浙江省基于高考试题的复习新二项式定理
2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：11.2 二项式定理 Word版含解析
11.2二项式定理挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点二项式定理及其应用1.了解“杨辉三角”的特征,掌握二项式系数的性质及其简单应用.2.掌握二项式定理,会用二项式定理解决有关的简单问题.2018浙江,14求常数项★★★2017浙江,13求系数多项式乘法2016浙江,自选042015浙江,自选04求系数2014浙江,5分析解读 1.二项式定理是高考常考内容之一,考查集中在“性质”上,尤其是对于通项的考查.2.主要集中在对系数和常数项的考查上.3.预计2020年高考试题中,考查二项式定理的可能性较大.破考点【考点集训】考点二项式定理及其应用1.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),7)若(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017,则a3的值为()A. B.-1C. D.-1答案 D2.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),12)已知的展开式中各项系数绝对值之和为256,则n=,该展开式中含项的系数为.答案4;54炼技法【方法集训】方法1求指定项或指定项系数的方法1.(2018浙江嵊州第一学期期末质检,13)的展开式的第3项的系数为,展开式中x的系数为.答案21;-352.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,11)(1+x)6的展开式中含x3项的系数为.答案14方法2 求二项式系数或展开式系数之和的方法1.(2018浙江台州第一学期期末质检,14)若(x2-2x-3)n的展开式中所有项的系数之和为256,则n=,含x2项的系数是(用数字作答).答案4;1082.(2018浙江嘉兴第一学期期末,12)已知(1-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则含x2项的二项式系数是;|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=.答案15;64过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点二项式定理及其应用1.(2014浙江,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案 C2.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.答案16;43.(2016浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,求a2的值.解析因为(1+2x)4的展开式的通项为T r+1=(2x)r,r=0,1,2,3,4,(1-x2)3的展开式的通项为T r+1=(-x2)r,r=0,1,2,3,所以a2=·22·+··(-1)=21.4.(2015浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知n为正整数,在(1+x)2n与(1+2x3)n展开式中含x3项的系数相同,求n的值.解析(1+x)2n中含x3项的系数为,(1+2x3)n中含x3项的系数为2n.由=2n得=2n,解得n=2.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点二项式定理及其应用1.(2018课标全国Ⅲ理,5,5分)的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80答案 C2.(2017课标全国Ⅲ理,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80答案 C3.(2018天津理,10,5分)在的展开式中,x2的系数为.答案4.(2017山东,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.答案45.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为.(用数字作答)答案606.(2016山东,12,5分)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=.答案-2C组教师专用题组考点二项式定理及其应用1.(2017课标全国Ⅰ理,6,5分)(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35答案 C2.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案 A3.(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案 C4.(2015湖北,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29答案 D5.(2015湖南,6,5分)已知的展开式中含的项的系数为30,则a=()A. B.- C.6 D.-6答案 D6.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.4B.5C.6D.7答案 C7.(2014湖北,2,5分)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=()A.2B.C.1D.答案 C8.(2014湖南,4,5分)的展开式中x2y3的系数是()A.-20B.-5C.5D.20答案 A9.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10答案 C10.(2013陕西,8,5分)设函数f(x)=则当x>0时,f(f(x))表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15答案 A11.(2013课标Ⅰ,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8答案 B12.(2013课标Ⅱ,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1答案 D13.(2016课标全国Ⅰ,14,5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)答案1014.(2016天津,10,5分)的展开式中x7的系数为.