平移和旋转培优训
平移旋转培优辅导
1、如图11-3所示，在△ABC中，∠C=900，AC=BC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A1B1C1的位置。
①若平移的距离为3，则△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为多少？②若平移的距离为x(0≤x≤4)，△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为y，则y与x之间的关系是什么？2、把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.在上述旋转过程中，BH与CH有怎样的数量关系？四边形BHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；3、已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝2。
若点F 从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒。
当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O。
（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；（2）当t为何值时，AB⊥GH；（3）请你证明△GFH的面积为定值；（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点。
4、DDAB如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=900，点B、E、F，按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF(1)如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为____，位置关系为____（不证明）．(2)如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a(O<a<450)，则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．(3)如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是________11AG(O)EC BF①B。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲 平移、对称、旋转(含答案)
第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。
初二上培优辅导资料4(平移与旋转 学生版)
初二上培优辅导资料4平移与旋转例1. 如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．例 2. 已知，在△ABC 中，AB=AC 。
过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角错误！未找到引用源。
，直线a 交BC 边于点P （点P 不与点B 、点C 重合），△BMN 的边MN 始终在直线a 上（点M 在点N 的上方），且BM=BN ，连接CN 。
当∠BAC=∠MBN=90°，θ=∠CAN 时①如图a ，当错误！未找到引用源。
=45°时，∠ANC 的度数为_______；②如图b ，当错误！未找到引用源。
≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（3题图） 练习题1．下列说法不正确的是（ ）（A ）图形平移是由移动的方向和距离所决定的。
（B ）图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的。
（C ）等边三角形不可能通过旋转得到。
（D ）以平行四边形对角线的交点为旋转中心旋转可以得到与该平行四边形重合的图形。
2．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．43B ．33C ．23D ．33ABCD 沿对角线AC 平移，使点A 移至线段AC 的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )A ．2B ．21 C ．1 D ．414．已知，△ABC 的面积为48，将△ABC 沿BC 平移 到△A /B /C /，使B /和C 重合，连结AC /交AC 于点D ，则△C /DC 的面积为（ ）（A ） 24 （B ） 48（C ） 16 （D ） 85．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：( ) ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ≌△ACD ；③BE DC DE +=； ④222BE DC DE +=其中正确的是 A ．②④； B ．①④； C ．②③； D ．①③．AB C D EF（5题图） 题图）A /BC / D（B /）A C （4题图）（6题图）（8题图）（9题图）6.一副三角板按图1所示的位置摆放.将△DEF 绕点A （F ）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm ，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（ ）2cm A ．75B ． 32525+C ． 335025+D ． 332525+7 .如图，直角三角板ABC 的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A B C '''的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板平移的距离为（ ）A. 6㎝B. 4㎝C.（6－）㎝ D.（6）㎝8．如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ， 若△ABC 的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）16cm B 18cm C 20cm D 22cm9．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ，∠B ）向内折起，点A ，B 恰好落在CD 边的点F 处．若AD =3，BC =5，则EF 的值是（ ） A B C D（7题图）（10题图） （12题图）10.如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是（ ） A （2，10） B （﹣2，0）C （2，10）或（﹣2，0）, D.（10，2）或（﹣2，0）11..在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得 到△BAE ，连接ED ，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）A . AE ∥BCB ∠ADE=∠BDCC . △BDE 是等边三角形D . △ADE 的周长是912 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（2，），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ′，点A 的对应点A ′在x 轴上，则点O ′的坐标为（ ） A （，） B （，） C （，） D （，4）13.如图，将等腰直角△ABC 沿BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若 BC ＝32，△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则BB 1＝（11题图）（13题图）（15题图）（16题图）14．如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1， 将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A’B’D’的位置，得 到图2，则阴影部分的周长为15 如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A ′B ′C ′，若∠BAC =90°， AB =AC =，则图中阴影部分的面积等于 ．16 如图（1），有两个全等的正三角形ABC 和ODE ，点O 、C 分别为△ABC 、△DEO 的重心；固定点O ，将△ODE 顺时针旋转，使得OD 经过点C ，如图（2），则图（2）中四边形OGCF 与△OCH 面积的比为 ．17 .Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边 BC 上，BD ＝2CD （如图）．把△ABC 绕着点D 逆时针 旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始 Rt △ABC 的边上， 那么m ＝（14题图）（17题图）（21题图）18. .如图，在△ABC 中，AB=BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B 交AC 于点E ，A1C1分别交AC 、BC 于点D 、F ，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF ，③DF=FC ，④A1D =CE ，⑤A1F=CE.其中正确的是 (写出正确结论的序号).19 .如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°,将△ABC 绕 C 点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC ，设 CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为 时 △ADF 是等腰三角形。
培优专题5-平移与旋转-(含解答)-(改后)教学提纲
培优专题5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径． 平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的． 例1 如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 边上两点，BD=CE ，试说明AB+AC>AD+AE ．分析 利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和． 练习11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD+BC=3，，求此梯形的面积．2．如图，长方形花园ABCD 中，AB=a ，AD=b ，花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条平行四边形道路RSTK ，若LM=RS=c ，求花园中可绿化部分的面积．3．如图，△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且BE=CF ，试说明EF<BC ．例2 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，M 是AB 的中点， ∠PMQ=90°，请说明PQ 2=•AP 2+BQ 2．分析 本题中PQ 、AP 、BQ 不在同一个三角形中，•如果将它们平移，•使PQ 、BQ 分别转化为PD 、AD ，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解．练习21．如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，∠BEG 与∠CFH都是锐角，•已知EG=3，FH=4，四边形EFGH 的面积为5，求正方形ABCD 的面积．2．如图，△ABC 中，∠B=90°，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，AN 、CM•交于点P ，•若BC=AM ，BM=CN ，求∠APM 的度数．3．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF 的六个角是否都相等．例3 如图，在正方形ABCD 的边BC 和CD 上分别取点M 和点K ，并且∠BAM=∠MAK ．求证：BM+KD=KA ．分析 把Rt △BAM 绕点A 顺时针旋转90°到△ADM ′，使BM 与DN 拼成一条线段的KM ′，只要证明KM ′=KA 即可． 练习31．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D•的点，•且∠NMB=∠MBC ，求AMAB的值．2．如图，P 是等边△ABC 内一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比为5：6：7，•求以PA 、PB 、PC 之比为边的三角形三内角之比（从小到大）．3．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=∠BCD=90°，AH ⊥BC ，且AH=1，•求四边形ABCD 的面积．例4 如图，在等腰三角形ABC 中，∠CAB=90°，P 是△ABC 内一点，且PA=1，PB=3，，求∠APC 的度数．分析 本题将△BAP 绕点A 旋转90°，得到△CAQ ，构造直角三角形，利用勾股定理求解 练习41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为________．