任意角的三角函数(一)解读
第7章-7.2.1-任意角的三角函数高中数学必修第一册苏教版
sin
sin
A.−3
+
cos
cos
+
tan
tan
的值可以为(
B.3
BD
)
C.1
D.−1
【解析】当为第一象限角时，sin ,cos ,tan 均为正值，
∴
sin
sin
+
cos
cos
+
tan
tan
= 3.
当为第二象限角时，sin 为正值，cos ,tan 为负值，
【解析】 为第三象限角，则2π + π < < 2π +
∈ ，
∈
，所以 是第二或第四象限角，
2
当 是第二象限角时，sin
2
> 0，cos < 0，当 是第四象限角时，sin
2
cos
2
<
2
D.cos 2 > 0
3π
，
4
π
π
+
2
3π
，
2
)
< π +
2
2
2
< 0，
> 0，故A，B错误；4π + 2π < 2 < 4π + 3π , ∈ ，所以2 是第一或第
1
的垂线1 1 ，2 2 ，易知这两条正弦线的值都等于 ，在
2
[0,2π)内，sin
π
6
= sin
5π
6
=
1
，由图可知，满足条件的角的
2
终边在图中阴影部分（包括边界）内，故所求的的取值范围为
高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义一课件湘教版必修2
2.三角函数在各个象限的符号
3.三角函数的定义域 三角函数 sin α,cos α
tan α,sec α
cot α,csc α
定义域 R
{α|α≠kπ＋π2,k∈Z} {α|α≠kπ,k∈Z}
要点一 三角函数定义的应用 例 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上,求 10 sin α＋co3s α 的值.
解 由题意知,cos α≠0. 设角α的终边上任一点为P(k,－3k)(k≠0),则
x＝k,y＝－3k,r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|.
(1)当 k>0 时,r＝ 10k,α 是第四象限角,
sin
α＝yr＝ －130kk＝－3
10 10 ,
1 cos
α＝xr＝
1k0k＝
10,
∴10sin α＋co3s α＝10×－3 1010＋3 10
规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意
到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原
点 的 任 意 一 点 坐 标 (a,b), 则 对 应 角 的 正 弦 值 为 sin α ＝
b ,cos α＝ a2＋b2
a ,tan
a2＋b2
α＝ba.
跟踪演练 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半
答 锐角A的正弦,余弦,正切依次为：
sin A＝ac,cos A＝bc,tan A＝ab.
[预习导引]
1.三角函数的定义
(1)正弦、余弦、正切
如图,在α的终边上任取一点P(x,y),设OP＝r
y
x
y
(r≠0).定义：sin α＝ r ,cos α＝r ,tan α＝ x ,
任意角的三角函数及基本公式
任意角的三角函数及基本公式三角函数是数学中的一个重要概念，它们描述了角度与三角比之间的关系。
任意角的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
下面将详细介绍这些函数的定义、基本公式以及它们之间的关系。
1. 正弦函数（sine function）：在单位圆上，从x轴正向到射线与单位圆的交点之间的弧度即为角的弧度。
正弦函数将给定角度的正弦值映射到数轴上。
其定义如下：sin(θ) = y/r其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数表示角的余弦值在数轴上的投影长度。
其定义如下：cos(θ) = x/r其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角的正切值在数轴上的投影比。
其定义如下：tan(θ) = y/x其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角的余切值在数轴上的投影比。
其定义如下：cot(θ) = x/y其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角的正割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：sec(θ) = r/x其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角的余割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：csc(θ) = r/y其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
这些函数在不同的角度上有不同的值，可以通过查表或计算器得到具体数值。
同时，它们之间存在一些基本公式和关系，如下：1. 互余关系（co-function identities）：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)tan(θ) = cot(90° - θ)cot(θ) = tan(90° - θ)sec(θ) = csc(90° - θ)csc(θ) = sec(90° - θ)2.三角函数的平方和差：sin²(θ) + cos²(θ) = 1tan²(θ) + 1 = sec²(θ)cot²(θ) + 1 = csc²(θ)3.三角函数的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)cot(θ) = 1/tan(θ)4.符号关系：根据角度的位置和象限，三角函数的值可能为正或负。
任意角的三角函数1
π
0
−1
3π 2
2π
sinα cosα tanα
0
1
3 2 1 2
1
−1
0
1
0
不存在
0
不存在01来自300
已知角 α 终边上一点 P（ − 3 ，y），且 sin α = 2 y， 例4 4 求 cos α、tan α 的值。
2 解： 由已知得 r = （ − 3 ）+ y 2 = 3 + y 2
y y ∴ sin α = = ，又 sin α = 2 y r 4 3 + y2
x
x cot α = x . cot 叫做α的余切，记作： ④比值 叫做 的余切，记作： α 即 y y
r sec α 即 sec α = r . 记作： 记作 正割， ⑤比值 x 叫做α的正割， ： x
r csc α 即 csc α = r . 叫做α的余割， 记作： ⑥比值 叫做 的余割， 记作： y y
任意角的三角函数定义
是任意角， 的终 设α是任意角，α的终 是任意角 边上任意一点 P(x , y) (除端点外 ， 除端点外) 除端点外 它与原点的 距离为r，则 距离为 ，
r=
x + y
2
2
=
x 2 + y 2 > 0.
