流体力学6-势流理论

V0
Vr V

边界条件的验证
近场边界条件
Mcos 1 2 V0 rcos 2 r Msin 1 2 V0 rsin 2 r
M 令 0 sin (V0 r )0 2 r sin 0 0或
ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴
§６-3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应
绕圆柱体的有环量流动：
绕圆柱体的无环流
环量为Γ 顺时针平面点涡
边界条件仍成立： 1.圆柱是一条流线 2.无穷远处的边界条件
一、边界条件：
势函数与流函数
r02 V0 cos (r ) r 2 r02 V0 sin (r ) ln r r 2
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动
一、圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件（远场边界条件）
在无穷远处为均匀流
ｒ ∞
Vx V0 V y 0
或
Vr V0 cos V V0 sin
2.物面条件（近场边界条件） 圆柱表面不可穿透 r = r０，Vｎ= Vｒ=０ 或r = r０ 的圆周是一条流线 r = r０，ψ=０（零流线）
伯努利方程（沿圆柱表面） p 2 C
v2
v2
1 V 2V0 sin 2 r0
2 pC C (2V0 sin ) 2 2 2 r0
V0 sin 2 2 2 C 2 2 2 V0 sin 8 r0 r0
用迭加法求势函数φ
Q 1 2 (ln r1 ln r2 ) 2
y
A( r , )

M cos 2 r

r1
r
r2
r2
2
M x 2 x 2 y 2
Q B
1

x
C Q
x
流函数
Q Q 1 2 (1 2 ) ( ) 2 2
v v

Q ln r 2
三、偶极子
定义 无界流场中等流量的源和汇 无限靠近，当间距δ x→０时，流 量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一 个有限数值，即：
x
y
A( r , )

r1
Ｑδ x→Ｍ
（δ x→０）
r
r2
这一流动的极限状态称为偶极子， Ｍ为偶极矩。
Q B
r2
2
1

x
C Q
x
dFL
d
L V0
V0

pds
库塔—儒可夫斯基升力定理
r0
dFD
库塔——儒可夫斯基升力定理
L V0
升力的方向:
右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转90°
库塔——儒可夫斯基升力定理 有尖后缘的任意翼型绕流（理想流体）
dX pdS sin pdy dY pdS cos pdx
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源， 反向流动谓之汇。
Vr=f(r)， V = 0 2π rVr ＝Ｑ ∴ Vr＝Ｑ/2π r
直角坐标系： 极坐标：
Vr
Vx
x y
Vs
Vy
y x
1 r s r
1 s r r
r2 x sin 1

x sin 1
r2
y
A( r , )
Q x sin 2 r2
x 0 Q x M 1 r2 r

r1
r
r2
r2
2
M sin 2 r
Q B
1

M y 2 x 2 y 2
？讨论： 零流线上的压力变化
？讨论： 零流线上的压力变化
p
V 2
2
p0
V0 2
2
A, 速度减小，A B(D), 速度增加 B( D) C, 速度减小， C ,速度增加
A, 压强增加，A B(D), 压强减小 B( D) C, 压强增加， C ,压强减小
驻点位置
圆柱表面上
Vr 0
V 0
1 V 2V0 sin 0 2 r0
sin s 4 r0V0
驻点不在圆柱表面上
结论：
1. 合成流动对称于ｙ轴，圆柱仍将不受阻力
2.
合成流动不对称于ｘ轴，产生了向上的升力
三 阻力、升力大小的计算：
1 圆柱表面压力分布
单位长圆柱所受到的升力
L
2 0
L
2
0
p sin r0 d
V0 sin 2 2 2 (C 2 2 2V0 sin )sin r0 d 8 r0 r0

2
0
sin d 0,

2
0
sin d 0,
3

2
0
sin 2 d
圆周： V 2V0 sin
A, 速度减小，A B(D), 速度增加 B( D) C , 速度减小， C ,速度增加
三 柱面上的压力分布: 定常，不计质量力的拉格朗日积分式为:
p
V 2
2
p0
V0 2
2
V 2V0 sin
Vr 0 V 2V0 sin
x
C Q
x
令ψ＝C得流线族：
M y c 2 2 2 x y
或
即
y c1 2 2 x y
y x y 0 c1
2 2
1 2 1 x (y ) 2 2c1 4c1
2
图6-8（b）
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆， 等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
y
s( )
r

d
x
Q ln r 2
Q 2
流线为θ ＝const，为原点引出的一组射线 等势线为ｒ＝const，为同心圆。 流线和等势线相互正交。
当Ｑ＞０，则 Vｒ＞０为点源，反之为点汇。
对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，
可以用源（汇）的速度势来描述。
B A o C D
第六章 势流理论
本章主要研究内容：
1.理想流体平面绕流问题（平面势流） 2.几种最简单的势流 3.绕圆柱体的无环流流动 4.绕圆柱体的有环流流动 5.附加惯性力与附加质量
§６-1
几种简单的平面势流
平面流动（或称二元流动）应满足的条件： • 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所 在平面，无垂直于该平面的分量； • 与该平面相平行的所有其它平面上的流动 情况完全相同。
图 6－1
一、均匀流
Vｘ＝Vo， Vy＝０
(1)势函数
d dx dy Vx dx Vy dy V0 dx x y
V0 x C
(2)流函数

