第三章量子力学基础教材
量子力学课件第三章
第三章形式理论3.1希耳伯特（Hilbert ）空间在上两章中，我们已经看到了简单量子体系的一些有趣的特性。
其中有些是特定势能的“偶然”特点（例如：谐振子能级间隔的均匀分布），但是另外一些是普遍的，给它们一个彻底的一劳永逸的证明是十分必要的（例如：不确定原理和定态正交性）。
本章的目的是在一个更有力的形式上重新讨论我们的理论。
从重新讨论的角度来讲，本章没有很多完全是新的内容，其基本思想是对我们已在特定情况中的发现做更清晰的了解。
波函数和算符是量子理论的两块基石。
体系的状态用波函数表示，可观察量用算符表示。
数学上讲，波函数满足抽象矢量的定义条件，算符作为线性变换作用于矢量之上。
因此，量子力学的自然语言是线性代数。
1但是我估计它并非是一个你可以很快熟悉的形式。
在N 维空间中，可以简单地用对应于N 个正交归一基矢的分量，{}n a ，的一个N 行列矩阵表示一个矢量α，即：12.N a aa α⎛⎫ ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭a [3.1]两个矢量的内积（三维空间标量积的推广）αβ是一个复数，***1122.N N a b a b a b αβ=++ [3.2]线性变换T 用矩阵（相应指定的基矢）表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量上（得到新的矢量）：11112121222212.N N N N NN N a t t t t t t a T t t t a βα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b Ta [3.3] 但是在量子力学中我们遇到的“矢量”是函数（绝大多数情况下），它们存在于无穷维空间中，对于它们，用N 行列矩阵/矩阵的方法有点笨拙，以及在有限维下有很好行为的矩阵乘法可能存在问题。
（其理由是，尽管3.2式的有限求和总是存在的，而对于无限求和或积分可能不收敛，在这种情况下内积将不存在，那么涉及到内积的任何论述都有疑问。
）因此，即使对大多数的术语和符号比较熟悉，仍要十分谨慎。
所有x 的函数的集合构成了一个矢量空间，但对于我们的目的来说它太大了。
chp3_第三章：量子力学导论.ppt
第三章：量子力学导论 例 氢原子的第一玻尔轨道半径满足驻波条件
2
4 0 1 a1 2 me mc
1 4 0 c 137
2
e
2
h mv1
Z e v1 c ma1 4 0
h h 1 1 2 m c mc mc
Ph
粒子
E, P ,
波
光的波粒而象性
徳布罗意的反思：整个世纪以来，在辐射理论上，比起关注波 动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物粒子 理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于“粒子” 的图象想的太多，而过分地忽略了波的图象呢？
第三章：量子力学导论 光的波粒二象性 光的波动性:
第三章：量子力学导论 电子衍射的工作原理 布喇格面----产生衍射----衍射 极大发生条件
U
D
电子枪
K
探测器
B
电子束
G
Atomic planes
a d= asin
镍单晶
第三章：量子力学导论
d a sin 出射波束衍射极大出现的条件 n 2d cos 2a sin cos a sin 2 a sin
近代物理基础 ------原子物理学
主讲教师：任国仲
第三章：量子力学导论
第一节 第二节 第三节 第四节
玻尔理论的困难 波粒二象性 不确定关系 波函数及其统计解释
第五节
薛定谔方程
第三章：量子力学导论 第三章：量子力学导论
第一节：玻尔模型的困难
热辐射的 紫外灾难
物理世界上空的两朵乌云
经典物理无法解释的实验现象 一、黑体辐射的规律 二、光电效应 光谱与玻尔模型
《量子力学基础》PPT课件_OK
光的粒子性：
光电效应和康普顿效应等证明 光的粒子性。 光在与物质作用，转移能量时 显显示粒子性。
h
p h
或 p k
•4
光是粒子性和波动性的矛盾统一体。
原子物理学(Atomic Physics)
二、微观粒子的波粒二象性
1、德布罗意假说 (L.De Broglie)
德布罗意
“整个世纪以来，在光学上比起波动的研究方法，是过 于忽略了粒子的研究方法，在实物理论上，是否发生了 相反的错误呢？是不是我们把粒子的图象想的太多，而 过分忽略了波的图象？”
1 n2
谱 线 •31 的
RH
1 m
2
1 n2
波 数
原子物理学(Atomic Physics)
•32
原子物理学(Atomic Physics)
三、氢原子中电子的几率分布
z
d r 2 sin drdd
d rsin
d sin dd
dS r 2 sin dd
2.一个粒子就是一个 波,或粒子只是由许多 波组合起来的一个波 包,波包的速度也就是 粒子的速度,波包的活 动表现出粒子的性质 。
电子衍射动画3
•16
原子物理学(Atomic Physics)
粒子与描写它的波之间的关系：
伴随粒子的波反映了粒子具有波粒二象性
电子的 粒子性
电子的 波动性
