实验数据和误差处理

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2．精密度：在一组测量中如果数据比较稳定，分散性小，我们就称测量结果是精密的。 测 量(或加工制造或计算)的精密度是由偶然误差来表征和描述的。 偶然误差越小则表示测量 的精密度越高，从而表明测量的重复性就越好。 3．精确度：在测量(或加工制造或计算)中，如果系统误差小，偶然误差也小，则这组测量 的准确度和精密度都越好。这时我们称这组测量的精确度高。所以精确度是由系统误差和偶 然误差两个共同来表征和描述的。
4．或然误差（最可几误差）或然误差的定义为：在一组测量中，若不记正负号，如果 选定一个γ值，则误差大于γ的观测值与误差小于γ的观测值各占总观测次数的 50%这时我 们就把
γ叫做或然误差或最可几误差。也就是说误差落在-γ和+γ之间的观测数占总观测值的一
∫ 半，从下述积分：
Ρ=
1 2π σ
+γ
exp[−
偶然误差的特点是有时大有时小，有时正有时负，方向不一定。产生的原因是多方面的， 是无法控制的。但是用同一台仪器在同样条件下对同一物理量作了多次的测量，若测量的次 数足够多，可以发现偶然误差完全服从统计性的规律，出现误差的正负和大小完全由概率来 决定。当测量的次数无限增大时，偶然误差的算数平均值将趋近于零。因此，多次测量结果 的算数平均值将接近真值。 3．过失误差：它是一种显然与事实不符的误差。产生的原因主要是粗枝大叶过度疲劳和操 作不正确等。例如读错刻度值、记录错误、计算错误等。此类误差无规则可寻，可根据经验、 理论及时判断数据的正负、量级是否正确，这样才能消除过失误差。 四．准确度、精密度和精确度 1．准确度：在一组测量中如果系统误差很小，那么可以说测量结果是相当准确的。测量(或 加工制造或计算)的准确度是由系统误差来表征和描述。系统误差越小则表示测量的准确度 越高。
因为偏差有正有负,所以上式取其绝对值平均.以上面 10 个抗拉强度为例,其算数平均误 差计算得
x = 1 [745 + 750 + " + 785] = 765.4
10
∴ δ = 1 [20.4 +15.4 + 14.4 + 6.4 + 2.4 + 0.6 + 4.6 + 15.6 + 18.6 +19.6] = 11.8 MPa
种误差不属于偶然误差，很可能是系统误差起作用。
2．可疑观测值的取舍：假设某测定参数服从正态分布，经过实验得到一组观测值，按 由小到大排列：x1，x2，x3……xn，并求得子样平均值和标准差如下：
∑ x
=
1 n
n i =1
xi
σ=
n
1 −
1
∑
(xi
−
x
)2
如果我们怀疑 x1 和 xn 为可疑值，则计算绝对值 x1 − x 和 xn − x ，如果：
Y12 + Y22 + " + Yn2 =
1 n
n
Yi 2
i =1
(1—3)
3)加权平均值
∑∑ Y
=
ω1Y1 + ω2Y2 + " + ωnYn ω1 + ω2 + " + ωn
=
n
ωiYi
i =1
n
ωi
i =1
(1—3) -85-
其中ω1、ω2、---ωn---代表各个观测值的加权数 4)中位值 其定义为，将一组测量值按从小到大的次序排列，则处在中间位置的值称中位 值。例如在弯扭组合电测中得到 5 个测量值 130、131、133、135、137 ，则中位值就是 133。 如果 n 为偶数，中位值取最中间两个数的平均值。 5)几何平均值
差 1．系统误差：在测量过程中数值变化规律已确切知道的误差。系统误差的来源主要有： 1) 工具误差：它是测量工具和仪器本身不完善而产生的。例如，试验机未检定，游标卡尺对
零度不好等。 2) 装置误差：这是由于测量设备和仪器的电路安装、布置和调整等不恰当而引起的误差。 3) 人身误差：由于测量人员的感觉器官和运动器官的不完善而产生的。例如某个人读数时，
附录四 实验数据和误差处理
在材料力学实验中，使用的材料试验机精度是 0.01，标定试验机的三级测力环精度为 0.005。电阻应变仪的最小读数为 1με(1×10-6),千分尺的最小读数为 0.01mm，卡尺的最小 读数分别是 0.02mm 和 0.05mm,我们最后得到的实验结果是这些测量结果综合计算而得。那 么这些结果和客观存在的真实值到底有多大的差距,实验数据如何处理可以得到最好值,下 面结合材料力学具体实验进行阐述和分析。
∑ x
=
1 15
15 i =1
xi
=
0.018
σ=
1 15 −
1
(xi
− 0.018)2
= 0.551
判断 x1 − x = − 1.40 − 0.018 = 1.418
x15 − x = 1.01 − 0.018 = 0.992
