等差数列中几个重要结论的证明

等差数列几个重要结论的证明

（1）等差数列{}n a 中，若n a m =，m a n =()m n ≠，则0m n a += 由()n m a a n m d =+- 得，1n m a a m n d n m n m

--===---，()0m n m a a m n m d n n +∴=++-=-=

（2）等差数列{}n a 中，若n S m =，S m n =()m n ≠，则()m n S m n +=-+ 由11(1)2m(m 1)2

n m n n S na d m S ma d n -⎧=+=⎪⎪⎨-⎪=+=⎪⎩得，()()1(1)2n m n m m n n m a d -+--=-+， 1(1)12

n m a d +-∴+=-， ()()1(1)2m n m n m n S m n a d +++-∴=++

()1(1)2n m m n a d +-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦

()m n =-+

（3）等差数列{}n a 中，若()S n m S m n =≠，则0m n S +=

由S n m S =知，11(1)m(m 1)22

n n na d ma d --+=+，整理得， ()()1(m 1)2m n n n m a d -+--=，1(m 1)2

n a d -+-∴=， ()()1(1)2m n m n m n S m n a d +++-∴=++

()()(1)(m 1)22

m n m n n m n d d ++--+-=+⋅+ 0=