表现在不可分割、稳定不变 的特性，表现在它的一次行 为上。
第三章 量子力学基础
思维世界的发展,从某种意义上说,就 是对“惊奇”的不断摆脱。
—爱因斯坦
•2021/7/26 •1
原子物理学(Atomic Physics)
• §3.1微观粒子的波粒二象性 • §3.2测不准关系 • §3.3 波函数及其统计解释 • §3.4 Schrödinger方程算符 • §3.5量子力学问题的简例 • §3.6 氢原子的量子力学描述
量子力学第三章PPT课件
P当(r粒) 满子足被周限期制性在边边界长条为件L 的立方体内时，本征函数
P
L 2
,y,来自zPL 2
,
y
,
z
rB
L 2
,
y,
z
y
P
x
,
L 2
,
z
P
x
,
L 2
,
z
B
B o
x
P
x
,
y
,
L 2
i
dPy
dy
Py Pz (y)
Px ( x ) C 1e i Pxx Py ( y ) C 2e i Pyy
归一化 常数
i Pr
(r) Ae P
i
dPz
dz
PzPz (z)
Pz ( z ) C 3e i Pzz
归一化系数的确定
1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归
一化方法确定归一化常数 A ，即
如果算符 Fˆ表示力学量 F ，那么当体系处于 Fˆ
的本征态中时，力学量 F 有确定值，这个值就是Fˆ 属于该本征态的本征值。
该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系
9
（5）厄米算符及其性质
① 厄米算符的定义
若对于任意两函数 和 ，算符 Fˆ满足等式
*F ˆd (F ˆ)* d
则称 Fˆ为厄米算符
这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我 们学习中的重点。
2
讲授内容
3.1 表示力学量的算符 3.2 动量算符与角动量算符 3.3 电子在库仑场中的运动 3.4 氢原子 3.5 厄米算符本征函数的正交性 3.6 力学量算符与力学量的关系 3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
量子力学教程 第三章
ˆ d (O ˆ ) * d * O
转置算符 的定义
ˆ )] * [ d * (O ˆ * * dO ~ ˆ * d * O
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô + (Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
( r ) p ( r ) i p p
量子力学
其 分 量 形 式 ：
(r ) i p (r ) i y p i z p (r )
x
(r ) p x p (r ) p y p p z p (r )
是对函数 u 微商， 故称为微商算符。 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v3 。
（二）算符的一般特性
（1）线性算符 （2）算符相等 （3）单位算符 （4）算符之和 （5）算符之积 （6）对易关系 （7）对易括号
（8）逆算符 （9）算符函数 （10）复共轭算符 （11）转置算符 （12）厄密共轭算符
dx *
dx * * |
dx *
x
dx * x
由于ψ 、φ 是 任意波函数, 所以
dx * ( x ) 0
~ x
( )0
x
~ x
~ x
x
15
（三）、算符化法则
如果量子力学中的力学量F是具有经典对应的力学量, ˆ 可由经典表示式F(r,p) 则相应于这个力学量的算符 F ˆ i 得到 中将p换成算符 p
表示坐标 的算符就 是坐标自 身
量子力学讲义 第三章 3.5、3.6、3.7、3.8
ˆ |2 d | F
0
可把常数记为Fn，把状态 记为ψn，于是得：
（2）力学量的本征方程
若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的，即：
(F) 0
2
则称这种 状态为力 学量 F 的 本征态。
ˆ F ) (F 0 或 ˆ 常 数 F
ˆ n Fn n F
m m m
m
ˆm )*nd Fm m *nd (F
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
若Fm≠Fn， 则必有：
ˆm )*nd m * F (F ˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
Ylm ( ,) Nlm Pl (cos ) eim
m
构成正交归 一函数系
0
2
0
* Ylm ( ,)Ylm ( ,)sindd ll
ˆ 的本征函数 （4）氢原子能量算符H
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm (,) 组成正交归一函数系
i 1
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
Fn A jini
i 1
nj