(用数字作答)答案-5615.(2015课标Ⅱ,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=. 答案316.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为.(用数字作答)答案4017.(2015天津,12,5分)在的展开式中,x2的系数为.答案18.(2015重庆,12,5分)的展开式中x8的系数是(用数字作答).答案19.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)答案8020.(2015广东,9,5分)在(-1) 4的展开式中,x的系数为.答案621.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案).答案-4022.(2015安徽,11,5分)的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案)答案3523.(2014大纲全国,13,5分)的展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)答案7024.(2014安徽,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i,a i)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.答案325.(2014山东,14,5分)若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为. 答案226.(2014课标Ⅱ,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案) 答案27.(2014课标Ⅰ,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)答案-20【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,2)(1+x)6的展开式中含x4项的系数是()A. B. C. D.答案 B2.(2019届浙江“超级全能生”9月联考,3)二项式的展开式中的常数项为()A.6B.12C.15D.20答案 C3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),2)设(1-3x)8=a0+a1x+…+a8x8,则|a0|+|a1|+…+|a8|的值为()A.28B.38C.48D.58答案 C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共52分)4.(2019届浙江名校协作体高三联考,13)已知(1+2x)n的展开式中第三项的二项式系数为15,则n=,含x2项的系数是.答案6;605.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,11)已知n∈N*,若的展开式中存在常数项,则n的最小值为,此时常数项为.答案5;26.(2019届浙江温州九校联考,14)已知(1+x)5=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a5(1-x)5,则a3=.答案-407.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,13)若的展开式中,x3的系数为6,则a=,展开式中的常数项为.答案1;158.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,13)若(x+1)6+x6=a0+x+a2(x+1)4x2+a3(x+1)3x3+a4(x+1)2x4+a5(1+x)x5,且a i(i=0,1,2,3,4,5)是常数,则a0=;a1+a3=.答案1;269.(2018浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,12)在(x+1)·(2-x)3的展开式中,常数项是,含x项的系数是.答案8;-410.(2018浙江金华十校模拟(4月),13)若(x+y)(2x-y)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2+a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6,则a4=,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=.答案40;211.(2018浙江诸暨高三上学期期末,14)已知(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+…+a6=;a2=.答案1;6012.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),13)已知x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a10(x+1)10,则a9=;系数a i(i=0,1,2,…,10)中最大的是.答案-10;a4或a6。
2013届高考一轮复习课件数学(理)浙江专版第57讲二项式定理
是第一个展开式中 x 的指数是 0,1,2 的项与第二个展开式中 x 的指 数是 0，－1，－2 的对应项的乘积，根据二项展开式的通项公式 1 4 6 8 得，(1＋ x)61＋ 4 10 展开式中的常数项为 1＋C3 C ＋ C 6 10 6C10＝ x 4246. 3
第57讲 │ 要点探究
第57讲 │ 要点探究
[解析] (1)a10，a11 分别是含 x10 和 x11 项的系数，所以 a10＝－
10 11 10 C11 21，a11＝C21，所以 a10＋a11＝－C21＋C21＝0. r 6－r (2)Tr＋1＝C6 x －
a r r 6－ r r r － 2r ＝C6x (－1) a x 2 x2
等于________．
[思路] (1)根据二项展开式的通项公式分别找到所求两项 的系数即可；(2)根据二项展开式的特点，设出某一项最大， 则该项不小于其前后相邻的两项， 根据不等式确定是哪一项或 哪些项．
[答案](1)－240 (2)A
第57讲 │ 要点探究
7 3 [解析] (1)根据二项展开式的通项公式 T4＝C3 x ( － y ) ＝－ 10 7 3 7 3 3 3 7 7 7 3 C3 x y ， 故 x y 的系数为－ C ， 同理 x y 的系数为－ C ， 故 x y 10 10 10 7 3 的系数与 x3y7 的系数之和为－C3 10＋(－C10)＝－2C10＝－240.
