《弹性力学》第五章 平面问题的复变函数法
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工程弹塑性力学-第五章-弹性力学平面问题
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
等厚度薄 平板 t a, t b 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。 如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
(2) 受力特征
（1）板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力； （2）体力平行于板面且不沿厚度变化。
JUST
江苏科技大学 思考题：
Jiangsu University of Science and Technology
0 x 0 y 21 xy E
1 f1 f 2 x y x y 1
JUST
江苏科技大学
Jiangsu University of Science and Technology
ij 2G ij ij
i j 3
z 2G z x y z
由
z 0
z x y
JUST
5.1 平面应变问题 University of Science and Technology 江苏科技大学 Jiangsu
x
x
x
xy
y yx
y
xy
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
JUST
5.2广义 平面应力问题 of Science and Technology 江苏科技大学 Jiangsu University
什么是广义平面应力问题及其特点 平面应力问题的基本方程
几何形状符合平面应力条件，由于面力不是作用于板 边而是作用于板面且不平行于板面，故不是平面问题，更
不是平面应力问题。
几何形状符合平面应变条件，但面力沿柱长变化，故 不是平面应变问题。
弹性力学5PPT课件
在小变形条件下，一个复杂载荷可以等效为几个简单载荷的叠加，每个简单载荷引起的 位移、应变和应力可以分别计算，然后叠加得到复杂载荷下的结果。
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
《弹性力学》第五章平面问题的复变函数法
在非线性弹性力学中的应用
解决几何非线性问题
01
通过引入复变函数法，可以更精确地描述和分析材料
的几何非线性行为，如大变形、弯曲和扭转等。
分析材料非线性特性
02 复变函数法可用于研究材料的非线性本构关系，包括
弹性模量、泊松比和屈服强度等随应变变化的规律。
求解非线性弹性力学方程
03
利用复变函数法的数学工具，可以更有效地求解非线
03
典型应力集中问题的 复变函数解法
通过实例详细讲解复变函数法在求解 典型应力集中问题中的应用，如圆孔 、椭圆孔、矩形孔等孔边应力集中的 求解。
裂纹问题的复变函数解法
裂纹问题的定义和 分类
介绍裂纹的概念、分类以及裂 纹对材料和结构的影响，如疲 劳裂纹、脆性裂纹等。
复变函数法在裂纹 问题中的应用
阐述如何利用复变函数法求解 裂纹问题，包括裂纹尖端应力 场的求解、裂纹扩展的判据等 。
在迭代计算过程中，要判断 计算结果的收敛性。如果结 果不收敛，应调整计算参数 或改进算法。误差Fra bibliotek析程序实现
分析计算结果的误差来源， 如模型误差、离散化误差、 舍入误差等。尽量减小误差， 提高计算精度。
编写稳定、可靠的程序，实 现复变函数法的数值计算。 程序应具有良好的可读性和 可维护性。
06 复变函数法在弹性力学中 的拓展应用
04 复变函数法在平面问题中 的应用
应力集中问题的复变函数解法
01
应力集中问题的定义 和分类
阐述应力集中的概念，如孔边应力集 中、缺口应力集中等，以及不同类型 的应力集中对材料和结构的影响。
02
复变函数法在应力集 中问题中的应用
介绍如何利用复变函数法求解应力集 中问题，包括应力函数的构造、边界 条件的处理等。
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用弹性力学是固体力学学科的分支。
其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
一．弹性力学的基本规律规律假设弹性力学的研究对象是完全弹性体。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化，我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩条件。
要研究岩体的弹性问题,必须要给它一个前提,也就是对它的假设,基本假设是弹性力学讨论问题的基础。
没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介绍弹性力学的几个基本假设：1.连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空袭。
2.均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。
因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
