第九章 单位根与协整

z ＝ －1z－－ p z ＝0的一个根，因为 1
p
1＝ －1－－ p＝1－＝0。此根正好落在单 1
位圆上，故AR p 有一个单位根
2 结构变动（structural
break）：如果一个时间序
列存在结构变动，则为非平稳序列。对此，可用邹 检验（chow test）进行检验（参见模型设定的内容）
3 随机趋势：另一种导致非平稳的趋势为随机趋势
（stochastic trend）。比如，随机游走模型（random walk）： y t＝y t-1＋ t，其中， t 为白噪声。由于 y t＝ t，故来自 t 的任何扰动对 y t 都具有永久性 的冲击，其影响力不随时间而衰减，故称 t 为这 个模型的随机趋势。
对于I 0 序列，由于它是平稳的，故长期而言有回 到其期望值的趋势。这种性质被称为均值回复 （mean-reverting）。
非平稳的I 1 序列则会“到处乱跑”（wander widely），没有上述性质。另外，I 0 序列对于 其过去的行为只有有限的记忆，即发生在过去的 扰动项对未来的影响随时间而衰减；而I 1 序列 则对过去的行为具有无限长的记忆，即任何过去 的冲击都将永久性地改变未来的整个序列。 定义：如果时间序列y t 的d阶差分为平稳的
在AR 1 模型两边同时减去y t-1可得 y t＝ 0＋ y t-1＋ t （9.1） 其中， 1－1，对应的原假设与备择假设变为： H 0：＝0 vs H1： <0 ˆ 对方程（9.1）作OLS回归，可得估计量 及相应 的t统计量。此t统计量称为Dickey-Fuller统计量， 简记为DF统计量。 可以证明，DF统计量的渐近分布为布朗运动的函

p-1
－ p-2 y t- p-1－ p-1 y t-p＋ t 9.4
将方程 9.2 与 9.4 的对应系数一一对等起来可得 1＝＋ 1 ＝ － 2 2 1 9.5 ＝ － p－1 p-1 p-2 p＝－ p-1 在方程组 9.5 中，把1， 2， ， p作为已知数， 可以解出， 1， 2， ， p-1的表达式。由方程组
三、VAR的平稳性
一维的AR p 的平稳性条件可以推广到多维 VAR p 的情形。
考虑以下VAR p 模型： yt＝0＋1 yt-1＋＋ p yt-p＋ t 其中， t 为向量白噪声过程。
可以证明，如果对于复数z， 特征方程 I n－1z－－ p z p ＝0 的所有根都落在复平面的单位圆之外（即 z >1） 则此VAR p 为平稳过程。上述特征方程之 表示 行列式。该平稳条件的等价条件是，伴随矩阵 （companion matrix） 2 p 0 0 In 0 的所有特征值（可以是复数）都落在复平面的 单位圆之内。 1 In F＝ 0
2、Augmented Dickey-Fuller单位根检验（ADF检验）
DF检验使用一阶自回归来检验单位根，要求扰动 项 t 为独立白噪声，故扰动项无自相关。如果
t 存在自相关，可以引进更高阶的滞后项来提取 t 中的信息，使之之后成为白噪声。
假设选择了适当的滞后期p，使得以下AR p 模 型的扰动项 t 为独立白噪声： y t＝ 0＋1 y t-1＋＋ p y t-p＋ t 9.2 为了方便检验，将上式转换为以下形式： y t＝ 0＋ y t-1＋ 1y t-1＋ 2 y t-2＋＋ p-1y t- p-1＋ t 9.3 其中，系数， 1， 2， ， p-1待定。将上式中的 差分算子去掉，合并同类项可得 y t＝ 0＋ ＋ 1 y t-1＋ 2－ 1 y t-2＋＋
数，并不服从渐近正态分布。由于其分布没有解 析解，故临界值须通过蒙特卡罗模拟来获得。
显然，DF统计量越小（绝对值很大的负数），则 越倾向于拒绝原假设。因此，DF检验是左边单侧 检验，即其拒绝域只在分布的最左边。比如，5％ 的临界值为－2.886，如果DF<－2.886，则拒绝原 假设；反之，则接受原假设
第九章 单位根与协整
一、非平稳序列
如果一个时间序列不是平稳序列，则称为非平稳 序列（non-stationary time series）。在以下几种 情况下，都有可能出现平稳序列： 1 确定性趋势：如果一个时间序列有一个确定性
趋势（deterministic trend），则为非平稳序列。比 如，y t＝ 0＋1t＋ t。显然，E y t ＝ 0＋1t随时间 而改变，故不是平稳序列。对于这种非平稳序列， 只要把时间趋势去掉，就变成平稳序列，故称为 趋势平稳（trend stationary）序列。
ˆ 然而，1的OLS估计量1却不服从渐近正态分布， 甚至不是对称分布（即使是在大样本中），而是 向左偏向于0。这是因为，由于 y t 不是平稳序列 ˆ （仍为一 中心极限定理不再适用。虽然p lim 1＝1
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致估计），但在有限样本下可能存在较大偏差。 ˆ 使用蒙特卡罗法可以得到 的大样本分布
定义：称平稳的时间序列为零阶单整（Integrated of order zero），记为I 0 。如果时间序列的一阶 差分为平稳过程，则称为一阶单整（Integrated of order one），记为I 1，也称为单位根过程（unit root process）。
