高等数学 第3章

例2 求函数 f (x） 3 (x2 2x)2 在 [1，3] 上的最大值与最小值。
解
f
(x)
4(x 33 x2
1) 2x
，显然
1，3
内
f (x) 的驻点为
x 1 ；尖点
为 x 0，x 2 。由于 f (1) 3 9 ，f (0) 0 ，f (1) 1，f (2) 0 ，f (3) 3 9 ，
2
例3 确定函数 f (x) x(x 1)3 的单调区间。
2
解 （1）f (x) x(x 1)3 的定义域为 ( ， ) 。
（2）
f
(x)
(x
2
1) 3
2
x(x
1
1) 3
5x 3
3
33 x 1
显然，驻点是
x
3 5
；尖点是
x
1 。
（3）以 x 3 和 x 1为分界点将 ( ， ) 分为三个子 5
区间，列表讨论：
x
，3 5
3 5
f (x)
+
0
f (x)
Z
3 5
，1
]
1 不存在
1，
+
Z
由上表可知，函数
f
(x)
的单调增加区间为
，3 5
和
[1，
)
，单调减少区间为
3 5
，1
。
二、函数的极值及其求法 1．函数极值的定义
由图3-2可以看出，y f (x) 在点 x2及 x5的函数值 f (x2 ) 和 f (x5 ) 比 它邻近各点的函数值都大，而在 x1，x4，x6 的函数值 f (x1)，f (x4 )，f (x6 ) 比它们邻近各点的函数值都小，对于这种性质和对应点的函数值，我 们给出如下定义：
x0
x0
当 x 0 时，上式右端指数部分是 0 型未定式，应用例6 的结果，得 lim x ln x 0 ，
x0
所以
lim x ln x
lim xx ex0 e0 1
x0
例9
求
lim x sin x 。
x
x
解 这个极限属于 型，若使用罗必达法则，得
lim x sin x = lim(1 cos x)
f (x)
+
不存在
1
(1， )
0
+
f (x)
Z
百度文库
极大值 0
]
极小值3
Z
（4）由上表可知，函数的极大值为 f (0) 0 ；极小值为 f (1) 3。
定理3（极值判定法则2） 若函数 f (x) 在点 x0处二阶可导， 且 f (x0 ) 0，f (x0 ) 0 ，则
（1）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在点 x0处取得极大值 f (x0 ) 。 （2）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x)在点 x0处取得极小值 f (x0 ) 。
解
原式
0型 0
(ex 1)
ex
lim
lim
e0 1
x0 x
x0 1
例2
求
x3 3x 2
lim
x1
x3
x2
x
1
。
解
原式
0型 0
lim x1
3x2 3x2
3 2x
1
0型 0
lim
x1
6x 6x
2
3 2
例3
求
lim
x0
x
sin x3
x
。
解
0型
0型
原式
0 1 cos x 0 sin x 1
例5 求函数 f (x) sin x cos x在 [0 ，2π] 上的极值。
解 （1）求导 f (x) cos x-sin x ，令 f (x) 0 求得在 [0 ，2π]
内的驻点为
x π ，x 5π
4
4
求二阶导数得
f（ x） sin x cos x
因为
f
π 4
2
0
，f
5π 4
f
(
x)
1
2
x x
2
显然 x 0 时，f (0) 0 ；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) ln(1 x2 ) 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加。
例2 讨论函数 f (x) 3 x2 单调性。 解 f (x) 3 x2 的定义域为 ( ， )，
原式
x
x
1
lim lim 1
x0 sin x x0 cos x
例6 求 lim xn ln x (n 0) 。 x0
解
因为
xn
ln
x
ln x xn
，所以
原式
型
1
lim
x0
ln x xn
lim
x0
x nxn1
1 n
lim
x0
xn
0
例7
求
lim
x
(sec
x
tan
x)
。
2
解
因为 sec x tan x 1 sin x ，当 x π 时，上式右端是 0
（1）如果在 (a ，b) 内 f (x) 0 ，那么函数 y f (x) 在 [a ，b] 上单调增加；
（2）如果在 (a ，b) 内 f (x) 0 ，那么函数 y f (x) 在 [a ，b] 上单调减少。
例1 讨论函数 f (x) ln(1 x2 ) 单调性。
解 f (x) ln(1 x2 ) 的定义域为 ( ， )，在定义域内 f (x) 连续、 可导，且
2．函数极值的判定和求法
定理2（极值判定法则1） 设函数 f (x) 在点 x0处连续，且在 x0 的某去心邻域内可导，如果在左右 x0 近旁：
（1）当 x x0 时，f (x) 0 ，而 x x0 时，f (x) 0 ，那么函数 f (x) 在 x0 处取得极大值f (x0 ) 。
（2）当 x x0 时，f (x) 0 ，而 x x0 时，f (x) 0 ，那么函数 f (x) 在 x0 处取得极小值f (x0 ) 。
cos x
2
0
型未定式，应用罗必达法则，得
0型
lim(sec
x
tan
x)
lim 1
sin
x
0
lim
cos
x
0.
