[高中数学]10B-3-学生-对数函数反函数

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高一数学中的反函数与对数函数有何特性

高一数学中的反函数与对数函数有何特性在高一数学的学习中，反函数与对数函数是两个重要的概念，它们具有独特的特性和应用。

理解这些特性对于我们掌握数学知识、解决数学问题以及培养数学思维都具有重要意义。

首先，让我们来了解一下反函数。

反函数是指对于一个给定的函数，如果把它的自变量和因变量互换，所得到的新函数就是原函数的反函数。

通俗地说，如果函数 f(x) 把 x映射到 y，那么它的反函数就把 y 映射回 x。

反函数存在的条件是原函数必须是一一映射。

也就是说，对于原函数定义域内的每一个 x 值，都有唯一的 y 值与之对应；反过来，对于值域内的每一个 y 值，也都有唯一的 x 值与之对应。

以最简单的一次函数 y ＝ 2x 为例，它是一个一一映射的函数。

我们将 x 和 y 互换，得到 x ＝ 05y，然后将 y 写成自变量的形式，即 y ＝05x，这就是原函数的反函数。

反函数的图像与原函数的图像关于直线 y ＝ x 对称。

这是反函数的一个重要特性。

通过这个特性，我们可以通过研究原函数的图像来了解反函数的图像特征，反之亦然。

反函数的性质还体现在其定义域和值域上。

原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域。

接下来，我们再看看对数函数。

对数函数是以对数形式表示的函数，常见的有以自然常数 e 为底的自然对数函数（ln x）和以 10 为底的常用对数函数（log₁₀ x）。

对数函数的定义是：如果 a 的 b 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐ N ＝ b。

对数函数的定义域是（0，＋∞），因为对数中的真数必须大于 0。

对数函数具有一些重要的性质。

首先，当底数 a＞1 时，函数单调递增；当 0＜a＜1 时，函数单调递减。

例如，对于函数 y ＝ log₂ x，因为底数 2＞1，所以它在定义域内是单调递增的。

而对于函数 y ＝ log₀5 x，由于底数 05＜1，所以它在定义域内是单调递减的。

反函数-高中数学知识点讲解

反函数
1．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x
＝g（y）．若对于y 在中的任何一个值，通过x＝g（y），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表
示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记
作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x 和y 互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x 对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线
截时能过 2 个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
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高一数学指、对数函数与反函数

理论迁移
例1 求下列函数的反函数：（1）y＝3x－1 ；
（2）y＝ x ＋1 （x≥0）；
（3）y 3x1 2 ；(4) y log1 (x 4) .
2
例2 已知函数 f (x) log2 (1 2x ) . （1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）求证函数y=f(x)的图象关于直线
知识探究(二): 指、对数函数的比较分析
思考1:当a>1时，指、对数函数的图象和性质如下表：你能发现这两个函数有什么内在联系吗？
y=ax (a>1)
图象
y
1
定义域
0
x
R
值域 (0, )
性质
当x>0时y>1；当x<0时0<y<1；当x=0时y=1；在R上是增函数.
y=logax(a>1)
思考3:我们把具有上述特征的两个函数互称为反函数，那么函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数是什么？函数 y 2x 1 的反函数是什么？
思考4:在函数y＝x2中，若将y作自变量，那么x与y的对应关系是函数吗？为什么？
思考5:一个函数在其对应形式上有一对一和多对一两种，那么在哪种对应下的函数才存在反函数？
y
01
x
(0, )
R
当x>1时y>0；当0<x<1时y<0；当x=1时y=0；在R上是减函数.
思考2:一般地，原函数与反函数的定义域、值域有什么关系？函数图象之间有什么关系？单调性有什么关系？
思考3:函数y = 1-x , y 1 的反函数
x
分别是什么？由此推测：如果函数 y=f(x)的图象关于直线y= x对称，则函数f(x)与其反函数有什么关系？

函数反函数对数及对数函数

函数一、函数：1．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义1．求值域的几种常用方法〔1〕配方法：对于〔可化为〕“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决〔2〕基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