xn，
1 k n n 令 x＝1，得 C0 ＋ C ＋…＋ C ＋…＋ C ＝ 2 ，即二项式系 n n n n
数的和为 2n. 3．杨辉三角 下面的数表称为杨辉三角
第57讲 │ 知识梳理
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(完整版)二项式定理高考题(带答案)
1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】B5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C.情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7.【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】8.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案计数.9.【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理10.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n ab -+T =． 11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C12.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.16.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．17.【2015高考湖南，理6】已知5-的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =19.（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.20.（2016年山东高考）若（a x 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-221.（2016年上海高考）在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】11222.（2016年四川高考）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A23.（2016年天津高考）281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答) 【答案】56-24.（2016年全国I 高考）5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】10。
2020年浙江高考数学一轮复习： 二项式定理
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角度三：由已知条件求 n 的值或参数的值 5．(2019·浙江考前冲刺)若二项式(2x＋a x)n 的展开式中所有
项的二项式系数和为 32，x3 的系数是 160，则 n＝________， a＝________. 解析：∵2n＝32，∴n＝5，二项展开式的通项 Tr＋1＝ Cr5(2x)5－rarx2r＝C5r25－rarx5－2r，当 5－2r＝3 时，r＝4， ∴C45×2×a4＝160，解得 a＝±2. 答案：5 ±2
x
的展开式中，x2
的系数为________．
解析：x－2
1
5
x
的展开式的通项为
Tr＋1＝Cr5x5－r·－12r·x－2r＝－12rC5rx 5－32r .
令 5－32r＝2，解得 r＝2.
故展开式中 x2 的系数为－122C52＝52. 答案：52
[通法在握]
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求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk＋1＝ Cnkan－kbk 的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通 项求解，注意 k 的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第 m 项：此时 k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”
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[题点全练] 角度一：求展开式中的某一项
1．二项式4x2－1x6 展开式中的第 4 项为
A．－1 280x3
B．－1 280
C．240
D．－240
()
解析：4x2－1x6 展开式中的第 4 项为 T3＋1＝C36(4x2)3－1x3＝ －1 280x3，选 A.
答案：A
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2．(2019·浙江名校联考)(1＋x－2)( x－2)5 的展开式中的常数
高考数学浙江版§11.2 二项式定理
a x
r
=(-a)rC 5r
52r
·x 2
.
依题意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1·C 15 =30,a=-6,故选D.
9.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7
答案 C 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 Cnn2 ,所以 Cnn2 =15,即 C2n =15,亦即n2-n=30,解得n=6 (n=-5舍).
4.(2017课标全国Ⅰ理,6,5分) 1
1 x2
(1+x)6展开式中x2的系数为
(
)
A.15 B.20
C.30 D.35
答案 C 本题考查二项式定理中指定项的系数.
对于1
1 x2
(1+x)6,若要得到x2项,可以在
1
1 x2
中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2的项,则系数
9r
( 2 +x)9展开式的通项Tr+1= C9r ( 2 )9-rxr= C9r ·2 2 ·xr(r=0,1,2,…,9),
9
9
令r=0,得常数项T1= C90 ·2 2 ·x0=2 2 =16 2 ,
要使系数为有理数,则只需 9 2 r ∈Z,则r必为奇数,
满足条件的r有1,3,5,7,9,共五种,故系数为有理数的项的个数是5. 解后反思 二项式的展开式中特定项的确定需写出其通项公式,并化简整理,根据特定项的特
解析 因为(1+2x)4的展开式的通项为 C4r (2x)r,r=0,1,2,3,4, (1-x2)3的展开式的通项为 C3r (-x2)r,r=0,1,2,3, 所以a2= C24 ·22·C 30 +C 04 ·C 13 ·(-1)=21.