定 义：
y y 叫做α的正弦， 记作： ①比值 叫做 的正弦， 记作： α 即 sin α = . sin r r
x. x cos 记作： 记作： α 即 cos α = 余弦， ②比值 叫做α的余弦， r r
y y 叫做α的正切， 记作： ③比值 叫做 的正切， 记作： α 即 tan α = . tan x x
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
7.2.1 任意角的三角函数(第一课时)(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(苏教版
y＝ 23. 于是 sin α＝y＝ 23，cos α＝x＝12，tan α＝yx＝ 3.
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中，|OP|＝1，∠POB＝π3，则|PB|＝ 23，|OB|＝12，则 P－12， 23.所以 sin 23π＝ 23，
cos 23π＝－12， 3
tan 23π＝－212＝－ 3.
规律方法 在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标.然后利用定义，即 可得到特殊角的三角函数值.
【训练2】 对于表中的角α，计算sin α、cos α、tan α的值，并填写下表.
一、课堂小结 1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养. 2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的
函数. 3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函
数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
二、课堂检测
规律方法 三角函数值符号的判断问题： (1)由三角函数的定义可知 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(r>0)可知三角函数值的符 号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置 是判断该角三角函数值符号的关键. (2)由三角函数值的符号确定 α 角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三 角函数值的符号来确定角 α 的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求. (3)已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上.
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三角函数
三角函数求助编辑百科名片角θ的所有三角函数三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
目录定义锐角三角函数定义罕见三角函数任意角三角函数定义单位圆定义级数定义三角函数线起源三角学问题的提出独立三角学的产生现代三角学的确认正弦，余弦余弦“正弦”的由来“弦表”问世60进制特殊角的三角函数同角三角函数关系式诱导公式对称轴与对称中心两角和与差的三角函数和差化积公式积化和差公式倍角公式三倍角公式n倍角公式半角公式辅助角公式万能公式降幂公式三角和的三角函数特殊角的三角函数值幂级数泰勒展开式傅立叶级数三角函数的数值符号相关概念三角形与三角函数定义域和值域三角函数的画法初等三角函数导数倍半角规律反三角函数高等应用总体情况复数域内性质性质定理正弦定理余弦定理正切定理应用：一元三次方程复数三角函数三角函数常见考法定义锐角三角函数定义罕见三角函数任意角三角函数定义单位圆定义级数定义三角函数线起源三角学问题的提出独立三角学的产生现代三角学的确认正弦，余弦余弦“正弦”的由来“弦表”问世60进制特殊角的三角函数同角三角函数关系式诱导公式对称轴与对称中心两角和与差的三角函数和差化积公式积化和差公式倍角公式三倍角公式n倍角公式半角公式辅助角公式万能公式降幂公式三角和的三角函数特殊角的三角函数值幂级数泰勒展开式傅立叶级数三角函数的数值符号相关概念三角形与三角函数定义域和值域三角函数的画法初等三角函数导数倍半角规律反三角函数高等应用总体情况复数域内性质性质定理正弦定理余弦定理正切定理应用：一元三次方程复数三角函数三角函数常见考法展开编辑本段定义锐角三角函数定义如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。
2022数学第三章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数教师文档教案文
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数授课提示：对应学生用书第50页［基础梳理］1．任意角的概念（1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角．①正角：按逆时针方向旋转形成的角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角:如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2）终边相同角：与α终边相同的角可表示为:｛β|β＝α＋2kπ，k∈Z｝．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角．（2）角α的弧度数公式:｜α｜＝错误!．(3）角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝错误!rad，1 rad＝（错误!)°≈57°18′。