* nj ji A j i ni * ni d jj
构成正交归一系
m(x) n(x)dx mn
ˆ z 的本征函数 （2）角动量分量算符 L
1 i m m() e (m 0, 1, 2, ) 2
量子力学3
量子力学3第三章力学量算符§3.1 算符及其运算规则§3.2 厄米算符及其性质§3.3 连续谱本征函数的归一化§3.4 力学量算符随时间演化§3.5 守恒量与对称性§3.6 全同粒子体系§3.1 算符及其运算规则一、算符的基本运算规则二、算符的函数三、对易关系和对易子四、厄米算符和幺正算符五、量子力学向经典力学的过渡六、角动量算符一、算符的基本运算规则一、算符的基本运算规则量子力学第二公设—算符公设1）线性算符：A ( c1ψ 1 + c 2ψ 2 ) = c1 A ψ 1 + c 2 A ψ 2二、算符的函数二、算符的函数例子一般地，算符的函数可以表为? ? f ( A) = ∑ cn A nn2）单位算符：I?ψ = ψ3）算符之和：( A + B )ψ = A ψ + B ψ ?? ? ? 4）算符之积： ( A B )ψ = A ( B ψ )一个常用的公式：eA = ∑∞ n=0An n!其它的例子例题：若G为算符，t为参数，证明：Gt e = Ge Gt ?t算符之积满足结合律，但不满足交换律（不对易）。
5）算符之逆： A A ?1 = A ?1 A = I?三、对易关系与对易子三、对易关系与对易子对易子的定义： [ A, B ] = A B ? B A例：坐标与动量的对易关系。
解：考虑x p xψ = ? ih x ? p x xψ = ? ih ? ψ ?x对易关系的几个恒等式： [ A, B ] = ?[ B , A ][ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ] [ A, BC ] = B[ A, C ] + [ A, B ]C [ AB , C ] = A[ B , C ] + [ A, C ] B [ A, [ B , C ]] + [ B , [C , A ]] + [C , [ A, B ]] = 0(Jacobi恒等式)( xψ ) = ? ih ψ ? ih x ψ ?x ?xx p xψ ? p x x ψ = ih ψ ? [ x , p x ] = ih这样，对任意波函数，均有所以类似可证： [ y , p y ] = ih但[ z , p z ] = ih[ x , p y ] = [ x , p z ] = [ y , p x ] = ...... = 0 ? [ xα , p β ] = ih δ αβ综合式四、厄米算符和幺正算符四、厄米算符和幺正算符进一步的例算1、计算对易子： [ f ( x ), p x ] = ?2、设λ是一个小量，算符 A 之逆 A ?1 存在，求证：~ ? ? 1）算符的转置：∫ ψ * A ? d τ = ∫ ? A ψ * d τ~ ? ? 即(ψ , A ? ) = (? * , A ψ * )注意算符乘积的转置用法 ?* ? * * 2）算符的复共轭：A ψ = ( A ψ )+ ? 3）算符的厄米共轭：(ψ , A ? ) = ( A ψ , ? ) ~ ? ? ? ? 由 ( A ψ , ? ) = (? , A ψ ) * = (? * , A *ψ * ) = (ψ , A *? )~ ? ? 可得 A + = A *( A ? λ B ) ?1 = A ?1 + λ A ?1 B A ?1 + λ 2 A ?1 B A ?1 B A ?1 + ...3、算符A与B不对易，但它们的对易子C与B对易，求证：[ A, B n ] = nCB n ?1 , [ A, f ( B )] = C f ' ( B ), [ A, e B ] = Ce B 算符乘积的厄米共轭4）厄米算符：若算符A满足 A + = A ，则A称为厄米算符。
第三章量子力学基础
定义：数学上算符就是对函数的微分和积分等运算。
例如对平面波的时间导数和空间导数，可以表示为
时间算符－>能量算符
空间算符－>动量算符
Aexp(it ik r ) i Aexp(it ik r )
t
i t
i t
Aexp(it ik r ) ik Aexp(it ik r )
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一种‘统计’规律性，波函数Ψ (r,t)有时也称为几率幅（概 率幅）。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量 子力学的基本原理。
波函数的性质I Properties of Wave Functions I
（1）几率和几率密度
常见的线性算符有：
微分
x
,
积分
dx，乘法•
......等. 等
厄米算符 Hermitian Operators
厄米算符的定义
一算符的厄米共轭算符表示为： （）运算为内积运算，表示为： 当Aˆ ＝Aˆ 时，Aˆ 称为Aˆ 的自共轭算符，或称为厄米算符。 即(，Aˆ ) (，Aˆ )
物理量与厄米算符
（5） 叠加性
P S1
电子源
S2
感 光
屏