x π
x π cos x
x π sin x
2
2
2
例8 求
lim xx
x0
。
解
令 y xx exln x ，则
lim x ln x
lim xx lim ex ln x ex0
2 0 ，故 f (x) 在 x π 4
处取得极大值
f
π 4
2，在 x 5π处取得极小值
4
f
5π 4
-
2。
第三节 最大值最小值问题
求连续函数 f (x) 在 [a ，b] 上的最大值和最小值方法如下：
（1）求导 f (x) ，找出在 (a ，b) 内的驻点和尖点，按从小到大顺 序，不妨设为 x1，x2 ，K ，xn 。 （2）计算上述各点的函数值 f (xi ) (i 1，2 ，n) 及端点的函数 值 f (a) ，f (b)。 （3）比较（2）中各值的大小，其中最大的、最小的就是函数 f (x) 在 [a ，b] 上的最大值和最小值。
x
x
x
因为 lim(1 cos x) 不存在，但并不能说明所求极限不存在， x
因此上式不能使用罗必达法则，事实上，
lim
x
x
sin x
x
=
lim
x
1
sin x
x
1
0
1
第二节 函数的单调性与极值
一、函数单调性的判定法
定理1（函数单调性的判定法） 设函数y f (x) 在[a ，b] 上连续， 在 (a ，b)内可导
f (x) 2 33 x
显然 x 0 时，f (x) 不存在；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) 3 x2 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加（如图3-1所示）。
图3-1
我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点 称为函数的尖点。
图3-4
例2 铁路线上AB段的距离为100 km，工厂C距A处为20 km，AC垂 直于AB（图3-5），为了运输需要，要在AB线上选定点D向工厂修 筑一条公路，已知铁路每公里货运费与公路每公里货运的运费之 比为3∶5，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点 应选在何处？
图3-5
解 设 AD = x（km），那么DB =100 - x，
比较可得 f (x) 在 x 1 和 x 3 处，取得最大值 3 9 ，在 x 0 和 x 2
处，取得最小值0。
如果连续函数 f (x) 在一个开区间（a ，b）内有惟一的一个 极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数 f (x)在该区间 内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）。
图3-3
关于函数的极值，做以下几点说明：
（1）极值是函数值，而极值点是函数取得极值时自变量的值， 两者不能混淆． （2）函数的极值是一个局部概念，如果 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一 个极大值，那只是就 x0 附近的一个局部范围来说 f (x0 )比 f (x)在 其余各点处的函数值都大，而在 f (x)的整个定义域来说， f (x0 ) 不一定是函数 f (x) 的最大值，关于极小值也类似。 （3）极大值不一定比极小值大，如图3-2中，极大值 f (x2 ) 比极 小值 f (x6 )还小。
y k
5x
3
400 x2
y
2000k
0
(400 x2 ) 400 x2
解方程 ，得 x =15（km），可见在区间（0，100）内有惟
第三章 导数的应用
本章内容
01 罗必达法则 02 函数的单调性与极值
03 最大值最小值问题 04 曲线的凹凸性和拐点、
函数图像的描绘
第一节 罗必达法则
定理（罗必达法则）设
（1）函数 f (x) 和 g(x)均在点 x0的某去心邻域内有定义，且
lim f (x) lim g(x) 0 （或 ）；
例4 求函数 f (x) (2x 5) 3 x2 的极值。
解 （1）函数的定义域为 ( ， )
（2）求导
f
(x)
5
(2x3
2
—5x 3
)
10
x—1
，得驻点
x 1，尖点
x 0。
3 3x
（3）以 x 0 ，x 1 为分界点将 ( ， ) 分为三个子区间， 列表讨论：
x
( ，0)
0
(0 ，1)
图3-2
定义1 设函数 f (x) 在 x0 的某邻域 U (x0 ， ) 内有定义，如果对于 该邻域内异于 x0 的任一 x，均有
f (x) f (x0 ) (或 f (x) f (x0 ) )
那么就称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值（或极小值），点 x0叫 做函数的极大点（或极小点），函数的极大值与极小值统称为函数的 极值，使函数取得极值的点统称为极值点。
现将求函数 f (x)的单调区间的一般步骤归纳如下：
（1）确定函数 f (x) 的定义域； （2）求函数 f (x) 的导数，确定驻点和尖点； （3）以驻点和尖点为分界点，按照从小到大的顺序将定义域 划分为若干个子区间，列表讨论 f (x) 在各个子区间内 f (x) 的 符号，根据判定法确定函数 f (x) 的单调区间。
CD 202 x2 400 x2
由于铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费 之比为3∶5，因此我们不妨设铁路每公里的货运费为3k，公路 每公里的货运费为5k（比例系数k > 0）。设从B点到C点需要的 总运费为y，那么
y 5k CD 3k DB
即
y 5k 400 x2 3k（ 100 x） (0 剟x 100)
x x0
x x0
（2）函数 f (x) 和 g(x) 均在点 x0 的该去心邻域内可导， 且 g(x) 0 ；
（3） 存在 lim f (x)（或为无穷大）。 xx0 g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) xx0 g(x) xx0 g(x)
这表明，当 lim x x0
f (x) g ( x)
（3）当 x x0 与 x x0 时，f (x) 的符号保持不变，那么函数f (x) 在 x0 处没有极值。
于是，若函数 f (x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处 可导，则可以按下列步骤来求 f (x)在该区间内的极值点和相应的 极值：
（1）写出函数的定义域； （2）求导数 f (x) ，并找出定义域内的全部驻点和尖点； （3）考察 f (x) 的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形， 以确定该点是否为极值点。为方便起见，可列表进行讨论； （4）求出各极值点的函数值，得函数 f (x) 的全部极值。
存在时，lim x x0
f (x) g(x)
也存在且等于
lim
x x0
f (x)
g
(
x
)
；当lim x x0
f (x) g ( x)
为无穷大时，lim x x0
f (x) g(x)
也是无穷大。
这种在一定条件下，通过分子分母分别求导来确定未定式极
限的方法称为罗必达法则。
例1
求
ex 1 lim
。
x0 x
lim
lim
x0 3x2
x0 6x 6
π arctan x
例4
求
lim 2
x
1
。
x
解 原式
0型 0
lim
1
1 x
2
x
1 x2
lim
x
1
x2 x2
1
例5 求 lim ln cot x 。 x0 ln x
解
0型 0
lim
1 cot
.( csc2 x
x)
lim
x
x0
1
x0 sin x cos x