因此，物体的弹性性质处处是相同的。
3.各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。
4.完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。
5.小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
6.无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。
根据这一假设，弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。
二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法：弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。
数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。
弹性力学简明教程第四版第五章：有限差分发和变分法概论
在节点在节点0的近处将函数的近处将函数展成泰勒级数泰勒级数aanortheasternuniversitynortheasternuniversitynortheasternuniversity弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程51差分公式的推导51差分公式的推导节点节点33的坐标的坐标节点节点11的坐标的坐标带入带入aa假定网格间距假定网格间距充分小二次项以后的项可以忽略充分小二次项以后的项可以忽略bc可变为可变为bbccddee把dd和和ee看成关于看成关于和和的二元一次方程组的二元一次方程组northeasternuniversitynortheasternuniversitynortheasternuniversity弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程把dd和和ee看成关于看成关于和和的二元一次方程组的二元一次方程组51差分公式的推导51差分公式的推导55115522同理可以得到同理可以得到方向的上的差分公式方向的上的差分公式5544是最基本的差分公式是最基本的差分公式5544是最基本的差分公式是最基本的差分公式northeasternuniversitynortheasternuniversitynortheasternuniversity弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程51差分公式的推导51差分公式的推导混合二阶导数的差分公式混合二阶导数的差分公式55555555四阶导数的差分公式四阶导数的差分公式1012556655665577557755885588northeasternuniversitynortheasternuniversitynortheasternuniversity弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程弹性力学简明教程51差分公式的推导51差分公式的推导讨论
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件
分析差分解法的优点和局限性，探讨其在实际应用中的适用范围。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
平面弹性力学的复变函数解法
又因为应力函数必须为实函数，则
F = 2 Re[F1 ( z1 ) + F2 ( z 2 )]
双协调方程的求解
为表示方便，令
dF1 dF2 Φ1 ( z1 ) = , Φ 2 (z2 ) = dz1 dz 2
则应力分量为
2 ' ' σ x = 2 Re[µ12Φ1 (z1 ) + µ2 Φ2 (z 2 )] ' ' σ y = 2 Re[Φ1 (z1 ) + Φ2 (z 2 )] ' ' τ xy = 2 Re[µ1 Φ1 (z1 ) + µ2Φ2 (z 2 )]
将Z1和Z2平面上的椭圆边界映射为单位圆边界 且 ζ 1 和ζ 2 在边界上值均为 eiθ
无限大带孔平板内边界条件
经过上述变换后，我们要求的应力函数即为 ζ 平面上以原 点为圆心的单位圆外的全纯函数 复变函数中可以将某一在去心邻域内解析的函数唯一地展 开成洛朗级数 特别地，对于一个在 ζ ≥ 1 域内解析的函数我们可以写 为
µ1 = α + βi , µ 2 = γ + δi , µ1 = α − βi , µ 2 = γ − δi
2）复参数成对存在
µ1 = µ 2 = α + β i , µ1 = µ 2 = α − β i
双协调方程的求解
如果设 D4 F = ϕ3 , D3 D4 F = ϕ2 , D2 D3 D4 F = ϕ1 则 ∂ϕ ∂ϕ D1ϕ1 = 1 − µ1 1 = 0 ∂y ∂x 积分上式得到 ϕ 1 = f1 ( x + µ 1 y )
平面弹性力学的复变 函数解法
汇报人：舒怀
平面弹性力学的复变函数解法
平衡微分方程
弹性力学-05第五章 平面问题的复变函数解答