〔3〕判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数22122+-+=x x x y 的值域由22122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，假设0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数值域中的一个值；假设0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=∆y y y 得021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2133,2133[+- 〔4〕别离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

对数函数图象及性质——图象反函数

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$log_a(M^n)=nlog_aM$，$log_aM=log_bM/log_ba$等。
02
对数函数图象分析
图象形状及特点
定义域与值域
对数函数的定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty,
+ty)$。
过定点
对数函数图象恒过定点$(1,0)$ 。
单调性
当底数$a>1$时，对数函数在其定义域内是增函数；当 $0<a<1$时，对数函数在其定义域内是减函数。
涉及两者综合应用问题
对数函数与反函数的综合应用
01
结合对数函数和反函数的性质，解决一些复杂的数学问题，如
求解方程、不等式、最值等。
图象与反函数的综合应用
02
利用对数函数的图象和反函数的性质，解决一些实际问题，如
经济学中的复利计算、物理学中的声强级计算等。
拓展应用
03
将对数函数和反函数的综合应用拓展到其他领域，如工程学、
对数函数与反函数互化方法
对于对数函数$y=log_b(x)$，其反函数为指数函数$y=b^x$。
互化方法：将对数函数的$x$和$y$互换，即可得到其反函数的解析式。
两者在解决实际问题中联系和应用
在解决一些实际问题时，可以利用对数函数和指数函数的互逆关系进行转化，从而简化问题的求解过程。
例如，在求解复利、增长率等问题时，可以利用指数函数进行建模；而在求解对数方程、求解某些特定函数的定义域等问题时，则可以利用对数函数的性质进行求解。
此外，在一些工程和科学计算中，也经常需要利用对数函数和指数函数的互逆关系进行数值计算和数据处理。

高中数学—16—对数反函数—学生版

一、对数1、对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .易得:log a N a N =——对数恒等式，自然对数：以e 为底的对数成为自然对然，记作ln,常用对数：以10为底的对数，记作lg 。

实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式． 2、指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。

3、对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④log m na M =nmlog a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ⑤换底公式：log b N =bNa a log log （0<a ≠1，0<b ≠1，N ＞0）.二、反函数1、反函数定义一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=()1fy -。

在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈2、关于反函数的结论（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域，（2）互为反函数的两个函数y=f(x)与()1y f x -=图像关于直线y=x 对称；若点M （a ，b ）在y=f(x)的图像上，则点'M (b,a)必在()1y fx -=图像上；（3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,{}0x ∈除外，其中c 为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如1y x=；对数、反函数知识梳理（5）y=f(x)与()1y fx -=互为反函数，设f(x)定义域为D ，值域为A ，则有f[()1fx -]=x ()x A ∈,()()1f f x x x D -=∈⎡⎤⎣⎦;（6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应；（8）x=f(y), ()1y f x -=,()1x f y -=与函数y=f(x)的比较；（9）y=f(x)与()1y fx -=图像若有公共点，并非一定在y=x 上，例如：f(x)=116x⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1116log f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x 对称3、求反函数的步骤（1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)；（2）反解：由y=(x)解出()1x f y -=；（3）改写：在()1x fy -=中，将x,y 互换得到()1y f x -=；（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。