V0 x
d dx dy Vy dx Vx dy Vo dy x y
注意：
偶极子和轴线的方向
轴线：源和汇所在的直线
方向：由汇指向源的方向
为ｘ轴负向
图6-8（b）
偶极子的方向
四、点涡（环流）
点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡， 方向垂直于xoy平面，与xoy平面的交点
vs 2 r vr 0
涡索旋涡强 度的两倍
所求速度的点到
点涡的距离
势函数
d vr dr vs rd d 2
V0 y
令 V0 y c y const. 令 V0 x c x const.
ｙ=const，流函数等值
线（流线）
ｘ＝const，等势线 两组等值线相互正交
v0
v0
v0 y
v0 y
v0 v0
平板
平行平壁间的流动
薄平板的均匀纵向绕流
二、源或汇
M V0 r 0 2 r
V0
Vr V

圆周 也是流线
M r r0 2 v0
0
的一部分
远场边界条件
Mcos V0 rcos 2 r M 2V0r02
r02 V0 cos (r ) r
r02 Vr V0 cos (1 2 ) r r r02 1 V V0 sin (1 2 ) r r
2 阻力大小的计算：
单位长ds所受到的阻力
dFD pds cos pr0d cos
pC
v2
2
C

2
(2V0 sin
2 ) 2 r0
单位长圆柱所受到的阻力
FD
2 0
p cos r0 d 0
V0
dFL
d

pds
r0
dFD
3 升力大小的计算： 单位长ds所受到的升力 dFL pds sin pr0d sin
理想流体对圆柱体的作用力: 升力L： 合力在ｙ轴上的分量
阻力R： 合力在x轴上的分量 绕圆柱的无环量流动： 升力Ｌ＝０ 压力分布对称于ｘ轴 阻力 Ｒ＝０ 压力分布对称于 y轴
达朗贝尔谬理!
正压
负压
达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为： １. 理想流体 ２. 物体周围的流场无界 ３. 物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点 ４. 物体作等速直线运动 ５. 物体表面流动没有分离
Q d ( dr d ) Vr dr rVsd dr r 2 r Q d ( dr d ) Vs dr rVr d d r 2
Q ln r 2 Q 2

2
, V 2V0
速度达到最大值， 且与圆柱体半径无关。
？讨论：零流线上的速度变化
？讨论：零流线上的速度变化
r02 Vr V0 cos (1 2 ) r r02 V V0 sin (1 2 ) r
零流线上的速度大小
r02 X轴： V Vr2 V2 V0 (1 2 ) r
无穷远均匀流中压力
V0 2 p p0 (1 4sin 2 ) 2
压力系数:
p p0 Cp 1 V02 2
2 4
圆柱体上：Cp 1 4sin
圆柱面上的压力分布
Cp 1 4sin
2 4
压力分布既对称于ｘ轴 也对称于ｙ轴。
在Ａ，Ｃ两点压力最大 在Ｂ，Ｄ两点压力最小
二、圆柱表面的速度分布
流场速度分布 圆柱表面的速度分布
r r0
r02 Vr V0 cos (1 2 ) r
r02 V V0 sin (1 2 ) r
Vr 0
V 2V0 sin
Vr 0 V 0
Ａ、Ｃ： 0,
A,C为驻点！ Ｂ、Ｄ：

2
流函数
d vs dr vr rd dr 2 r
ln r 2
流线：ψ ＝const
同心圆
Γ ＞０对应于反时针的转动 Γ ＜０对应于顺时针的涡旋
§6－3 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理
绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶 极子迭加形成的流动。
（无穷远处为均匀流动）
R-
r=r0
1 V 2V0 sin 2 r0
Vr 0
二：速度分布及驻点位置
圆柱表面上速度分布
Vr 0
1 V 2V0 sin 2 r0
圆柱上表面：
由环流引起
顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速 度方向相同，故速度增加。
圆柱下表面： 方向相反，因而速度减少。
当
Vr
r r0
ln r0 const. 2
2 0 2
（顺时针转动取负）
(圆周仍为流线) ｒ→∞
Vr V0 cos V V0 sin
流场中速度分布
r V0 cos (1 ) r r r02 1 V V0 sin (1 2 ) r r 2 r
V0 Vr
ｒ→∞
Vr V0 cos V V0 sin

V
结论：
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动
r V0 cos (r ) r
2 0
r02 Vr V0 cos (1 2 ) r r r02 1 V V0 sin (1 2 ) r r
得ｘ和ｙ方向的总力：
X pdy