2．如图，P 是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 各有一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，•求∠PCQ ．例5 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边Array的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值．分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC，则△ABP≌△DBC．∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD是等边三角形，AD=AB=3．在△ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC≤5，•即AP≤5．……①在△ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1，•即AP≥1．……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习51．如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，•求△EFC的面积．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，∠ADB>∠ADC．试证明：•CD>BD．答案:练习11．解：将BD平移到CE交AD延长线于点E，则四边形BDEC为平行四边形∴DE=BC，CE=BD，S△BCD=S△CDE∵△ABC与△DBC同底等高，∴S△ABC = S△BCD = S△CDE∵S梯形ABCD= S△ABC + S△ACD = S△CDE + S△ACD = S△ACE．又=∴△ACE为直角三角形，∠ACE=90°．∴S梯形ABCD= S△ACE =12·AC·CE=32．2．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c），宽（a-c）的空白长方形，其面积为（b-c）（a-c）=ab-bc-ac+c2．3．解：将EF平移为BG，BF平移为FG，作∠CFG的角平分线交BC于D，连结DG，•则由平移知四边形BEFG是平行四边形．∴EF=BG，BE=FG．∵BE=CF，∴FG=CF．∵∠1=∠2，FD=FD．∴△FGD≌△FCD（SAS）．∴DG=CD．在△BGD中，∵BG<BD+DG，∴EF<BC．练习21．解：过E、F、G、H分别平移AD、AB，交点分别为P、Q、R、T，则四边形PQRT•为矩形．设正方形边长为a，PQ=b，PT=c，由勾股定理得b=∵S△AEH =S△TEH，S △BEF =S △PEF ， S △CFG =S △QFG ， S △DGH =S △RGH 则S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ∴a 2+b·c=10． 即a 2=10．∴5a 2=44，a 2=445． ∴S 正方形ABCD =445．2．解：把MC 平移，使点M 至A 点，过A 作MC 的平行线，过点C 作AB 的平行线，•两线交于点D ，则MC=AD ． ∠APM=∠NPC=∠NAD ……① ∵BM=NC ，CD=AM=BC ， ∠DCN=∠CBM=90°， ∴△DCN ≌△CBM ．从而DN=MC ，∴DN=DA ……② ∴∠CMB=∠DNC ．∵∠BCM+∠DMB=90°， ∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC ∥AD ． ∴ND ⊥AD ．……③ 由①，②，③得∠APM=45°．3．解：六个角都相等且都等于120°．将AB 沿着BC 平移到QC ，CD 沿着DE 平移到ER ， EF 沿着FA 平移到AP ，∵AB ∥ED ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，∴AB=QC ，BC=AQ ，CD=ER ，DE=CR ，EF=AP ，FA=PE ． ∵AB-ED=CD-AF=EF-BC ， ∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ ．即PQ=PR=QR ．∴∠1=∠2=∠3=60°．由平行线性质知：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°． 练习31．解：将△BAM 绕B 点旋转90°，A 点变为C 点，M 点变为P 点，连结MP ， 则△BAM ≌△BCP ．∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB ． ∵BM=BP ，∴∠NMP=∠NPM ． ∴MN=NP=NC+CP=NC+AM ．设AB=1，AM=x ，在Rt △MND 中，则有12∴x=13． 即AM AB =13．2．解：将△ABP 绕B 点顺时针旋转60°得△BCP ′，连结PP ′， 则△ABP ≌△CBP ′． ∴AP=P ′C ，BP=BP ′， ∠APB=∠CP ′B ． ∵∠PBP ′=60°，∴△BPP ′是等边三角形．∴PP ′=BP ，∠BPP ′=60°=∠BP ′P ． ∵∠APB ：∠BPC ：∠CAP=5：6：7， 又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°， ∴∠1=120°-60°=60°， ∠2=100°-60°=40°，∠PCP ′=180°-60°-40°=80°．由PA=P ′C ，PP ′=PB ， ∴△PP ′C 是由PA 、PB 、PC 组成的三角形． ∴三内角之比为2：3：4．3．解：将△ABH 绕A 点旋转90°得△ADP ， 则△ABH ≌△ADP ．∴∠APD=∠AHB=90°， AH=AP ．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°． ∴四边形AHCP 是正方形． ∵AH=1，∴S 正方形AHCP =1=S 四边形AHCD +S △ADP ． S 四边形ABCD =S 四边形AHCD +S △ABH ． 又∵S △AOP =S △ABH ．∴S 四边形ABCD =S 正方形AHCP =1． 练习41．解：如图，以A 为中心将△ACP 绕A 顺时针旋转60°，则C 与B 重合，P 与P ′重合，连结AP ′，BP ′，PP ′则AP ′=AP ，BP ′=CP ，∠PAP ′=60°． ∴△APP ′是等边三角形，PP ′=3．△BPP ′中，BP=4，PP ′=3，BP ′=CP=5．由32+42=52．∴△BPP ′为直角三角形，∠BPP ′=90°． ∴∠BPA=150°．过B 作BE ⊥AP ，交AP 延长线于E ． ∵∠EPB=180°-150°=30°，在Rt △BEP 中，BP=4，BE=2，Rt △ABE 中，BE=2，，AB 2=22+（）22．解：将△ABP 绕B 点旋转90°，得△CBP ′，连结PP ′，则△ABP ≌△CBP ′． ∴PB=BP ′=2，AP=P ′C=1，∠APB=∠CP ′B ． 在Rt △PBP ′中，BP=BP ′=2， ∴PP ′BP ′P=45°．在△PP ′C 中，PC=3，P ′C=1，PP ′．有PC 2=P ′C 2+P ′P 2，∴△PP ′C 是直角三角形， ∠PP ′C=90°．∴∠APB=∠CP ′B=∠BP ′P+∠PP ′C=135°．3．解：将△CDQ 绕C 点旋转90°，得△CBM ，则△CDO ≌△CBM ，∠QCM=90°． ∵∠D=90°，∠CBA=90°， ∴P 、B 、M 在一条直线上．∵QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2， ∴QP=DQ+BP ．∵BM=DQ ，PM=PB+BM ， ∴QP=PM ．又CP=CP ，CQ=CM ． ∴△CQP ≌△CMP ． ∴∠QCP=∠PCM ．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900∴∠PCQ=45°． 练习51．解：把△ADF 绕A 点旋转到△ABD ′的位置． ∵∠D 和∠ABC 均为直角，∴D ′、B 、E 三点在一条直线上， ∵∠EAF=45°，∴∠D ′AE=45°． 在△AD ′E 和△AEF 中，AD ′=AF ，AE=AE ，∠D ′AE=∠EAF ， ∴△AD ′E ≌△AFE ．∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC．∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×12×8×7=8．2．解：将△ADC绕D点旋转180°得△BDE．∵BD=CD．∴C与B重合，设A落到E处，显然A、D、E共线．在△ABE中，BE=AC=13，AB=5，AE=2AD=12．则有132=122+52．∴△ABE为直角三角形，∠BAE=90°．在Rt△ABD中，AB=5，AD=6，则有∴．3．证明：将△ABD绕A点旋转∠BAC的度数，得△ACE，连结DE．由于AB=AC．∴B与C重合，则△ABD≌△ACE．∵AD=AE，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠ADB>∠ADC．∴∠4>∠3，∴CE<DC．∵BD=CE，∴CD>BD．。
图形的位置变化——平移和旋转提高培优
平移和旋转提高培优一、平移图形平移前后具有以下特征（性质）：（1）平移不改变图形的________,_______,改变的只是图形的_______.因此，平移前后的两个图形全等.（2）平移前后两个图形的对应点的连线_____________或者_______（3）对应线段_________且相等，（4）对应角_______.注意:如右图所示，在平移过程中，对应线段及对应点所连的线段也可能在一条直线上．（一）平移的性质1．如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是cm．2．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6，则阴影部分的面积．3．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，如果四边形ABFD的周长是28cm，则△ABC的周长是cm．4．如图，已知△ABC的面积为S，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△AEF，则四边形CEFB的面积为．5．如图所示，将直角三角形ABC沿BC方向平移4cm，得到直角三角形DEF，连接AD，若AB=5cm，则图中阴影部分的面积为．6．如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为．7．如图，将直角∠C=90°的三角形ABC沿着射线BC方向平移10cm，得三角形A′B′C′，已知BC=4cm，AC=8cm，则阴影部分的面积为cm2．8．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为．9.如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A’B，若AB=a，则A’B的长为；（二）平移与坐标1．在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，△ABC中任意一点P（x0，y0）经过平移后对应点为P′（x0+7，y0+2），若A′的坐标为（5，3），则它的对应的点A的坐标为．2．线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣2，5）的对应点为C（3，7），则点B（﹣3，0）的对应点D的坐标为．3．△ABC的三个顶点A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，3），将△ABC平移，使A与A′（﹣1，﹣2）重合，则B′、C′两点的坐标分别为、．4．将点P（m+2，2m+4）向右平移1个单位长度到点Q，且点Q在y轴上，那么点P的坐标是．5．如图，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（3，0），（0，2），将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为．6．如图，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形ABDC的面积为9，则D点坐标为．7．如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点均在格点上，其位置如图所示．现将△ABC 沿AA′的方向平移，使得点A 移至图中的点A′的位置，写出平移过程中线段AB 扫过的面积 ．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,3），△OAB 沿x 轴向右平移后得到B A O '''∆，点A 的对应点在直线x y 43=上一点，则点B 与其对应点B '的距离是二、旋转1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，Rt △AB′C′可以看作是由Rt △ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C 的长为_________ ．2．如图，平面直角坐标系中，A （4，2）、B （3，0），将△ABO 绕OA 中点C 逆时针旋转90°得到△A ′B ′O ′，则A ′的坐标为 _________ ．