f ( z ) f ( z0 )
n 1
z0
（7） 设 f(z) 在以 z = z0为圆心的圆内和圆周上是解 析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
（8） 设 f(z) 在以 R1<|z = z0|<R2 为圆环域内处处解析的，那么可展 开成罗朗（Laurent）级数：
2
2
，可知
（5-2）
z z i, 1, y x
z i y
对式（5-1）进一步求导：
（2） 相容方程的复变函数表示 本章中用U（x , y）表示应力函数，同时 将应力函数视为复变数 z, z 的函数，即
U U ( z, z ) U U z U z U x z x z x z z U U z U z i U z y z y z z y
z x iy
(x,y) y
z x iy z (cos i sin ) ei
(i 1)
O
其中： i ——为虚数单位；
x
(x,-y)
(2) 共轭复数
——复数 z 的模； ——复数 z 的极角。
z x iy -i z (cos i sin ) e
( z ) u ( x, y ) iv( x,y) 解析的充要条件： （a） u ( x, y ), v( x, y ) 在定义域 D 上处处可微；
（b） 满足Cauchy-Riemann方程：
u v u v , x y y x
u ( x, y ), v( x, y )
(3) 复变函数的表示
n 1
z0
（7） 设 f(z) 在以 z = z0为圆心的圆内和圆周上是解 析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
（8） 设 f(z) 在以 R1<|z = z0|<R2 为圆环域内处处解析的，那么可展 开成罗朗（Laurent）级数：
2
2
，可知
（5-2）
z z i, 1, y x
z i y
对式（5-1）进一步求导：
（2） 相容方程的复变函数表示 本章中用U（x , y）表示应力函数，同时 将应力函数视为复变数 z, z 的函数，即
U U ( z, z ) U U z U z U x z x z x z z U U z U z i U z y z y z z y
z x iy
(x,y) y
z x iy z (cos i sin ) ei
(i 1)
O
其中： i ——为虚数单位；
x
(x,-y)
(2) 共轭复数
——复数 z 的模； ——复数 z 的极角。
z x iy -i z (cos i sin ) e
( z ) u ( x, y ) iv( x,y) 解析的充要条件： （a） u ( x, y ), v( x, y ) 在定义域 D 上处处可微；
（b） 满足Cauchy-Riemann方程：
u v u v , x y y x
u ( x, y ), v( x, y )
(3) 复变函数的表示
弹性力学平面问题教学课件
弹性力学平面问题教学课件
contents
目录
• 弹性力学基础 • 平面问题的基本概念 • 弹性力学平面问题的解析方法 • 弹性力学平面问题的数值解法 • 弹性力学平面问题的实例分析
01
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下变形和内力的规律的科学 。
弹性力学的发展历程
有限差分法的优点在于简单 直观，适用于规则区域的问
题，且精度可调。
有限差分法的步骤包括建立离 散化的网格、选择合适的差分 格式、建立差分方程、求解离
散化的方程等。
边界元法
边界元法是一种将弹性力学问题转化为边界积分方程，然后通过离散化的 方式求解该边界积分方程的数值方法。
边界元法的优点在于精度高，适用于规则区域的问题，且对于复杂边界条 件处理能力强。
1. 初始化解的近似值。
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2. 根据迭代公式计算新的近似值。
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3. 检查收敛性，如果满足收敛条件则停止迭代，否则返 回步骤2。
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特点：简单易行，但收敛速度较慢，需要多次迭代才能得 到较为精确的结果。
牛顿-拉夫森法
• 概念：牛顿-拉夫森法是一种基于牛顿定理 的迭代方法，通过构造迭代公式来逼近真 实解。
从17世纪的材料力学到20世纪的有限元方法，弹性力学在理论和 实践方面都取得了重要进展。
弹性力学的重要性
在工程领域，弹性力学是解决复杂结构问题的基础，对于保证工程 安全和优化设计具有重要意义。
弹性力学的基本假设
01
02
03
连续性假设
假设物体由无数微小的单 元组成，每个单元之间没 有间隙。
contents
目录
• 弹性力学基础 • 平面问题的基本概念 • 弹性力学平面问题的解析方法 • 弹性力学平面问题的数值解法 • 弹性力学平面问题的实例分析
01
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下变形和内力的规律的科学 。
弹性力学的发展历程
有限差分法的优点在于简单 直观，适用于规则区域的问
题，且精度可调。
