔2A. (1,+8)B. (2, i)C. (—8, 2)D. (1,2]A. 〔—8, 1〕B. 〔2,+8〕C. 〔—8,解析：先求函数定义域为〔—o, 1〕 口〔2,十8〕D.3,一 2(x) = x2+ 3x+ 2,函数 t (x)在(―00,1)y= log 1 (x 2-3x+2)在2整理分享B. (0, 1 )C. ( 1 ,十③)D. (0,十③) 2 2(—1, 0),所以x+1 e (0, 1) .当f (x) >0时,根据图象只有<a< 1 (根据本节思维过程中第四条提到的性质).答案：A2 ,2 、,一5.函数y= lg (—1)的图象关于()1— xA. y 轴对称B. x 轴对称 C .原点对称 D.直线y=x 对称2 . . 1+ x . 1 + x . 1+ x解析：y= lg ( ------- -D = lg -------- ,所以为奇函数.形如 y = lg ---------- 或y= lg ------ 的函数都1 —x 1— x 1 —x 1— x为奇函数.答案：C二、填空题y= log a (2—ax)在［0, 1］上是x 的减函数,那么a 的取值范围是 .解析：a>0且a,1 =N (x)=2—ax 是减函数,要使y= log a(2 —ax)是减函数,那么 a> 1,又2-ax>0n a< 2 (0<x<1) = a<2,所以 ae (1, 2). 答案：ae (1, 2)3一 .,,一,1 x ,7 .函数f (x)的图象与g (x)=(—)邛勺图象关于直线y= x 对称,那么f (2x —x2)的单调递减区间为.那么 f (2x —x 2) = log 1 (2x —xb,令 N (x) =2x —x 2>0,解得 0Vx<2. 3N (x) =2x-x 2在(0, 1)上单调递增,那么f ［ N (x)］在(0, 1)上单调递减; k(x) =2x-x 2在(1,2)上单调递减,那么f ［ N(x)］在［1,2)上单调递增.所以f (2x —x 2)的单调递减区间为(0, 1). 答案：(0, 1)8 .定义域为 R 的偶函数f (x)在［0,+00］上是增函数,且 f (1) =0,2那么不等式f (log4x)的解集是.解析：由于f (x)是偶函数,所以f (―1)=f (1)=0.又f (x)在［0,上是增函数,2 211所以 f (x)在(―00, 0)上是减函数.所以 f (l ogx) > 0n l og4x> —或 l og4x< ——.一 …1 一解彳tx>2或0<x< . 答案:2三、解做题一2 3- 2x10.设函数 f (x)=——十 lg , 3x + 5 3+ 2x(1)求函数f (x)的定义域；(2)判断函数f (x)的单调性,并给出证实；(3)函数f (x)的反函数 厂1 (x),问函数y = f 1 (x)的图象与x 轴有交点吗？假设有,求出交点 坐标；假设无交点,说明理由.专业知识 ,1、A. (0,)2 解析：由于x e 0V 2a<l ,解得 0解析：由于f (x)与g (x)互为反函数,所以f (x) = 10g l x 3x>2或 0<x< 12整理分享3- 2x- 5 3 3解：(1)由3x+5,0且>0,解得x,— 且一 <x<.取交集得一3+ 2x 322(2)令R (x) =3x+5,随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数；3— 2x6=-1+ —— 随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数.3+ 2x 3+ 2x3- 2x ............................又y=lgx 在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y= lg 是减函数,所以f (x)3+ 2x3— 2x 一 十lg .是减函数.3+ 2x(3)由于直接求f (x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域 的关系求解.设函数f (x)的反函数fT (x)与工轴的交点为(x°, 0) .根据函数与反函数之间定义域与值域的关2 ________ .系可知,f(x)与y 轴的父点是(0, x .),将(0,x .)代入f (x),解得XO = — .所以函数y = f(x)的5…,,一一. 2 图象与x 轴有交点,交点为(一,0).5一.指数函数与对数函数.同底的指数函数 y=a x 与对数函数y =log a x 互为反函数; (二)主要方法：1 .解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域；2 .