高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对

2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．[知识]1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象与性质.a＞10＜a＜1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 单调性是R上的增函数是R上的减函数[预习导引]1．对数函数的概念把函数y＝log a x(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点过点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数3.反函数(1)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).要点一对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定答案 A解析设对数函数的解析式为y＝log a x(a＞0且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a ＝2，∴该对数函数的解析式为y＝log2x.要点二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35、110，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35 答案 A解析方法一先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图低的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时底大的图高，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.方法二作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.规律方法函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．跟踪演练2 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1) D ．(－1,1)(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1 答案 (1)D (2)B解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1，得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．(2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 要点三对数函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝121log (21)x +，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0，解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.规律方法求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．跟踪演练3 (1)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] (2)函数y ＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C. 要点四反函数例4 求下列函数的反函数：(1)y ＝2x －5；(2)y ＝x1－x ；(3)y ＝1＋e 2x . 解 (1)从x ＝2y －5中解得y ＝x ＋52，即为所求；(2)从x ＝y 1－y 中解得y ＝xx ＋1，即为所求；(3)从x ＝1＋e 2y 移项得x －1＝e 2y .两端取自然对数得到ln(x －1)＝y2，解得y ＝2ln(x －1)，即为所求．规律方法要找寻函数y ＝f (x )的反函数，可以先把x 和y 换位，写成x ＝f (y )，再把y 解出来，表示成y ＝g (x )的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f (x )的反函数g (x )．既然y ＝g (x )是从x ＝f (y )解出来的，必有f (g (x ))＝x ，这个等式也可以作为反函数的定义．跟踪演练4 y ＝ln x 的反函数是________．答案 y ＝e x解析由y ＝ln x ，得x ＝e y ，所以反函数为y ＝e x.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x 答案 D解析选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合． 2．函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞) B．(－∞，－13)C ．(－13，13)D ．(－13，1)答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A解析函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除D 项，A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________．答案 (2,1)解析函数图象过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1)． 5．函数y ＝lg x 的反函数是________．答案 y ＝10x解析由反函数的定义知x ＝10y，故反函数为y ＝10x.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、基础达标1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则a 的值可以是( )A ．0.5B ．2C ．eD ．π 答案 A解析 ∵函数y ＝log a x 的图象单调递减，∴0＜a ＜1，只有选项A 符合题意． 2．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.3．在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析 ∵y ＝13log x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象关于x 轴对称．4．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f (f (18))的值为( )A ．27 B.127C ．－27 D ．－127答案 B解析 f (18)＝log 218＝log 22－3＝－3，f (f (18))＝f (－3)＝3－3＝127.6．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 答案－32解析设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.7．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解之得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解之得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．二、能力提升8．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x，即g (x )＝2x. 又∵g (a )＝14，∴2a＝14，∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )答案 D解析由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0＜a ＜1且0＜b ＜1.所以g (x )＝a x＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.由g (x )的值域为(b ，＋∞)．所以g (x )＝a x＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C. 10．若log 2a 1＋a21＋a<0，则a 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析当2a >1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值X 围．解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：函数f (x )为单调增函数，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值X 围为(0,2)．三、探究与创新12．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.13．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的word 11 / 11 表达式，并画出大致图象．解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x ＜0，∴f (x )的大致图象如图所示：。