2019届浙江省基于高考试题的复习资料——二项式定理(解析版)
九、计数原理与古典概率（二）二项式定理一、高考考什么？[考试说明]3．了解二项式定理，二项式系数的性质。
[知识梳理]1．二项式定理：011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项，其中第r +l 项1(0,1,2,r n r rr n T C a b r -+==⋅⋅⋅ ），会求常数项、某项的系数等2．二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=；（2）增减性与最大值：当12n r +≤时，二项式系数C rn 的值逐渐增大，当12n r +≥时, C rn 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当n 为偶数时，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2n nC 取得最大值。
当n 为奇数时，中间两项（第21+n 和32n +项）的二项式系数1122n n nnCC-+=相等并同时取最大值。
（3）二项式系数的和：01rn n nC C C +++2nn n C ++=；0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅ 12n -=。
3.展开式系数的性质：若()01n n na a a a bx x x =++++；令()()nf x a bx =+则：（1）展开式的各项系数和为()1f（2）展开式的奇次项系数和为1[(1)(1)]2f f --（3）展开式的偶次项系数和为1[(1)(1)]2f f +-二、高考怎么考？[全面解读]从考试说明来看，二项式定理主要解决与二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均有一题，难度为中等，从未改变。
命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。
掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注意二项式系数与展开式系数的区别。
浙江省高三数学理一轮复习专题突破训练：排列组合二项式定理(含答案解析)
浙江省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理一、二项式定理1、（2014年浙江省高考）在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(f m ，)n ，则(3f ，0)(2f +，1)(1f +，2)(0f +，3)=A.45B.60C.120D.2102、（金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考） (82展开式中含3x 项的系数为（ ）A ．3112x B ．31120x - C ．112 D ．11203、（嘉兴市2017届高三上学期基础测试）在26（－x)的展开式中，含3x 的二项式系数为＿＿，系数为＿＿＿（均用数字作答）4、（温州市普通高中2017届高三8月模拟考试）在nx⎛+ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则3x 的系数为（ ） A ．15 B ．45 C ．135 D ．4055、（温州乐清市乐成寄宿学校2016届高三3月考试）25()x x y ++展开式中52x y 系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．606、在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答） 7、若（ax 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______. 8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 410、281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)11、5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）二、排列组合1、（2014年浙江省高考）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.2、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）723、将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种4、若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （ ）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种5、将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （ ） A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种6、从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（ ） A ．24B ．18C ．12D ．67、6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为 （ ） A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或48、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答). 9、某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教 (每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有( )种.A.27B.30C.33D.36 10、某校开设10门课程供学生选修，其中A B C 、、三门由于上 课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位 同学不同的选修方案种数是（ ）A ．70 B. 98 C ． 108 D ．120 参考答案 一、二项式定理 1、【答案】C【解析】（1+x ）6（1+y ）4的展开式中，含x 3y 0的系数是：=20．f （3，0）=20；∴f （3，0）+f （2，1）+f （1，2）+f （0，3）=120．故选：C2、C3、20 -1604、C5、C 【解析】试题分析：：25()x x y ++的展开式的通项为()5215rr r r T C x x y -+=+，令r=2，则()32x x +的通项为()32633kkk k k C x x C x --=，令6-k=5，则k=1，∴25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为215330C C =6、60.7、-28、1129、A 10、56-11、10二、排列组合1、【答案】60【解析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种．故答案为：602、D3、【解析】选A甲地由1名教师和2名学生:122412C C=种4、【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C=种;4个都是奇数:455C=种.∴不同的取法共有66种.5、答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=.6、【答案】B【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618+=种,选B.【考点定位】本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解.7、【解析】选D261315132C-=-=①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人8、【答案】53【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有3344A A 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235A A C A C C A p A +==. 9、B 10、B。
专题13 二项式定理-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(原卷版)
专题13 二项式定理【母题来源一】【2019年高考浙江卷】在二项式9)x 的展开式中，常数项是______________；系数为有理数的项的个数是______________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,2,,9)r r r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】二项式81)2x的展开式的常数项是______________． 【答案】7【解析】二项式81)2x 的展开式的通项公式为848318811C ()C 22r r r r rr r T x x --+==⋅⋅， 令8403r -=，可得2r =，故所求的常数项为2821C =72⋅． 【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知多项式32543212345(1)(2)x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =______________，5a =______________． 【答案】164【解析】32(1)(2)x x ++的展开式的通项为232C C 2r r m m m x x -⋅=232C C 2r m m r m x -+⋅⋅⋅， 分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，取0r m ==，可得25124a =⨯=．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用．