终版容斥原理公式及运用.doc
容斥原理问题公式
容斥原理问题公式嘿，朋友们！今天咱来聊聊容斥原理问题公式。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多复杂问题的谜团呢！你想想看，生活中好多情况不就像一团乱麻嘛。
比如你去参加一个聚会，有的人喜欢吃蛋糕，有的人喜欢喝饮料，还有的人既喜欢吃蛋糕又喜欢喝饮料。
那怎么才能清楚知道到底有多少人有不同的喜好呢？这时候容斥原理问题公式就派上用场啦！它就好像是一个超级整理大师，能把那些重叠的、交叉的部分都给理清楚。
就好比整理一个杂乱的房间，把相同的东西放在一起，不同的东西区分开来。
咱说个具体的例子哈。
假设有一群小朋友，有的喜欢画画，有的喜欢唱歌，还有的既喜欢画画又喜欢唱歌。
如果我们只简单地把喜欢画画的人数和喜欢唱歌的人数加起来，那不就重复计算了那些既喜欢画画又喜欢唱歌的小朋友嘛。
这时候，容斥原理问题公式就能帮我们准确地算出真正的人数啦！它是不是很厉害？就像一个聪明的小助手，默默地帮我们把事情都处理得妥妥当当。
再比如，在一个班级里，有同学擅长数学，有同学擅长语文，还有同学两门都擅长。
我们要是想知道到底有多少同学在这两门学科上有特长，不用容斥原理问题公式可不行哦！不然可就糊涂啦。
这容斥原理问题公式啊，真的是无处不在呢。
它就像是我们生活中的小秘密武器，能让我们在面对各种复杂情况时都能游刃有余。
你说，要是没有它，我们得多头疼啊！好多问题都会变得像一团解不开的毛线球。
但有了它，就像找到了线头，能一点点把问题都解开。
容斥原理问题公式不就是这么神奇嘛！它让我们能更清楚地看到事物的本质，把那些看似混乱的局面变得清晰明了。
它真的是我们解决问题的好帮手啊！所以啊，大家可一定要好好掌握这个神奇的公式哦！。
容斥问题应用题解题技巧及公式
容斥问题应用题解题技巧及公式容斥原理是一种组合数学中常用的计数方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。
常见的应用有如下几种情况：
1.求集合的并：当求两个集合的并集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。
公式为|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，其中|A∪B|表示A和B的并集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∩B|表示A和B的交集大小。
2.求集合的交：当求两个集合的交集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。
公式为|A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|，其中|A∩B|表示A和B的交集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∪B|表示A和B的并集大小。
3.求不满足某个条件的情况：当求满足某个条件的情况时，可以使用容斥原理来求不满足该条件的情况。
假设有n个事件，A1到An，分别表示这些事件，那么不满足任何一个事件的情况数目为S =
∑|Ai| - ∑|Ai∩Aj| + ∑|Ai∩Aj∩Ak| - ... +/-
|A1∩A2∩...∩An|。
其中|Ai|表示事件Ai发生的情况数目，
|Ai∩Aj|表示事件Ai和Aj同时发生的情况数目，依此类推。
在应用容斥原理解题时，需要注意对问题进行合理的划分，避免出现重复计数或者漏计的情况。
同时，需要对问题进行适当的拓展和转化，以便更好地利用容斥原理解决更复杂的计数问题。
容斥原理公式及运用完整版
容斥原理公式及运用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】??一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】??某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。
第三章 容斥原理
对i=1,2,…,n，令
p1 = ∑ | Ai | ,
i =1 n
p2 = ∑∑ | Ai I A j | , L ,
i =1 j >i
n
pn =| A1 I A2 I L I An |,
q0 =| A1 I A2 I L I An |,
q1 = ∑ | A1 I A2 I L I Ai −1 I Ai I Ai +1 I L I An |,
如何通过Ai来 I Ai 或 I A 中元素的个数？
i
m
m
i =1
i =1
容斥原理: 容斥原理 ①S中均不具有性质P1, P2,…,Pm的元素个数为
m
IA
i =1
i
=| S | −∑ | Ai | + ∑ | Ai I A j | − ∑ | Ai I A j I Ak |
i =1 i≠ j i≠ j≠k
第三章 容斥原理及其应用
§3.1 容斥原理
容斥原理又称为排斥原理,它利用集合的基本运算 (交或并 交或并) 容斥原理 交或并 解决实际中的计数问题。 设S为一个有限集，A为其子集，则 |A|=|S|-|Ā|， 或 |Ā|=|S|-|A|。 若A1、A2为S的两个子集，则 |A1∪A2|=|A1|+|A2|-|A1∩A2|， |Ā1∩Ā2|=|S|- |A1|-|A2|+|A1∩A2|。 以上第二个公式的含义：先将所有元素容纳在内，再排斥掉 A1 和A2中元素，再重新容纳A1∩A2中元素。
恰好一门的教师数： q1＝P1－2P2 + 3P3＝4， 恰好教两门的老师数为： q2＝P2－3P3＝3。 例2 七人围圆桌就座，其中有三对夫妇，问 (1)所有夫妇均不相邻的坐法有多少种？(没有 男女相间的限制) (2)恰好有两对夫妇不相邻的坐法有多少种？ (即恰有一对夫妇相邻的坐法)