14.高一上学期—反函数与对数函数

反函数与对数函数【知识梳理】1. 反函数的概念设函数()y f x =的定义域为D, 值域为A, 若对于A 中的每一个确定的y , 都有唯一确定的D 中的x 与之对应, 则由这一对应法则得到的函数称为()y f x =的反函数; 记作1()x f y -=. 习惯上仍记作1()y f x -=.2. 函数存在反函数的判定(整体性质)(1) 对应法则f 是一个一一对应;(2) 函数的图像满足水平线法则(用于否定);(3) 反函数定理. 若一个函数在其定义域内单调, 则其必存在反函数, 且其反函数的单调性与其一致.3. 函数与反函数间的关系(1) 函数的定义域是反函数的值域; 函数的值域是反函数的定义域;(2) 对应法则满足:1(())(A)f f x x x -=∈, 1(())(D)f f x x x -=∈;(3) 它们的图像关于直线y x =对称;(4) 性质(3)具体到点上: 若一个函数()y f x =过点(,)a b , 则其反函数必过点(,)b a .4. 求一个函数的反函数(1) 遵循以下步骤: ①求出原函数的值域; ②用y 表示x , 有分歧找定义域; ③x , y 互换, 写上定义域;(2) 分段函数求反函数应当分段求值域, 分段求解析式, 最后仍表示成分段的形式.5. 对数函数及其性质形如log (0,1)a y x a a =>≠的函数称为对数函数. 对数函数具有如下性质:(1) 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数;(2) 对数函数的定义域是(0,)+∞, 值域是R;(3) 对数函数非奇非偶;(4) 对数函数过定点(1,0), 这是函数值正负的分界点;(5) 对数函数当1a >时, 是单调递增的; 当01a <<时, 是单调递减的.【典型例题】例1. 判断下列命题的真假, 并说明理由.(1) 若函数()y f x =的图像与y a =有两个交点, 则此函数不存在反函数;(2) 一个函数的反函数可能是其本身;(3) 若一个函数的图像和它反函数的图像有公共点, 则公共点必在一三象限角平分线上;(4) 反函数与原函数具有相同的奇偶性.例2. 求下列函数的反函数.(1)221(0)y x x x =--≤;(2)y =;(3)12log (1)1(1)y x x =-+<;(4)1()(0,1,0)2x x y a a a a x -=+>≠≥.例3. 求函数2 1 1() 1 1x x f x x x ⎧+≤-=⎨-+>-⎩的反函数.例4. 已知函数3(0)3x x f x x +⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭, 求13x f -⎛⎫⎪⎝⎭.例5. 函数与反函数的图像(1) 若函数1()y f x -=是函数()y f x =的反函数, 且函数1()y f x -=过定点(1,0), 则函数1(1)2f x -的反函数图像一定过点___________;(2) 23()1x f x x +=-, 函数()y g x =的图像与1(1)y f x -=+的图像关于y x =对称, 求(11)g 的值.例6. 解下列不等式 (1)22151311()()22x x x --+>; (2)20.50.5log (215)log (13)x x x -->+.例7. 已知函数()21x f x =-有反函数1()f x -, 4()log (31)g x x =+;(1) 若1()()f x g x -≤, 求x 的取值范围D ;(2) 设函数11()()()2H x g x f x -=-, 当x D ∈时, 求函数()H x 的值域.【巩固练习】1. 函数1()4(0,1)x f x a a a -=+>≠的反函数的图像经过的定点的坐标是……………...............................( )A. (1,4)B. (1,5)C. (5,1)D.(4,1)2. 设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1), 反函数的图像过点(2,8), 则a b +的值为...( )A. 3B. 4C. 5D.63. 函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为…….…………………………………………………..........................( )A. 1(R)x y e x +=∈B. 1(R)x y e x -=∈C. 1(1)x y e x +=>D. 1(1)x y e x -=>4. 设3()|log |f x x =, 若()(3.5)f x f >, 则x 的取值范围是………………………………...........................( ) A. 27(0,)(1,)72⋃ B. 7(,)2+∞ C. 27(0,)(,)72⋃+∞ D. 27(,)725. 函数1()ln 1x f x x+=-的定义域是 ; 6. 函数20.3()log (32)f x x x =-+的单调区间是 ;7. 若函数2()412([,))f x x x x a =+-∈+∞存在反函数, 则实数a 的取值范围是 ;8. 已知函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称, 则m 的值是___________; 9. 已知函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图像经过点(1,3), 函数1()(0)f x a x -+>的图像经过(4,2), 试求函数1()f x -的表达式.10. 是否存在实数a , 使得2()log ()a f x ax x =-在区间[2,4]上是增函数? 若存在, 求出a 的值(或范围); 若不存在, 说明理由.。

新教材高中数学第四章对数运算与对数函数3对数函数对数函数的概念课件北师大版必修第一册

基础知识
知识点1 对数函数 1．定义：给定正数a,且a≠1,对应每一个正数y,都存在唯一确定的实
数x,使得y＝ax．则______是_x_____的函y 数,称为以a为底的对数函数,记作x ＝logay．一般写成____________y_＝__lo_g_a_x_(_a_＞__0_且．a≠1)
2．性质：(1)定义域是(0,＋∞)；(2)图象过定点(1,0)； 3．特殊的对数函数：常用对数函数：y＝lg x；自然对数函数：y＝ln x．
[解析] (1)要使函数有意义，需 22－x－x1＞＞00，，且2x－1≠1，即xx＞＜122，. 且x≠1， ∴12＜x＜2，且 x≠1，故函数的定义域为x21＜x＜2，且x≠1．
(2)要使函数有意义，需使 2－ln(3－x)≥0，即33－－xx≤＞e02，解得 3－e2≤x＜3，故函数的定义域为{x|3－e2≤x＜3}．
[归纳提升] 对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中,a＞0且a≠1． (2)在解析式y＝logax中,logax的系数必须为1,真数必须为x,底数a必须是大于0且不等于1的常数．
【对点练习】❶ 指出下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝5x； ②y＝－log3x； ③y＝log0.5 x； ④y＝log3x；
思考：为什么对数函数的图象过定点(1,0)? 提示：因为x＝1时,y＝loga1＝0．
知识点2 反函数指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数,对数函数y＝logax也是指
数函数y＝ax的反函数．即它们互为反函数．
基础自测
1．下列函数是对数函数的是
(D)
A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a＞0,且a≠1) C．y＝logax2(a＞0,且a≠1) D．y＝ln x