指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1还是小于1,要注意对底数的讨论；3 .比拟几个数的大小的常用方法有：①以和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.(三)例题分析：2 . . , b例1.(1)右a >b >a >1,那么10g b —,10g b a , 10g a b从小到大依次为 ax y - z(2)右2 =3 =5 ,且x, y, z 都是正数,那么2x , 3y , 5z 从小到大依次为 (3)设x >0,且a x <b x <1(a>0, b a 0),那么a 与b 的大小关系是(B)a<b<1(C)1<b<a (D)1<a<b.一 .2 . . b b解：(1)由 a Ab >a A 1得一 <a ,故 log b — <l 0g b a <1 < log a b .(2)令 2x =3y =5z =t ,那么 t >1 , x=~1g y=_1g _t', z = "1gt lg2 1g3 1g5同理可得：2x —5z <0 , ： 2x <5z , ： 3y <2x <5z . (3)取 x =1 ,知选(B).3 < x<23x+5(A)b<a<12x - 3y =皿一到 JgLTg 8；.,： 2x>3y ；lg 2 lg3 lg 2 lg3专业知识整理分享。
(完整版)复合函数与反函数习题(无答案)
复合函数1、已知函数f (x )的定义域为[ 0, 1]，求函数f (x2)的定义域（）。
2、已知函数f (32x )的定义域为[3,3]，求f ( x)的定义域（）3、已知函数yf (x2)的定义域为(1,0) ，求 f (| 2x1 |)的定义域（）。
4、设f x lg 2x，则 f x f2的定义域为（）2x2xA.4,00,4B.4, 11,4C.2,11,2D.4, 22,45．函数 y＝ log 12－3 ＋ 2）的单调递减区间是（）（ x x2A．（－∞， 1）B．（ 2，＋∞）C．（－∞， 3 ）D．（3，＋∞）22 6．找出以下函数的单调区间 .（ 1）y a x2 3 x 2(a1) ；2（ 2）y2x2x 3.7 、谈论y log a (a x1), ( a 0, 且 a0) 的单调性。
8 ．求函数y＝log1（x2－ 5x＋4）的定义域、值域和单调区间．3反函数 ,1、函数y2x1( x1) 的反函数是（）A．y log 2 (x1), x(1,3)B．y1log 2x, x(1,3)C．y log2( x1), x (1,3]D．y 1 log 2 x, x (1,3] 2．函数y21x3( x R) 的反函数的剖析表达式为()（ A）y log 223（ B）y log 2x 3（ C）y log 2 3 x（ D）y log 22x223x 3. y2x x2(1x2) 反函数是（）（A）（C）y11x 2 ( 1x1)（ B）y 11 x 2 (0 x 1) y11x 2 ( 1x1)（ D）y 11 x 2 (0 x 1)4、已知函数 f (x) a x b 的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），则 f ( x) 的表达式为_____________.5、若函数 f ( x)是函数y22x20x1的反函数，则 f ( x)的图象为（）y y y yO x O x O x O xA B C D6, 已知函数f ( x)的图象过点（ 0， 1），则函数f ( x 4)的反函数的图象必过定点（）A、（ 1，－ 4）B、（1， 4）C、（1， 0）D、（ 4， 1）x21( 0x1) 7、函数y( 1x 的反函数是x20)8, 已知函数g( x)(a1) x 21(a 0)的图象恒过定点A，且点 A 在函数f x x a的图象上 ,求函( )log 3 ()数 g（x）的反函数；9 ，给定实数 a， a≠0 且 a≠1，设函数y x 1(x R且 x1) ，证明这个函数的图象关于直线y=x 对称。
离散数学 函数的复合与反函数
例如: 已知 f 是A到B的函数，g 是B到C的函数，它们所确 定的对应关系如图所示。
f={<1,1>, <2,1>, <3,4>}， g={<1,2>, <2,2>, <3,2>, < 4,1>}，
由图可知 f 和g合成后的函数称为复合函数， 记为g ∘ f。且g∘f ={<1,2>, <2,2>, <3,1>}。
例：设集合A={x,y,z} ,B={a,b,c,d}, C={1,2,3} f 是A到B的函数，g 是B到C的函数，其中 f(x)=b, f(y)=c, f(z)=c g(a)=1, g(b)=2, g(c)=1, g(d)=3 求复合函数g ∘ f。
解：由定义可知复合函数g ∘ f是A到C的函数。且 g ∘f(x)= g (f(x))= g (b)=2.
