流体力学6-势流理论
势流理论
第六章：势流理论一．内容总结：二元流动包括平面流动和轴对称流动。
对于不可压缩流体的平面定常势流可以引入流函数和速度势函数。
而不可压缩平面势流速度势函数和流函数均满足拉普拉斯方程。
速度势函数的等值线与流函数等值线正交，流函数的等值线与流线重合。
本章研究物体在静止理想流体中平面运动时,流体对物体的作用力。
求解势流问题的思路为：当物体在流体中运动，即物体与流体之间产生相对运动时,物体受到流体的作用力。
对于理想流体的运动不存在切应力，理想流体中运动的物体表面上只受到法向的压力作用。
因此要解决在流场中物体所受的作用力,只要把物体表面上合压力求出即可。
由伯努利方程可知，若物面上（理想流体中无分离绕流时物面与流线重合）的速度分布已知可求出物面上压力分布，再沿物面积分便可求出物体受到的合压力。
因此，问题归结为求出流场的速度分布，对于不可压缩平面流动，求速度分布的问题又可归结为求速度势函数和流函数问题。
1． 势流问题求解的思路 基本方程 ： 20ϕ∇= 无旋流动20ψ∇=二维不可压缩流动V grad φ=G即得到三个速度分量u v 伯努立方程压力,,w →→P 再由边界条件→ 积分 spds ∫便求得了合力，因此只要确定V ϕ→→p G就可积分求合力了。
对于二维不可压缩无旋流动，整个问题的关键在于找到满足边界条件的ϕ或ψ。
求速度势ϕ的方法：因为方程是线性方程, 几个解的线性之和仍满足拉普拉斯方程。
20ϕ∇=根据已知知识确定应选的势流. 简单平面势流的表示式 1) 等速直线运动等速V 平行x 轴的平行流动速度势和流函数为： 0V x ϕ= 0V y ψ=2) 源和汇源心在坐标原点时速度势和流函数在平面极坐标下为： ln 2Q r ϕπ= 2Q ψθπ= 式中为源 为汇0Q >0Q <3) 旋涡速度势和流函数在平面极坐标下为： 2ϕθπΓ= ln 2r ψπΓ=−4)偶极子速度势和流函数为：222M x z x y ϕπ=+ 222M yx yψπ=−+ 221214sin p p p c V θρ∞∞−==− 在位置上,指向与X 轴成β角. 0z M ：称偶极矩,由汇指向源。
船舶流体力学(打印)
二.速度势函数的性质：
1.若流体不可压缩，流速势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
2.流线与等势面相互垂直。
可见，流速矢量与等势面垂直。而流速矢量与该点流线相切，故流线与等势面垂直。
若为平面流动，则流线与等势线垂直。
3.速度势对任一方向n的偏导数，等于流速矢量在该方向的投影。
三个基本解都具有奇异性。因为真实流场中不应该有无穷大的速度，所以通常要把它们布置在流场之外(物体区域内)。
例3:理想不可压缩流体作平面无旋流动。假设流场的复势是W(z) = az2( a > 0 )，并且在坐标原点处压强为p0，试求:(1)上半平面的流动图案；(2)沿y = 0的速度与压强。
解:令z = rei，于是:
2.螺旋流：
现研究点汇与点涡叠加所形成的流场：
等势线方程为：
流线方程为：
在流场任意两点1，2应用伯努利方程，有：
水轮机引水室中的旋转水流、旋风燃烧室中的旋转气流等都可以被近似地看成是此类流动。
若将点源与点涡叠加，则流体沿螺旋线由内向外流动，水泵压水室中的旋转水流就是这种流动。
例4.设在（－a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇，他们的强度为Q。若平行于x轴的直线流动和这一对强度相等的点源和点汇叠加。试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程。
图片：
四.平面偶极子：
z = 0点:点汇–Qz0点：点源Q
叠加后得到：
令r0，Q，不变，并且：
---偶极子的方向角(由点汇指向点源的矢量的方向角)。
这里分析=的情况(即，点源沿x轴的正方向由左至右向点汇趋近)。
因为点源(点汇)流、点涡流和偶极子流在无穷远处的速度都趋于零。将这些基本解与别的解叠加时，在无穷远处速度具有渐近性，所以只需要考虑叠加后的物面边界条件，而不必担心叠加这些基本解会改变无穷远处的速度边界条件
船舶流体力学第六章 势流理论
= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=
dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述
流体力学-势流理论