高一对数函数知识点梳理

高一对数函数知识点梳理对数函数是高中数学中的一个重要概念，对数函数既是指数函数的逆运算，也是一种特殊的函数类型。

在高一阶段，对数函数是数学课程中的重点，它的概念和性质需要我们掌握清楚。

本文将对高一对数函数的知识点进行梳理和总结，以帮助大家更好地理解和应用。

一、对数函数的定义和性质1. 对数函数的定义：对于任意的正实数a和正实数x，以a为底的对数函数定义为：y=logₐx，其中a>0且a≠1，x>0。

其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。

对数函数是解指数方程的重要工具，可以帮助我们求解各种数学问题。

2. 对数函数的性质：（1）对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)（2）对数函数的值域为实数集(-∞,+∞)（3）对数函数的图像在x轴的正半轴上是递增的（4）对数函数的图像在x=a处有唯一的切线，且斜率为1/a （5）对数函数y=logₐx的反函数是指数函数y=aˣ二、对数函数的基本公式1. 对数的运算法则：（1）对数乘法公式：logₐ(mn) = logₐm + logₐn（2）对数除法公式：logₐ(m/n) = logₐm - logₐn（3）对数乘方公式：logₐ(m^p) = p × logₐm2. 常用对数：以10为底的对数，记作logx=log₁₀x，简写为lgx。

常用对数可以简化对数运算和计算，是数学和科学中经常使用的一种对数形式。

3. 自然对数：以自然常数e为底的对数，记作lnx。

自然对数在微积分和概率论中应用广泛，它具有特殊的性质和应用价值。

三、对数函数的图像和性质1. 对数函数的图像特点：（1）以正实数a为底的对数函数y=logₐx的图像在x轴的正半轴上递增。

当x＝1时，y＝0；当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0。

（2）对数函数的图像在x=a处有一个特殊点A(a,1)，该点为对数函数图像的对称轴的交点。

（3）因为对数函数是单调递增的，所以它在定义域内的任意两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，若x₁＜x₂，则y₁＜y₂。

高二数学反函数知识点总结

高二数学反函数知识点总结反函数，也叫逆函数，是指函数 f(x) 的逆运算。

在数学中，反函数是计算和解决各种问题的重要工具之一。

本文将对高二数学中的反函数知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握该概念。

一、定义与性质1. 定义：如果函数 f(x) 在定义域 Df 上是一一对应的，并且对于任意 x ∈ Df，都有 f(f^(-1)(x)) = x 和 f^(-1)(f(x)) = x 成立，则称f(x) 的反函数为 f^(-1)(x)，其中 f^(-1)(x) 表示反函数。

2. 性质：a. 函数 f(x) 与其反函数 f^(-1)(x) 关于直线 y = x 对称。

b. 函数 f(x) 在 x ∈ Df 上单调递增时，反函数 f^(-1)(x) 也在 x ∈ Df 上单调递增；函数 f(x) 在 x ∈ Df 上单调递减时，反函数f^(-1)(x) 也在 x ∈ Df 上单调递减。

c. 若 f(x) 的导数存在且不为零，那么反函数 f^(-1)(x) 的导数为 f^(-1)'(x) = 1 / f'(f^(-1)(x))。

二、求反函数的方法1. 通过方程求反函数：a. 已知函数 f(x) 的解析表达式是 y = f(x)，则可以通过交换 x和 y 后解方程得到反函数的解析表达式 y = f^(-1)(x)。