3．如图，将△ABC 绕顶点A 顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC 的中点，则C′D ：DB′=（ ）A ．1：2B ．1：2C ．1：D ．1：34．如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S 四边形AOBO′=6+4．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④5．如图，边长为2的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB ′C ′D ′，边B ′C ′与DC 交于点O ，则四边形AB ′OD 的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．2+6．如图，坐标系中，四边形OABC 与CDEF 都是正方形，OA=2，M ，D 分别是AB ，BC 的中点，当把正方形CDEF 绕点C 旋转某个角度后，如果点F 的对应点为F′，且O F′=OM ．则点F′的坐标是 ．7．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC ，设CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为 ，△ADF 是等腰三角形．8．如图，在Rt △ABC 中，AC=4，BC=，将Rt △ABC 以点A 为中心，逆时针旋转60°得到△ADE ，则线段BE 的长度为 ．9．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4，将△ABC △绕点A 顺时针旋转60°，得到△ADE ，连结BE ，则BE 的长为 ．10题图9题图10.如图，△ABC 和△DEF 是直角边长为a 的两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）求证：∠BPE=∠QEC ；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，并求当∠BEP=30°时，求EQ 的长 （用含a 的代数式表示）．11.如图，把一副三角板如图甲放置，其中90A C B D E C ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6c m A B =，7cm D C =，把三角板D C E 绕点C 顺时针旋转15得到D C E ''△如图乙．这时A B 与C D '相交于点O ，D E ''与A B 相交于点F ．（1）求O F E '∠的度数；（2）求线段A D '的长；（3）若把三角形D C E ''绕着点C 顺时针再旋转30得D C E ''''△，这时点B 在D C E ''''△的内部、外部、还是边上？证明你的判断。
培优专题5 平移与旋转 (含解答)-(改后)
培优专题5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径． 平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的． 例1 如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 边上两点，BD=CE ，试说明AB+AC>AD+AE ．分析 利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和． 练习11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD+BC=3，，求此梯形的面积．2．如图，长方形花园ABCD 中，AB=a ，AD=b ，花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条平行四边形道路RSTK ，若LM=RS=c ，求花园中可绿化部分的面积．3．如图，△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且BE=CF ，试说明EF<BC ．例2 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，M 是AB 的中点， ∠PMQ=90°，请说明PQ 2=•AP 2+BQ 2．分析 本题中PQ 、AP 、BQ 不在同一个三角形中，•如果将它们平移，•使PQ 、BQ 分别转化为PD 、AD ，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解．练习21．如图，EFGH是正方形ABCD 的内接四边形，∠BEG 与∠CFH都是锐角，•已知EG=3，FH=4，四边形EFGH 的面积为5，求正方形ABCD 的面积．2．如图，△ABC 中，∠B=90°，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，AN 、CM•交于点P ，•若BC=AM ，BM=CN ，求∠APM 的度数．3．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF 的六个角是否都相等．例3 如图，在正方形ABCD 的边BC 和CD 上分别取点M 和点K ，并且∠BAM=∠MAK ．求证：BM+KD=KA ．分析 把Rt △BAM 绕点A 顺时针旋转90°到△ADM ′，使BM 与DN 拼成一条线段的KM ′，只要证明KM ′=KA 即可． 练习31．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D•的点，•且∠NMB=∠MBC ，求AMAB的值．2．如图，P 是等边△ABC 内一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比为5：6：7，•求以PA 、PB 、PC 之比为边的三角形三内角之比（从小到大）．3．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=∠BCD=90°，AH ⊥BC ，且AH=1，•求四边形ABCD 的面积．例4 如图，在等腰三角形ABC 中，∠CAB=90°，P 是△ABC 内一点，且PA=1，PB=3，APC 的度数．分析 本题将△BAP 绕点A 旋转90°，得到△CAQ ，构造直角三角形，利用勾股定理求解 练习41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为________．2．如图，P 是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 各有一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，•求∠PCQ ．例5 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边Array的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值．分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC，则△ABP≌△DBC．∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD是等边三角形，AD=AB=3．在△ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC≤5，•即AP≤5．……①在△ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1，•即AP≥1．……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习51．如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，•求△EFC的面积．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，∠ADB>∠ADC．试证明：•CD>BD．答案:练习11．解：将BD平移到CE交AD延长线于点E，则四边形BDEC为平行四边形∴DE=BC，CE=BD，S△BCD=S△CDE∵△ABC与△DBC同底等高，∴S△ABC = S△BCD = S△CDE∵S梯形ABCD= S△ABC + S△ACD = S△CDE + S△ACD = S△ACE．又=∴△ACE为直角三角形，∠ACE=90°．∴S梯形ABCD= S△ACE =12·AC·CE=322．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c），宽（a-c）的空白长方形，其面积为（b-c）（a-c）=ab-bc-ac+c2．3．解：将EF平移为BG，BF平移为FG，作∠CFG的角平分线交BC于D，连结DG，•则由平移知四边形BEFG是平行四边形．∴EF=BG，BE=FG．∵BE=CF，∴FG=CF．∵∠1=∠2，FD=FD．∴△FGD≌△FCD（SAS）．∴DG=CD．在△BGD中，∵BG<BD+DG，∴EF<BC．练习21．解：过E、F、G、H分别平移AD、AB，交点分别为P、Q、R、T，则四边形PQRT•为矩形．设正方形边长为a，PQ=b，PT=c，由勾股定理得∵S△AEH =S△TEH，S△BEF =S△PEF，S△CFG=S△QFG，S△DGH =S△RGH 则S正方形ABCD+S矩形PQRT=2S四边形EFGH∴a2+b·c=10．即a2．∴5a2=44，a2=445．∴S正方形ABCD=445．2．解：把MC平移，使点M至A点，过A作MC的平行线，过点C作AB的平行线，•两线交于点D，则MC=AD．∠APM=∠NPC=∠NAD……①∵BM=NC，CD=AM=BC，∠DCN=∠CBM=90°，∴△DCN≌△CBM．从而DN=MC，∴DN=DA……②∴∠CMB=∠DNC．∵∠BCM+∠DMB=90°，∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC∥AD．∴ND⊥AD．……③由①，②，③得∠APM=45°．3．解：六个角都相等且都等于120°．将AB沿着BC平移到QC，CD沿着DE平移到ER，EF沿着FA平移到AP，∵AB∥ED，BC∥EF，CD∥AF，∴AB=QC，BC=AQ，CD=ER，DE=CR，EF=AP，FA=PE．∵AB-ED=CD-AF=EF-BC，∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ．即PQ=PR=QR．∴∠1=∠2=∠3=60°．由平行线性质知：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°．练习31．解：将△BAM绕B点旋转90°，A点变为C点，M点变为P点，连结MP，则△BAM≌△BCP．∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB．∵BM=BP，∴∠NMP=∠NPM．∴MN=NP=NC+CP=NC+AM．设AB=1，AM=x，在Rt△MND中，则有1 2∴x=13．即AM AB =13． 2．解：将△ABP 绕B 点顺时针旋转60°得△BCP ′，连结PP ′， 则△ABP ≌△CBP ′． ∴AP=P ′C ，BP=BP ′， ∠APB=∠CP ′B ． ∵∠PBP ′=60°，∴△BPP ′是等边三角形．∴PP ′=BP ，∠BPP ′=60°=∠BP ′P ． ∵∠APB ：∠BPC ：∠CAP=5：6：7， 又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°， ∴∠1=120°-60°=60°， ∠2=100°-60°=40°，∠PCP ′=180°-60°-40°=80°．由PA=P ′C ，PP ′=PB ， ∴△PP ′C 是由PA 、PB 、PC 组成的三角形． ∴三内角之比为2：3：4．3．解：将△ABH 绕A 点旋转90°得△ADP ， 则△ABH ≌△ADP ．∴∠APD=∠AHB=90°， AH=AP ．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°． ∴四边形AHCP 是正方形． ∵AH=1，∴S 正方形AHCP =1=S 四边形AHCD +S △ADP ． S 四边形ABCD =S 四边形AHCD +S △ABH ． 又∵S △AOP =S △ABH ．∴S 四边形ABCD =S 正方形AHCP =1． 练习41．解：如图，以A 为中心将△ACP 绕A 顺时针旋转60°，则C 与B 重合，P 与P ′重合，连结AP ′，BP ′，PP ′则AP ′=AP ，BP ′=CP ，∠PAP ′=60°． ∴△APP ′是等边三角形，PP ′=3．△BPP ′中，BP=4，PP ′=3，BP ′=CP=5．由32+42=52．∴△BPP ′为直角三角形，∠BPP ′=90°． ∴∠BPA=150°．过B 作BE ⊥AP ，交AP 延长线于E ． ∵∠EPB=180°-150°=30°，在Rt△BEP中，BP=4，BE=2，Rt△ABE中，BE=2，，AB2=22+（）22．解：将△ABP绕B点旋转90°，得△CBP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴PB=BP′=2，AP=P′C=1，∠APB=∠CP′B．在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴PP′BP′P=45°．在△PP′C中，PC=3，P′C=1，PP′有PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°．∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=135°．3．解：将△CDQ绕C点旋转90°，得△CBM，则△CDO≌△CBM，∠QCM=90°．∵∠D=90°，∠CBA=90°，∴P、B、M在一条直线上．∵QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2，∴QP=DQ+BP．∵BM=DQ，PM=PB+BM，∴QP=PM．又CP=CP，CQ=CM．∴△CQP≌△CMP．∴∠QCP=∠PCM．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900∴∠PCQ=45°．练习51．解：把△ADF绕A点旋转到△ABD′的位置．∵∠D和∠ABC均为直角，∴D′、B、E三点在一条直线上，∵∠EAF=45°，∴∠D′AE=45°．在△AD′E和△AEF中，AD′=AF，AE=AE，∠D′AE=∠EAF，∴△AD′E≌△AFE．∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC．∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×12×8×7=8．2．解：将△ADC绕D点旋转180°得△BDE．∵BD=CD．∴C与B重合，设A落到E处，显然A、D、E共线．在△ABE中，BE=AC=13，AB=5，AE=2AD=12．则有132=122+52．∴△ABE为直角三角形，∠BAE=90°．在Rt△ABD中，AB=5，AD=6，则有∴．3．证明：将△ABD绕A点旋转∠BAC的度数，得△ACE，连结DE．由于AB=AC．∴B与C重合，则△ABD≌△ACE．∵AD=AE，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠ADB>∠ADC．∴∠4>∠3，∴CE<DC．∵BD=CE，∴CD>BD．。