第六章势流理论本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。
这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。
一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，如图６-5所示，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ 积分：φ＝V ox （６-4） 如图６-3流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６-5） 如图６-4由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６-3中的实线。
流体力学势流
涡线微分方程
根据定义，涡线的微分方程为 其中
Ω d l 0
dl d xi d y j d zk
i j dx dy x y
k dz 0 z
dx dy dz x ( x, y , z , t ) y ( x , y , z , t ) z ( x , y , z , t )
-Γ
U
d
h/2 h/2 Γ L/2 L/2
卡门的分析研究表明，当涡列的空间尺度为 h / L 0.281 时， 涡列对于小扰动才是稳定的，实测证实了这一点。
§5—4 有势流动及解法概述
由开尔文定理可知，理想不可压缩流体从静止或无旋状态开始 的流动将保持为无旋流动。所以无旋流动往往是以理想流体为前 提条件的。无旋流动即为有势流动。 一. 无旋流动的速度势函数
有旋流动
无旋流动
判别的唯一标准是看流速场的旋度是否为零
•
涡量、涡线、涡管和涡通量 对于有旋流动，将流速场的旋度 称为涡量，它是流体微团旋转角速 度矢量的两倍。涡量场是矢量场。
涡量
Ω u 2ω
涡线
涡线是涡瞬时位于涡线上各点对应的涡量都沿着涡线的切向。与流线 一样，涡线是与欧拉观点相对应的概念。
A A A
A 关于 x 轴对称
•
旋涡随空间的变化规律 n A u
奥—高定理
u d V u n d A
V A
dA
V
矢量场通过一封闭曲面的通量 （流出为正）等于矢量场的散度 在封闭曲面所围空间域上的积分。 根据不可压缩 流体连续方程 u 0
奥—高定理可解释为：不可 压缩流体通过任一封闭曲面的 体积流量为零。
udl
M0
第三章-势流理论
物面不可穿透：
Imw(z) const.
无穷远处：
V
U
iV
dw dz z
U
iV
给定环量
L d L (d id ) Ldw
3.5平面势流的基本解
1 均匀直线运动
流场内速度的大小和方向均为常值的流动。 实例：均匀直线流绕过顺流放置的无限薄平板。
ux a, uy b
d adx bdy ax by
后沿一平面均匀的向四方作扩散流动，这种扩散运动叫着 点源运动。单位时间流出的流体体积Q称为源强。
实例：泉眼向各方的流动； 离心式水泵叶轮内的流体运动。
y
C
C
ur
Q
2 r
,
u 0
x
ux
ur cos
Q
2 r
x r
Q
2
x x2 y2
uy
ur sin
Q
2 r
y r
Q
2
y x2 y2
d
uxdx uydy
d
AB
QAB B A
y
B
A
M
u
n
x
（3）平面势流的流函数是调和函数 。
z
u y x
ux y
0
x
x
y
y
0
2 2
0 or
2 0
x2 y2
2 无旋流动
（1）势函数为调和函数。
（2）平面运动沿任意曲线AB的环量等于两端点A及B的 速度势之差。
d u cosu, s ds uxdx uydy d
m u
dm
dn
x
x
3.4平面势流的复势问题
1 复势
势流理论笔记：01势流理论基础
势流理论笔记：01势流理论基础前⾔：势流理论复习笔记，没想到⾃⼰⼜重新学了⼀遍势流理论。
所以记个笔记笔记内容基本摘抄⾃朱仁传⽼师的《船舶在波浪上的运动理论》，写得好哇基础理论均匀、不可压缩理想流体的流场中，连续性⽅程与欧拉⽅程可以描述为：∇v=0∂∂t+v⋅∇v=−∇pρ+gzv(x,y,z)与p(x,y,z)分别为速度⽮量与压⼒场，存在向量关系∇v22=∇v⋅v2=(v⋅∇)v+v×(∇×v)欧拉⽅程可以改写为以下形式，称为兰姆⽅程(Lamb′sEquation)∂v∂t+∇v22−v×(∇×v)=−∇pρ+gz以上共四个⽅程，四个未知数，⽅程封闭。