【命题意图】考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力． 【命题规律】高考对二项式定理的考查主要是利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型一般为选择题或填空题． 【答题模板】1．求解二项式问题，一般步骤如下： 第一步：首先求出二项展开式的通项； 第二步：根据已知求r ； 第三步：得出结论．2．求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）． （1）第m 项：此时k +1=m ，直接代入通项．（2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程． （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 【方法总结】 1．二项式定理的概念011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})k n k n ∈L 叫做二项式系数．二项展开式中的C k n kk n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k k k n T ab -+=． 注意：二项式系数是指0C n ，1C n ，…，C nn ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如()n a bx +的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而该项的系数是C r n r rn ab -．当然，某些特殊的二项展开式如(1)nx +，各项的系数与二项式系数是相等的．2．活用二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C C m n mn n -=．（2）增减性与最大值：二项式系数为C kn ，当21+<n k 时，二项式系数是递增的；当21+≥n k 时，二项式系数是递减的，当n 是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． （3）各二项式系数的和n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2，即012C C C C 2n nn n n n +++⋅⋅⋅+=．二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02131C C C C 2n n n n n -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=． 3．必记结论 （1）C kn kk n ab -是第k ＋1项，而不是第k 项．（2）通项公式中a ，b 的位置不能颠倒．（3）通项公式中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”． 4．求展开式系数的最大项：如求()(,)n a bx a b +∈R 的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项的系数分别为121,,,+⋅⋅⋅n A A A ，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k A A A A 从而解出k 来，即得． 5．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()n ax b +、2()(,,)n ax bx c a b c ++∈R 的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令1=x 即可；对形如()nby ax +的式子，求其展开式各项系数之和，只需令1==y x 即可．6．若nn x a x a x a a x f +⋅⋅⋅+++=2210)(，则)(x f 展开式中各项系数之和为)1(f ，奇数项系数之和为2)1()1(420-+=⋅⋅⋅+++f f a a a ，偶数项系数之和为2)1()1(531--=⋅⋅⋅+++f f a a a ．注意：某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与b a ,的取值有关，而二项式系数与b a ,的取值无关．1．【浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考】51)展开式中，21x 的系数是A ．80B ．80-C ．40D ．40-2．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】251()()1x x +-的展开式中5x 的系数为A ．1B ．9-C ．11D ．213．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试】设248018(32)x x a a x a x -+=+++，则7a =A ．4-B ．8-C ．12-D ．16-4．【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测】二项式51(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是 A ．80 B ．48 C ．40-D ．80-5．【湖北省荆门市沙洋中学、龙泉中学、钟祥一中、京山一中四校2019届高三下学期六月考前模拟】在26()2x x-的展开式中，常数项为A ．240-B ．60-C ．60D ．2406．【浙江省七彩联盟2018~2019学年第一学期高三11月期中考试】若22(nx展开式的所有二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为 A ．10 B ．10- C ．5D ．5-7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】已知482012(1)(2)(1)(1)x x a a x a x ++-=+-+-88(1)a x ++-，则3a =A ．64B ．48C ．48-D ．64-8．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】在341(2)x x x-+的展开式中常数项为 A ．28 B ．28- C ．56-D ．569．【浙江省绍兴市2018届高三第二次（5月）教学质量调测】二项式n+的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 A ．7 B ．5 C ．4D ．310．【浙江省2019年高考模拟训练卷三】若8280128(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，则0128a a a a ++++=______________．11．【山东省临沂市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测】已知二项式26()ax x-展开式中含3x 项的系数为160，则实数a 的值为______________．12．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】若6560156(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++++，则0123456a a a a a a a ++++++=______________，5a =______________．13．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】已知7280128(2)(12)x x a a x a x a x +-=++++，则128a a a +++=______________，3a =______________．14．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知二项式(2nx+的展开式中，第5项是常数项，则n =______________，二项式系数最大的项的系数是______________．15．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】若352012(3)(21)x x a a x a x-+=++88a x ++，则0a =______________，028a a a +++=______________．16．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知5250125()()()()1111x a a x a x a x +=+-+-++-，则3a =______________．17．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟】25(12)x x +-展开式中的6x 的系数为______________．18．【浙江省2019届高考模拟卷一】设1021001210)x a a x a x a x =++++，则2a =______________，22024101359()()a a a a a a a a ++++-++++的值为______________．19．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】已知23(2)(1)x ax -+的展开式的所有项系数之和为27，则实数a =______________，展开式中含2x 的项的系数是______________．20．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】210)1(x x -+展开式中所有项的系数和为______________，其中3x 项的系数为______________．21．【浙江省衢州市五校联盟2019届高三年级上学期联考】若52345012345(31)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则1a =______________，012345a a a a a a +++++=______________．22．【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】设5250125(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0a =______________，123452345a a a a a ++++=______________．。