人教【数学】培优旋转辅导专题训练附详细答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图l，在AABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点.(1)连接PB，PC，将ABCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.【答案】（1）①补图见解析；②；（2）【解析】（1）①连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN，根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，；（2）证明：如图所示，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小由旋转可得，△AMN≌△APB，∴PB=MN易得△APM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，∴∠CBN=90°在Rt△ABC中，易得∴在Rt△BCN中，“点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.2．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA ＝OB ＝2，OC ＝OD ＝1，固定等边△AOB 不动，让扇形COD 绕点O 逆时针旋转，线段AC 、BD 也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°） （1）当OC ∥AB 时，旋转角α＝ 度；发现：（2）线段AC 与BD 有何数量关系，请仅就图2给出证明． 应用：（3）当A 、C 、D 三点共线时，求BD 的长．拓展：（4）P 是线段AB 上任意一点，在扇形COD 的旋转过程中，请直接写出线段PC 的最大值与最小值．【答案】（1）60或240；(2) AC=BD ，理由见解析；（313+1131-4）PC 的最大值=3，PC 的最小值31． 【解析】分析：（1）如图1中，易知当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°．（2）结论：AC =BD ．只要证明△AOC ≌△BOD 即可． （3）在图3、图4中，分别求解即可．（4）如图5中，由题意，点C 在以O 为圆心，1为半径的⊙O 上运动，过点O 作OH ⊥AB 于H ，直线OH 交⊙O 于C ′、C ″，线段CB 的长即为PC 的最大值，线段C ″H 的长即为PC 的最小值．易知PC 的最大值=3，PC 的最小值31．详解：（1）如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠AOB =∠COD =60°，∴当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°． 故答案为60或240；（2）结论：AC =BD ，理由如下：如图2中，∵∠COD =∠AOB =60°，∴∠COA =∠DOB ．在△AOC 和△BOD 中，OA OBCOA DOB CO OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD ，∴AC =BD ；（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=12，OH=32．在Rt△AOH中，AH=22OA OH-=132，∴BD=AC=CH+AH=1132+．如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．易知AC=BD=AH﹣CH=131-．综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为1312+或1312-；（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．3．（12分）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN 的周长的最大值．【答案】(1) 等边三角形；(2) △PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；（3）6【解析】分析：（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则BD=CE，再根据三角形中位线性质得PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，从而得到PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；（2）连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，则计算出∠BPM+∠CPN=120°，从而得到∠MPN=60°，于是可判断△PMN为等边三角形．（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为4，则PN的最大值为2，然后可确定△PMN的周长的最大值．详解：（1）如图1．∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．∵AD=AE，∴BD=CE．∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，∴PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；故答案为等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2．∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．（3）∵PN=12BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质．4．如图1．在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，AB＋BP＝9，CE＝33，求AB的长．（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC＝4，AB＝8时，根据此图求PA＋PB＋PC的最小值．【答案】⑴①见解析，②AB ＝6；⑵47. 【解析】分析：（1）①根据题意补全图形即可；②连接BD 、CD ．根据平移的性质和∠ACB ＝90°，得到四边形BCAD 是矩形，从而有CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝DE ＝9x -， 由勾股定理求解即可；（2）当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．由旋转的性质和勾股定理求解即可．详解：（1）①补全图形如图所示；②如图：连接BD 、CD ．∵△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE ， ∴BC ∥AD 且BC ＝AD ，PB ＝DE ． ∵∠ACB ＝90°，∴四边形BCAD 是矩形，∴CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝9x -， DE ＝BP ＝9x -，∵BP ⊥CE ，BP ∥DE ，∴DE ⊥CE ， ∴222CE DE CD +=，∴()()222339x x +-=，∴6x =，即AB ＝6；（2）如图，当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．由旋转可得：△AMN ≌△APB ，∴PB ＝MN ． 易得△APM 、△ABN 都是等边三角形，∴PA ＝PM ， ∴PA ＋PB ＋PC ＝PM ＋MN ＋PC ＝CN ， ∴BN ＝AB ＝8，∠BNA ＝60°，∠PAM ＝60°， ∴∠CAN ＝∠CAB ＋∠BAN ＝60°＋60°＝120°， ∴∠CBN ＝90°．在Rt △ABC 中，易得：22228443BC AB AC --=∴在Rt△BCN中，22486447CN BC BN=+=+=．点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB=，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．【答案】（1）10，102；（2）（33，9）；（3）12354 55（，）【解析】试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．试题解析：(1)、如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+，∴O′点的坐标为（）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=kx+b，把O′（），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线O′C的解析式为y=x﹣3，当y=0时，x﹣3=0，解得x=，则P（，0），∴OP=，∴O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，∴O′D=O′P′=，P′D=，∴DH=O′H﹣O′，∴P′点的坐标为（，）．考点：几何变换综合题6．如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E．（1）求证：△ACF≌△CBE；（2）将直线旋转到如图2所示位置，点D是AB的中点，连接DE．若AB=42，∠CBE=30°，求DE的长．【答案】（1）答案见解析；（226+【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF，即可得到结论；（2）连接CD，DF，证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF2DE，EF=CE+BE，进而得到DE的长．试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△ACF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBE（AAS）；（2）如图2，连接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△CAF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CAF（AAS）；∴BE=CF．∵点D是AB的中点，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE与△CDF中，∵BE CFEBD FCDBD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF2DE，∴EF=CE+CF=CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB2∴BC=4．又∵∠CBE=30°，∴CE=12BC=2，BE3CE3∴EF=CE+BE3∴DE223226．点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．7．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题8．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+=32m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+362246EHEB m==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，9．