(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：l＝α·r．面积公式：S＝错误!l·r＝错误!α·r2.3．任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y),则sin α＝y，cos α＝x,tan α＝错误!(x≠0）．（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝sin__α,cos（α＋k·2π)＝cos__α,tan(α＋k·2π）＝tan__α（其中k∈Z），即终边相同的角的同一三角函数的值相等．1．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．两个关注点（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．3．三角函数定义的推广设点P（x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝｜OP｜,则sin α＝错误!，cos α＝错误!,tan α＝错误!.4．四种角的终边关系(1）β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ,k∈Z。
三角函数的概念(1)三角函数的定义(讲)高一数学同步讲练测(新教材人教A版必修第一册)
专题19三角函数的概念（1）三角函数的定义（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1．任意角的三角函数的定义(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)三角函数的定义①如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．②我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么：比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ y r； 比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ x r； 比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．(2)要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f (x )表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”等是没有意义的．(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．(3)定义域：如表所示三角函数解析式 定义域 正弦函数y ＝sin x R 余弦函数y ＝cos x R 正切函数y ＝tan x {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }2．三角函数值的符号sin α、cos α、tan α在各个象限的符号如下：[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．3．公式一(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα．[知识点拨]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．4．有向线段一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1．5．三角函数线的作法如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合)．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．[知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．6．三角函数线的作用(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．1．若点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），则点P的坐标为．【解析】解：点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），设点P的坐标为（a，b），a＜0，b＞0．则a2+b2＝4，且tan，求得a，b＝﹣1（舍去），或a，b＝1，故点P的坐标为（，1），故答案为：（，1）．2．已知角α终边落在直线上，求值：．【解析】解：当角α终边落在直线（x≥0）上，α为锐角，sinα cosα均为正值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则2．当角α终边落在直线（x＜0）上，α∈（π，），sinα cosα均为负值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则，故答案为：2或．3．函数的值域为．【解析】解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，可知函数的值域是{﹣2，0，2}，故答案为：{﹣2，0，2}．4．若cosα＞0，tanα＜0，则α在第象限．【解析】解：∵cosα＞0，∴α在第一象限或第四象限或x轴正半轴，∵tanα＜0，∴α在第二象限或第四象限，综上，α在第四象限．故答案为：四．5．若，则点P（tanθ，sinθ）位于第象限．【解析】解：∵，∴tanθ＜0，sinθ＞0，故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限，故答案为：二．典型题型与解题方法重要考点一：利用三角函数的定义求三角函数值【典型例题】已知角α和角β的终边垂直，且角α终边上一点坐标P（1，2），则tanα＝，cosβ＝．【解析】解：由任意角的三角函数的定义可知tanα2，可得sinα，所以cosβ＝cos（α±）＝±sinα＝±．故答案为：2，±．【题型强化】已知a＜0，角α的终边上有一点P（3a，﹣4a），则sinα＝．【解析】解：由三角函数的定义可知sinα，当a＜0时，sinα．