容斥原理的三个公式
容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。
我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。
就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。
那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。
这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。
简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。
|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。
把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。
您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。
如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。
咱们还是拿例子来说事儿。
比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。
那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。
容斥原理及应用
表示那些即不具有P1也不具有P2性质的物体。 我们有 A1 A2 S A1 A2 A1 A2
A1 A2 A1 A2
S=
A1
A1 ∩ A2
A2
7
由于上式左边表示那些既无性质P1也无性质P2的 物体的个数，因此可以通过对等式右边增
3
例:1到600中不能被6整除的整数的个数是多少？ [分析] 1到600共有600个数，能被6整除的
有： 600/6=100个。 因此，不能被6整除的数有600-100=500个
一般来说，对于集合S中的元素定义一种性质P，
x S ，若x具有性质P，则P(x)为真。于是，
所有具有性质P的元素的集合:
净增加：1 – 1 – 0 + 0 = 0 物体。 如果x只具有性质P2 ，那么它为等式的右边
净增加：1 – 0 – 1 + 0 = 0 物体。 最后，如果x具有性质P1 、P2 ，那么它为等式的
右边净增加：1 – 1 – 1 + 1 = 0 物体。 因此等式右边的变化只与那些S中性质P1 、P2
9
A1 A2 ...... Am S Ai 1im
Ai Aj
Ai Aj Ak
1i jm
1i jk m
....... (1)m A1 A2...... Am
其中，第一个和对{1,2,……m}的所有1-组合{i}
13Βιβλιοθήκη 进行，第二个和对{1,2,……m}的所有2-组合{i, j} 进行，第三个和对{1,2,……m}的所有3-组
Ai
Ai Aj
i 1
容斥问题应用题解题技巧及公式
容斥问题应用题解题技巧及公式In combinatorial mathematics, the principle of inclusion-exclusion is a powerful tool that can help solve various counting problems. This technique allows us to systematically account for overlapping elements when counting the size of unions of sets. The principle states that the size of the union of multiple sets can be determined by adding the sizes of the individual sets, then subtracting the sizes of the intersections of every pair of sets, then adding back the sizes of the intersections of every triplet of sets, and so on.在组合数学中，容斥原理是一个强大的工具，可以帮助解决各种计数问题。
这种技术允许我们系统地计算集合的并集的大小时，考虑到重叠的元素。
该原理指出，多个集合的并集的大小可以通过添加各个集合的大小，然后减去每对集合的交集的大小，然后再加上每个三元组集合的交集的大小，以此类推来确定。
One common application of the inclusion-exclusion principle is in solving problems involving complementary events. For example, consider the problem of counting the number of integers from 1 to 100 that are not divisible by 3, 5, or 7. Instead of counting theintegers that are not divisible by each of these numbers individually and summing them up, we can use the inclusion-exclusion principleto count the integers that are divisible by at least one of these numbers and then subtract that count from the total number of integers in the range.容斥原理的一个常见应用是解决涉及互补事件的问题。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