如果流体流动⽆旋有势，⽅程可以进⼀步简化v=∇ϕ(x,y,z,t)∇2ϕ(x,y,z,t)=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2=0pρ+gz+v22+∂ϕ∂t=C(t)格林函数法船舶在波浪中的运动问题关键在于求解流畅中的速度势，即求在确定边界条件下的拉普拉斯⽅程。
格林函数法(Green′s function method)是⼀类成熟常⽤的求解⽅法。
格林函数法的基础势格林公式（散度定理）推导得到，对三维空间中有界区域τ，有以下关系式∭τ∇⋅A dτ=∬S n⋅A d S其中，S为空间域τ充分光滑的边界⾯；n为曲⾯S的单位外法向⽮量（从流体域内指向外部），⽮量A在封闭区域τ+S上连续。
现令A=ϕ∇ψ，于是有∇A=∇(ϕ∇ψ)=∇ϕ⋅∇ψ+ϕ∇2ψn⋅A=n⋅(ϕ∇ψ)=ϕ∂ψ∂n将A=ϕ∇ψ代⼊格林公式得到∬Sϕ∂ψ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τϕ⋅∇2ψdτ将A=ψ∇ϕ代⼊格林公式得到∬Sψ∂ϕ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τψ⋅∇2ϕdτ两式作差得到{()() ()()()()∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =∭τϕ⋅∇2ψ−ψ⋅∇2ϕd τ若ϕ,ψ在τ内处处调和，即: ∇2ϕ=0,∇2ψ=0，则有∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =0∬S ψ∂ϕ∂n d S =∬S ϕ∂ψ∂n d S称作格林第⼆公式。
高等流体力学
概念第一章绪论连续介质：但流体力学研究的是流体的宏观运动，不以分子作为流动的基本单元，而是以流体质点为基本单元，把流场看做是由无数流体质点组成的连续体。
流体质点：流场中一个体积很小并可以忽略其几何尺寸，但与分子相比，这个体积可容纳足够多的分子数目的流体元，有一个稳定的平均特性，即满足大数定律理想流体：忽略流体黏性的流体，即μ=0.可压缩流体与不可压缩流体：简单地讲，密度为常数的流体为不可压缩流体，如水、石油及低速流动的气体。
反之，密度不为常数的流体为可压缩流体。
牛顿流体与非牛顿流体：根据流体流动时切应力与流速梯度之间的关系，即牛顿内摩擦定律。
凡是符合牛顿内摩擦定律的成为牛顿流体，如水、空气、石油等。
否则为非牛顿流体，如污泥、泥石流、生物流体、高分子溶液等动力粘度与运动粘度：动力粘度又成为动力黏度系数，动力黏度是流体固有的属性。
运动粘度又称为运动粘性系数，运动黏性系数则取决于流体的运动状态体积力与表面力：体积力亦称质量力，是一种非接触力，即外立场对流体的作用，且外立场作用于流体每一质点上，如重力、惯性力、离心力。
表面力是一种表面接触力，指流体与流体之间或流体与物体之间的相互作用，主要指压力、切应力、阻力等定常流与非定常流：又称恒定流与非恒定流。
若流场中流体质点的所有运动要素均不随时间变化，则这种流动称为定常流；反之只要有一个运动要素随时间变化则为非定常流大气层分为5层：对流层、同温层、中间层、电离层及外逸层第二章流体运动学描述流体质点的位置、速度及加速度的两种方法，即拉格朗日法和欧拉法质点导数：亦称随体导数，表示流体质点的物理量对时间的变化率，亦即跟随流体质点求导数那布拉P9流体质点的运动轨迹称为迹线流线：此曲线上任一点的切线方向就是该点流速方向依照一定次序经过流场中某一固定点的各个质点连线称为脉线，也叫序线。
流体线：在流场中任意指定的一段线，该段线在运动过程中始终保持由原来那些规定的质点所组成。
【通用】流体力学6-势流理论.ppt
ｘ＝const，等势线 两组等值线相互正交
0.0
5
v0 v0 y
v0
v0
v0 y
v0
平板
平行平壁间的流动 薄平板的均匀纵向绕流
0.0
6
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
Vr=f(r)， V = 0 2πrVr ＝Ｑ
∴ Vr＝Ｑ/2πr
0.0
• 与该平面相平行的所有其它平面上的流动 情况完全相同。
0.0
2
图 6－1
0.0
3
一、均匀流
Vｘ＝Vo， Vy＝０
(1)势函数
d
x
dx
y
dy
Vxdx
Vy dy
V0dx
V0 x C
V0 x
(2)流函数
d
x
dx
y
dy
Vydx
Vx dy
Vody
V0 y
0.0
4
令 V0 y c y const. 令 V0 x c x const.