故答案为：．【收官验收】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα＝，cos2α＝．【解析】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα，cos2α，故答案为：；．【名师点睛】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝ba2＋b2，余弦值cosα＝aa2＋b2，正切值tanα＝ab．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．重要考点二：三角函数在各象限内符号的应用【典型例题】如果sinθ＞0，tanθ＜0，那么角θ所在象限是．【解析】解：根据题意，若sinθ＞0，θ为第一二象限的角，tanθ＜0，θ为第二四象限的角，则sinθ＞0，tanθ＜0，则θ为第二象限的角，故答案为：第二象限【题型强化】若点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，那么角θ终边落在第象限．【解析】解：根据题意，点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，则有，即，则有，则角θ终边落在第四象限；故答案为：四【收官验收】已知α是第三象限的角，则sin（cosα）•cos（sinα）的符号是号（填正或负）【解析】解：∵α是第三象限的角，∴﹣1＜cosα＜0，﹣1＜sinα＜0，则sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0，即则sin（cosα）•cos（sinα）＜0，故答案为：负．【名师点睛】(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．重要考点三：分类讨论思想在化简三角函数式中的应用【典型例题】已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则．【解析】解：圆心角θ2，∵2＜π，∴sinθ＞0，cosθ＜0，tanθ＜0，∴1﹣1﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1【题型强化】函数y的值域是．【解析】解：由题意可得：sin x≠0，cos x≠0，tan x≠0，角x的终边不在坐标轴上，当x∈（2kπ，2kπ），k∈Z时，y1+1+1＝3；当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z时，y1﹣1﹣1＝﹣1；当x∈（2kπ+π，2kπ），k∈Z时，y1﹣1+1＝﹣1；当x∈（2kπ，2kπ+2π），k∈Z时，y1+1﹣1＝﹣1．可得：函数y的值域是{3，﹣1}．故答案为：{3，﹣1}．【收官验收】设α角属于第二象限，且|cos|＝﹣cos，则角属于象限．【解析】解：∵|cos|＝﹣cos，∴cos0，∵α角属于第二象限，∴属于第一或三象限，∴角属于第三象限，故答案为：三【名师点睛】对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．重要考点四：三角函数定义理解中的误区【典型例题】已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα，则x＝．【解析】解：由题意可得cosα，求得x＝﹣8，故答案为：﹣8．【题型强化】已知点P（cosθ，sinθ）在第三象限，则角θ的终边落在第象限．【解析】解：∵点P（cosθ，sinθ）在第三象限，∴cosθ＜0，θ可能在第三象限或者第二象限或x轴的负半轴，sinθ＜0，θ可能在第三象限或者第四象限或y轴的负半轴，所以θ在第三象限．故答案为：三．【收官验收】α，β∈{1，2，3，4，5}，那么使得sinα•cosβ＜0的数对（α，β）有个．【解析】解：∵1在第一象限，2，3在第二象限，3，4在第三象限，5在第四象限，若sinα•cosβ＜0，则若α是第一象限，则β是第三象限，此时为（1，3），（1，4），若α是第二象限，则β是第三象限，此时为（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），若α是第三象限，则β是第一或第四象限，此时为（3，1），（4，1），（3，5），（4，5），若α是第四象限，则β是第一或第四象限，此时为（5，1），（5，3），（5，4），综上共有13个，故答案为：13重要考点五：利用三角函数线比较大小【典型例题】设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解析】解：a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°＝sin28°，根据单位圆的三角函数线：AB＝b，EF＝c，CD＝a，即：tan38°＞sin28°＞sin24°，即a＜c＜b，故选：D．【题型强化】sin4，cos4，tan4的大小关系是（）A．sin4＜tan4＜cos4 B．tan4＜sin4＜cos4C．cos4＜sin4＜tan4 D．sin4＜cos4＜tan4【解析】解：如图作单位圆，∵4，∴tanα＝AT＞0，sinα＝BP＜0，cosα＝OB＜0；故BP＜OB＜AT；故sin4＜cos4＜tan4；故选：D．【收官验收】已知sinθ，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．【解析】解：画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是{θ|2kπθ≤2kπ或2kπx≤2kπ，k∈Z}【名师点睛】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．重要考点六：利用三角函数线求解不等式【典型例题】利用单位圆和三角函数线，分别求出使下列各组条件成立的x的集合．（1）；（2）tan x．【解析】解：（1）画出图形，如图所示；单位圆中的三角函数线同时满足sin x，cos x的x是，k∈z；即x的取值范围是{x|2kπx≤2kπ，k∈z}．