蒙特卡洛模拟方法

2013年9月2日
大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的基本思想
▪ 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概 率统计理论为基础的一种方法。
▪ 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个事件 的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时。通过某种试验的方 法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡洛方法的基本思想。
N个样本值
2013年9月2日
统计分析，估计均 值，标准差
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Monte Carlo方法的框图实例
▪ 某投资项目每年所得盈利额A由投资额P、 劳动生产率L、和原料及能源价格Q三个因 素。
1
A aP bL2 cQ 2 d
2013年9月2日
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Monte Carlo方法的思想框图实例
2013年9月2日
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Monte Carlo方法的思想框图
建立概率统计模型
N
收集模型中风险变量的数据，确定风险 因数的分布函数
根据随机数在各风 险变量的概率分布 中随机抽样，代入 第一步中建立的数
学模型
N
根据风险分析的精度要求，
N
确定模拟次数N
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数
蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡洛模拟方法
1
蒙特卡罗方法概述
2
蒙特卡洛方法思想框图
3 相关案例分析及其软件操作
4 蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
2013年9月2日
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Monte Carlo方法的发展历史
▪ 早在17世纪，人们就知道用事件发生的 “频率”来决定事件的“概率”。从方法特 征的角度来说可以一直追溯到18世纪后半 叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验，即著 名的蒲丰问题。
2013年9月2日
斯密思（Smith） 投计次数：3204次 pi的实验值：3.1553
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Monte Carlo方法的发展历史
▪ 20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可以实 现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题才有了 可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间，为解 决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数学家冯 .诺伊曼和乌拉姆等提出蒙特卡罗模拟方法.由于当时工作是保密的， 就给这种方法起了一个代号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个赌城的名字 。用赌城的名字作为随机模拟的名称，既反映了该方法的部分内涵， 又易记忆，因而很快就得到人们的普遍接受。
1
A aP bL2 cQ 2 d
N
收集P,L,Q数据，确定分布函数 f(P),f(L),f(Q)
抽取P,L,Q一组 随机数，代入
模型
N
模拟次数N；根据分布函数，
N
产生随机数
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数
2013年9月2日
产生N个A值
统计分析，估计均 值，标准差
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随机数的定义wenku.baidu.com其性质
蒲丰氏问题数学基础
▪ 上述问题简图：
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蒲丰氏问题数学基础
▪ 分析知针与平行线相交的充要条件是：
x 1 sin
2
▪ ▪
其建中立：直0角坐x 标 a2系，0，x，上述条件在坐标系下将是曲线
所围成的曲边梯形区域。由几何概率知：
P
g的面积 G的面积
1 2
sind
0
a
2l
a
2
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Monte Carlo方法的发展历史
历史上的实验
1901
1850
沃尔弗（Wolf） 投计次数：5000次 pi的实验值：3.1596
1855
1894
拉查里尼（Lazzarini） 投计次数：3408次 pi的实验值：3.141592
福克斯（Fox） 投计次数：1120次 pi的实验值：3.1419
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Monte Carlo方法的基本思想
▪ 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概 率统计理论为基础的一种方法。
▪ 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个事件 的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时。通过某种试验的方 法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡洛方法的基本思想。
个特点。
▪
随机数具有非常重要的性质：对于任意自然数s，
由s个随机数组成的s维空间上的点（ξn+1，ξn+2，…ξn+s） 在s维空间的单位立方体Gs上均匀分布，即对任意的ai， 0≤ai≤1，i=1,2,…,s
▪ ［0，1］上均匀分布（单位均匀分布），其分布密度函数为：
1,0 x 1 f (x) 0,其他
▪
分布函数为： F
(x)
0, x x,0
0 x
1
1, x 1
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随机数的定义及其性质
▪ 由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位置，
我们用专门的符号ξ表示。由随机数序列的定义可知， ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均匀分布的随机 数序列。也就是说，独立性、均匀性是随机数必备的两
▪ 随机数的定义
▪ 用Monte Carlo方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随机 变量。最简单、最基本、最重要的随机变量是在［0，1］上均匀分 布的随机变量。由该分布抽取的简单子样称为随机数序列，其中每 一个体称为随机数。随机数属于一种特殊的由已知分布的随机抽样 问题。随机数是随机抽样的基本工具。
2013年9月2日
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例.蒲丰氏问题
▪ 设针投到地面上的位置可以用一组参数 （x,θ）来描述,x为针中心的坐标,θ为针与 平行线的夹角,如图所示。
▪ 任意投针，就是意味着x与θ都是任意取 的，x的范围限于［0，a/2］，夹角θ的范 围限于［0，π］。
2013年9月2日
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2013年9月2日
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Monte Carlo方法的发展历史
▪ 1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来好些 客人玩投针游戏（针长是线距之半），他事 先没有给客人讲与π有关的事。客人们虽然 不知道主人的用意，但是都参加了游戏。他 们共投针2212次，其中704次相交。蒲丰说， 2212/704=3.142，这就是π值。这着实让人 们惊喜不已。