高等量子力学习题汇总

第一章
1、简述量子力学基本原理。

答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。

QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert
空间内的厄米算符(A
ˆ)；2、物理量所能取的值是相应算符A ˆ的本征值；3、一个任意态
总可以用算符A ˆ的本征态i
a 展开如下：ψψi i i i
i
a C a C
==∑,；而物理量A 在
ψ
中出现的几率与2
i C 成正比。

原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ˆ和相应的正则动量算符i p
ˆ有如下对易关系：[]0ˆ,ˆ=j i x x ，[]0ˆ,ˆ=j i p p ，[]
ij j i i p x δ =ˆ,ˆ 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给
()()t H t t
i ψψˆ=∂∂
在海森堡图景中，一个厄米算符()
()t A
H ˆ的运动规律由海森堡
方程给出：
()()()[]
H A i t A dt d H H ˆ
,ˆ1ˆ
= 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。

服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。

2、薛定谔图景的概念？
答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景.
3、 已知.10,01⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±>=±x S
4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：
求证：
答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2) P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 12+y 12-x 22-y 22 P 2=P x 2+P y 2+P z 2=4(x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2-x 2y 1)2+(x 12+y 12-x 22-y 22)2
=4(x 12x 22+y 12y 22+x 12y 22+x 22y 12)+(x 14-2x 12x 22-2x 12y 22-2x 22y 12-2y 12y 22-2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 14+2x 12x 22+2x 12y 22+2x 22y 12+2y 12y 22+2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 12+y 12+x 22+y 22)2 =(|C 1|2+|C 2|2)2 5、
6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A ∧
和B ∧
成立不等式：
（1）先证明一个引理----schwarz 不等式：对
于两个态矢|α〉和|β〉，必有：
（2）
此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量a,b ，必有：
（3）
对任意复常数λ，我们有：
（4）
取||βαλββ〈〉
=-
〈〉
，代入上式可得（2）.现在证明（1）式：取
（5）
这里用态|〉来强调对任何ket 矢量都适用，于是（2）式给出：
（6）因：
（7）其中对易子,,A B A B ∧∧∧∧⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥∆∆=∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而反
对易子}
,A B ∧∧
⎧∆∆⎨⎩
是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：
的模的平方等于。

7、证明：幺正算符的本征态互相正交.
解: 设 |n ⟩ 是幺正算符S 的一个本征态, 本征值为 n, 则 ⟨n|S |n ⟩ = n => ⟨n|S = ⟨n|n => S +|n ⟩ = n +|n ⟩
即|n ⟩ 也是S +的本征态，而 H = S + S + 是厄米算符， H |n ⟩ = (n + n +)|n ⟩
故|n ⟩ 也是H 的本征态，而厄米算符的本征态相互正交, 所以幺正矩阵的本征态相互正交. 8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有[H,Q]=0。

这里H 为哈密顿算符，变换Q 不显含时间，且存在逆变换Q -1。

9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.
答案: 态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图
景无关。

海森堡图景,态矢|t S ϕ
〉（）依赖时间t 而基矢|x 〉不含t,而对于海森堡图景而言，|H
ϕ〉不含t ，于是时间依赖性完全转移到|x,t H
〉中去了。

10、求证
11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量 答：一维谐振子的经典哈密顿量：22221
()2H P m w q m
=
+
12、产生,湮灭算符的定义,为什么把它们叫产生湮灭算符? 答案: 产生,湮灭算符的定义如下：
定义粒子数算符
可以得到：
由此可知†
|a n ∧〉和|a n ∧
〉分别是N ∧
的本征值为（n+1）和（n-1）的本征态。

故称其为产生湮灭算符。

13、证明谐振子在激发态中
()
()
2
2
2
212x p n ⎛
⎫∆∆=+ ⎪⎝
⎭ 证明：,22m x a a p i a a m ωω++∧∧∧∧∧∧⎛⎫⎛⎫
=
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
0,0x p ∧
∧
==2
2
2
2
x x x
x ∧∧∧
∧⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
同理： 2
2
2
2
p p p
p ∧∧∧
∧⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
222221222x a a a a a a a a a a m m ωω+++++∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222122m p a a a a ω++∧∧∧∧∧⎛⎫⎛⎫
=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对于激发态n
()2
122x n m ω∧⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
()2
122
m p n ω
∧⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
2
2
2
212x p n ∧
∧
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
14、请构造相干态.
解:相干态为最小不确定态，同时是
的本征态，记为
在N 表象中解此方程，展开：
由得
又有
，所以
由归一化条件
得：
15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径————
薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。

（1） 海森波的矩阵力学，它重视可观察量。

把可观察量和算符间建立了一一的对应关系，
研究算符的运动方程，它包含有对易关系的运算。

（2） 第三种是狄拉克和费曼发现的，他们着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关
系，重视“传播函数”或“传播子”的作用。

16、由最小作用量原理推导拉格朗日方程。

第二章
17、势散射：两粒子的相互作用，可以是能用二者的相互作用势能12()V r r 表达的引力或斥力，这时的散射称为势散射. 18、证明S 算符是么正的 证明：因为)()()()(+--++
ΩΩΩΩ
=+
+
s s
且
所以
所以算符S 是么正的
第三章
19、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。

轨道角动量 ˆ[,]x y z L r p L L i L =⨯=
；
自旋角动量 ˆ
[,]x y z S S S i S = ； [,]
0L S = →J L S =+ 仍为角动量 证：[,][,]
[,][,]
x y x x y y x y x y
z z z
J J L S L S L L S S i L i S i J =++=+=+=
一般地若两角动量满足12[,]0J J = 则12J J J =+
也是角动量
进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符 设n m n nm J J i J δ⨯=
即[,]nx my nz nm J J i J δ=
则对于1
1
ˆ;,,k k n n n n J J J J x y z μμ
μ===⇒==∑∑
1
111
11
1
[,][,][,]
k
k
k
k
x y nx my nx my n m n m k k
k
n nm nz z
n m n J J J J J J i J i J i J δ============∑∑∑∑∑∑∑。