（2）（2）如图①所示，过点（1，）和原点作直线交单位圆于P和P′，则射线OP、OP′就是满足tan x的角x的终边，∵在[0，2π）内，满足条件的∠POx＝π，∠P′Ox；∴满足条件tan x的角x的集合是{x|x kπ，k∈Z}，则满足tan x的角x的集合是{x|kπ≤x kπ，k∈Z}．【题型强化】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin与sinπ（2）cos与cos（）（3）tan与tanπ【解析】解：（1）sin与sinπ，sin与sinπ对应的三角函数线如图①所示：即sin NB，sinπ＝MA，则有sinπ＞sin；（2）cos与cos（）cos与cos（）对应的三角函数线如图②所示：cos OM，cos（）＝ON，则有cos cos（）；（3）tan与tanπ，tan与tanπ对应的三角函数线如图③所示：即有tan AM，tanπ＝AN，则有tanπ＞tan．【收官验收】利用单位圆，求适合下列条件的角的集合．（1）cosα；（2）sinα．【解析】解：（1）在单位圆内作出cosα的三角函数线如图1所示；在[0，2π）内，cos cos，OA，OB分别为，的终边，由余弦线可知，满足cosα的角的取值集合是{α|α2kπ或α2kπ，k∈Z}；（2）在单位圆内作出sinα的三角函数线如图2所示；在[0，2π）内，sin sin，OA，OB分别为，的终边，由正弦线可知，满足sinα的角的解集为{α|2kπ≤α2kπ，k∈Z}．【名师点睛】利用三角函数线解sinα≥a，sinα≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：①如图所示，画出单位圆；②过y轴上一点M(0，a)作y轴的垂线，交单位圆于P，P′两点，作射线OP，OP′；③写出射线OP与OP′对应的角；④图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≤a(|a|<1)的角α的终边所在的范围，空白部分(包括边界)即满足sinα≥a(|a|<1)的角α的终边所在的范围．重要考点七：利用三角函数线证明几何结论【典型例题】当α∈（0，）时，求证：sinα＜α＜tanα．【解析】证明：方法一：由0＜α，可得sinα、α、tanα都是正实数．设f（α）＝α﹣sinα，求导得：f′（α）＝1﹣cosα＞0，因此，f（α）＝α﹣sinα在α∈（0，）上是个增函数，则有f（α）＝α﹣sinα＞f（0）＝0，即sinα＜α．同理，令g（α）＝tanα﹣α，则g′（α）1＞0，∴，g（α）＝tanα﹣α在α∈（0，）上也是个增函数，也有g（α）＝tanα﹣α＞g（0）＝0，即tanα＞α．综上，当α∈（0，）时，sinα＜α＜tanα．方法二：如图，设角a的终边与单位圆相交于点P，单位圆与X轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连结AP，则sinα＝MP，，tanα＝AT，∵S△POA＜S扇形POA＜S△OAT，∴，∴MP AT，∴sinα＜α＜tanα．【题型强化】设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：（1）sinα+cosα＞l；（2）sinα＜α＜tanα．【解析】证明：（1）α为锐角，角α的终边落在第一象限，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，过P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥Y轴于点N（如图），则sinα＝MP，cosα＝OM＝NP，利用三角形两边之和大于第三边有：sinα+cosα＝MP+OM＞1，得证．（2）∵如图所示：S△OP A＜S扇形OP A＜S△OAE，S△OP A•1•BP，S扇形OP A•1•，S△OAE•1•AE，∴BP AE，∴sinα＜α＜tanα．【收官验收】利用三角函数线证明：若0＜α＜β，则有β﹣α＞sinβ﹣sinα．【解析】证明：如图所示，∠AOQ＝α，∠AOP＝β，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过Q，P分别作OA的垂线，设垂足分别为M，N，则由三角函数线的定义可知，sinα＝NQ，sinβ＝MP，过点Q作OH⊥MP，垂足为H，于是MH＝NQ，则HP＝MP﹣MH＝MP﹣NQ＝sinβ﹣sinα．设的长分别为m，p，q，则由图可知HP＜m＝p﹣q＝β﹣α，即β﹣α＞sinβ﹣sinα．【名师点睛】解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．。
任意角三角函数(实用)
周期性
正切函数是周期函数，其最 小正周期为 $pi$。
奇偶性
正切函数是奇函数，即 $tan(-x) = -tan(x)$。
值域
间断点
正切函数的值域为全体实数， 即 $R$。
正切函数在 $x = (k + frac{1}{2})pi$（$k$ 为整数） 处有间断点，即在这些点上 函数值不存在。
03
任意角三角函数运算规则
可以得出最终结果。
乘除运算规则及示例
乘除运算规则
对于任意角度α，其三角函数的乘除运算主 要涉及到倍角公式、半角公式等。例如， sin2α、cos2α等可以通过倍角公式进行计 算，而sinα/2、cosα/2等则可以通过半角 公式求解。
VS
示例
计算sin60°cos60°时，可以使用倍角公式 sin2α=2sinαcosα，将原式转化为 1/2sin120°，从而得出结果。同样地，对 于cos^2(45°)，可以使用半角公式进行求 解。
余弦函数图像与性质
周期性
振幅与相位
余弦函数也是周期函数，其最小正周期为 $2pi$。
余弦函数的振幅为 1，相位为 $pi/2$。与正 弦函数相比，余弦函数在相位上滞后了 $pi/2$。
奇偶性
值域
余弦函数是偶函数，即 $cos(-x) = cos(x)$ 。
余弦函数的值域为 $[-1, 1]$。
正切函数图像与性质
测量与定位
01
在工程测量中，三角函数常用于计算两点之间的距离、角度等
参数，以及进行定位和定向。
建筑设计
02
