正则化方法

3.2正则化方法的概念
从数学角度来分析，CT 中的有限角度重建问题相当于求解一个欠定的代数方程组，属于不适定问题研究范畴，解决这类问题通常需要引入正则化方法]27,26[。

3.2.1不适定的概念
设算子A 映X x ∈为P p ∈，X 与P 分别为某类赋范空间，记
P Ax = (3.9) 在经典意义下求解(3.9)，就存在下述问题：
(1)(3.9)式的解是否存在；
(2)(3.9)式的解如果存在，是否唯一；
(3)(3.9)式的解是否稳定或者说算子A 是否连续：对于右端的P 在某种意义下作微小的变动时，相应的解童是不是也只作微小的变动。

只要这些问题中有一个是否定的，就称(3.9)的解是不适定的。

3.2.2正则化方法概念的引入
设算子A 映X x ∈为P p ∈，X 与P 分别为某类赋范空间，二者满足(3.9)式。

设A 的逆算子1-A 不连续，并假定当右端精确值为r p 时，得到经典意义下的解为r x ，即满足
r r P Ax = (3.10) 现在的问题是，如果右端受到扰动后变为δp ，且二者满足关系 δδ≤-r p p (3.11) 其中，∙为某范数。

则由于1-A 的不连续性，我们显然不能定义r p 对应的解为：
δδp A x 1-= (3.12)
因此，必须修改该逆算子的定义。

定义：设算子),(αp R 映p 成x ，且依赖一个参数α，并具有如下性质：
(1)存在正数01>δ，使得对于任意0>α，以及r p 的)(1δδδ≤邻域中的p ，即满足 10,δδδ≤<≤-p p r (3.13) 的p ，算子R 有定义。

(2)若对任意的0>ε，都存在),0(1δδ∈及依赖于δ的参数)(δαα=，使得算子),(αp R 映r p 的δ邻域到r x 的ε领域内，即
εδαδδ≤-=r x x x p R ,))(,( (3.14) 则称),(αp R 为方程(3.14)中A 的正则逆算子；δx 称为方程(3.14)的正则解，当0→δ时，正则解可以逼近我们所要求的精确解；α称为正则化参数。

这样的求解方法就称为正则化方法。