感光板上粒子的状态： c11 c22 感光板上粒子的几率分布： 2 c11 c22 2 c11 2 c22 2 (c1*c21*2 c2*c12*1)
态叠加原理：可以用描述一个系统的状态的所有态函数k ,组成集合{k },
系统的任意态函数都可以表示为集合里任意态函数的线性叠加。
一维自由粒子：势能V＝0，那么薛定谔方程为
i
t
(z,
t)
2 2m
量子力学学习课件第三章英文版
On the interval
(2) The eigenvalue equation, The general solution is By using periodic boundary condition
Therefore, the set of all square-integrable functions, on a specified interval,
constitutes a (much smaller) vector space.
Mathematicians call it L2(a,b), while physicists call it Hilbert space.
the addition and the inner product
The inner product of two vectors, which generalizes the dot product in three dimensions, is defined by
2. Linear transformations
In an N-dimensional space, the vector is represented by a N-number of its components, with respect to a specified orthonormal basis:
We can define operations on vectors:
Some important concepts
On state
we measure an observable Q.
北京大学量子力学教材 第三章
第三章一维定态问题第三章 目 录§3.1一般性质 (3)（1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的 (3)（2）不同的分立能级的波函数是正交的。
(4)（3）振荡定理 (5)（4）在无穷大位势处的边条件 (5)§3.2阶梯位势 (6)§3.3位垒穿透 (9)（1） E<V 0 (9)（2） 0V E > (11)（3）结果讨论 (11)§3.4方位阱穿透 (11)§3.5一维无限深方位阱 (12)（1）能量本征值和本征函数 (12)（2）结果讨论 .................................. 13 §3.6宇称，一维有限深方势阱，双 δ位势 .. (14)（1）宇称 (14)（2）有限对称方位阱 (15)（3） 求粒子在双δ位阱中运动 (18)§3.7束缚能级与反射振幅极点的关系 (21)（1） 半壁δ位阱的散射 (21)（2）有限深方位阱 (23)§3.8 一维谐振子的代数解法 (23)（1）能量本征值 (24)（2） 能量本征函数 (26)（3）讨论和结论 (28)§3.9 相干态 (30)（1） 湮灭算符 aˆ 的本征态 .................... 30 （2） 相干态的性质 .. (31)第三章 一维定态问题现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题：一维、不显含时间的位势，即一维定态问题。
当 )r (V )t ,r (V =则薛定谔方程 )t ,r ()p ˆ,r (H ˆ)t ,r (ti ψ=ψ∂∂ 有特解 /iEt E E e )r (u )t ,r (-=ϕ而 )r (u E 满足 )r (Eu )r (u )p ˆ,r (HˆE E = 事实上，当)r (V 有一定性质时，如)Z (V )y (V )x (V )r (V ++=或)r (V )r (V =时，三维问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。
量子力学讲义第三章讲义
量子力学讲义第三章讲义第三章力学量用算符表达§3.1算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
vAu表示把函数u变成v，就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符，称为线性算符(cc)cAA112211c2A2其中c1,c2是任意复常数，1,2是任意两个波函数。
i，例如：动量算符p单位算符I是线性算符。
2、算符相等对体系的任何波函数的运算结果都相同，即A相等记为B，则算符和算符B若两个算符、BBA3、算符之和B称为算符之对体系的任何波函数有：(ACBB，则A)AC若两个算符、B和。
B，ABA(B)(ABC)CA4、算符之积，定义为之积，记为AB算符与B)A(B)C(ABBA是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即AB5、对易关系BA，则称与B不对易。
若ABB，则称与BBA对易。