？讨论：零流线上的速度变化
0.0
23
？讨论：零流线上的速度变化
Vr
V0
cos (1
r02 r2
)
V
V0
sin (1
r02 ) r2
零流线上的速度大小
X轴： V
Vr2
V2
V0
(1
r02 r2
)
圆周：V 2V0 sin
A, 速度减小，A B(D), 速度增加
B(D) C, 速度减小， C ,速度增加
r02 r2
)
0.0
22
二、圆柱表面的速度分布
流体力学：第5章 势流理论-上
x0 0
M 1 y y0 M W ( z) 2 2 2 z z 0 2 ( x x0 ) ( y y0 )
5.3.3 平面偶极 (dipole)
位于（0，0）偶极：
M x M cos 2 x 2 y 2 2 r
M y M sin 2 x 2 y 2 2 r
位于(x0，y0），沿 -x 轴方向：点源
( x0 , y0 ) ，点汇 ( x0 x0 , y0 )
m m 2 2 ln{( x x0 ) ( y y0 ) } ln{[ x ( x0 x0 )]2 ( y y0 ) 2} 4 4
x x0 M 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
x m 2b b2 , 2 v0 y0
过驻点流线： m 1 2by vo y tg ( 2 )0 2 2 2 x y b
V0
o
＋
y
x
2v0 y 2by tg ( ) 2 m x y 2 b2
点源推开流线，点汇收回流线。
将流线替换成物面，该解模拟流体绕卵形体的外部流动。
sin 2 sin surface
2
5.4.2 均匀流和一对等强度源汇的叠加
x方向均匀流
+
等强度源汇：源(-b,0）、汇(b,0）
2b
＋
V0
m
m
＋
V0 x
m m ln ( x b) 2 y 2 ln ( x b) 2 y 2 2 2
仍然是解析函数，仍然代表某一种流动的复势。简单 流动组合成复杂流动——叠加法
5.3 平面势流的基本解
第六章 势流理论
第六章势流理论课堂提问：为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同？本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。
这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。
一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ积分： φ＝Vox （６-4）流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5）由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。
优选流体力学势流理论上
偶极既有大小，又有方向。
位于(x0，y0），沿 -x 轴方向：点源 (x0 , y0，) 点汇 (x0 x0 , y0 )
m
4
ln{(x
x0 )2
(y
y0 )2}
m
4
ln{[x
( x0
x0 )]2
(y
y0 )2}
M
x x0
2 (x x0 )2 ( y y0 )2
x0 0
M
y y0
n F F
F i F j F k x y z
F x
2
F y
2
F z
2
5.1.1 基本方程——Laplace Equition
vn vb n
F vb F （on S）
若物面运动：对 F(x, y, z,求t)全（0物质）导数
dF dt
F t
F x
dx dt
F y
dy dt
l
dwdz dz
dw
l
l d id l iQl
l
Re
dw l dz
Ql
I
m
l
dw dz
dz
4) W (z) c1 ic2
c1
c2
5.2.1 复势的可叠加性 解析函数 W1(z) 1 i1 W2 (的z) 线性2 组i合2 ,
W (z) W1(z) W2 (z)
优选流体力学势流理论上
5.1 势流问题的基本方程和边界条件
势流问题的数学描述—— Mathematical Model
5.1.1 基本方程——Laplace Equition
v 0
v
0
v
2 0 （in fluid）
《高等流体力学》第6章-势流
(