如图1，O为直线AB上一点，OC为射线，∠AOC＝40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OA上，另一边OE与OC都在直线AB的上方．（1）将三角板绕点O顺时针旋转，若OD恰好平分∠AOC（如图2），试说明OE平分∠BOC；（2）将三角板绕点O在直线AB上方顺时针旋转，当OD落在∠BOC内部，且∠COD＝1∠BOE时，求∠AOE的度数：3（3）将图1中的三角板和射线OC同时绕点O，分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，OD恰好与OC在同一条直线上？【答案】（1）证明见解析；（2）142.5°；（3）第10秒或第55秒时.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质及同角的余角相等，可得答案；（2）设∠COD＝α，则∠BOE＝3α，由题意得关于α的方程，求解即可；（3）分两种情况考虑：当OD与OC重合时；当OD与OC的反向延长线重合时．【详解】解：（1）∵OD恰好平分∠AOC∴∠AOD＝∠COD∵∠DOE＝90°∴∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠COE＝90°∴∠BOE＝∠COE∴OE平分∠BOC．（2）设∠COD＝α，则∠BOE＝3α，当OD在∠BOC的内部时，∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+α∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣90°＝90°∴40°+α+3α＝90°∴α＝12.5°∴∠AOE＝180°﹣3α＝142.5°∴∠AOE的度数为142.5°．（3）设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则∠AOD＝6t，∠AOC＝2t+40°；当OD与OC重合时，6t﹣2t＝40°∴t＝10（秒）；当OD与OC的反向延长线重合时，6t﹣2t＝180°+40°∴t＝55（秒）∴第10秒或第55秒时，OD恰好与OC在同一条直线上．【点睛】本题主要考查角平分线的性质、余角的性质，角度的计算，进行分类讨论不漏解是关键.10．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．【答案】（1）BE=DF；（2）四边形BC1DA是菱形．【解析】【分析】（1）由AB=BC得到∠A=∠C，再根据旋转的性质得AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE=BF（2）根据等腰三角形的性质得∠A=∠C=30°，利用旋转的性质得∠A1=∠C1=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB=BC1可判断四边形BC1DA是菱形．【详解】（1）解：BE=DF．理由如下：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，∴AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，在△ABE和△C1BF中，∴△ABE≌△C1BF，∴BE=BF（2）解：四边形BC1DA是菱形．理由如下：∵AB=BC=2，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∴∠A1=∠C1=30°，∵∠ABA1=∠CBC1=30°，∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，∴A1C1∥AB，AC∥BC1，∴四边形BC1DA是平行四边形．又∵AB=BC1，∴四边形BC1DA是菱形【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．。
苏教版四年级下册同步奥数培优 第一讲 平移、旋转和轴对称(综合运用)
苏教版四年级下册同步奥数培优第一讲平移、旋转和轴对称（综合运用）【知识概述】我们已经会在方格图上把一个图形进行平移和旋转，也能够在平面图上画出一个轴对称图形对称轴另一边的图形，在这一讲里，我们将这些知识进行综合运用，探究图形运动中的奥秘。
例1：说一说，图形A是怎样运动到图形B的位置上的?练习一：1.说一说图形A是怎样运动到图形B的位置上的?2.说一说图形A是怎样运动到图形B的位置上的?3.说一说图形A是怎样运动到图形B的位置上的?例2：把下图绕O点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
练习二：把下面图形按顺时针方向旋转90°。
1.2.3.例3:画出轴对称图形的另一半。
练习三：画出轴对称图形的另一半。
1.2.3.例4：从镜子里看到的三角形是什么形状?在正确的图形上画“√”。
练习四：1.一个挂钟钟面上没有数字，小明从镜子中看是6时半，你知道钟面是几时几分吗?2.下图是从镜子中看到的一串数字，这串数字应为( ）。
3.把镜子放在虚线上，看整个图形是什么?画出另一半。
练习卷1.先看图，再判断。
(1)由图A绕O点顺时针旋转90，可以得到图B。
（）(2)由图B绕O点顺时针旋转90°，可以得到图A。
（）(3)由图A绕O点逆时针旋转90，可以得到图B。
（）(4)由图B绕O点逆时针旋转90°，可以得到图A。
（）2.画出三角形ABO绕O点逆时针旋转90°得到的图形。
3.画出对称轴另一边的图形。
4.下面是镜子中的时间，请画出现实的时间。
5.请在正确图形下面的里画“√”。
走进重高培优讲义专题集训 初中综合教练 第21讲 图形的对称、平移和旋转
第21讲 图形的对称、平移和旋转1．了解轴对称图形和图形成轴对称的概念，知道线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形；了解平移、旋转的概念，掌握平移变换、旋转变换的基本性质，能按要求作出简单平面图形平移后的图形．2．掌握中心对称的概念，会判断一些基本图形的中心对称性，理解中心对称与旋转变换的区别．3．探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），能灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．1．判断轴对称图形以及图形成轴对称的条件，首先要掌握概念，然后认真观察、分析图形，必要时应动手操作．与轴对称有关的作图，首先要明确轴对称的基本性质，掌握画轴对称图形的一般方法和步骤，作图要认真细致．2．平移变换、旋转变换、中心对称图形的概念比较抽象，平移、旋转的特征和性质也不容易记忆，要弄清基本概念，并结合图形，准确理解相关变换和对称性的基本特征．3．平移、旋转变换以及中心对称都是全等变换，变换前后图形的全等性是解决问题的重要依据，同时要注意平移和旋转变换的要素，在进行综合应用时既要注意各种变换的基本要素，又要注意各种变换之间的联系．例1 【张家界】下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )．【参考答案】C【方法归纳】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180。
后与原图形重合．【误区提醒】注意中心对称图形是旋转180。
后可与原图形重合，B ，D 选项的两个图形可以旋转一定的角度与原图形重合，但不是中心对称图形．例2 如图1，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且,//BC DE 下列结论：①△BDF 是等腰三角形；②;21BC DE =③四边形ADFE 是菱形；④.2A FEC BDF ∠=∠+∠其中一定正确的个数是( )．图1 图21.A2.B3.C4.D【参考答案】C【方法归纳】轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．轴对称图形的性质：(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分．(2)对应线段相等、对应角相等，对应的图形是全等图形．【误区提醒】折纸问题是近年来中考中的热点问题，本题巧妙地运用平行线性质、折叠全等性质得到三角形中位线，如果能顺利地判断出这一点，其他问题就将迎刃而解，在解题时不要受给出的图形影响，如△ABC 像是等腰三角形，就认为△ABC 就是等腰三角形，那样的话四边形ADFE 就是菱形了，造成判断上的错误．此外，轴对称图形是指一个图形，而轴对称变换是指两个图形之间的关系，例3 如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若,4 BC 则△ABC 移动的距离是________.【方法归纳】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，由平移可得到线段的平行关系，从而得到△.ABC 与阴影部分为相似三角形．【误区提醒】平移变换中的平移距离等于对应点之间线段的长度，即图中的BE 或CF ，而不是EC.例4 如图1，将矩形ABCD 尧点A 按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG ，点E 正好落在边CD 上，连接BE ，BG ，且BG 交AE 千点P ．(1)求证：.21BAE CBE ∠=∠ (2)求证：.2PB BG = (3)若,3,41==BC AB 直接写出BG 的长.图1【方法归纳】本题考查勾股定理、矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定等知识，主要考查学生综合运行定理进行推理的能力，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．【误区提醒】旋转变换的三个要素：(1)旋转中心．(2)旋转方向．(3)旋转角度，描述旋转变换时三要素缺一不可，特别要关注旋转角度，旋转变换前后图形对应线段所在直线的夹角都等于旋转角度，例5如图，在矩形纸片ABCD 中，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP>AM ），点A 和点B 都与点E 重合；再将△coD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上的点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）(2)如果,53sin ,1=∠=DMF AM 求AB 的长．【方法归纳】本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，图形的折叠是对称变换，是一种全等变换，【误区提醒】折叠问题要注意找正确边角的等量关系，本题求AB 的长时，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边并列比例式，例 【临沂】数学课上，张老师提出了问题：如图1，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，若=∠ACB ,60 =∠=∠=∠ADB ABD ACD 则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到点E ，使BE - CD ，连接AE ，证得△ABE ≌ △ADC ，从而容易证明△ACE 是等边三角形，故=AC ,CE 所以.CD BC AC +=小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC 绕着点A 按逆时针方向旋转,60o使AB 与AD 重合，从而容易证明△ACF 是等边三角形，故,CF AC =所以AC .CD BC +=在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图4，如果把“ACB ACD ∠=∠=60?ABD ADB ∠=∠=改为“ACB ACD ∠=∠= 045?，ABD ADB ∠=∠=其他条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．(2)小华提出：如图5，如果把“ACB ACD ∠=∠=ABD ADB ∠=∠=60”改为“=∠=∠ACD ACB ”,ABD ADB α∠=∠=其他条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.图1 图2 图3图4 图5【方法归纳】本题是几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定、四边形的内角和、等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是利用旋转变换构造全等三角形，是一道综合性较强的题目.1．下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中属于中心对称图形的是( )．2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，将线段OA 绕原点0按逆时针方向旋转 90得到,OA 则点/A 的坐标是( )．)3,4.(-A )4,3.(-B )4,3.(-c )3,4.(-D3．【宜宾】如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到///AB C ∆的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若/AA ,1=则/A D 等于( )．2.A3.B 32.C 23.D4．【新疆】如图，P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是( ) 21.A 1.B2.C 2.D5．