若ABA和B，则称A反对易。
若算符满足AB某i例如：算符某,p不对易某1某某(i证明：(1)某p)i某某某某某(i(2)p)某ii某某某显然二者结果不相等，所以：某p某某某p某p某某)i(某p因为是体系的任意波函数，所以某p某某i对易关系某p同理可证其它坐标算符与共轭动量满足zpzziypyyi，zpyp但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
ypy某0yp某p某z0某p某y0某pzp，，zppz0yppy0yz某pzpz某0zyzp某p某pz0ypzpzpy0，p某pypyp某0，ppy某0，pzp某p某pz0ypzpzpy0，p某y写成通式(概括起来)：p某i(1)某p某某某0某ppp0其中,某,y,z或1,2,3p量子力学中最基本的对易关系。
对易，B与对易，不能推知与对易与否。
注意：当与B6、对易括号(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：,BBA]AB[A这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：]i[某,p不难证明对易括号满足下列代数恒等式：,B]][B,A1)[A,B][A,B,C]C][A2)[A,kB,B,BC,C][A,B，[AB,C]A[B][A,C]B]k[A]]B[A]C,C，[A3)[A,[B]][B,A]][C,[A,B,C,[C]]0——称为Jacobi恒等式。
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第三章
*
x
ih
d dx
x
dx
*
x
ih
d
dx
x
dx
*
x
pˆ x
x 7
同 理：
py dy * y pˆ x y
pz dz * z pˆ z z
推广至三维情况
1 2πh
dx
i p(xx)
dpe h
*
x
-ih
d dx
x dx
dx
1
dx
2πh
i
eh
p( xx)
dp
*
x
-ih
d
dx
x
dx
dxδ(x
x)
加法结合律 Fˆ Gˆ Kˆ Fˆ Gˆ Kˆ
（4）算符乘积
两算符与之积定义为
FˆGˆ Fˆ Gˆ
若 [Fˆ ,Gˆ ] (FˆGˆ GˆFˆ ) 0 , 为任意函数,即
FˆGˆ GˆFˆ
则称两算符对易。
一般 FˆGˆ ,则GˆF称ˆ 二者不对易。
14
若 Fˆ ,Gˆ (FˆGˆ GˆFˆ ) 0 ,为任意函数,即
FˆGˆ GˆFˆ
则称两算符反对易。
（5）逆算符
设 Fˆ 能唯一的解出,则定义 的逆Fˆ算符为
Fˆ 1
第三章 量子力学初步ppt课件
――自由粒子的波函数，描写动量为 p 、能量为E
的自由粒子。 经典力学 位置和速度
量子力学 波函数
波函数体现了波粒二象性，其中的E和 p 是描写粒子性
的物理量，却处在一个描写波的函数中。
.
二、波函数的统计解释
干涉图像的出现体现了 微观粒子的共同特性，而且 它并不是由微观粒子相互作 用产生的而是个别微观粒子 属性的集体贡献
微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动 性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有 一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：
p h Eh ----德布罗意关系式。
与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德 布罗意波长。
德布罗意关系式还可以写成
E
p
hn
k
式中，2：角频率；n ：传播方向上的单位矢量
就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有
确定的值。
x0
xpxh/2
.
px
二、不确定关系 1927年，海森堡首先推导出不确定关系：
xpx/2 ypy/2 zpz/2
p/2 Et/2
.
三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子
例1： 设电子与 m0.01kg的子弹均沿x方向运动， x5，0m0/s 精 确度为 0.01，%求测定x 坐标所能达到的最大准确度。
.
(4)戴维孙－革末实验
1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电 子波的波长，证实了德布罗意假设。
1．实验装置
.
2．实验结果
(1)当U不变时，I与的 关系如图
不同的，I不同；在有 的上将出现极值。
(2)当不变时，I与U的 关系如图
当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
第三章 一维势场中的粒子 new 2(1) 量子力学教学课件
Fang Jun 第16页
3.2.1 一维无限深方势阱
V→∞ V(x) V→∞
E
V=0
0 ax
在阱内（0<x<a），能量本征方程为
m为粒子质量，E为能量。 在阱外，势场为无限大，因此粒子出现的几率为0，ψ=0.