容斥原理常识型公式
容斥原理常识型公式
摘要：
1.容斥原理的定义与概念
2.容斥原理的公式表示
3.容斥原理的应用示例
4.容斥原理的扩展与深化
正文：
【1.容斥原理的定义与概念】
容斥原理，是概率论中的一个基本原理，用于解决离散事件的概率计算问题。
它是基于集合的概念，通过研究事件之间的关系，给出了求解复杂事件发生概率的一种方法。
【2.容斥原理的公式表示】
容斥原理的公式表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
其中，
P(A∪B) 表示事件A 和事件B 的并集发生的概率，P(A) 和P(B) 分别表示事件A 和事件B 发生的概率，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 的交集发生的概率。
【3.容斥原理的应用示例】
假设有一个袋子，里面有3 个红球和2 个绿球。
从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
根据容斥原理，抽到红球的概率为：P(红球) = P(红球) + P(绿球) - P(红球∩绿球)。
因为绿球和红球是互斥事件，即抽到一个球后，就不能再抽到另一个
球，所以P(红球∩绿球) = 0。
所以，P(红球) = P(红球) + P(绿球) = 3/5。
【4.容斥原理的扩展与深化】
容斥原理不仅适用于离散事件，还可以扩展到连续事件的概率计算。
在连续事件的概率计算中，需要用到积分的概念，此时的容斥原理公式为：
P(A∪B) = ∫[P(A|x)dx + P(B|x)dx - P(A∩B|x)dx]。
7 7 容斥原理 doc
7 7 容斥原理 doc7-7-容斥原理doc包含排除原则知识框架图7-7-1两量重叠问题7-7-2三量重叠问题7计数综合7-7容斥原理7-7-3图形中的重叠问题7-7-4容斥原理在数论问题中的应用7-7-5容斥原理中的最值问题1.理解两量重叠和三量重叠的内容，遵循宽容与排斥的原则；2.掌握公差排除原理在组合计数等方面的应用教学目标知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，我们经常遇到集合元素数的计算。
为了求两个集合并集中的元素数，我们不能简单地将两个集合中的元素数相加，而是从两个集合的元素数之和中减去重复计算的元素数，即减去相交处的元素数，可以表示为：a？BA.BA.B（符号在哪里？）读作“and”，在中文中是“and”或“Symbol”的意思？“这个公式叫做包容排除原理，简称包容排除原理。
图如下：a代表小圆部分，B代表大圆部分，C代表大圆和小圆的公共部分，记录为：a？B，即阴影区域。
图如下：a代表小圆部分le部分，B代表大圆部分，C 代表大圆和小圆的公共部分，记录为：a？b、阴影区1．先包含――a?b重叠a？B计算两次，再加一次；2.重新排除——a？BA.B把多加了1次的重叠部分a?b减去．包含和排除原理告诉我们计算两个集合a和B的并集？B元素的数量可分为以下两个步骤：第一步：分别计算集合a、b的元素个数，然后加起来，即先求a?b(意思是把a、b的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去相交元素的数量，即减去C？A.B（意思是“排除”双重计算元素的数量）7-7.容斥原理.题库教师版page1of20二、三量重叠问题a类、b类与c类元素个数的总和?a类元素的个数?b类元素个数?c类元素个数?既是a类又是b类的元素个数?既是b类又是c类的元素个数?既是a类又是c类的元素个数?同时是a类、b类、c类的元素个数．用符号表示为：a?b?c?a?b?c?a?b?b?c?a?c?a?b?c．图示如下：在图中，小圆代表a的元素数，中圆代表B的元素数，大圆代表C的元素数1．先包含：a?b?c重叠a？b、 b？c、 c？A重叠两次，再增加一次。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用来计算多个事件的概率或计数。
容斥原理的核心思想是通过逐步剔除重复计数的方式得到准确的计数结果。
下面将详细介绍容斥原理及其应用。
一、容斥原理的基本概念：设集合U为一个样本空间，A₁，A₂，...，Aₙ为U的n个子集，容斥原理给出了如下关于这些集合的计数或概率的公式：```P(A₁∪A₂∪...∪Aₙ)=Σ[P(A₁)-P(A₁∩A₂)+P(A₁∩A₂∩A₃)-...+(-1)ⁿ⁻¹P(A₁∩A₂∩...∩Aₙ)]```其中P(A₁)表示事件A₁的概率，P(A₁∩A₂)表示事件A₁与A₂同时发生的概率，依此类推。
二、容斥原理的证明：容斥原理的核心思路是通过排除重复计数的方法得到准确的计数结果。
可以用一个数轴来表示样本空间U，集合A₁，A₂，...，Aₙ所对应的子集分别在数轴上画出，然后逐步排除交集的部分。
具体证明过程如下：1.先考虑只有两个集合A₁和A₂的情况，根据概率的加法原理可得：```P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)-P(A₁∩A₂)```这里P(A₁∩A₂)表示事件A₁和A₂同时发生的概率，由于在P(A₁)和P(A₂)中分别计算了P(A₁∩A₂)，所以要减去一次P(A₁∩A₂)去除重复计数。