[ ] Y = h e = −h2x2 h exp − h2 x2
π
π
(2—2)
式中
h--精密度指数
h= 1
2σ
此式代表的物理含义是：标准误差σ 的数值越大则精密度指数 h 越小，一组测量的数 据越分散；反之σ 越小则 h 大，数据越集中。
二.误差的表示方法 误差的表示方法通常有以下四种： 1． 范围误差：范围误差是指一组测量中的最高值与最低值之差，用来表示误差变化的范围。 例如，我们进行了某钢材的抗拉试验用 10 根试样，得到 10 个强度极限σb 的值(单位 MPa)， 745、750、751、759、763、766、781、784、785，则其最高值为 785 MPa，最低值为 745 MPa。 所以：范围误差=785 – 745=40MPa
1．合理误差范围的选取：因为误差服从正态分布，所以大误差出现的概率小，小误差
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出现的概率大。根据此规律可以定出一个概率的最小范围，凡误差出现的概率超过这个范围
的，我们可以说它不属于偶然误差。目前大部分选择 3σ 作为合理的误差范围。从下述积分
得：
∫ Ρ = 1 +3σ exp[− (x − µ)2 ]dx
Y = n Y1Y2 "Yn
两边取对数
∑ [ ] lgY
=
1 n
lg
Y1Y2 "Yn
=
1 n
n i =1
lg Yi
（1—4)
三．误差的分类 在任何力学实验中，无论所用仪器、设备多么精确，方法多么完善，实验者多么细心，
所得的结果往往是不同的。 根据误差的性质和产生的原因，误差可分为三大类：1.系统误差 2.偶然误差 3.过失误
偶然误差的分布规律在经过大量的测量数据的分析后知道它是服从正态分布的，即
( ) Y = f x2 =
1
− x2
e 2σ 2 =
2π σ
1 2π σ
exp−
x2 2σ 2
(2—1)
式中 x ---实测值与真值之差 σ ---标准误差
函数 f（x2）称为误差函数，是高斯于 1795 年发现的函数形式，称为高斯误差分布定律。 上式可写为：
在实际测量中往往准确高的精密度不一定好；当然也可能准确度、精密度两者都好或都 不好的情况。
第二节．接测定量的误差表示法
一. 误差的分布规律 经过了大量的测量和分析，人们摸索到了偶然误差的性质、特点和规律。它的性质是随
机的，有以下特点： 1) 绝对值相等的正误差和负误差其出现的概率相同； 2) 绝对值小的误差出现的概率大而绝对值大的误差出现的概率小； 3) 绝对值很大的误差出现的概率趋近于零，也就是误差值有一定的实际极限； 4)当测量的次数 nÆ∞时,误差的算数平均值趋于零，这是由于正负误差相互抵消的结果。
范围误差的优点是简便直观，缺点是它只取决于一组测量值的两个极端值而与测量次数 无关，与中间的数据大小无关，违背了偶然误差与测量次数有关这一事实。
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2．算数平均误差：算数平均误差是表示误差的较好方法，其表达式为：
∑ δ
=
1 n
n i =1
xi
−x
(2—3)
式中 δ---算数平均误差,xi---第 i 个观测值, x ---n 个观测值的算数平均值, xi − x ---偏差
为测量结果 Y 与被测量真值 Y0 所得的差值，即
ΔY= Y - Y0
（1—1）
误差的定义，实际上包含了三种特定的情况：
1．在测量中，如果我们对一根试样的直径进行测量，真值 Y0 是它客观真实的长度值，
而 Y 则代表某一现实测值，为使实测接近真值，规定在标距内取三个截面，每个截面互垂
测量，这时误差 ΔY= Y - Y0 。
2π σ −3σ
2σ 2
（2-8）
=0.9973
以上结果说明误差小于或等于 3σ 的概率为 99.73%，而误差大于 3σ 的概率仅为 0.27%， 相当于在 370 次观测中，误差大于 3σ 的机会只有一次。平时实验中，测量次数一般不超过 20 次，因此误差大于 3σ 的机会可以忽略不计。于是，凡观测值大于 3σ 时我们可以推断这
视差总偏向一边而造成的误差。 4) 外界误差：亦称环境误差，是由外界环境如温度、压力、湿度和电磁场等影响而产生的误
差。 5) 方法误差：又称理论误差。它是由于测量方法本身所依据的理论不完善所带来的误差。例
如，测量高梁的正应力，用单向应力公式σ = E ⋅ ε 计算，就会产生误差，这是因为忽略
了剪应力影响而造成的理论误差。 2．偶然误差：又称随机误差。当在同一条件下对同一对象反复进行测量时，在消除了系统 误差的影响后，每次测量的结果还会出现差异，这样的误差称偶然误差。