有限差分法的步骤包括建立离 散化的网格、选择合适的差分 格式、建立差分方程、求解离
散化的方程等。
边界元法
边界元法是一种将弹性力学问题转化为边界积分方程，然后通过离散化的 方式求解该边界积分方程的数值方法。
边界元法的优点在于精度高，适用于规则区域的问题，且对于复杂边界条 件处理能力强。
1. 初始化解的近似值。
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2. 根据迭代公式计算新的近似值。
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3. 检查收敛性，如果满足收敛条件则停止迭代，否则返 回步骤2。
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特点：简单易行，但收敛速度较慢，需要多次迭代才能得 到较为精确的结果。
牛顿-拉夫森法
• 概念：牛顿-拉夫森法是一种基于牛顿定理 的迭代方法，通过构造迭代公式来逼近真 实解。
从17世纪的材料力学到20世纪的有限元方法，弹性力学在理论和 实践方面都取得了重要进展。
弹性力学的重要性
在工程领域，弹性力学是解决复杂结构问题的基础，对于保证工程 安全和优化设计具有重要意义。
弹性力学的基本假设
01
02
03
连续性假设
假设物体由无数微小的单 元组成，每个单元之间没 有间隙。
弹性力学复变函数法
第一节 复变函数的基本概念
复变函数的概念和性质
复数对应平面上的点， 用复数和复变函数来描述和 解平面问题是十分自然的。
复变函数w = f(z) 将平 面z上的点变换为平面w上 的点，将平面z上的图形变 换为平面w上的图形，将 平面z上的一个区域变换为 平面w上的的一个区域。
复变函数w = f(z) 是单值函数时，当z平 面上的一点绕行一周， 回到原来的位置时， 对应于w平面上的点也 绕行一周，回到原来 的位置。当z平面上一 点再绕行一周，回到 原来的位置时，对应 于w平面上的点也再绕 行一周，回到原来的 位置。
E v u ( ) xy 2(1 ) x y
u 2 f 可得 E 2[1' ( z ) 1' ( z )] (1 ) 2 x x 2 f 2 [1 ( z ) 1 ( z )] (1 ) 2 x x
第十二章 复变函数法
一些弹性力学问题采用复变函数求解比 较方便，例如对于由椭圆、双曲线以及其 它曲线构成物体边界的平面向题，对于含 有裂纹平面问题等，利用曲线坐标及复变 函数方法求解十分适宜。
应用复变函数的理论和方法，例如保 角变换等，可使弹性力学问题求解的范围 进一步扩大，本章只限于介绍复变函数方 法在弹性力学中的一些简单应用。
f ( z )dz 0
c
对于多连通区域来说如果函数在一个区域内 是解析的，并且在一个区域D内是连续的，那么 沿区域D的边界C所取的积分等于零，但在通过 这个区域的边界时，其通过的方向要使区域D始 终保持在同一个侧。
D
f ( z )dz 0
c
C
性质3 如果函数f(z)在一区域内是解析的， 并且在一个区域D内是连续的，那么柯西公式 成立 f ( ) d f ( z ) c z 另外有 0, n 1 1 d n c ( z ) 2i, n 1
《弹性力学》第五章 平面问题的复变函数法
令
2 2 4 P z z
于是可将方程式
4 0
变换成为
4 0 2 2 z z
(a)
4 2 (2 ) 2 P 0
由
2 P 0
可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设 f(z)为解析函数，可令
1 P ( f ( z ) f ( z )) 2
E 3 (u i v) ( z ) z ' ( z ) ( z ) 1 1
这就是位移分量的复变函数表示。若已知(z)及 ψ (z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开， 从而得出u和v。
上述公式是针对平面应力情况导出的。对于 平面应变情况，须将式中的E改换为E /(1 2 ) ， 改换为 /(1 ) 。
2
可得 或
y x 2i xy 2[ z ' ' ( z) ' ' ( z)]
y x 2i xy 2[ z ' ' ( z) ' ( z)]
只要已知(z)及ψ (z)，就可以把上述公式右 边的虚部和实部分开，由虚部得出τ xy，由实部得 出σ y-σ x。
可得
2 u E 2[ ' ( z ) ' ( z )] (1 ) 2 x x 2 2 [ ( z ) ( z )] (1 ) 2 x x
由于
并注意到
可得
同理
z z ( ) x z x z x z z z z i( ) y z y z y z z ( z) ( z) ' ( z) z z [ ( z ) ( z )] [ ( z ) ( z )] x z z ( z ) ( z ) [ ' ( z ) ' ( z )] z z i [ ( z ) ( z )] [ ( z ) ( z )] y z z ( z ) ( z ) [ ' ( z ) ' ( z )] z z
平面问题的复变函数解
第八章平面问题的复变函数解一.内容介绍通过直角坐标和极坐标系，可以求解一些弹性力学平面问题。
但是，这些方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题，特别是对于多连域问题更显得无能为力。
