空间曲线及其在坐标面上的投影(课堂PPT)

因为C上的点的坐标满足方程组
FF12
(x (x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
,当然也满足方
程 F(x,y)0，所以C上的点都在此柱面上。方程 F(x,y)0 就是曲线C 关于xO y 面的投影柱面方程。它与 xO y 面的交线
F (x , y ) 0 z 0
就是C 在 xO y 面上的投影方程。
.
1
因此，联立方程组
FF12
(x (x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
程，它称为空间曲线的一般式方程。 2.投影柱面及投影曲线
即为空间曲线C 的方
设空间曲线C
的方程为
FF12
(x (x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
,过曲线C
上的每一点作
xO y 坐标面的垂线，这些垂线形成了一个母线平行于z轴且过
同理，若分别从方程组
FF12
(x (x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0 0
中消去变量x或y，分别得
.
3
方程G(y,z)0 或 H(x,z)0，则曲线C 在 yO z 面与 zO x 面的
投影方程分别为
G ( y , z ) 0 x 0
与
H (x , z ) 0 y 0
。
例1
求曲线
C:
z
.
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例2 求空间曲线C 方程。
z z
x2 y2
在
2(x2 y2 )
xO
y 坐标面上的投影曲线
解 由所给方程组消去 Z 即得曲线 C 关于 xO y 坐标面的投影
柱面方程为 x2 y2 1，此柱面与xO y 坐标面的交线：
x 2 y 2 1 即为曲线C在坐标面的投影曲线（见图8-30）。
曲线C的柱面，称此柱面为曲线C 关于 xO y 面的投影柱面。这个 柱面与 xO y 面的交线称为曲线C 在 xO y 面上的投影曲线，简
称投影。
.
2
3.投影曲线方程
在方程组
FF12
(x (x
, ,
y y
, ,
z z
) )
0中消去变量
0
Z，得方程
F(x, y)0
。
上述方程缺变量Z，所以它是一个母线平行于 Z轴的柱面。又
空间曲线及其在坐标面上的投影
1.空间曲线的一般式方程
前面我们曾经把空间直线看作是两平面的交
线，类似地，也可以把空间曲线看作是两张曲面
的交线。
设曲面
的方程是
1
F1(x,y,z)0，曲面
2
的方
程是 F2(x,y,z)0，则其交线 C 上的点必定同
时满足 1 ， 2 的方程。不在 C 上的点一定不能
同时满足这两个方程。
z0
.
5
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
.
投影曲线
6
x2 y2 z2 1
例3
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
x 2
y2
3 4,
z 0
.
7
（2）因为曲线在Fra Baidu bibliotek面 z 1 上， 2
所以在 xo面z 上的投影为线段.
x2 y2
在 xO y 面上的投影方程， 并问它
x2 y2 z2 1
在 xO y 面上是怎样一条曲线？
解
消去z变量得
x2
y2
1 2
，这是曲线C
关于 xO y坐标面的投影柱面方程，所以曲线C
在 xO y
坐标面上的投影方程为
x
2
y2
1 2
,
z 0
它是 xO y 坐标面上的一个圆（见图8-29）。
z
1 2,
y 0
| x| 3; 2
（3）同理在 yoz面上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y| 3. 2
.
8
空间图形的界定（略）
.
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