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第17页
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第1页
§ 3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
当粒子在势场 V(x,y,z)中运动时，其薛定谔方程为：
Hˆ [ 2 2 V ( x, y, z)] ( x, y, z) E ( x, y, z) 2
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：
2 d 2
[ 2 dz 2 V3 ( z )]Z ( z ) Ez Z ( z )
其中
E Ex Ey Ez
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第3页
设质量为m的粒子，沿x方向运动，势能为V(x)，则 Schrödinger方程为，
对于定态(能量E)，波函数表为
定理 5 对于阶梯性方位势
V2-V1 有限，则能量本征函数ψ(x)及其导数ψ’(x)必定是连 续的。 证明： 根据方程
在V(x)连续的区域， ψ(x)及ψ’(x)必然连续。在V(x)发生阶 梯跃变处，V(x) ψ(x)发生跃变，但变化是有限的。上式对 x~a积分，有
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
这里已分别略去了ψⅠ 和ψⅢ中正指数和 负指数项，因为它们在x→±∞ 发散。
量子力学 第三章
ˆ ˆ ˆ ˆ (∆A) (∆B) ≥ (∆Aψ , ∆Bψ ) = (ψ , ∆A∆Bψ )
2
ˆ, ˆ ˆ, ˆ [∆A ∆B]+ [A B] ψ ) + i(ψ , ψ) = (ψ , 2 2i
2
2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆψ = (ψ ,[∆A, ∆B]+ψ ) + (ψ ,[A, B] ) 4 4
1 2 1 2 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ c =1, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = (Aψ2 ,ψ1) − (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ c = i, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = −(Aψ2 ,ψ1) + (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ + : (ψ , Aψ ) = (Aψ ,ψ ), − : (Aψ ,ψ ) = (ψ , Aψ )
± lm
ˆ 因为 lz 的本征值 (m ±1)h非简并，所以 ˆ λ l±Y (θ,ϕ) = λ±Y,m±1(θ,ϕ)， ± 是常数 lm l
物理上认为： 描述同一方位， ϕ 物理上认为：ϕ与 + 2π 描述同一方位，
ψ (ϕ +2π ) =ψ (ϕ),
lz = mh, m = 0, ±1, ± 2,L
周期性边界条件 或自然边界条件
满足 (ψm,ψn ) = δmn
1 imϕ ψm (ϕ) = e 2π
ˆ 也是保证 lz 厄米的要求
例2 平面自由转子的本征能量和定态
ˆ ˆ (A− A)ψ = 0 或Aψn= Anψn
即算符的本征态时， 学量有确定测值。 学量有确定测值。
3.2.2 力学量假定
Postulate 3
v v 1. 经典力学中的任一力学量F(r , p) ，对应量 v v ˆ (r , p) = F(r ,−ih∇) ； ˆ v ˆ 子力学中的线性厄密算符 F ˆ的本征值为力学量F的测量值(称可测值)； 2. F
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
nm
8.67102 nm
或, 1.225nm 1.225 0线波长的数量级相当.
德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提 出的轨道角动量量子化条件。
2 r n
h
m
r
2 rm nh
朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，
1929年诺贝尔物理奖
论文指出: 一个能量为E、动量为P 的实物粒子同时
具有波动性，波长和频率分别是
实物粒子具有 波粒二象性
h h P m
E mc2
hh
爱因斯坦 --德布罗意关系式
与粒子相联系的波称为物质波 或德布罗意波
波长 h h h 1v 2 / c2
p mv m0v
V 3.06n
即：衍射极大随 V 的变化周期为3.06，结果正是这样