将抛物线122--=x y 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有3个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为( )． 23.A 个单位 B ．1个单位 21.C 个单位 ⋅2.D 个单位6．【德州】如图，等边三角形ABC 的边长为4，0是△ABC 的中心，120,FOG ∠=绕点0旋转∠FOG ，分别交线段AB ，BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD=OE;②;ODE BDE s s ∆∆=③四边形ODBE 的面积始终等于 ;334④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )． 1.A 2.B 3.C 4.D7．如图，将△ABC 沿BC 方向平移2 cm 得到△DEF，若△ABC 的周长为16 cm ，则四边形ABFD 的周长为 ______ ．8．【曲靖】如图，图形①②③均是以0p 为圆心、1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北、正南、西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为,,,321p p p 第二次移动后图形①②③的圆心依次为 654,,p p p 依此规律，=20180p p ________个单位长度．9．【福州】如图，在Rt△ABC 中，ABC ∠,2,90===BC AB 将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转,60 得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是________．10.【盘锦】如图，已知Rt △ABC 中，B ∠,432,60,90+==∠=AC A 点M ，N 分别在线段AC ，AB 上，将△ANM 沿直线MN 折叠，使点A 的对应点D 恰好落在线段BC 上，当△DCM 为直角三角形时，折痕MN 的长为_______．11.图1、图2均为7×6的正方形网格，A ，B ，C 在格点（小正方形的顶点）上．(1)在图1中确定格点D ，并画出一个以A ，B ，C,D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形．(2)在图2中确定格点E ，并画出一个以A ，B ，C ，E 为顶点的四边形，使其为中心对称图形．图1 图212.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作FG∥CD， 交AE 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形DEFG 为菱形．(2)若,4,8==CF CD 求DECE 的值．13.如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，,90 =∠=∠EDF BAC △DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q.(1)如图1，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPF≌△CQE．(2)如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ;并求当a CQ a BP 29,==时，P ，Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．图1 图214．【德州】再读教材：宽与长的比是215-(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2）第一步：在矩形纸片一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．图1 图2 图3 图4第三步：折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图3中的AD 处．第四步：展平纸片，按照所得的点D 折出DE ，使DEIND ，则图4中就会出现黄金矩形．问题解决：(1)图3中AB=___________（保留根号）．(2)如图3，判断四边形BADQ 的形状，并说明理由．(3)请写出图4中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由.实际操作：(4)结合图4，请在矩形BCDE 中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．1．【苏州】下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )．2．【海南】如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第一象限，点A 的坐标是(4，3)，把△ABC 向左平移6个单位长度，得到,111C B A ∆则点1B 的坐标是( )．)3,2.(-A )1,3.(-B )1,3.(-C )2,5.(-D3．【大连】如图，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转,α得到△EBD ，若点A 恰好在ED 的延长线上，则∠CAD 的度数为( )．α- 90.A α.B α- 180.C α2.D（第3题） （第4题）4．【烟台】如图是对角线长分别为6和8的菱形ABCD ，0为对角线的交点，过点0折叠菱形，使/,B B 两点重合，MN 是折痕，若/1,B M =则CN 的长为( )．7.A 6.B 5.C 4.D 5．【武汉】如图，在⊙0中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D.若⊙0的半径为,4,5=AB 则BC 的长是( )．32.A 23.B .2C 265.D（第5题） （第6题）6．【淄博】如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为( )．43259.+A 23259.+B 32518.+C 232518.+D 7．【南京】在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（-1，2），作点A 关于y 轴的对称点，得到点,/A 再将点/A 向下平移4个单位，得到点//,A 则点//A 的坐标是(_______,________).8．【重庆】如图，把三角形纸片折叠，使点B ，C 都与点A 重合，折痕分别为DE ，FG ，得到30若AGE AE EG ∠=== ,32cm 则△ABC 的边BC 的长为_________.cm（第8题） （第9题）9．【镇江】如图，在△ABC 中，,//,6AC DE AB =将△BDE 绕点B 按顺时针方向旋转得到//,BDE ∆点D 的对应点/D 落在边BC 上．已知,4,5==DC BE 则BC 的长为________.10.【乌鲁木齐】如图，在Rt△ABC 中，==∠BC C ,90 D AC ,2,32=是BC 的中点，E 是AB 边上一动点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到/B DE ∆的位置，/B D 交AB 于点F ．若/AB F ∆为直角三角形，则AE 的长为_________11．【眉山】在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A ，C 的坐标分别是（-4，6），(-1，4).(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系．(2)请画出△ABC 关于x 轴对称的⋅∆111C B A(3)请在y 轴上求作一点P ，使1PB C ∆的周长最小，并写出点P 的坐标．12．【绥化】如图，在Rt△ABC 中，BC AC C ,3,90==∠E D ,,4=分别是斜边AB 、直角边BC 上的点，把△ABC 沿着直线DE 折叠．(1)如图1，当折叠后点B 和点A 重合时，用直尺和圆规作出直线DE.（不写作法和证明，保留作图痕迹）(2)如图2，当折叠后点B 落在AC 边上点P 处，且四边形PEBD 是菱形时，求折痕DE 的长.图1 图213.【南充】如图，在矩形ABCD 中．AC= 2AB ，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形///,AB C D 使点B 的对应点/B 落在AC 上，//B C 交AD 于点E ，在//B C 上取点F ，使/.B F AB =(1)求证：/.AE C E =(2)求FBB ∠的度数．(3)已知,2=AB 求BF 的长．14.【岳阳】问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在的直线上（不与点A ，B 重合），DE 交AC 所在的直线于点M ，DF 交BC 所在的直线于点N ，记△ADM 的面积为BND S ∆,1的面积为⋅2s(1)初步尝试：如图1，当△ABC 是等边三角形，AB ,,6A EDF ∠=∠=且2,//=AD BC DE 时，则1S ⋅=2s ______(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD=4，再将∠ EDF 绕点D 旋转至如图2的位置，求21s s ⋅的值．(3)延伸拓展：当△ABC 是等腰三角形时，设=∠B .α=∠=∠EDF A①如图3，当点D 在线段AB 上运动时，设=AD ,,b BD a =求21s S ⋅的表达式（用含a ，b 和α的三角函数表示）． ②如图4，当点D 在BA 的延长线上运动时，设,,b BD a AD ==直接写出21S s ⋅的表达式，不必写出解答过程．图1 图2 图3 图41．【咸宁】如图，已知,120 =∠MON 点A ，B 分别在OM ，ON 上，且,a OB OA ==将射线OM 绕点0逆时针旋转得到,OM 旋转角为(0120且60),ααα<<=/作点A 关于直线/OM 的对称点C ，画直线BC 交/OM 于点D ，连接AC ，AD ，有下列结论：;CD AD =①ACD ∠②的大小随着α的变化而变化；③当 30=α时，四边形OADC 为菱形；④△ACD 面积的最大值为.32a 其中正确的是________（填序号）．2．【金华】如图，已知点A(2，3)和点B(O ，2)，点A 在反比例函数xk y =的图象上，作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转,45 交反比例函数图象于点C ，则点C 的坐标为______.3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中.30,90 =∠=∠=∠E B C图1 图2(1)操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时：①线段DE 与AC 的位置关系是_______．②设△BDC 的面积为AEC s ∆,1的面积为,2s 则1s 与2s 的数量关系是(2)猜想论证：当△DEC 绕点C 旋转到图3的位置时，小明猜想(1)中1s 与2s 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和 △AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究：已知D ABC ,60 =∠是其角平分线上一点，=BD AB DF CD //,4=交BC 于点E （如图4），若在射线BA 上存在点F ，使,DCF BDE s s ∆∆=请直接写出相应的BF 的长．图3 图44．【乐山】如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D ，F 分别在AB ，AC 边上，此时BDCF BD CF ⊥=,成立．(1)当正方形ADEF 绕点A 按逆时针方向旋转 0(θ)90o <<θ时，如图2，BD= CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当正方形ADEF 绕点A 按逆时针方向旋转 45时，如图3，延长BD 交CF 于点G.①求证：.CF BD ⊥ ②当2,4==AD AB 时，求线段BG 的长.图1 图2 图3答案。
图形的平移与旋转 培优补差
初三年级培优拔高训练
1.如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为16cm ，求四边形ABFD 的周长.
变式：⑴如图，将边长为5的等边△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移
距离是BC 的两倍，求四边形ACED 及ABFD 的周长.
⑵如图，将面积为5的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是BC 的两倍，求四边形ACED 的面积. 2. 将△ABC 绕点A 旋转25︒后到△ADE ，80∠=︒BAC ,AB=AD ，求BAE ∠的大小.
易错点：
3. 在小正方形组成的14×13的网格中，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''的位置如图1所示.若四边形ABCD 平移后，与四边形A B C D ''''成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形2222A B C D .
4. △ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示. (1)作△ABC 关于点C 成中心对称的△A 1B 1C 1.
(2)将△A 1B 1C 1向右平移4个单位,作出平移后的△A 2B 2C 2.