b. 注意，有时候可能需要通过换元法等技巧，将方程转化为容易求解的形式。

2. 通过图像求反函数：a. 绘制函数 f(x) 的图像，并观察其是否为一一对应关系。

b. 如果函数图像与直线 y = x 相交于点 (a, a)，则反函数图像与直线 y = x 相交于点 (a, a)。

c. 利用图像上两点的对称性，可以得到反函数图像。

三、反函数的应用1. 解方程：反函数可以用于求解各种方程，特别是非线性方程。

通过将方程转化为反函数方程，可以更容易地求解未知数。

2. 函数图像的研究：反函数的存在使得我们可以通过分析函数图像来推断原函数的性质，进而揭示函数的特点和规律。

高一反函数知识点

高一反函数知识点随着数学课程的深入学习，高中一年级的学生将接触到更多的数学概念和知识点。

在这篇文章中，我将为大家介绍高一学生将学习的一个重要内容，那就是反函数（Inverse Function）。

一、反函数的定义及性质反函数指的是由一个函数得到的新函数，其输入和输出之间的关系与原函数相反。

如果一个函数f的定义域与值域分别为A和B，那么对于B中的每一个元素b，存在一个唯一的元素a，使得f(a) = b。

这时候我们将这个新函数称为f的反函数，记作f^-1。

一个函数与其反函数之间存在以下几个性质：1. 函数f与其反函数f^-1互为关联：f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。

即使用一个函数后再使用其反函数，或者先使用反函数再使用原函数，最终结果都会回到原来的输入。

2. 函数与其反函数的图像关于直线y = x对称：如果一个点(x, y)在函数f的图像上，那么点(y, x)则会在反函数f^-1的图像上。

3. 函数的定义域和值域互换：如果f的定义域为A，值域为B，那么f^-1的定义域就是B，值域就是A。

二、求反函数的方法在学习反函数时，我们面临的主要问题就是如何求得一个函数的反函数。

下面是几种常见的求反函数的方法：1. 代数法对于一些简单的函数，我们可以使用代数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 将函数表示为y = f(x)的形式；- 将原方程中的y替换为x，将x替换为y，并且解出y；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

2. 图像法对于一些能够绘制出函数图像的函数，我们可以使用图像法求取其反函数。

具体的步骤是：- 绘制出函数f的图像；- 将图像关于直线y = x进行对称；- 根据对称后的图像，确定反函数的图像。

3. 复合函数法对于一些较为复杂的函数，我们可以使用复合函数法求取其反函数。

具体的步骤是：- 假设函数f的反函数为f^-1(x)，即y = f^-1(x)；- 将f(y)替换为x，并解出关于y的方程；- 将得到的y表示为f^-1(x)，即可得到反函数。

对数的反函数

对数的反函数一、引言对数函数是高等数学中常见的一种函数，它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。

而对数的反函数则是对数函数的逆运算，也称为指数函数。

本文将介绍对数的反函数及其相关知识。

二、对数函数1. 定义对数函数是指以某个正实数为底数，将另一个正实数作为指数所得到的幂次方所代表的实数值。

即：y=loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为幂次方。

2. 特点（1）定义域：x>0；（2）值域：R；（3）单调性：当0<a<1时，y=loga(x)单调递减；当a>1时，y=loga(x)单调递增；（4）奇偶性：当a>0且a≠1时，y=loga(x)是奇函数；（5）图像特征：当a>1时，图像在y轴右侧且开口向上；当0<a<1时，图像在y轴左侧且开口向下。

三、指数函数1. 定义指数函数是指以某个正实数为底数，在自变量上取幂次方所得到的结果。

即：y=a^x，其中a为底数，x为幂次方，y为指数函数的值。

2. 特点（1）定义域：R；（2）值域：(0,+∞)；（3）单调性：当a>1时，y=a^x单调递增；当0<a<1时，y=a^x 单调递减；（4）奇偶性：当a>0且a≠1时，y=a^x是奇函数；（5）图像特征：当a>1时，图像在y轴右侧且开口向上；当0<a<1时，图像在y轴左侧且开口向下。