镍单晶上的衍射实验结果
固定加速电压，改变角度， 在某些角度出现衍射极大
固定和d不变， =800 ， d=2.03Å，改变加速电压， 周期性地出现衍射极大
观测到 电子衍 射现象
戴维逊、 汤姆逊共 获1937年 诺贝尔物 理奖
频率 E mc2
m0c2
h h h 1v2 / c2
相对论质 能关系
德布罗意关系式：
普遍： h h
p mv
E
h
非相对论性粒子： h h
2m0Ek m0v
若电子是由电场加速获得的动能，则波长为：
h h 1.225nm
2m0Ek 2m0eV
光的粒子性：
光电效应和康普顿效应 等证明光的粒子性。
光在与物质作用，转移 能量时显示粒子性。
h
p h
或 p k
光是粒子性和波动性的矛盾统一体。
三、物质波假说（1924年）
思1、想德方布法罗：意自的然物界质在波许假多说方面都是明 显（地Lo对ui称s V的ic，to他r d采e B用r类og比lie的1方89法2 –提1出987 ) 物质波的假设 . 1929Nobel—P
巴黎大学博士生de Broglie是A.Einstern的崇拜者， 相信光的波粒二象性是一种普遍现象。
经典物理学中的粒子和波
经典物理学：波和粒子 是完全不同的概念
是自然界中仅有的两种 能量传递的方式。
是波就不能是粒子，是 粒子就不能是波。无法 用波和粒子描述同一事 物。
粒子的特性：
戴威逊—革末实验装置示意图 Davisson：1937 Nobel-P
晶体结构：
波程差：
2d sin
n
(2n
1)
2
当 2d sin n 时加强----布拉格公式。
可用实验检验的公式：
V n12.25A nk
2d sin
实验原理图
对于镍单晶，d =2.03Å，若取=80°，则：
V (V )
例 在一束电子中，电子的动能为 200eV，求此
电子的德布罗意波长 ？
解:
v c,
Ek
1 2
m0v2
v 2Ek m0
v
2
200 1.6 1019 9.11031
m
s1
8.4
106
m
s-1
c
h m0v
6.631034 9.11031 8.4106
定域性，占据一定的空间， 有确定的质量和动量；
粒子和粒子之间是分离的； 粒子的运动有确定的轨道。
波的特性： 广延性，周期性，迭加性，
能产生干涉、衍射、偏振 等现象。
二、光的波粒二象性
光的波动性:
光是一种电磁波，并被干 涉、衍射、偏振等实验和 麦克斯韦理论完全证明。
光在传播时显示波动性。
1937年戴维逊和汤姆逊共同获得诺贝尔奖。
一般光栅的为10-7m数量级，但是电子波长为1011m数量级，所以看不到衍射现象。
四、电子波动性的实验验证(Davisson-Germer,1927)
目 的 证明电子具有波动性
1）电子波长的估计
原 1.225nm
理
V
2）衍射波极大值的条件
2d sin n
电
X
子
射
束
线
衍射图样（波长相同）
和波的传播分开。”
§3.1 物质波
三、物质波假说（1924年）
既然光(波) 具有粒子性
那么实物粒子也 应具有波动性
光 实物粒子
波动性 ( , v)
+ +
粒子性 (m , p) + ？
1924.11.29，德布罗意把题为“量子理论 的研究”的博士论文提交给巴黎大学。
L.V. de Broglie （法，1892-1986）
λ
爱因斯坦说： “揭开了自然界巨大帷幕的一角”， “瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢”
§3.1 物质波
三、物质波假说（1924年）
德布罗意在博士答辩中指出这种波怎样用实验耒证 实: “用电子在晶体上的衍射实验可以做到。”
法国一直没有此实验进行，1927年，美国的戴维逊 在收到论文复印件后第二天动手实验，同时英国的汤姆 逊也独立得出电波的衍射图样。
第三章 量子力学基础
Introduction to Quantum Mechanics
§3.1 波粒二象性 §3.2 不确定性原理 §3.3 波函数及其物理意义 §3.4 薛定谔波动方程 §3.5 定态问题的几个简例 §3.6 量子力学对氢原子的描述 §3.7 量子数的物理意义
§3.1 物质的二象性与德布罗意假说
一、背景 二、物质波假说 三、电子波动性的实验验证
§3.1 物质波
一、背景
玻尔理论的困境：由于玻尔理论是半量子半经典的 理论，虽然取得了巨大的成功，但是遇到了许多困 难、质疑和非难，也无法向前发展。
爱因斯坦的光量子假说：长时间不被承认，到1916 年密立根光电效应实验、1919年Compton效应发现， 才得到广泛的接受，光的波粒二象性被人们所认识。
调h是tt侃过p“:于的整//b忽个《en略世量ro了纪子se粒以.力b子来l学og的，史.s研在o话h究光u》.方学co—法上m—，比若在起水实波物阁动理的博论研客上究，方是法否，
发生了相反的错误呢？是不是我们把粒子的图象想的 太多，而过分忽略了波的图象？” “所有的物质粒子（mo不等于零）都具有波粒二象 性，任何物质粒子都伴随着波，而且不可能将物体的运动