流函数与速度势函数这一关系，在数学上称 为柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）条件，满 足这一条件的函数称为共轭函数。
i j)( i j) x y x y x x y y u x (u y ) u y u x 0
复势：
W ( z ) i Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q Q ln r i 2 2
z r (cos i sin ) z z ei re i
p
Z0处复势：
x x x0 y y y0
(ln r i ) (ln r ln ei ) ln re i ln z
Q Q d 2 2 Q Q d dr d dr 0d ln r r 2r 2
1 ur u r r d dr d r
5
2013-12-29
z x iy
B B B u dl ux dx u y dy uz dz d B A A A
AB
A
(2). 无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程
u i j k x y z
(4). 圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式
(4 xdx 4 ydy ) ( ydx xdy ) 2 x 2 xy 2 y 2 C
u x x 4 y u y 4 x y
6.4 平面势流的数学提法与一般解法
(3).
u z x 4 (4) 0 x y
ux x 4 y x 1 2 x 4 xy C ( y ) 2 C ( y ) u y 4 x y 4 x y y C ( y ) 1 y C ( y) y 2 y 2 1 1 x 2 4 xy y 2 2 2
工程流体力学ppt第6章理想流体平面势流
§6-2 几种简单的平面势流
1、均匀平行流
深度和宽度很大的流体流过平面时的流动称 均匀平行流。 特点：各点速度大小相等，方向相同。 设均匀流与 x 轴成 角，速度 v 0 ，分速度
1 v y v x 由， z ( ) C 故为有势流动。 2 x y
v x、v y， x v0 cos ，v y v0 sin 。 v
v y， v x x y
代入，即有：
2 0 2 x y
2 2
0
2
也是调和函数，也可变为求一定起始边界 条件的拉氏方程。 、 满足数学上的柯西黎曼条件，故 、 为共扼调和函数，知其
一就可求另一个。
②平面流动中两条流线间通过的流体流量， 等于两条流线的流函数之差。这也正是流函 数的物理意义。证明从略。
2 2 2 2
由连续方程
对有势 v x， v y， v z x y z 2 2 2 代入 2 2 0 2 x y z
v x v y v z 0 x y z
为调和函数
解有势流动的问题，变成了解满足一定边界 条件的拉普拉斯方程。 注意：不可以用拉普拉斯方程作为判定速度 势存在的判据。 ③沿任意曲线上的速度环量Γ等于曲线两端点 上的速度势之差，而与曲线形状无关。
1.速度势函数
若函数 P( x、y、z）、Q( x、y、z） 偏导数在单连通域中单值连续 R( x、y、z）
则当：
这是 Pdx Q d y R d z 为某函数
P Q y x Q R z y R P x z
成立，
( x、y、z )
全微分存在的充要条件。
则 且有
2010 第六章节 平面势流 流体力学
=
M
2πz
4、点涡；
ϕ
=
ψ =
Γθ 2π
Γ ln r
⇒W (z)
=
Γ
2π
(θ
− i ln
r)
=
Γ
i2π
ln(reiθ
)
=
−
iΓ
2π
ln
z
2π
15:58
平面势流基本解物理效应
奇点:
W (z) = ϕ + iψ
V0
Q
Γ
M
• 奇点的物理效应 最简单的流动——解决复杂势流的基础。
• 均匀流——顺流
15:58 •复杂物面绕流——多个奇点的叠加
一、平面势流基本解的叠加
势流叠加意义：将简单的势流叠加起来，得到新的 复杂流动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。
• 复势的可叠加性 W (z) = W1 (z) + W2 (z) + —— 基本解叠加法
• 由基本解构造复杂流动的解 —— 基本解（奇点）叠加法。
Γθ 2π Γ ln
r
⇒
W
(z)
=
Γ 2π
(θ
−
