2000,2001,2002年中科大与中科院量子力学试题

2000,2001,2002年中科大与中科院量子力学试题2000年(实验型)

1. 在电子的双窄逢干涉理想实验中,什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释?为什么?

2. 一个质量为的粒子在势场中运动.设t=0时,其归一化波函数.求1)时,测量能量所得的几率性的结果;(2)>0时的含时波函数以及时测量能量的结果.

3. 设一维运动粒子的坐标和动量分别为和,c为常数.(1)求力学量和的对易关系.(2)若是算符的本征值,试证明也是的本征值.

4. 对于单个电子的运动1)证明轨道角动量算符和动量算符对易.(2)论答:运动于球对称场中束缚态的力学量完全集合是什么?(不计自旋)(3)设,用测不准关系估算其基态能量.

5. 设硼原子受到的微扰作用.在简并微扰一级近似下(1)论答:其价电子2p能级分裂为几个能级?(2)若已知其中一个能级移动值为A>0,则其余诸能级移动值各为多少?(3)求出各分裂能级对应的波函数(用原来的2p波函数表示)

2000年(理论型)

1一个质量为m的粒子被限制在一维区域运动.t=0时的波函数为其中A为常数.

(1) 后来某一时刻t0的波函数是什么?

(2) 体系在t=0和t=t0时的平均能量是多少?

(3) 在t0时处于势井右半部分(即)发现粒子的几率是多少?

2氢原子的基态能量为,其中为波尔半径,m为折合质量.

(1) 写出电子偶素(氢原子中质子由正电子代替)的基态能量和半径.

(2) 由于电子有自旋,电子偶素的基态的简并度是多少?写出具有确定总自旋值的可能波函数以及相应的本征值.

(3) 电子偶素的基态会发生衰变,湮灭为光子.这个过程中释放的能量和角动量是多少?证明终态至少有两个光子.

3设粒子处于状态，计算角动量的分量和分量的平均平方差，

4记为泡利矩阵。定义

（1）计算

（2）证明（为常数）

（3）化简下面两式

5设为一量子体系的能量算符，其本征态为。若体系受到微扰作用，微扰算符为（为实数），为某一厄密算符，为另外的厄密算符，且。如在微扰作用前的基态中，的平均值为已知的。试对微扰后的基态（非简并）计算厄密算符的平均值，精确到量级。

6以和表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本关系式。以表示该单粒子态上的粒子数算符，求的本征值，并计算两个对易式，。

2001年中国科技大学与中科院量子力学试题

2001年(实验型)

1设质量为的粒子在一维无限深势井中运动.试用的驻波条件,求粒子能量的可能取值.

2设质量为的粒子束沿正方向以能量向处的势垒运动,.试用量子力学观点回答:在处被发射的发射系数是多少?

3(1)在坐标表象中写出一维量子体系的坐标算符和动量算符,并推导出其间的对易关系.(2)在动量表象中做(1)所要求做的问题.

4一个微观粒子在球对称的中心势场中运动,且处于一个能量和轨道角动量的共同本征态.

(1) 在球坐标系中写出能量本征函数的基本形式.写出势能在此态中平均值的表示式,并最后表示成径向积分的形式.

(2) 设为的单调上升函数.试证明:对任意给定的,均有,其中是径向波函数.

5设一个质量为的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明:在能量表象中有

其中为能量，为坐标。

6设一微观体系的哈密顿量，其中为微扰。在由一组正交归一函数作为基的表象中，

其中为常数。（1）求的精确本征值。（2）求的准确到微扰的修正的本征值。

（3）比较（1）和（2）的结果，指出其间的关系。

2001年（理论型）

1. 一个质量为的粒子在势井中运动，其中为常数。求系统第三激发态的能量本征值。

2. 粒子

2002年中国科技大学与中科院量子力学试题

2002年(实验型)

1对于氢原子结构,采用电子核做圆周运动的半经典模型1)从德布罗意(驻)波的观点导出波尔关于定态轨道的量子化条件.(2)从牛顿定理和(1)的量子化条件导出氢原子量子化轨道半径和能量.

2一个质量为的粒子,处于势井中.时,其归一化波函数为,求1) 在后来某一时刻t=T0时的波函数;(2)在t=0和t=T0时体系的平均能量.

3设为厄密算符,证明在能量表象中下式成立:

4设钠原子处于沿z方向的磁场强度B中(1)计入自旋(但不计入自旋轨道耦合),写出其价电子的哈密顿能量(只记入B的一次项),并写出相应定态能量和波函数的通式.(2)说明此情况下钠原子发射光谱中黄线的(正常)塞曼分裂现象.

5设质量为m,电荷为q的粒子被约束在谐振子势内.现沿x方向加上一个恒定的常数电场.试计算其基态能量和第一激发态的能级移动,准确到\!\(E\^2\)级.

2002年(理论型)

1一个质量为的粒子处于势井中做束缚态运动,其中A<0为常数.求值,使粒子处于范围-a

2纠缠态可能在量子通讯中有重大应用.两个量子体系的复合系统的纠缠态是指不能用子系统的直积表示的态.例如,两个自旋为1/2的粒子的各自本征态为,其中m=1/2,-1/2,为磁量子数,a=1,2,标记不同的粒子,则复合系统的非耦合基如,(m,n=1/2,-1/2)就是些非纠缠态;而一个耦合基如就是个纠缠态.试作出此复合体系一套互相正交归一的纠缠态(他们也可作为此复合系统的完备基).

3设算符具有连续本征值,其本征函数构成正交完备系.求方程的解,其中为已知函数,为某个特定的本征值.

4一个质量为的粒子作一维无限运动,当其哈密顿算符为时,能级为.如果哈密顿算符变为,求此时的能级.

5设力学量和角动量对易,即为标量算符.试证在的共同本征态中,的平均值与量子数无关.

6一个两能级系统,哈密顿量为,能级间隔大小为A.现在此系统受到一个微饶.在表象中,的表示为,其中是泡利矩阵,为实数.请算出系统受饶后的能级间隔(精确到二级微扰修正).