定积分及其应用习题详解

第五章 定积分及其应用

习 题 5-1

1. 如何表述定积分的几何意义根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）

⎰

-x x d 1

1, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 1

1

.

解：若[]⎰

≥∈x x f x f b a x a

b d )(,0)(,,则

时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线

b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f a

b d )(,0)(则在几何

上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 111

1=+-=⎰-A A x x .

（2）由上图（2）所示，2

πd 2

22

2

R A x x R R R

==-⎰

-.

（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π

20=--++=+-+=⎰A

A A A A A A x x .

（4）由上图（4）所示，1112

1

22d 61

1=⋅⋅⋅

==⎰-A x x .

2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.

( 2 )

( 1 )

( 3 )

(4)

解：=

s ⎰

+t t d )12(0

5

3. 用定积分的定义计算定积分

⎰b

a

x c d ,其中c 为一定常数.

解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -

)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-

上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：

∑∑==--=-⋅=∆⋅n i n

i i i

i

i

a b c x x

c x f 1

1

1)()()(ξ,

记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则

)()(lim )(lim d 0

a b c a b c x f x c n

i i i b a

-=-=∆⋅=∑⎰

=

→→λλξ.

4. 利用定积分定义计算

1

20

d x x ⎰

.

解：上在]1,0[)(2

x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i n

i

x ξ;1,,2,1,-==

取相应小区间的右端点，故

∑∑∑

===∆=∆=∆n i i i n i i i n

i i i x x x x f 12121

)(ξξ=∑∑===n

i n

i i

n n n i 1

2

3

2

1

1

1)(

=

3

11(1)(21)6n n n n ⋅++ =)12)(11(61n

n ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 12

0d x x ⎰=3

1．

5. 利用定积分的估值公式，估计定积分

⎰

-+-11

34)524(x x x d 的值.

解：先求524)(3

4

+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由

0616)(2

3

=-='x x x f , 得0=x 或8

3=x . 比较 35093(1)11,(0)5,

(),(1)781024

f f f f -====的大小，知

min max 5093

,111024

f f =

=，

由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 11

34min --⋅≤+-≤--⋅⎰

-f x x x f ,

即

14315093

(425)d 22512

x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明

⎰

1

d x

e x

与⎰1

d 2

x e x ，哪个积分值较大

解：在[]0,1区间内：2

2

x

x x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：

⎰1

0 d x e x

≥⎰1

0 d 2

x e x

7. 证明：⎰

-

--

<<21

2

12

12d 22

x e e

x 。

证明：考虑⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡-

21,

2

1上的函数2x e y -=，则2

2x xe y --='，令0='y 得0=x 当⎪⎭⎫ ⎝

⎛-

∈0,21

x 时，0>'y ，当⎪⎭⎫ ⎝

⎛∈21,0x 时，0<'y ∴2

x e

y -=在0=x 处取最大值1=y ，且2

x e

y -=在2

1±

=x 处取最小值2

1-

e

.

故

⎰

⎰

⎰

----

-

<<212

1212

121

2

12

1d 1d d 2

x x e x e x ，即⎰

-

--

<<21

2

12

12d 22

x e e

x 。

8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.

解：平均值⎰-=⋅⋅=---=

1122

4

π21π21d 1)1(11x x μ 9. 设)(x f 在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何)1,0(∈a 有⎰

⎰≥a

x x f a x x f 0

1

d )(d )(.

证明：

⎰

⎰-a

x x f a x x f 0

10

d )(d )(=--⎰⎰a a

x x f a x x f 0

d )(d )(⎰1d )(a

x x f a

⎰⎰

--=1

d )(d )()

1(a

a

x x f a x x f a =)()1()()1(βαaf a af a ---

)]()([)1(βαf f a a --=，其中 1,0≤≤≤≤βαa a

又)(x f 单调减，则)()(βαf f ≥，故原式得证.

习 题

1. 计算下列定积分 （1）

⎰

-4

d 2x x ; （2）⎰-12

2d ||x x x ; （3）⎰π20

d |sin |x x ; (4) x x x d }1,max{1

⎰-.

解：（1）

x x x x x x d )2(d )2(d 24

22

04

⎰⎰⎰

-+-=-4)221

()212(4

2

2202=-+-=x x x x

（2）⎰-1

22d ||x x x =⎰--0

23d )(x x +⎰1

03

d x x =1

040

2

444

x x +-

-=4+4

17

41=.