四、对数的反函数1. 定义对数的反函数是指以某个正实数为底数，在自变量上取指数所得到的结果。

即：y=a^x的反函数为y=loga(x)。

2. 特点对于任意正实数a和b，有以下关系式：loga(a)=1；loga(1)=0；loga(ab)=loga(a)+loga(b)；loga(a/b)=loga(a)-loga(b)；loga(a^n)=n*loga(a)。

3. 应用对数的反函数在许多领域中都有广泛的应用。

例如，在计算机科学中，使用以2为底的对数可以方便地计算出一个整数的位数；在经济学中，使用对数函数可以简化复杂的经济模型；在物理学中，使用对数函数可以方便地表示各种物理量的比值等。

对数函数的运算公式大全

对数函数的运算公式大全对数函数是一种常见的数学函数，可以用于解决许多问题。

下面是对数函数的一些常用运算公式。

1.对数函数的定义：y = logₐ(x),其中，y是以a为底的x的对数。

2.换底公式：如果我们需要计算以不同底的对数，可以使用换底公式：logₐ(x) = log_b(x) / log_b(a)其中，b是我们想要换成的底。

3.对数函数的性质：对数函数具有以下性质：a. log_a(1) = 0,b. log_a(a) = 1,c. log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y),d. log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y),e. log_a(x^k) = k * log_a(x),其中，x,y是正实数，a是大于0且不等于1的实常数，k是任意实数。

4.对数函数的基本公式：a. log_a(1) = 0,b. log_a(a) = 1,c. log_a(a^x) = x,d. a^log_a(x) = x其中，a是大于0且不等于1的实常数，x是正实数。

5.常用对数和自然对数：6.对数函数的反函数：y=a^x其中，a和x的关系可以表示为：x = log_a(y)。

7.对数函数的图像：8.对数函数的应用：对数函数可以用于解决各种问题，例如：a.在复利计算中，可以使用对数函数计算收益率；b.在实际问题中，可以使用对数函数解决指数增长或衰减问题；c.在科学和工程领域，对数函数可以用于测量物理量的幅度范围。

以上是对数函数的一些常用运算公式，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。

《高中数学《反函数》课件

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性的变化规律可以通过观察图像来理解。
04 反函数在解题中的应用
利用反函数解决方程问题
总结词
通过反函数，可以将复杂的方程问题转化为求函数的值域或定义域问题，简化解题过程。
详细描述
在解决方程问题时，我们可以利用反函数的概念，将原方程转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到原方程的解。这种方法在处理一些复杂的方程问题时非常有效。
总结词
理解反函数的实际应用和复杂函数的反函数求
法
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$，求$f^{-
1}(x)$。
题目2
已知函数$f(x) = log_2(x)$，求$f^{-
1}(x)$。
题目3
已知函数$f(x) = x^4 3x^2 + 2$，求$f^{-
1}(x)$。
综合练习题
总结词
利用反函数解决不等式问题
总结词
反函数可以帮助我们将不等式问题转化为求解函数的值域或定义域问题，从而简化解题过程。
详细描述
在解决不等式问题时，我们可以利用反函数的概念，将原不等式转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到满足不等式的解。这种方法在处理一些复杂的不等式问题时非常实用。
综合运用反函数的知识解决复杂问题
题目2
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$和$g(x) = frac{1}{x}$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$和$g(x) = log_2(x)$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。