本章介绍复变函数解法，实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，但应用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数K-M函数的问题。
求解分析步骤为1. 分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式，就是用K-M函数表示；2. 探讨无限大多连域中，K-M函数的表达形式，将其表示为级数形式；3. 利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆，使得问题的边界条件简化；4. 将边界条件转化为柯西积分，求解级数系数，从而使得问题求解。
如果你还没有学习复变函数课程，请你学习附录2或者查阅有关参考资料。
二.重点1. K-M函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等；2. 无限大多连域的K-M函数形式；3. 保角变换与曲线坐标；4. 椭圆孔口与平面裂纹问题。
知识点双调和方程的复变函数表达形式应力分量复变函数表达式应力分量的单值条件多连域的K-M函数无穷远应力与K-M函数位移分量的曲线坐标表达保角变换公式与K-M 函数柯西积分确定K-M 函数孔口应力裂纹前缘应力分布双调和函数的复变函数形式位移分量的复变函数表达形式位移分量的单值条件无限大多连域中K-M函数的一般形式保角变换和曲线坐标应力分量的曲线坐标表达式利用孔口边界条件确定K-M 函数椭圆孔口的保角变换裂纹—短轴为零的椭圆切应力作用的裂纹前缘应力附录2 复变函数概要复变函数通过复平面描述平面问题，兼有直角坐标和极坐标的优点。
同时复变函数的一些性质，例如映射、保角变换和柯西积分等均有利于弹性力学问题的边界条件转化和求解。
因此复变函数成为弹性力学问题求解的重要工具。
下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。
如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。
参考资料§1 复变函数的定义§2 解析函数--复变函数的可导性§3 保角变换§4 复变函数的积分§8. 1 应力函数的复变函数表示学习思路：弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程，问题求解的关键是建立满足边界条件的双调和函数。
弹性力学主要内容及参考书目《弹性力学》
弹性力学
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 绪 论 平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
教材与主要参考书
教材： 《弹性力学》（上册，第三版）
徐芝纶 编 高等教育出版社 （Timoshenko）编 科学出版社 同济大学出版社 清华大学出版社
参考书：《弹性理论》 铁木辛柯
பைடு நூலகம்
《弹性力学》 吴家龙 编
《弹性理论基础》 陆明万等 编 《弹性力学学习方法及解题指导》
王俊民 编 徐秉业 编 同济大学出版社 机械工业出版社
《弹性与塑性力学》（例题与习题）
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 绪 论 平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
教材与主要参考书
教材： 《弹性力学》（上册，第三版）
徐芝纶 编 高等教育出版社 （Timoshenko）编 科学出版社 同济大学出版社 清华大学出版社
参考书：《弹性理论》 铁木辛柯
பைடு நூலகம்
《弹性力学》 吴家龙 编
《弹性理论基础》 陆明万等 编 《弹性力学学习方法及解题指导》
王俊民 编 徐秉业 编 同济大学出版社 机械工业出版社
《弹性与塑性力学》（例题与习题）
弹性力学有限元第五章 变分法解平面问题
用V表示外力的势能(以u,v=0的自然状态下的势能为0)，它等于外 力在实际位移上所做的功冠以负号，则：
d U V 0
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
d U V 0
U+V是形变势能和外力势能的总和，可以看出，在给定的外力作 用下，实际存在的位移应使总势能的变分成为零。 最小势能原理
积分可得形变势能。 平面应变问题作弹性常数的替换。
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
设有平面问题中的任一单位厚度的弹性体，在外力作用下平衡。
u,v为其实际位移分量，假设这些位移分量发生了位移变分(虚位 移)d u, d v，成为：u u d u v v d v
考察其能量方面的变化。
b a a
增量的主要部分定义为泛函的变分，则
f f 代入d f，则 d I d y d y dx a y y
b
d I d f dx
b a
显然，存在关系式： d
b
a
f dx d f dx
a
b
只要积分的上下限不变，变分的运算和定积分运算可以交换次序