(3)在x 轴上求作一点P,使PA 1+PC 2的值最小,并写出点P 的坐标.。
【分层训练】三年级上册数学单元测试-第六单元 平移、旋转和轴对称(培优卷) 苏教版(含答案)
三年级上册数学单元测试-第六单元平移、旋转和轴对称（培优卷）一、选择题（满分16分）1．下列属于旋转现象的是（）。
A．汽车方向盘的运动B．拉开抽屉C．电梯的运动D．升国旗2．下面是丽丽书包里的一些数学用品，其中（）不一定是轴对称图形。
A．三角板B．正方形书签C．直尺D．量角器3．下面交通标志中是轴对称图形的是（）。
A．B．C．4．如图的图案是从（）卡纸上剪下来的。
A．B．C．5．在下面的图形中，有（）个是轴对称图形。
A．1个B．2个C．3个D．4个6．下面是平移的是（）。
A．升国旗B．钟面上指针的运动C．吊扇的扇叶在空中运动7．钟面上指针的运动是（），电梯的运动是（）。
①旋转②对称③平移A．①②B．②③C．①③8．下列各种图形中，是轴对称图形的是（）。
A．B．C．D．二、填空题（满分16分）9．如图的哪个图案是通过平移左面的图案得到的？请画“√”。
10．电风扇扇叶的运动是（______）现象，升降机的运动是（______）现象。
11．升国旗时，国旗的上升是（________）现象，滑轮的转动是（________）现象。
（填“平移”或“旋转”）12．在括号里填上“平移”或“旋转”。
（1）电梯下降的运动可以看作（________）；（2）汽车方向盘的运动可以看作（________）。
13．火箭升空，是________现象．（用“平移”或者“旋转”作答）14．下列运动是平移的画“—”，是旋转的画“○”。
（_________）（_________）15．经过平移或旋转的图形，（________）和（________）完全相同。
16．图形的变换方式有：（_____）、（_____）、（_____）．三、判断题（满分8分）17．一个图形经过旋转变换后，它的形状发生了改变。
（______）18．下面的英文字母，都是轴对称图形。
（________）C T Z19．如图的花边是用平移对称的方法设计的．_____20．拧水龙头是旋转现象．荡秋千的运动是平移．（________）四、连线题（满分24分）21．(6分)连一连。
平移旋转(高端训练)
(1)(2) (3) (4)OFECBA D DCBA一、平移的几何定义：（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个移动一定的，这样的图形运动称为平移。
平移有两个要素：（2）平移的基本性质：1、（1）平移图(1),可以得到图(2) (3) (4)中的哪一个图案?（2）如图所示,下列四组图形中,•有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是( )ABCD（3）如图所示,平移△ABC可得到△DEF,如果∠A=50°,∠C=60°,那么∠E=•____度,∠EDF=_______度,∠F=______度,∠DOB=_______度.（4）（4）如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,将DC向左平移AD长,•平移后你得到的两个图形是什么样的?若已知AB=3㎝，BC=5㎝，AB=2㎝，你能求出四边形ABCD的面积吗？（5）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12（6）（2013宜宾）如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为．（7）（2013湖北鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A.6B.8C.10D.12（8）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为______。
（9）如图，AB、CD在两条平行的直线上，且AC=BD，AC、BD交于O，试通过平移，分析说明OD=OC.（10）（2008•河北）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．（一）旋转的定义和性质1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着沿某个方向转动，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为，转动的角称为 .2．旋转的性质：经过旋转，对应线段，对应角；任意一对与的连线所成的角都是角（即旋转角相等）；到的距离相等.3.旋转的要素：旋转、旋转的、旋转的．（1）（2013衡阳）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=°．AD CBO（2）（2014•黑龙江哈尔滨）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A ′B ′C 可以由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A ′与点A 是对应点，点B ′与点B 是对应点，连接AB ′，且A 、B ′、A ′在同一条直线上，则AA ′的长为（ ） （3）（2014•随州，第9题3分）在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED ，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的（4）（遵义）如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为【 】A ．2-BC 1D ．1 （5）（2013常州）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O 为Rt △ABC 内一点，连接A0、BO 、CO ，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B 为旋转中心，将△AOB 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△A ′O ′B （得到A 、O 的对应点分别为点A ′、O ′），并回答下列问题：∠ABC= ，∠A ′BC= ，OA+OB+OC= ．（6）在四边形ABCD 中，∠ADC =∠ABC =90º，AD =CD ，DP ⊥AB 于P ，且四边形ABCD 的面积为18，求DP 的长.（7）（2007年临安中考题）直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连结AE 、CE ，则△ADE 的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．不能确定（8）如图⑴，将边长为2cm片，按住其中一个不动，另一个纸点B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为433cm2，则这个旋转角度为________度。
六年级体育总复习平移和旋转动作操作练习
六年级体育总复习平移和旋转动作操作练习简介本文档旨在帮助六年级学生复体育课程中的平移和旋转动作操作练。
通过练这些动作，学生将培养身体协调性和空间意识，提高体能素质。
平移动作操作练平移是指物体在空间中保持形状和大小不变的情况下，沿着一条直线移动的动作。
以下是一些平移动作操作练的示例：1. 平移游戏：在操场上设置几个目标点，学生们依次进行平移动作，从一个目标点移动到另一个目标点。
可以使用绳子或标志物来作为参考点，帮助学生保持平移的准确性。
2. 平移步伐训练：学生们站成一列，教师指定一个平移方向和距离，学生们依次向指定方向平移指定距离。
这可以通过计数或使用时间来进行练，以提高学生们的速度和准确度。
旋转动作操作练旋转是指物体围绕某个中心点进行转动的动作。
以下是一些旋转动作操作练的示例：1. 旋转跳跃练：学生先做跳跃动作，然后在空中旋转一定角度，最后着地。
这个练可以提高学生们的爆发力和空中控制能力。
2. 旋转平衡练：学生们站立在一个脚上，保持平衡的同时进行旋转。
可以逐渐增加旋转的角度和时间，提高学生们的平衡和旋转能力。
练注意事项- 在进行平移和旋转动作时，学生们应保持身体放松，同时注意核心肌群的稳定性。
- 进行任何动作练之前，学生们应进行适当的热身和拉伸活动，以避免受伤。
- 学生们应根据自身的能力和体力水平选择适合的练难度和强度。
- 在进行任何新的动作练之前，学生们应仔细听从教师的指导，并确保掌握正确的技术和姿势。
总结通过本文档介绍的平移和旋转动作操作练习，六年级学生将能够加强协调能力、提高空间意识，并提升体能素质。
建议学生们在监督下正确练习这些动作，并注意安全和适度，以确保最好的效果。
祝愿每位学生在体育课程中取得优异成绩！。
培优旋转辅导专题训练及答案解析
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，菱形ABCD ，AB 4=，ADC 120∠=，连接对角线AC 、BD 交于点O ， ()1如图2，将AOD 沿DB 平移，使点D 与点O 重合，求平移后的A'BO 与菱形ABCD 重合部分的面积．()2如图3，将A'BO 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E'，交BC 于点F ， ①求证：BE'BF 2+=；②求出四边形OE'BF 的面积．【答案】() 13?2①证明见解析3【解析】【分析】(1)先判断出△ABD 是等边三角形，进而判断出△EOB 是等边三角形，即可得出结论；(2)先判断出 ≌△OBF ，再利用等式的性质即可得出结论；(3)借助①的结论即可得出结论．【详解】()1四边形为菱形，ADC 120∠=，ADO 60∠∴=，ABD ∴为等边三角形，DAO 30∠∴=，ABO 60∠=，∵AD//A′O ，∴∠A′OB=60°，EOB ∴为等边三角形，边长OB 2=，∴343= ()2①在图3中，取AB 中点E ，由()1知，∠EOB=60°，∠E′OF=60°，∴∠EOE′=∠BOF，又∵EO=BO，∴∠OEE′=∠OBF=60°，∴△OEE′≌△OBF，∴EE′=BF，∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2；②由①知，在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF，∴S△OEE′=S△OBF，∴S四边形OE′BF =OEBS3=.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.2．如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED 拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．【答案】1【解析】分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．（3）分两种情况讨论即可．详解：（1）D’A=1．理由如下：过D′作D′N⊥CD于N．∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= 12CD′=1．由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，∴四边形ACED’为平行四边形．又∵∠DCE=90°，∴四边形ACED’为矩形；（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．∵∠DCE=∠D’CE’=90°，∴∠DCE’=∠D’CG．又∵D’C= DC，CG=CE’，∴△DCE’≌△D’CG，∴GD’=E’D．（3）分两种情况讨论：①如图1．∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．3．正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE 的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值．【答案】（1）x=﹣1；（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1），当x=时，S的值最大，最大值为，．【解析】试题分析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，由平行线等分线段定理得到CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，求得OF=OM=解方程，即可得到结果；（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，根据已知条件得到∠ECB=∠PEG，根据全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=（1﹣x）•x，根据二次函数的性质即可得到结论．试题解析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，∵OA=OC，∴CM=ME，∴AE=2OM=2OF，∴OM=OF，∴，∴BF=BE=x，∴OF=OM=，∵AB=1，∴OB=，∴，∴x=﹣1；（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，∵∠CEP=∠EBC=90°，∴∠ECB=∠PEG，∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90°，在△EPG与△CEB中，，∴△EPG≌△CEB，∴EB=PG=x，∴AE=1﹣x，∴S=（1﹣x）•x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1），∵﹣＜0，∴当x=时，S的值最大，最大值为，．考点：四边形综合题4．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指区域内的数字之和．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．（1）请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于10的概率；（2）小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．【答案】（1）13；（2）不公平．【解析】试题分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平．试题解析：（1）共有12种等可能的结果，小于10的情况有4种，所以指针所指区域内的数字和小于10的概率为13．（2）不公平，因为小颖获胜的概率为；小亮获胜的概率为512．小亮获胜的可能性大，所以不公平．可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢．考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．5．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM ＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．【答案】（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC 理由如下：∵在图①中，DE//BC，AB=AC∴AD="AE."在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE，∠ACE=∠ABD.在△DAM与△EAN中，∵DM=BD，EN=CE，BD=CE，∴DM=EN，∵∠AEN=∠ACE+∠CAE，∠ADM=∠ABD+∠BAD，∴∠AEN=∠ADM.又∵AE=AD，∴△ADM≌△AEN.∴AM=AN，∠DAM=∠EAN.∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴AM=AN，∠MAN=∠BAC.（2）AM=kAN，∠MAN=∠BAC.【解析】（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．6．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．（延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．（深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN最小值为1.【解析】试题分析：(1)特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG，△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论．