i
ln
r)
=
Γ i2π
ln(reiθ
)
=
−
iΓ 2π
ln
z
2π
• 偶极子 ——兼厚度效应与升力效应
ϕ=
M
2π
x x2 + y2
ψ
=− M
2π
y x2 + y2
⇒W (z) =
M
2π
x − iy (x + iy)(x − iy)
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Vr V
边界条件的验证
近场边界条件
Mcos 1 2 V0 rcos 2 r Msin 1 2 V0 rsin 2 r
M 令 0 sin (V0 r )0 2 r sin 0 0或
ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴
§６-3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应
绕圆柱体的有环量流动：
绕圆柱体的无环流
环量为Γ 顺时针平面点涡
边界条件仍成立： 1.圆柱是一条流线 2.无穷远处的边界条件
一、边界条件：
势函数与流函数
r02 V0 cos (r ) r 2 r02 V0 sin (r ) ln r r 2
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动
一、圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件（远场边界条件）
在无穷远处为均匀流
ｒ ∞
Vx V0 V y 0
或
Vr V0 cos V V0 sin
2.物面条件（近场边界条件） 圆柱表面不可穿透 r = r０，Vｎ= Vｒ=０ 或r = r０ 的圆周是一条流线 r = r０，ψ=０（零流线）
伯努利方程（沿圆柱表面） p 2 C
v2
v2
1 V 2V0 sin 2 r0
2 pC C (2V0 sin ) 2 2 2 r0
V0 sin 2 2 2 C 2 2 2 V0 sin 8 r0 r0
用迭加法求势函数φ
Q 1 2 (ln r1 ln r2 ) 2
y
A( r , )
M cos 2 r
r1
r
r2
r2
2
M x 2 x 2 y 2
Q B
1
x
C Q
x
流函数
Q Q 1 2 (1 2 ) ( ) 2 2
v v
Q ln r 2
三、偶极子
定义 无界流场中等流量的源和汇 无限靠近，当间距δ x→０时，流 量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一 个有限数值，即：
x
y
A( r , )
r1
Ｑδ x→Ｍ
（δ x→０）
r
r2
这一流动的极限状态称为偶极子， Ｍ为偶极矩。
Q B
r2
2
1
x
C Q
x
dFL
d
L V0
V0
pds
库塔—儒可夫斯基升力定理
r0
dFD
库塔——儒可夫斯基升力定理
L V0
升力的方向:
右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转90°
库塔——儒可夫斯基升力定理 有尖后缘的任意翼型绕流（理想流体）
dX pdS sin pdy dY pdS cos pdx
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源， 反向流动谓之汇。
Vr=f(r)， V = 0 2π rVr ＝Ｑ ∴ Vr＝Ｑ/2π r
直角坐标系： 极坐标：
Vr
Vx
x y
Vs
Vy
y x
1 r s r
1 s r r
r2 x sin 1
x sin 1
r2
y
A( r , )
Q x sin 2 r2
x 0 Q x M 1 r2 r
r1
r
r2
r2
2
M sin 2 r
Q B
1
M y 2 x 2 y 2
？讨论： 零流线上的压力变化
？讨论： 零流线上的压力变化
p
V 2
2
p0
V0 2
2
A, 速度减小，A B(D), 速度增加 B( D) C, 速度减小， C ,速度增加
A, 压强增加，A B(D), 压强减小 B( D) C, 压强增加， C ,压强减小
驻点位置
圆柱表面上
Vr 0
V 0
1 V 2V0 sin 0 2 r0
sin s 4 r0V0
驻点不在圆柱表面上
结论：
1. 合成流动对称于ｙ轴，圆柱仍将不受阻力
2.