2.推广到三个集合A₁、A₂、A₃的情况，根据加法原理得：```P(A₁∪A₂∪A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)-P(A₁∩A₂)-P(A₁∩A₃)-P(A₂∩A₃)+P(A₁∩A₂∩A₃)```这里减去了P(A₁∩A₃)和P(A₂∩A₃)是因为它们在P(A₁)、P(A₂)和P(A₃)中分别计算了两次，要减去一次去除重复计数。
加上P(A₁∩A₂∩A₃)是因为它在前面的计算中被减去了两次，要加回来。
3.对于n个集合的情况，以此类推可以得到容斥原理的一般形式。
三、容斥原理的应用：容斥原理在组合数学和概率论中具有广泛的应用1.计数问题：利用容斥原理可以解决一些与集合计数相关的问题，如给定集合A₁，A₂，...，Aₙ，求它们的并集的元素个数。
容斥原理及应用
| A2 | T * 的至少有5 个 b的10组 合 数 5 3 1 7 7 6 T 的 5 组合数 5 2 2 21； 将 6 个 c 加到T * 的 4 组 合得到至少有6 个 c 的10组 合，
*
| A3 | T * 的至少有6 个 c 的10组 合 数 4 3 1 6 6 5 T 的 4 组合数 4 2 2 15。
A2 为至少有 5 个 b 的 T * 中 10 组合的集合， A3 为至少有 6 个 c 的 T * 中 10 组合的集合。
10 3 1 12 1211 | S | 10 2 2 66
将 4 个 a 加到T * 的 6 组 合得到至少有4 个 a 的10组 合， | A1 | T * 的至少有4 个 a 的10组 合 数 6 3 1 8 8 7 T 的 6 组合数 6 2 2 28； * 将 5 个 b 加到T 的 5 组 合得到至少有5 个 b的10组 合，
A1 : y1 5 z1 y1 5
A2 : y2 7 z 2 y2 7
A3 : y3 6
A4 : y4 7
z1 z 2 y3 y4 4
4 4 1 7 7 6 5 | A1 A2 | 35 3 3 6 z1 y1 5 z 3 y3 6 z1 y2 z3 y4 5 5 4 1 8 8 7 6 | A1 A3 | 56 3 3 6 z1 y1 5 z 4 y4 7 z1 y2 y3 z 4 4 4 4 1 7 7 6 5 | A1 A4 | 35 3 3 6
容斥原理4个集合公式
容斥原理4个集合公式容斥原理是概率论中非常重要的一个工具，用于求解复杂问题中的概率。
容斥原理有4个集合公式，它们在求解问题时起到了重要的作用。
首先，我们来介绍容斥原理的第一个公式。
假设有两个集合，分别记作A和B，那么它们的并集的概率可以用下面的公式来表示：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
这个公式的意思是，将集合A和集合B的概率相加，然后再减去它们的交集的概率，就可以得到它们的并集的概率。
接下来，我们来介绍容斥原理的第二个公式。
假设有三个集合，分别记作A、B和C，那么它们的并集的概率可以用下面的公式来表示：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)。
这个公式的意思是，将集合A、集合B和集合C的概率相加，然后减去它们两两相交的部分的概率，再加上它们三个都相交的部分的概率，就可以得到它们的并集的概率。
然后，我们来介绍容斥原理的第三个公式。
假设有四个集合，分别记作A、B、C和D，那么它们的并集的概率可以用下面的公式来表示：P(A∪B∪C∪D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(A∩D) - P(B∩C) - P(B∩D) - P(C∩D) + P(A∩B∩C) +P(A∩B∩D) + P(A∩C∩D) + P(B∩C∩D) - P(A∩B∩C∩D)。
这个公式的意思是，将集合A、集合B、集合C和集合D的概率相加，然后减去它们两两相交的部分的概率，再加上它们三个相交的部分的概率，最后再减去它们四个都相交的部分的概率，就可以得到它们的并集的概率。
最后，我们来介绍容斥原理的第四个公式，即n个集合的并集的概率。
假设有n个集合，分别记作A1、A2、...、An，那么它们的并集的概率可以用下面的公式来表示：P(A1∪A2∪...∪An) = ΣP(Ai) -ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) - ... + (-1)^(n-1) *P(A1∩A2∩...∩An)，其中Σ表示求和，Ai表示第i个集合，Ai∩Aj 表示第i个集合与第j个集合的交集，以此类推。
容斥原理三大公式
容斥原理三大公式容斥原理是数学中一个非常实用的工具，它能帮助我们在解决一些集合问题时更加得心应手。
容斥原理主要有三大公式，接下来咱们就好好唠唠这三个公式。
咱们先来说说这第一个公式。
假设咱们有两个集合 A 和 B，那么 A 和 B 的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去A 和B 的交集元素个数。
用数学式子表示就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
我给您举个例子哈，就说咱们班同学，喜欢数学的有 20 人，喜欢语文的有 15 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 5 人。
那喜欢数学或者语文的同学一共有多少人呢？咱们就用这个公式来算算。
|A| 就是喜欢数学的 20 人，|B| 是喜欢语文的 15 人，|A∩B| 是既喜欢数学又喜欢语文的 5 人。
所以喜欢数学或者语文的同学一共有 20 + 15 - 5 = 30 人。
再来说说第二个公式。