在建筑设计中，三角函数可以帮助设计师计算建筑物的角度、
高度、宽度等参数，以及进行日照和阴影分析等。
任意角的三角函数(一)
y
5 3
5 3 5 1 cos sin 3 2 3 2
1 3 ( , ) 2 2
5 tan 3 3
，
o
﹒
A
x
﹒B
点评：若已知角α的大小，可求 出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。
例3 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 弦和正切值 . 解:由已知可得 | OP0 | (3) 2 (4) 2 5
OMP ∽ OM P
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
若OP r 1 ，则 以原点为圆心,以单
Y
位长度为半径的圆 叫做单位圆.
P(a,b)
O M
MP sin OP OM cos OP X
b
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y)
y 那么:（1） 叫做
α的终边
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y tan ，即 tan y ( x 0) （3） 叫做 的正切，记作
归纳总结
1. 内容总结： ①任意角三角函数的概念. ②三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限 的符号. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
课后作业
课本第20页 习题1.2 A组 3 、 4题.
思考题：求终边落在直线y=x上的三角函数
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．αx α第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在轴上的角的集合为x {}180,k k αα=⋅∈Z 终边在轴上的角的集合为y {}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角相同的角的集合为α{}360,k k ββα=⋅+∈Z(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是r αl αl rα=④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，()αα为弧度制r l C S l r α=，．2C r l =+21122S lr r α== 2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、(r r =正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、y r x r yx 四余弦）3．特殊角的三角函数值角度函数030456090120135150180270360角a 的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22πsina1/2√2/2√3/21√3/2√2/21/2-1cosa 1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-101tana√3/31√3-√3-1-√3/3二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：＝tan α. （3）倒数关系：sin αcos α1cot tan =⋅αα2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α， 其中k ∈Z .απαtan )2tan(=+k 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，． ()tan tan παα-=-公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.()tan tan αα-=-公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sin α.(π2－α)(π2－α)公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.(π2＋α)(π2＋α)诱导公式可概括为k ·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇π2π2数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k ·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后π2作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．sin αcos α(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（、、三个式子知一可求二）ααcos sin +ααcos sin -ααcos sin (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin＝tan 2ππ4（4）齐次式化切法：已知，则k =αtan nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如与的周期是）。
高中数学任意角的三角函数(一)
答：在 Rt△ABC 中，∠B＝90° ， BC AB BC 则 sinA＝AC，cosA＝AC，tanA＝AB.
问题二：sin30° ，sin45° ，sin60° ，cos30° ，cos45° ，cos60° 的 值分别是多少？
1 2 3 3 答： sin30° ＝2， sin45° ＝2， sin60° ＝2， cos30° ＝2， cos45° 2 1 ＝ 2 ，cos60° ＝2.
