动态规划的应用

包问题
建立数学模型：设第i种物品取xi件（i=1,2,…n，xi为非负整数)，背包中物品的价值 为f，则 ：
n
max f ci (xi )
i 1
n
wixi W
i1
xi≥0 且为整数，i=1,2 ,…n
二、背包问题
多✓阶把段背决包策装模载型问：题按可装入物品的几种类型划分为n个阶段。
运往市场出售，运输能力总量不超过10t，问如何安排运输使得总利润为最大 ？
种类 1 2 3
单件重量/t
2 3 4
单件利润/元
100 140 180
思考和习题
习题3：用动态规划方法解题
max z=8x1+7x2+5x3 2x1+x2+8x3 ≤ 20 xi≥0, i=1,2,3
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状态转移函数：
sk+1= sk-xk
阶段指标：
rk(sk,xk)可从表中读
基本迭代方程：
边界条件：
f4(s4)=?
高级科
小组
学家
1
2
3
0
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.5
三、系统可靠性问题
高级科
小组
学家
1
2
3
0
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.5
三、系统可靠性问题
高级科
小组
学家
1
2
3
0
0.4
第k阶段初始时飞机还可以装载的重量，s1=12 第k阶段装载第k种物品的件数 {xk|0 xksk/wk, xk为整数}, w1 =3， w2 =5， w3 =4 sk+1= sk-wkxk rk(sk,xk)= ck(xk)， r1=4x1 ，r2 =5x2，r3 =6x3
f4(s4)=0
二、背包问题
习✓题1某：公司有资金400万元，向A，B，C三个项目追加投资，三个项目可以有不同
的投资额度，效益值如下表所示（投资额单位百万，效益值单位万），问如何 分配资金，才使总效益值最大？
投资额 效益值 项目
A B C
0
1
2
3
4
0
51
59
71
76
0
52
61
71
78
0
70
76
88
88
思考和习题
习✓题某2：工厂生产三种产品，各种产品的重量与利润关系如下表所示，现将三种产品
f4(s4)=0
一、资源分配问题
单位 数量
0 1 2 3 4
A
B
C
0
0
0
15
13
11
28
29
30
40
43
45
51
55
58
一、资源分配问题
单位 数量
0 1 2 3 4
A
B
C
0
0
0
15
13
11
28
29
30
40
43
45
51
55
58
一、资源分配问题
单位 数量
0 1 2 3 4
A
B
C
0
0
0
15
13
11
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状态变量sk ： 决策变量xk ： 决策允许集合： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
第k阶段初始时背包还可以装载的重量，s1=W 第k阶段装载第k种物品的件数 {xk|0 xksk/wk, xk为整数} sk+1= sk-wkxk rk(sk,xk)= ck(xk)
fn+1(sn+1)=0
二、背包问题
二、背包问题
最优方案:
x1=0
s1=12
x2=0 s2=12
x3=3
s3=12
s4=0
三、系统可靠性问题
有三个科研小组进行项目开发，失败的概率分别为0.4, 0.6, 0.8。为了降低三组都失 败的概率，决定给三个小组增派两名高级科学家，加入各小组后，项目失败概率如 下表所示。求一种分配方案，使得三组全部失败的概率最小。
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.5
三、系统可靠性问题
最优方案:
s1=2
x1=1
x2=0
s2=1
x3=1
s3=1
s4=0
高级科
小组
学家
1
2
3
0
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.5
总结
✓ 动态规划的最优化原理和思想。 ✓ 哪些问题可以用动态规划方法解决。 ✓ 动态规划解决问题的一般流程。
思考和习题
28
29
30
40
43
45
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55
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一、资源分配问题
多✓阶把段这决个策分模配型问：题看成三个阶段的过程，每分配一个单位作为一个阶段。
状态变量sk ： 决策变量xk ： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
第k阶段初始时未分配的装备数量 第k阶段分配给第k个单位的装备数量 sk+1=sk-xk rk(sk,xk)可从表中读出
小组
高级科学家
1
2
3
0
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.5
2
0.15
0.2
0.3
三、系统可靠性问题
按项目小组划分阶段，k=1,2,3
状态变量sk ：
第k阶段初始时未分配的高级科学家人数，s1=2
决策变量xk ：
第k阶段为第k个项目组分配高级科学家人数
决策允许集合：
{xk|0 xksk, xk为整数}
二、背包问题
军 ✓事某案架例飞（机飞可机装装运载三问种题物）品：，各种物品一件重量分别为3、5、4吨,装运收益每件
✓
分别为4、5、6万元。 如果飞机总装运量不能超过12吨，问每种物品应各装几件使收益最大。
二、背包问题
状态变量sk ： 决策变量xk ： 决策允许集合： 状态转移函数： 阶段指标： 基本迭代方程： 边界条件：
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30
40
43
45
51
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最优分配方案: x1=1, x2=0, x3=3
二、背包问题
背✓✓包背背问包包题问能：题装是载动物态品规的划重的量又限一度类为典W型公问斤题，。设有n类物品可供装入背包中，已知第i
种物品单重为wi公斤，价值为装载数量xi的函数ci(xi)。问应如何装载物品（各 几件），使总价值最大。
动态规划
（二）动态规划的典型应用
吴海佳 勤务指挥系部队管理教研室
一、资源分配问题
军 ✓事某案部例有（4装具备先分进配装问备题分）配：给下属A、B、C三个作战单位，各作战单位得到此种
✓
装备后，所增加的战斗力见下表。 问怎样分配，才能使增加的战斗力最大。
单位 数量
0
1 2 3 4
A
B
C
0
0
0
15
13
11