U1 U1 U1 dxdy f xd u f yd v dxdy f xd u f yd v ds e x de x e y de y g xy dg xy
虚功方程：方程右边各项称为应力在虚应变上的虚功。 如果在虚位移发生之前，弹性体是出于平衡状态，那么在虚位移过程 中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。
b
第五章 变分法解平面问题
§5-1 变分法简介
弹性力学平面问题的复变函数方法
X + iY ln ζ + ( B + iC )ω (ζ ) 2π (1 + κ ) κ ( X − iY ) ψ (ζ ) = ψ 0 (ζ ) + ln ζ + ( B′ + iC ′)ω (ζ ) 2π (1 + κ )
φ (ζ ) = φ0 (ζ ) +
求单值解析 复势
where φ0 (ζ ) = ∑ anζ n , ψ 0 (ζ ) =bnζ n
代入剪应 力表达式
∂u x ∂ ∂ 2U = 2 [φ ( z ) + φ ( z )] − (1 + v) 2 E ∂x ∂x ∂x ∂u y ∂ ∂ 2U = −2i [φ ( z ) − φ ( z )] − (1 + v) 2 E ∂y ∂y ∂y
Eu x = 2[φ ( z ) + φ ( z )] − (1 + v)
n
−1
n
n = −∞
bn z n ∑
由于远方应力有限 an = 0, bn = 0 (n ≥ 2) 代入应力或位移边界条件，可以确定系数 an 和bn
小结
弹性力学基本方程 复变函数基本公式 弹性力学平面问题的复变函数方法
What we learn next
裂纹尖端的二维渐近方程及求解 应力强度因子KI, KII, KIII
k =1
m
′ 由位移单值条件，有 Ak = 0, κγ k + γ k = 0 (k = 1,2, L m)
内边界Lk上有 [φ ( z ) + zφ ′( z ) +ψ ( z )]L 经推导最终得
k
= i ∫ (Tx + iTy )ds = i ( X k + iYk )
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令
2 2 4 P z z
于是可将方程式
4 0
变换成为
4 0 2 2 z z
(a)
4 2 (2 ) 2 P 0
由
2 P 0
可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设 f(z)为解析函数，可令
1 P ( f ( z ) f ( z )) 2
x y 2[ ' ( z) ' ( z)] 4Re ' ( z)
和
y x 2i xy 2[ z ' ' ( z) ' ( z)]
就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立 公式，把σ x、σ y 、τ xy三者分开用(z)和ψ (z) 来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方 便。
2
可得 或
y x 2i xy 2[ z ' ' ( z) ' ' ( z)]
y x 2i xy 2[ z ' ' ( z) ' ( z)]
只要已知(z)及ψ (z)，就可以把上述公式右 边的虚部和实部分开，由虚部得出τ xy，由实部得 出σ y-σ x。
i [ ( z ) ( z )] i [ ( z ) ( z )] x z z i ( z ) ( z ) i[ ' ( z ) ' ( z )] z z
故有
u v u 2 d E y x 2 y [ ( z ) ( z )] (1 ) xy dy f1 ( y ) u 2 d 2 i [ ( z ) ( z )] (1 ) f 2 ( x) x xy dx 2 d d 2(1 ) f1 ( y ) f 2 ( x) xy dy dx
第五章 平面问题的复变函数法
直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉 及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一 些边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等 就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使 该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函 数方法在弹性力学中的简单应用。
第五章 平面问题的复变函数法
§5-1 §5-2 §5-3 应力函数的复变函数表示 应力和位移的复变函数表示 边界条件的复变函数表示
§5-4
§5-5
多连通域内应力与位移的单值条件
无限大多连体的情形
§5-6
含孔口的无限大板问题
§5-1
应力函数的复变函数表示
在第二章中已经证明，在平面问题里，如 果体力是常量，就一定存在一个应力函数 φ ， 它是位置坐标的重调和函数，即
0
4
现在，引入复变数z= x＋iy和z＝x－iy以代替 实变数x 和y。注意
1 ( z ' ( z ) z ' ( z ) ( z )) z 2
再对z积分，得到
1 ( z ( z ) z ( z ) ( z )dz g ( z )) 2
令 即 则
