结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
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第十章 结构动力计算
§10-3 多自由度体系的动力计算
§10.3.3 多自由度体系的强迫振动
一、简谐荷载作用 ——直接解法
运动方程： M y(t) Ky(t) FP(t)
(a)
或 M y(t)y(t) FP(t)
(b)
FP (t) F sin t FT F1, F2,, Fn
一、简谐荷载作用——直接解法
将 y(t) (t) y(t) (t)
｝ 代入（ａ）式，得：
M * (t) K*(t) FP (t)*
(c)
展开任一式得：
i (t) i2i (t)
FPi* (t )
M
* i
形式同单自由度体系强迫振动
y(t) 1(t)1 2 (t)2
例1：用振型叠加法求图示结构的动力反映。
m1
已求出 1T 1 0.5,
2
4 EI ml3
A
1
1
P0 L3 8EI
1
L3 P0 8EI
m
l EI
EI
l
I
F
PP00/
/ 2
2
0.5P0
1.5P0
P0 sin t
m
l
1
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例3：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。
已知：m1 m2 m, 3.415
EI ml 3
I1 0.2936 P I2 0.2689 P A1 0.025 Pl 3 / EI
P0 sin t
P0 sin t
1
1
?
?
?
P0
K
例4：用振型叠加法求图示结构的稳态振幅。
k1 3103 kN / m; k2 2103 kN / m; m1 m2 m 10200 kg;
1 9.899 1/ s;2 24.25 1/ s
1
1 2
2
1 1/
2
1(t) 3.20 10 3 (1 cos1t)
2 (t) 0.534 10 3 (1 cos2t)
FP 8kN m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
yy12((tt))
1 2
1
(t
)
1 1/
2
2
(t
)
y1 (2.67 3.20 cos1t 0.53cos 2t) 103 y2 (6.67 6.40 cos1t 0.267 cos2t) 103
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
Βιβλιοθήκη Baidu
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
1、位移幅值求法
y(t) A sin t
A K 2M 1F A I 2 M 1 F
讨论：
（a）在简谐荷载作用下，各质点仍做简谐振动。
(b) 当 0时，
同单自由度体系
(c) 当 时，
同单自由度体系
(d) 当 i 时， i 1,2,n 发生共振。
２、动内力计算——动静法。（同单自由度体系）
2 T 1 1 P0 sin t
EI1
k1 m2
h
1(t)
2 3
P0 K
sin
t,
2 (t )
1 3
P0 k
sin
t
EI1
k2
h
例2：用振型叠加法求图示结构动位移。
已求出 1T 1 0.278, 2T 1 3.61m
1(t)
0.084
P0 L3 EI
sin
t,
2
(t
)
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
P0 sin t
? A1
A2
y1st ?
1 ?
y2st ? 2 ?
例5：对下图示体系，试证明：
当 y1 0 y2 0，y1 0 y2 0 时，
体系只按第二主振型振动。
提示：
m1=m m2=m
y(t)1(t)12(t)2 l /3 l /3 l /3
用正则坐标表示的运动方程为：
i (t) i2i (t) 0 (i 1, 2)
P sin t
m1
m2
l / 3 y1 lE/I3y2 l / 3
A2 0.023 Pl3 / EI
P
A1
I1
A2
I2
作业： 10—23
补充题：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
其中:
FP1(t) P0 sin t
2
55.25EI ml3
FP2 (t) 2P0 sin t
m1 m2 m
§10-3 多自由度体系的动力计算
§10.3.3 多自由度体系的强迫振动
一、简谐荷载作用 ——直接解法
运动方程： M y(t) Ky(t) FP(t)
(a)
或 M y(t)y(t) FP(t)
(b)
FP (t) F sin t FT F1, F2,, Fn
一、简谐荷载作用——直接解法
将 y(t) (t) y(t) (t)
｝ 代入（ａ）式，得：
M * (t) K*(t) FP (t)*
(c)
展开任一式得：
i (t) i2i (t)
FPi* (t )
M
* i
形式同单自由度体系强迫振动
y(t) 1(t)1 2 (t)2
例1：用振型叠加法求图示结构的动力反映。
m1
已求出 1T 1 0.5,
2
4 EI ml3
A
1
1
P0 L3 8EI
1
L3 P0 8EI
m
l EI
EI
l
I
F
PP00/
/ 2
2
0.5P0
1.5P0
P0 sin t
m
l
1
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例3：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。
已知：m1 m2 m, 3.415
EI ml 3
I1 0.2936 P I2 0.2689 P A1 0.025 Pl 3 / EI
P0 sin t
P0 sin t
1
1
?
?
?
P0
K
例4：用振型叠加法求图示结构的稳态振幅。
k1 3103 kN / m; k2 2103 kN / m; m1 m2 m 10200 kg;
1 9.899 1/ s;2 24.25 1/ s
1
1 2
2
1 1/
2
1(t) 3.20 10 3 (1 cos1t)
2 (t) 0.534 10 3 (1 cos2t)
FP 8kN m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
yy12((tt))
1 2
1
(t
)
1 1/
2
2
(t
)
y1 (2.67 3.20 cos1t 0.53cos 2t) 103 y2 (6.67 6.40 cos1t 0.267 cos2t) 103
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
Βιβλιοθήκη Baidu
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
1、位移幅值求法
y(t) A sin t
A K 2M 1F A I 2 M 1 F
讨论：
（a）在简谐荷载作用下，各质点仍做简谐振动。
(b) 当 0时，
同单自由度体系
(c) 当 时，
同单自由度体系
(d) 当 i 时， i 1,2,n 发生共振。
２、动内力计算——动静法。（同单自由度体系）
2 T 1 1 P0 sin t
EI1
k1 m2
h
1(t)
2 3
P0 K
sin
t,
2 (t )
1 3
P0 k
sin
t
EI1
k2
h
例2：用振型叠加法求图示结构动位移。
已求出 1T 1 0.278, 2T 1 3.61m
1(t)
0.084
P0 L3 EI
sin
t,
2
(t
)
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
P0 sin t
? A1
A2
y1st ?
1 ?
y2st ? 2 ?
例5：对下图示体系，试证明：
当 y1 0 y2 0，y1 0 y2 0 时，
体系只按第二主振型振动。
提示：
m1=m m2=m
y(t)1(t)12(t)2 l /3 l /3 l /3
用正则坐标表示的运动方程为：
i (t) i2i (t) 0 (i 1, 2)
P sin t
m1
m2
l / 3 y1 lE/I3y2 l / 3
A2 0.023 Pl3 / EI
P
A1
I1
A2
I2
作业： 10—23
补充题：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
其中:
FP1(t) P0 sin t
2
55.25EI ml3
FP2 (t) 2P0 sin t
m1 m2 m