弹簧“串联”和“并联”问题解答方法略谈

弹簧“串联”和“并联”问题解答方法略谈
1．弹簧“串联”
例1 已知弹簧A 的劲度系数为1k ，弹簧B 的劲度系数为2k ，如果把两弹簧相串使用，在弹簧末端挂一个重为G 的物体，求弹簧相串后的等效劲度系数。

解析 如图，两弹簧相串使用，当挂上重物，弹簧A 、 B 所受的拉力均为G 。

设弹簧A 的伸长量为1x ∆,弹簧B 的伸长量2x ∆,则有 mg x k =∆11 11k mg x =∆(1) mg x k =∆22 2
2k mg x =∆(2) 由上面两式得相串弹簧的伸长量为11(
2121k k mg x x x +=∆+∆=∆（3） 由（3）式得mg x k k k k =∆+2121，设k k k k k '=+2
121，则mg x k =∆' 由胡克定律得，弹簧A 、Ｂ相串构成新弹簧的劲度系数为2121k k k k k +=
'，我们把弹簧相串使用叫弹簧“串联”。

习题：一根轻质弹簧下面挂一重物，弹簧伸长为1l ∆，若将该弹簧剪去
43，在剩下的41部分下端仍然挂原重物，弹簧伸长了2l ∆，则1l ∆∶2l ∆为：
Ａ、３∶４ Ｂ、４∶３ Ｃ、４∶１ Ｄ、１∶４
解析 设轻质弹簧原长为0l ，则该弹簧等效于４个原长为40l 的轻质弹簧的“串
联”，设原轻质弹簧的劲度系数为0k ，则由前面的推导知，小弹簧的劲度系数
04k k ='。

所以，在弹簧剪断前后挂同一重物，应有210l k l k ∆'=∆,把
04k k ='代入上式得答案为C 。

易混淆题：如图2 所示，已知物块A 、B 的质量均为m ，两轻质弹簧劲度系数
分别为1k 和2k ，已知两弹簧原长之和为0l ，不计两物体的厚度，求现在图中两弹
簧的总长度为_____。

错解 两弹簧是“串联”，由推导知，弹簧串后的劲度系数为2
121k k k k k +='，设两弹簧压缩量为x ∆，由胡克定律得mg x k 2=∆'，把k '代入得21)
21(2k k k k mg x +=∆，所以两弹簧的长度为
2
1210)(2k k k k mg l x l +-=∆-。

错解剖析 解答错误的原因是不经分析就把该题中两弹簧看成“串联”。

正确解答 由题意知，上面轻质弹簧上的受力为mg ，下面弹簧的受力为2mg ，设上面弹簧压缩量为1x ∆，下面弹簧的压缩量为2x ∆，由胡克定律易得
11k mg x =∆，2
22k mg x =∆，因此知题中弹簧的长度为 21120210)2(k k k k mg l x x l +-
=∆-∆-。

2． 弹簧“并联”
例2 已知弹簧A 的劲度系数为1k ，弹簧B 的劲度系数为2k ，如果把两弹簧相并后，在弹簧的末端挂一重物G ，求弹簧相并后的等效劲度系数。

解析 如图3所示，两弹簧相并使用，当挂上重物后，两弹簧A 、B 伸
长量相同，设两弹簧的伸长量均为x ∆,由平衡条件得G x k x k =∆+∆21，
即G x k k =∆+)(21,设21k k k +='，则G x k =∆'。

由胡克定律得，A 、B 相并构成新弹簧的劲度系数为21k k k +='。

我们把弹簧相并使用叫做弹簧“并联”。

习题：如例2图所示，a 、b 两根轻质弹簧，它们的劲度系数分别为m N k a /1013⨯=，
m N k b /1023⨯=，原长分别为cm l a 6=，cm l b 4=， 在下端挂一重物Ｇ，物体受到的重力为10N ，平衡时物体下降了______cm 。

解析 由上面的推导知，a 、b 并联后弹簧的劲度系数为
m N k k k b a /103)(3⨯=+=，由胡定律x k F ∆=，已知G F =，把k 代入得
m x 3103.3-⨯=∆。

易混淆题：如图所示，两根原长相同的轻质弹簧A 、B 竖直悬挂，其下端用一根跨过动滑轮的细绳连在一起，不计绳与滑轮的质量，两弹簧原来均无形变，求在动滑轮下挂一质量为的m 砝码后，动滑轮下降了多大？已知弹簧劲度系数分别为1k 、2k ，弹簧始终保持弹性形变。

错解 A 、B 两弹簧“并联”，由上面的推导得，并后弹簧的劲度系
数21k k k +='。

设滑轮下降的距离为△X,由平衡条件得mg x k =∆'，得
滑轮下降的距离为2
1k k mg x +=∆。

图3
错解剖析 解答错误的原因是把A 、B 两弹簧看成“并联”，其实不然，该题中的弹簧与“并联”的区别在于，弹簧“并联”时，弹簧末端挂一重物，两弹簧的伸长量相同。

该题中的两弹簧通过绳绕过滑轮相连，两弹簧上的拉力大小相等，均为2
mg ，两弹簧伸长量并不相等。

正确解答 设弹簧A 的伸长量为1x ∆,弹簧B 的伸长量为2x ∆,则由平衡条件得
2
11mg x k =∆ 112k mg x =∆（1） 2
22mg x k =∆ 222k mg x ∆（2） 设滑轮下降的距离为x ∆，2121214)(2k k k k mg x x x +=∆+∆=
∆。

练习：已知一弹簧的劲度系数为k ，下面挂重物为G 的伸长量为1l ，现在把该弹簧剪为相等的两段再相并使用，问这时新弹簧的伸长量2l 为_____。

(412l l =
)。