更一般地，如果时间序列的d阶差分为平稳过程， 则称为d阶单整（Integrated of order d），记为I d
在上式中，如果包含常数项，则为待漂移的随机游 走（random walk with drift）： 均漂移，因为E y t ＝ 0＋E y t-1 。显然，随机游走 是AR 1的特例。对于AR 1，y t＝ 0＋1 y t-1＋ t， 如果1＝1，则为随机游走。对于随机游走，只要对 其进行一阶差分，就可以得到平稳序列，故也称为 差分平稳（difference stationary）序列 y t＝ 0＋y t-1＋ t， 0 0，其中， 0为每个时期的平
更一般地，考虑AR p 的平稳性，即 y t＝0＋1 y t-1＋＋ p y t-p＋ t
回顾AR 1的情形，“y t＝ 0＋1 y t-1＋ t ”其实是 一阶随机差分方程，其稳定性与对应的确定性差 分方程“y t＝ 0＋1 y t-1”是一样的。因此，只要考 虑一阶差分方程“y t＝ 0＋1 y t-1”是否有稳定解即 可，而这个非齐次（含常数项 0）差分方程的解 取决于对应的齐次（不含常数项）差分方程 “y t＝1 y t-1”的通解y t＝y 0 （解的形式为指数函数）
然而实际结果并非如此，因为扰动项
t＝yt－－ x t也是非平稳的（为什么？）
（因为 t＝yt－）
这一结论最初由Granger通过蒙特卡罗模拟而发现。
t 之非平稳部分会进入到OLS模型中去，从而
ˆ 造成 0。
如何避免伪回归？方法之一，先对变量作一阶差 分，然后再回归。（差分后平稳了）
9.5中的最后一个方程倒推上去可得：
＝1＋＋ p 1＝－ 2＋＋ p 9.6 p-2＝－ p－1＋ p p-1＝－ p
定理：如果＝，则AR p 有一个单位根 1
证明：由于＝ ，则1是特征方程 1
方法之二，做协整分析，参见下文。但首先必须 对是否存在单位根进行检验
五、单位根检验与平稳性检验
1、DF单位根检验
定义，独立白噪声：如果 t 为独立同分布的，且 期望为0，方差有限（finite variance），则称 t 为独立白噪声。
考虑以下AR 1 模型：y t＝ 0＋1 y t-1＋ t，其中， t 为独立白噪声。进行以下单边检验： H0：1＝1 vs H1：1 <1 其中，备择假设为“H1：1 <1”，因为如果1 >1将 导致y t 呈指数增长。对于有指数增长趋势的经济变 量，如GDP，通常可先取对数去掉其指数趋势。
四、单位根所带来的问题
对于AR 1，一般从理论上认为，不太可能出现
1 >1的情形，否则任何对经济的扰动都将被无限
放大。因此，经济学家通常只担心存在单位根的 情形，即 1 ＝1。如果时间序列存在单位根，则 为非平稳序列，可能带来以下问题：
1自回归系数的估计值向左偏向于0。假设对于 AR 1，y t＝ 0＋1 y t-1＋ t，其真实值为1＝1。
－ t-p
＝0
将上式两边同乘以z t 可得特征方程：
z 1－1z－－ p z p＝0
这个多项式方程在复数域中一定有p个根（包括重 根）。与此对应，齐次差分方程也有p个形如 1 z 的解，而其通解则是这p个解的线性组合。
t
给定初始条件 y0，y1， ，y p-1，则可求出此齐次差 分方程的唯一特解。显然，如果要求 y t 收敛于一 个稳定值，则特征方程所有解的模 z 都必须大于1， 故所有解必须都落在复平面上的单位圆之外。 如果将特征方程定义为 z －1z －－ p＝0，则
ARMA p,q 过程，则称y t 为ARIMA p,d,q 过程 最常见的为ARIMA p,1,q ，即经过一次差分就得 到平稳的ARMA p,q 。
二、ARMA的平稳性
在什么情况下，ARMA p,q 才平稳呢？显然， MA q 是平稳的，因为它是有限个白噪声的线性 组合。因此，ARMA p,q 的平稳性取决于其AR p 的部分。从第三章已经知道，对于AR 1， y t＝ 0＋1 y t-1＋ t，如果 1 <1，则为平稳过程。
p p-1
结论与此相反。
如果某个根正好落在单位圆上，则称为单位根 （unit root），比如随机游走的情形。如果特征方程 的某个根落在单位圆之内，则为爆炸式（explosive） 增长的非平稳过程。
例：对于AR 1，其特征方程为1－1z＝0，故 z＝1 1 。因此， ＝ z >1 1 <1。显然，有关 z AR p 稳定性的结论是对AR 1 情形的推广。
ˆ 2 传统的t检验失效：由于1不是渐近正态分布 t统计量也不服从渐近标准正态分布，传统的区间 估计与假设检验是无效的。更一般地，建立于平 稳性假设基础之上的大样本理论不再适用。
1
3 两个互相独立的单位根变量可能出现伪回归或
伪相关。比如，假设y t＝y t-1＋u t，x t＝x t-1＋v t，其中 u t、v t 均为独立同分布且相互独立。因此，y t 与x t 也 是相互独立的。考虑OLS回归，y t＝＋ x t＋ t 由于y t与x t 相互独立，故真实参数＝0。如果样本 ˆ 容量足够大，我们期待OLS估计值 0，R 2 0
t 1
因此，其稳定条件为 1 <1。
对于AR p ，考虑其对应的确定性齐次差分方程： y t＝1 y t-1＋＋ p y t-p。假设其解的形式仍为 指数函数，即y t＝z ＝1 z ，其中z待定。将此解
－t t
代入差分方程可得： z －1z
－t － t-1
－－ p z