要是有三个集合 A、B、C，那么它们的并集元素个数就是 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去 B 和 C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。
式子就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C| 。
比如说，咱们学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 12 人，参加音乐小组的有 8 人，参加体育小组的有 10 人。
参加绘画和音乐小组的有 3 人，参加绘画和体育小组的有 4 人，参加音乐和体育小组的有 2 人，三个小组都参加的有 1 人。
那参加兴趣小组的一共有多少人呢？咱们照样用公式来算，|A| 是绘画小组的 12 人，|B| 是音乐小组的 8 人，|C| 是体育小组的 10 人，|A∩B| 是 3 人，|A∩C| 是 4 人，|B∩C| 是 2 人，|A∩B∩C| 是 1 人。
容斥原理题再也不用怕,两个万能公式
容斥原理题再也不用怕，两个万能公式容斥原理题再也不用怕，两个万能公式1．关键提示：容斥原理是2004年、2005年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，其实，容斥原理关键内容就是两个公式，考生只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型。
另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。
2．核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A ＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A ＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C例题1：2004年中央A类真题某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
A．22 B．18 C．28 D．26解析：设A＝第一次考试中及格的人（26），B＝第二次考试中及格的人（24）显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28，则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22所以，答案为A。
例题2：2004年山东真题某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有（）人 A.57 B.73 C.130 D.69解析：设A＝会骑自行车的人（68），B＝会游泳的人（62）显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73，则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57所以，答案为A。
例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人？解析：设A＝看过2频道的人（62），B＝看过8频道的人（34）显然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人（11）则根据公式A∪B＝A＋B－A∩B＝96－11＝85所以，两个频道都没有看过的人数＝100－85＝15所以，答案为15。
容斥原理集合公式card
容斥原理集合公式card【原创实用版】目录1.容斥原理集合公式简介2.容斥原理集合公式的应用3.容斥原理集合公式的举例说明正文一、容斥原理集合公式简介容斥原理，又称为加法原理与乘法原理，是集合论中的一种基本原理，用于解决集合之间的运算问题。
容斥原理集合公式，即 card（A∪B）+card （A∩B）=card（A）+card（B）-card（A∪B），是集合运算中一个重要的公式，可以帮助我们快速计算集合的元素个数。
二、容斥原理集合公式的应用容斥原理集合公式在实际应用中十分广泛，尤其是在计算机科学、统计学等领域。
它可以帮助我们计算集合的并集、交集、差集等，从而简化问题。
例如，在计算机科学中，我们常常需要对两个集合进行合并操作，此时就可以利用容斥原理集合公式快速计算合并后的集合元素个数。
在统计学中，容斥原理集合公式也有广泛的应用。
例如，在计算两组数据的并集时，我们可以通过容斥原理集合公式快速得到结果，从而提高计算效率。
三、容斥原理集合公式的举例说明假设我们有两个集合 A 和 B，其中 A={1,2,3}，B={2,3,4}，现在我们来计算它们的并集、交集和差集的元素个数。
1.计算并集：A∪B={1,2,3,4}，card（A∪B）=4。
2.计算交集：A∩B={2,3}，card（A∩B）=2。
3.计算差集：A-B={1}，card（A-B）=1。
根据容斥原理集合公式，我们有：card（A∪B）+card（A∩B）=card （A）+card（B）-card（A∪B）。
将上述数据代入公式，得到：4+2=3+4-card（A∪B）。
解方程，得到：card（A∪B）=3。
容斥原理公式
容斥原理公式什么是容斥原理容斥原理是概率论与组合数学中的重要理论之一，它是一种计算交集的概率或数量的方法。
容斥原理可以用于解决包含多个事件或集合的情况下的数学问题。
容斥原理的思想是通过减去重叠部分来计算交集的数量。
它提供了一种有效的计算包含多个集合的交集的方法，允许我们回答类似于“同时满足A和B的概率是多少？”或“在给定的条件下，同时满足A、B和C的数量是多少？”等问题。