(3) 三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关，只由角 α 的终边位置确定．即三角 函数值的大小只与角有关．
2．三角函数值的符号规律 由任意角三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号可 以确定三角函数值的符号，其规律可简记为“一全正，二正弦， 三正切，四余弦”．
1 点的坐标为 2，
3 . 2
【答案】
1 2，
3 2
【名师点拨】 (1)由于三角函数值的大小与点 P(x，y)在终边上的位置无关， 所以已知角 α 终边上一点 P(x，y)，求三角函数值时，可直接利用 y x y 公式：sinα＝r ，cosα＝r ，tanα＝x，其中 r＝ x2＋y2. (2)当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数，必要时， 要对参数进行讨论．
第一章
三角函数
1．2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数 第一课时 任意角的三角函数(一)
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
1．掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2．能判断任意角的三角函数值的符号． 3．掌握公式一．
问题一：在初中我们已经学过锐角的三角函数，锐角的三角 函数是如何定义的？
课堂互动探究
第三章 任意角的三角函数第一节 任意角的概念、弧度制
k360 60(kZ)
我们把具有共同的始边和终边的角,称为终边相同的角.若
角 的终边绕着其顶点按逆时针方向旋转 n 圈时,就形成了 n360 的角,按顺时针方向旋转 n 圈,就形成-n360 的角,所 有这些角都具有相同的终边.因此,所有与角 终边相同的角,包
括角 在内,有无穷多个,可用统一的式子表示:k 360 (kZ) ,若
第三章 任意角的三角函数
三角函数是基本初等函数之一．在中学，我们已经学过锐 角的三角函数，并且应用它们来解直角三角形和进行有关的计 算．但在科学技术领域和实际问题中，还经常用到任意大小的 角．因此我们需要将角的概念进行推广，然后进一步研究任意 角的三角函数．
•第一节 任意角的概念、弧度制
•第二节 任意角的三角函数
(2) 一般规定,正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零 角的弧度数为零.
用弧度制来度量角,实际上是在角的集合与实数集之间建 立了一种一一对应的关系:每一个角都有惟一确定的一个实数 (即这个角的弧度数)与它相对应,反之,每一实数也都有惟一的 一个角与它相对应.其对应关系如图3-6所示.
正角 零角 负角
由弧度的定义可知：
1周角=360 = 2 rad
1平角=180 = rad
1直角= 90
=
rad
2
由上面三个式子可以推导出角度制与弧度制之间的换算公式:
1 180rad 0.01745rad 1rad 180 57.3 57 18
(?1 弧度的角与1 的角相比较,哪个角大?)
由换算公式,我们可以把任意大小的角进行角度制与弧度 制之间的互化.下面是常用的一些特殊角的角度与弧度数的对 应(表3-1).
(4) 因为1080 3360 0, 所以 1080 的角与 0 的角具有相同的终边.
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
教学目标：
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.
2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学重、难点：
1.任意角三角函数的定义.
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
4) 例3.已知角的终边经过点 P0 (3,，求角的正弦、 余弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3) 2 (4) 2 5 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P
2013-1-11
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
⑤定义域：
y y 1)对于正弦函数 sin ，因为ｒ＞0，所以 r 恒有 ry
意义，即取任意实数， 恒有意义，也就是说sin r 恒有意义，所以正弦函数的定义域是R； 2)类似地可写出余弦函数的定义域R ； y y 3)对于正切函数 tan ，因为x＝0时， 无意义，即 x x tan 无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时， y 才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时， 恒有意 x 义，即tan 恒有意义，所以正切函数的定义域是: k ( k Z) 2 2013-1-11 10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
b 邻边 cos A r 斜边 a 对边 tan A b 邻边
A (0, ) 2
思考：角的范围已经推广，那么对任意角是否也能 像锐 角一样定义其三种三角函数呢？
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任意角的三角函数(一)
------陈少漫
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于
用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了
正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，
这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时任意角的三角函数（一）
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾.
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗
如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,
么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点
(,)P a b ,
它与原点的距离0r >.过P 作
x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线
段MP 的长度为b .则sin MP b OP r
α==; cos OM a OP r α==; tan MP b OM a
α==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点
P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM a
α==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
【探究新知】
1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:
(1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=；
（2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；
（3）y x
叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我
们只需计算点到原点的距离r =,
那么sin α=
,cos α=,
tan y x
α=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
故三角函数也可以看成实数为自
变量的函数.
4.例题讲评
例1.求53
π的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:设3,4,x y =-=-则5r ==.
于是 4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3
y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题
6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再
7．例题讲评
例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0
θθ<>成立时，角θ为第三象限角. 8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(2)sin k απα+=
cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈)
tan(2)tan k απα+=
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1)cos250︒; (2)sin()4π
-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π
例5.求下列三角函数值:
(1)'sin148010︒; (2)9cos 4π; (3)11tan()6
π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三
角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.
P第4,5,6,7题
10.巩固练习
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11.学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
(3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
五、评价设计
1．作业：习题1.2 A组第1,2题．
2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.。