试题解析：(1)特例发现，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，∴FQ=AG，∴PE=FQ；(2)延伸拓展，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(3)深入探究,如图2，在直线AG 上取一点P ，使得∠EPA ═∠AGB ，作FQ ∥PE ，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB ，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB ，∴∠EAP=∠ABG ，∵∠EPA=∠AGB ，∴△APE ∽△BGA ，∴，∵AB=kAE ，∴PE=AG ，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB ，同理可得，△AQF ∽△CGA ，∴，∵AC=kAF ，∴FQ=AG ，∴EP=FQ ，∵EP ∥FQ ，∴∠EPH=∠FQH ，∵∠PHE=∠QHF ，∴△EPH ≌△FQH ，∴HE=HF ；(4)应用推广,如图3，在前面条件及结论，得到，点H 是EF 中点，∴AE=AF ，∵∠EAB=∠AGB ，∠FAC=∠AGC ∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC ）﹣∠BAC=60°，∴△AEF 为正三角形．又H 为EF 中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，∴∠EHM=∠FHN ．∵∠AEF=∠AFE ，∴△HEM ∽△HFN ，∴，∵EH=FH ，∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN ∽△HFN ，∴△MHN ∽△HFN ∽△MEH ，在△HMN 中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN 最小，只有△HMN 是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN ∴MN ∥EF ，∵△AEF 为等边三角形，∴MN 为△AEF 的中位线，∴MN min =EF=×2=1．考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.7．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB △△≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见解析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ3033430334S -+≤≤. 【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO ∠=∠，再根据矩形的性质得CBA OAB ∠=∠.从而BAD CBA ∠=∠，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（Ⅲ3033430334S -+≤≤ 详解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C ∠=∠=︒.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC 中，有222AD AC DC =+， ∴22DC AD AC -22534-=.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE ∠=︒.又点D 在线段BE 上，得90ADB ∠=︒.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB ∠=︒，∴Rt ADB Rt AOB ≌.②由ADB AOB ≌，得BAD BAO ∠=∠.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB ∠=∠.∴BAD CBA ∠=∠.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t =+-.解得175t =.∴175BH =. ∴点H 的坐标为17,35⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅲ3033430334S -+≤≤ 点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.8．已知∠AOB ＝90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA ，OB(或它们的反向延长线)相交于点D ，E.当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图①)，易证：OD ＋OE 2OC ；当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD ，OE ，OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．①②③【答案】图②中OD＋OE＝2OC成立．证明见解析;图③不成立，有数量关系：OE－OD ＝2OC【解析】试题分析：当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD≌△CHE，进而可得出证明；判断出结果．解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC 与OD、OE的关系；最后转化得到结论．试题解析：图②中OD＋OE＝2OC成立．证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q.有△CPD≌△CQE，∴DP＝EQ，∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，又∵OP＋OQ＝2OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝2OC，∴OD＋OE＝2OC.图③不成立，有数量关系：OE－OD2OC过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB，∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，∴∠KCD=∠HCE，∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，由（1）知：2OC，∴OD，OE，OC满足2OC．点睛：本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．。
北师大八年级下图形的平移与旋转培优辅导第1讲：图形的平移与旋转
图形的平移与旋转知识点:图形的平移1、如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要米。
2、如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，AB=10, DO=4,平移距离为6，则阴影部分的面积为 。
3、如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵]; （1）在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.（2）请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 123（3）联想与探究：如图（4），在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？⑶ ⑷知识点：图形的旋转1、如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是。
2、一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与点F重合，边CA与边FE叠合，顶点B, C, D在一条直线上）.将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0<n<180),如果EF//AB,那么n的值是。
3、如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°, ∠B=60°, BC=2, △A'B'C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点，连接AB',且点A, B', A′在同一条直线上，则AA'的长为。
4、在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=150°,点A到BC的距离为1，与AB重合的一条射线AP,从AB开始，以每秒15°的速度绕点A逆时针匀速旋转，到达AC后立即以相同的速度返回AB,到达后立即重复上述旋转过程.设AP与BC边的交点为M,旋转2019秒时，BM= , CM= 。
北师大版八下《平移和旋转》培优提高题
北师大版八下平移和旋转一：知识点1．平移的定义与规律关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（1）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．（2）简单作图平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．2．旋转的定义与规律（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（2）旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（3）简单的旋转作图：旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．1．如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD=DC=4，DE=3，DE∥BC，∠C=90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．61题 2题 3题2．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的面积是（）A．4 B．2 C．4 D．83．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=4cm，D是AB的中点，现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，FE交AC于M，则△EFG与△ABC重叠部分的面积为（）cm2．A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（）A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣45．下列生活现象中，属于平移的是（）A．足球在草地上滚动 B．拉开抽屉C．投影片的文字经投影转换到屏幕上 D．钟摆的摆动6．在长为20m，宽为16m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则花圃的面积是（）A．64m2B．32m2C．128m2D．96m27．如图，长方形ABCD中，AB=6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n﹣1沿A n﹣1B n﹣1的方向平移5个单位，得到长方形A n B n C n D n（n＞2），若AB n的长度为2016，则n的值为（）6题 7题 8题A．400 B．401 C．402 D．4038．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=4，那么P，P′两点间的距离为（）A．4 B．4C． 4 D．89题 10题 11题9．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°10．如图，△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕着点D 逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m为（）A．70°B．70°或120°C．120° D．80°11．如图所示，已知△ACB△DFE与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为2cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B．C．F．D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图（1）中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为（）A．2 B ． C ．D．212．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B ．C ．D．413、如图所示：正方形ABCD中E为BC的中点，将面ABE旋转后得到△CBF.（1）指出旋转中心及旋转角度．（2）判断AE与CF的位置关系．（3）如果正方形的面积为18cm2，△BCF的面积为4cm2,问四边形AECD的面积是多少？14、已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。
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1
H A D
E O
B C
F
七年级数学---轴对称、平移、旋转培优试题
１、如图,所给的图案由ΔABC 绕点O 顺时针
旋转( )前后的图形组成的。
A. 450、900、1350
B. 900、1350、1800
C.450
、900
、1350
、1800
D.450
、1800
、2250
2、将如图1所示的Rt△ABC 绕直角边BC 旋转一周，所得几何体的左视图是（ ）
3、如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么∆AEG 的面积的值 （ ） A ．与m 、n 的大小都有关 B ．与m 、n 的大小都无关
C ．只与m 的大小有关
D ．只与n 的大小有关
4、如图，线段AB =CD ，AB 与CD 相交于O ，且060AOC ∠=，CE 由AB 平移所得，则
AC +BD 与AB 的大小关系是：（ ）
A 、AC BD A
B +< B 、A
C B
D AB += C 、AC BD AB +≥ D 、无法确定
O B
C
E
D
A P
A
B
D
（第4题图） （第5题图） （第6题图）
5、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转030到正方形///AB C D ，则图中阴影部分面积为（ ）
A 、31
B 3、31 D 、1
2
6、如图，点P 是等边三角形ABC 内部一点，::5:6:7APB BPC CPA ∠∠∠=，则以PA 、PB 、PC 为边的三角形的三内角之比为（ ）
A 、2：3：4
B 、3：4：5
C 、4：5：6
D 、不能确定 7、如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到1
1
AB C △．
（1）在正方形网格中，作出11AB C △；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）
D
A
B
C
C B A 图1
A B C D
G E F 第3题图
B
C
A 第7题图
2
M E F A
B C D M
F
A B
D B 1K
D 19、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各有一点P 、Q ，如果APQ ∆的周长为2，求PCQ ∠的度数。
10、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF （如图甲），连结BD 、MF ，若此时他测得BD =8cm ，∠ADB =30°． （1）、试探究线段BD 与线段MF 的关系，并简要说明理由；
（2）、小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图乙），设旋转角为β(0°＜β＜ 90°), 当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；
11、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知，
090,B D AD CD ∠=∠==。
思考一段时间后，一位木工师傅说：“我可以把两块木板
拼成一个正方形。
”另一位木工师傅说：“我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形。
”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？画出图形，并说明理由。
12、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连结CQ ．
（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA ：PB ：PC =3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，
并说明理由．
13、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA =1，PB =2，PC =3，求∠APB 的度数．
D。