容斥原理公式容斥原理可以通过一个简单的公式来表示。
给定n个集合A1，A2，…，An，那么这些集合的交集的数量可以通过以下公式计算：|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∪ A2| - |A1 ∪ A3| - ... - |An-1 ∪ An| + |A1 ∪ A2 ∪ A3| + ... + (-1)^(n-1) |A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An|其中，|A|表示集合A的元素数量，∩表示交集，∪表示并集，(-1)^(n-1)表示(-1)的n-1次幂。
如何使用容斥原理容斥原理可以用于解决各种问题，包括组合数学和概率论中涉及多个集合的问题。
以一个简单的例子来说明如何使用容斥原理。
假设有三个集合A，B和C，我们希望计算同时属于A、B和C的元素数量。
首先，我们可以计算各自集合的元素数量，即|A|、|B|和|C|。
然后，我们计算每两个集合的并集的元素数量，即|A ∪ B|、|A ∪ C|和|B ∪ C|。
接下来，我们计算同时属于三个集合的元素数量，即|A ∩ B ∩ C|。
根据容斥原理公式，我们可以通过减去重叠部分来计算交集的数量：|A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∪ B| - |A ∪ C| - |B ∪ C| + |A ∪ B ∪ C|这样，我们就可以得到同时属于A、B和C的元素数量。
容斥原理的推广容斥原理不仅适用于多个集合的情况，还可以推广到更复杂的情况。
容斥原理
(1)n1 A1
A2
(4)
4.1 容斥原理
定理2. 设Ai为具有第i 种性质的有限集合. i=1,2,…,n. 则不具有性质1,2,…,n任何一个 的元素个数为 （逐步淘汰公式）
A1
A2
...
An U A1
n n i 1 i 1 i j
A2 Aj
An
U Ai Ai - Ai
4.2 广义容斥原理
定理3：恰好具有m个性质的元素个数：
m 1 b ( m) a ( m) a (m 1) m n k m k (1) a (k ) k m m
特别的，当m=0时
nm
(1)
n a (n) m
b(0) a(0) a(1) a(2)
(1)n a(n)
例1. 某校有12个教师，已知教数学的有8位，教物理的有6位，教化学的5位； 数、理5位，数、化4位，理、化3位；数理化3位。问教其他课的有几位？只 教一门的有几位？只教两门的有几位？
解: 则
令教数学的教师属于
A1，教物理的属于A2，教化学的属于A3。
i =1 i j j k n
Aj A2
Ak An
(1) n A1
(5)
例2. 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学 生分别有170、130、120人；同时修数学、物理的学生45人；同时修数 学、化学的20人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。假设每个 学生至少修一门课，问这学校共有多少学生？
定理. 对于整数n,r,k ,若n r k 有 1 r r k i r -k D(n, r , k ) k (1) i (n i k )! (n r )! i0
容斥原理公式
容斥原理公式
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C这个公式里的A∪B∪C 迷糊.
最重要的是可不可以给我多举几个例子说明一下啊?
优质解析
∪并集（比如集合A有 1 3 5 7 集合B有 1 2 3 4 A并B为1 2 3 4 5 7）
∩交集（A交B为1 3）
三个圆为ABC
A∪B∪C为总面积
A∩B＋B∩C＋C∩A为灰色面积
A∩B∩C为最中间面积
其实就是三个圆的总面积（不重叠的圆的总面积）
其他类似问题
容斥原理公式A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C这个公式里的A∪B∪C 迷糊.最重要的是可不可以给我多举几个例子说明一下啊?
容斥原理的公式（1）A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C这个公式里的A ∪B∪C迷糊.
关于公考里容斥原理问题的疑惑昨天下午在复习容斥原理,这部分一直是搞的不太清楚的地方.A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C,这个是大家都熟知的容斥原理公式,很多题
1、已知│x+1│+（y+2y）∧2=0,则x∧y=（）
2、已知a是有理数,则│a-2001│+│a-20 02│的最小值是（）
3、设x,y,a都是整数,│x│=1-a,│y│=2+2a-a∧2,则a=（）
4、有理数a,b,c均不为0,且a+b+
线性代数一个初级行列式题今天做作业时候遇见个题是这样。
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容斥原理公式及运用
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩
B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：
【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。
三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩
A=45-25-22-24+12+9+8=3人。