合成流动不对称于ｘ轴，产生了向上的升力
三 阻力、升力大小的计算：
1 圆柱表面压力分布
单位长圆柱所受到的升力
L
2 0
L
2
0
p sin r0 d
V0 sin 2 2 2 (C 2 2 2V0 sin )sin r0 d 8 r0 r0
2
0
sin d 0,
2
0
sin d 0,
3
2
0
sin 2 d
圆周： V 2V0 sin
A, 速度减小，A B(D), 速度增加 B( D) C , 速度减小， C ,速度增加
三 柱面上的压力分布: 定常，不计质量力的拉格朗日积分式为:
p
V 2
2
p0
V0 2
2
V 2V0 sin
Vr 0 V 2V0 sin
x
C Q
x
令ψ＝C得流线族：
M y c 2 2 2 x y
或
即
y c1 2 2 x y
y x y 0 c1
2 2
1 2 1 x (y ) 2 2c1 4c1
2
图6-8（b）
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆， 等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
y
s( )
r
d
x
Q ln r 2
Q 2
流线为θ ＝const，为原点引出的一组射线 等势线为ｒ＝const，为同心圆。 流线和等势线相互正交。
当Ｑ＞０，则 Vｒ＞０为点源，反之为点汇。
对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，
可以用源（汇）的速度势来描述。
B A o C D
第六章 势流理论
本章主要研究内容：
1.理想流体平面绕流问题（平面势流） 2.几种最简单的势流 3.绕圆柱体的无环流流动 4.绕圆柱体的有环流流动 5.附加惯性力与附加质量
§６-1
几种简单的平面势流
平面流动（或称二元流动）应满足的条件： • 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所 在平面，无垂直于该平面的分量； • 与该平面相平行的所有其它平面上的流动 情况完全相同。
图 6－1
一、均匀流
Vｘ＝Vo， Vy＝０
(1)势函数
d dx dy Vx dx Vy dy V0 dx x y
V0 x C
(2)流函数
V0 x
d dx dy Vy dx Vx dy Vo dy x y
注意：
偶极子和轴线的方向
轴线：源和汇所在的直线
方向：由汇指向源的方向
为ｘ轴负向
图6-8（b）
偶极子的方向
四、点涡（环流）
点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡， 方向垂直于xoy平面，与xoy平面的交点
vs 2 r vr 0
涡索旋涡强 度的两倍
所求速度的点到
点涡的距离
势函数
d vr dr vs rd d 2
V0 y
令 V0 y c y const. 令 V0 x c x const.
ｙ=const，流函数等值
线（流线）
ｘ＝const，等势线 两组等值线相互正交
v0
v0
v0 y
v0 y
v0 v0
平板
平行平壁间的流动
薄平板的均匀纵向绕流
二、源或汇
M V0 r 0 2 r
V0
Vr V
圆周 也是流线
M r r0 2 v0
0
的一部分
远场边界条件
Mcos V0 rcos 2 r M 2V0r02
r02 V0 cos (r ) r
r02 Vr V0 cos (1 2 ) r r r02 1 V V0 sin (1 2 ) r r
2 阻力大小的计算：
单位长ds所受到的阻力
dFD pds cos pr0d cos
pC
v2
2
C
2
(2V0 sin
2 ) 2 r0
单位长圆柱所受到的阻力
FD
2 0
p cos r0 d 0
V0
dFL
d
pds
r0
dFD
3 升力大小的计算： 单位长ds所受到的升力 dFL pds sin pr0d sin
理想流体对圆柱体的作用力: 升力L： 合力在ｙ轴上的分量
阻力R： 合力在x轴上的分量 绕圆柱的无环量流动： 升力Ｌ＝０ 压力分布对称于ｘ轴 阻力 Ｒ＝０ 压力分布对称于 y轴
达朗贝尔谬理!
正压
负压
达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为： １. 理想流体 ２. 物体周围的流场无界 ３. 物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点 ４. 物体作等速直线运动 ５. 物体表面流动没有分离
Q d ( dr d ) Vr dr rVsd dr r 2 r Q d ( dr d ) Vs dr rVr d d r 2