( z ) dz ( z )
( z) ' ( z)
应力分量的复变函数表示 根据应力分量和应力函数的关系
x y
2 y 2 2 x 2 2 xy
xy
可得到应力分量的复变函数表示
2 2 2 x y 4 y 2 x 2 z z
由
1 ( z ( z ) z ( z ) ( z ) ( z )) 2
其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式
E v u 2 ( ) xy 2(1 ) x y xy
由于
z ( ) x z z z i( ) y z z [ ( z ) ( z )] i [ ( z ) ( z )] y z z i ( z ) ( z ) i[ ' ( z ) ' ( z )] z z z x z x z z y z y z
1 [ z ( z ) z ( z ) ( z ) ( z )] 2
得到
i 2 ( z ) z ' ( z ) ' ( z ) x y z ( z ) z ' ( z ) ( z )
将结果回代,并两边除以 1 得
B B B
2 v E 2[ ' ( z ) ' ( z )] (1 ) 2 y y
2 2 i [ ( z ) ( z )] (1 ) 2 x y
将上两式分别对x及y积分，得
f1 ( y) x Ev 2 i[ ( z ) ( z )] (1 ) f 2 ( x) y Eu 2[ ( z ) ( z )] (1 )
§5-3
边界条件的复变函数表示
为了求得边界上各结点处的φ 值，须要应用应 力边界条件，即： 2 x 2 , y 2 , xy y x xy
而
2 2 代入上式，即得： l y 2 m xy X 2 2 l xy m x 2 Y
二
位移分量的复变函数表示 假定为平面应力问题。由几何方程及物理方
程
u E x y ( x y ) (1 ) y x
v E y x ( x y ) (1 ) x y
E v u ( ) xy 2(1 ) x y
由
得 令 则
2 2 4 P z z
2 1 1 1 P [ ( f ( z ) f ( z ))] 4 2 z z 4
f ( z ) 4 ' ( z )
2 1 ( ' ( z ) ' ( z )) z z 2
将上式对 z 积分，得到
可得
而由
x y 2[ ' ( z) ' ( z)] 4Re ' ( z)
2 2 2 y x 2i xy 2i 2 2 x y xy x i y 2 4 z 2
E 3 (u i v) ( z ) z ' ( z ) ( z ) 1 1
这就是位移分量的复变函数表示。若已知(z)及 ψ (z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开， 从而得出u和v。
上述公式是针对平面应力情况导出的。对于 平面应变情况，须将式中的E改换为E /(1 2 ) ， 改换为 /(1 ) 。
i 2 , i 2 x y z z x y
进而
2 2 2 2 ( ) , ( ) 2 2 x z z y z z
2 2 2 2 2 2 4 x y z z
可得
2 u E 2[ ' ( z ) ' ( z )] (1 ) 2 x x 2 2 [ ( z ) ( z )] (1 ) 2 x x
由于
并注意到
可得
同理
z z ( ) x z x z x z z z z i( ) y z y z y z z ( z) ( z) ' ( z) z z [ ( z ) ( z )] [ ( z ) ( z )] x z z ( z ) ( z ) [ ' ( z ) ' ( z )] z z i [ ( z ) ( z )] [ ( z ) ( z )] y z z ( z ) ( z ) [ ' ( z ) ' ( z )] z z
z 1, x z 1, x z i y z i y
可以得到变换式
z z ( ) x z x z x z z z z i( ) y z y z y z z
从而得到
d f1 ( y ) d f 2 ( x) dy dx
于是得到刚体位移 f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v 0＋ωx
若不计刚体位移，则有
E (u i v) 4 ( z ) (1 )( i ) x y
由式
i 2 x y z
也可以写成
Re[ z ( z) ( z)]
于是可见，在常量体力的平面问题中，应 力函数φ 总可以用复变数z的两个解析函 (z) 和(z)来表示，称为K-M 函数。而求解各个具 体的平面问题，可归结为适当地选择这两个解 析函数，并根据边界条件决定其中的任意常数。
§5-2
一
应力和位移的复变函数表示
1 ( z ( z ) z ( z ) ( z ) g ( z )) 2
注意上式左边的重调和函数φ 是实函数，可见该 式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共 轭的，后两项也应是共轭的： 令
g ( z ) ( z)
即得有名的古萨公式
1 [ z ( z ) z ( z ) ( z ) ( z )] 2
由此得：
d ds y
X,
d Y d s x
设A是边界上的固定点,B为任意一点，则从A到B 边界上的合力，可用上式从A点到B点对s积分得 到：
Px iPy