§3.5.3 对数函数的反函数

课题：§3.５.3 对数函数的反函数（一）教学目标：1.了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题；3.了解反函数的概念和表示法，会求一个对数函数的反函数4.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力；（二）重点难点：重点：反函数的定义和求法.难点：反函数的定义和求法;互为反函数的函数图象间的关系定理.误点：互为反函数的函数图象间的关系定理. 教具：多媒体或小黑板（三）教材分析：了解反函数两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.对数函数是指数函数的反函数，教材是根据互为反函数的两个函数的图象间关于直线y=x 对称的性质，引入对数函数的定义和相应的性质用这种讲法，可以加深和巩固学生对互为反函数的函数图象之间的关系的认识，便于与指数函数的图象和性质相对照，教材紧扣对数函数是指数函数的反函数这个本质联系来讲述对数函数的概念、图象和性质的（四）教学过程：①②③④ 【复习引入】一、指对数互化关系：二、引例①由x y 2=反解得y x 2log =，②交换y x ,得x y 2log =③注明定义域x y 2log =)0(>x在同一坐标系中作出x y 2=与x y 2log =的图像，分析它们之间的联系011【新授内容】一、反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=，根据这个函数中x,y 的关系，（用y 把x 表示出）反解，得到x=ϕ(y). 再交换y x ,得y=ϕ(x),注明定义域所得函数叫做))((A x x f y ∈=的反函数。

探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =它是指数函数xa y = )10(≠>a a 且的反函数探讨2：互为反函数定义域、值域的关系－－交换①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定. .探讨３：在同一坐标系中作出x y a log =与x a y =的图像，分析它们之间的联系二、互为反函数的性质１.反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到２.求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射３.x y a log =的图象与xa y =的（互为反函数）图象关于直线x y =对称４.互为反函数的两个函数单调性相同。

对数函数反函数的求法

对数函数反函数的求法
在求解对数函数反函数的过程中，我们需要首先了解什么是对数函数和函数反函数。

对数函数反函数其实是一种特别的指数函数，求它的反函数，也就是求原来的对数函数的反转过程。

采用直接求解的方法，假设已知对数函数为y=lgx，我们要求的是这个函数的反函数。

根据函数和反函数的定义，我们知道函数f的反函数为f^-1，满足f^-
1(f(x))=x。

因此，我们希望建立起y和x的关系式，即x=lg^-1y。

要求出这个式子，我们可以采用指数和对数的转换关系进行处理。

在十进制的对数中，数a（a>0，且a≠1）的b次方等于N，即a^b=N，等价于以a为底N的对数等于b，即logₐN=b。

因此，我们可以把x=lg^-1y转化为10^y=x。

这就得到了原函数的反函数为x=10^y。

也就是说，对数函数y=lgx的反函数就是x=10^y。

以上，就是对数函数反函数的直接求解方法。

在求解过程中，我们使用了指数和对数的关系，利用这个关系，我们可以将对数函数转化为指数函数，从而简化了求解的复杂程度。

对数函数反函数公式

对数函数反函数公式(1)定义域、值域指数函数应用领域至值 x 上的这个函数记为 exp(x)。

还可以等价的记为 ex，这里的 e 就是数学常数，就是自然对数的底数，对数等同于 2.，还叫作欧拉数。

一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈r);定义域：x∈r，指代一切实数(-∞，+∞)，就是r;值域：对于一切指数函数y=a^x来讲。

他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0。

所以值域为(0,+∞)。

a=1时也可以，此时值域恒为1。

对数函数一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x就是自变量，函数的定义域就是(0，+∞)。

它实际上就是指数函数的反函数，可以则表示为x=ay。

因此指数函数里对于a的规定，同样适用于于对数函数。

(2)单调性对于任一x1，x2∈d若x1若x1f(x2)，表示f(x)在d上就是减至函数(3)奇偶性对于函数f(x)的定义域内的任一x，若f(-x)=f(x)，表示f(x)就是偶函数若f(-x)=-f(x)，称f(x)是奇函数(4)周期性对于函数f(x)的定义域内的任一x，若存在常数t，使得f(x+t)=f(x)，则称f(x)是周期函数 (1)分数指数幂正分数指数幂的意义就是负分数指数幂的意义是(2)对数的性质和运算法则loga(mn)=logam+loganlogamn=nlogam(n∈r)(1)y=ax(a>0，a≠1)叫指数函数(2)x∈r，y>0图象经过(0，1)a>1时，x>0，y>1;x<0，0< p="">a> 1时，y=ax就是增函数(2)x>0，y∈r图象经过(1，0)a>1时，x>1，y>0;0a>1时，y=logax就是增函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)=b f(x)=ab(a>0，a≠1)同底型logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(a>0，a≠1)换元型 f(ax)=0或f (logax)=0。