47函数的复合与反函数?函数的复合函数复合的定理函数复合的性质函数复合的性质?反函数反函数存在的条件反函数的性质由于函数是一种特殊的二元关系两个函数的复合本质上就是两个关系的合成因此函数的合成方法与关系的合成方法是一致的
由于函数是一种特殊的二元关系，两个函数的复合本质上 就是两个关系的合成，因此函数的合成方法与关系的合成 方法是一致的。
思考： 设a1,a2,…,an是任意的n个正整数，证明存在i和k (i0,k1)，使得 ai+1+ ai+2+……+ ai+k 能被n整除。 证明 令 A1= a1 …… A2= a1+a2 A3= a1+a2+a3
An= a1+a2+…+an
在这n个数A1，A2， …… ，An中，如果有一个数 能被n整除，问题得证。 如果A1，A2， …… ，An中没有一个数能被n整除， 则这n个数各被n除后，余数只能是1，2， …… ，n-1 共有n-1种，由鸽洞原理可知，A1，A2， …… ，An中 至少有两个数被n除后余数相同。 不妨设这两个数为Ai和Ai+k (i0,k1),那么Ai+k-Ai 必能被n整除。 而 Ai+k-Ai=ai+1+ ai+2+…+ ai+k ，由此得证。
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1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2
的定义域（
）。
2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域（
）
3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域（
）。
4、设，则的定义域为（ ）
()x x x f -+=22lg
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22A. B. C. D. ()()4,00,4 -()(
)4,11,4 --()()2,11,2 --()()4,22,4 --5．函数y ＝（x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
2
1log A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞） C ．（－∞，
）D ．（
，＋∞）2
3
2
3
6．找出下列函数的单调区间.（1）；
)1(2
32>=++-a a y x x
（2）.
2
3
22++-=x x y 7、讨论的单调性。
)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x
a 且8．求函数y ＝（x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．
3
1log
1、函数的反函数是（ ）
)1(12<+=x y x A ． B ．C ．
D ．
)3,1(),1(log 2∈-=x x y )3,1(,log 12∈+-=x x y ]3,1(),1(log 2∈-=x x y ]
3,1(,log 12∈+-=x x y 2．函数的反函数的解析表达式为( )
12
3()x
y x R -=+∈（A ） （B ） （C ） （D ） 22log 3y x =-23log 2x y -=23log 2x y -=22
log 3y x
=-3. 反函数是（）
)21( 22≤≤-=
x x x y （A ）（B ）)11( 112
≤≤--+=x x y )
10( 112
≤≤-+=x x y （C ）（D ）)
11( 112
≤≤---=x x y )
10( 112
≤≤--=x x y 4、已知函数的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），则的表达式为
b a x f x
+=)()(x f _____________.
5、若函数是函数的反函数，则的图象为 （
）
)(x f ()10222
≤≤--=x x
y )(x f x
x
x
y
y y
y
A
B C
D
6,已知函数的图象过点（0，1），则函数的反函数的图象必过定点（ ）
)(x f )4(-x f A 、（1，－4） B 、（1，4） C 、（1，0）
D 、（4，1）
7、函数的反函数是
⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=)01()
10(122
x x
x x y 8,已知函数
的图象恒过定点A ，且点A 在函数的图象上,求
)0(1)1()(2
>++=-a a x g x )(log
)(3
a x x f +=函数g （x ）的反函数；
9， 给定实数a ，a≠0且a≠1，设函数，证明这个函数的图象关于直线y=x 对称。
1
(11a
x R x ax x y ≠∈--=
且。