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第10章 第3讲 二项式定理 含解析
第3讲 二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知 识 梳 理1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2.二项式系数的性质(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是二项展开式的第k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )－或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m nB.C m ＋1n C.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016的值为( ) A.2 B.4C.2 017D.2 016×2 017 解析 原式＝22 01722 016－1＝22＝4.答案 B4.(2017·瑞安市质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 解析 展开式通项为T r ＋1＝C r 9x2(9－r )⎝⎛⎭⎪⎫－12x r＝(－1)r 12r C r 9x 18－3r(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9，故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －2125.(2017·石家庄调研)(1＋x )n 的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.解析 (1＋x )n 的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n 2＋1＝6，n ＝10.6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________. 解析T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3k＝C k 5(－2)k x 10－5k.令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案40考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10.(2)令10－2k3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454.(3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为454x 2，－638，45256x －2.第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【训练1】(1)(2015·全国Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答).(3)(2014·全国Ⅰ卷)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字作答). 解析(1)法一(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.法二(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为C25C23C11＝30.(2)由(2x＋x)5得T r＋1＝C r5(2x)5－r(x)r＝25－r C r5x5－r2，令5－r2＝3得r＝4，此时系数为10.(3)(x－y)(x＋y)8＝x(x＋y)8－y(x＋y)8，∵x(x＋y)8中含x2y7的项为x·C78xy7，y(x＋y)8中含x2y7的项为y·C68x2y6.故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C78－C68＝C18－C28＝－20.答案(1)C(2)10(3)－20考点二二项式系数的和与各项的系数和问题【例2】在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.解设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39B.27C 39C.－9C 9D.9C 9(2)(2017·义乌调研)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析 (1)令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 (1)B (2)A考点三 二项式定理的应用【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)用二项式定理证明2n >2n ＋1(n ≥3，n ∈N *). 证明 (1)∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2)当n ≥3，n ∈N *.2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2>2n ＋1，∴不等式成立.规律方法 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式. (3)由于(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练3】 求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数. 解 S ＝C 1＋C 2＋…＋C 27＝227－1＝89－1＝(9－1)－1＝C 9×9－C 9×9＋…＋C 9×9－C 9－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.[思想方法]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关. 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. [易错防范]1.通项T k ＋1＝C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，而不是第k 项，这里k ＝0，1，…，n .2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4 B.15x 4 C.－20i x 4D.20i x 4解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.答案 A2.(2017·台州市调研)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系为－3，则a 的值A.53B.－1C.3D.113解析∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1. 答案 B3.(2017·漳州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A.－7B.7C.－28D.28解析 依题意有n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式T k ＋1＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k C k 8x 8－43k ，令8－43k ＝0得k ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 68＝7.答案 B4.(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 答案 A5.(2016·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B.12C.1D.2解析 依题意，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.答案 D6.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于A.63B.64C.31D.32解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.答案 A7.(2017·宁波十校联考)设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 5x 5，那么(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2的值为( ) A.32B.－32C.243D.－243解析 ∵(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴令x ＝1，有a 0＋a 1＋…＋a 5＝1，再令x ＝－1，有a 0－a 1＋…－a 5＝35＝243，∴(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2＝－(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3＋a 5)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3－a 5)＝－243. 答案 D8.(2017·九江模拟)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210B.210C.30D.－30解析 (x 2－x ＋1)10＝[(x 2－x )＋1]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x 2－x )10－r ，对于(x 2－x )10－r 的通项公式为T r ′＋1＝(－1)r ′C r ′10－r x20－2r －3r ′.令20－2r －r ′＝3，根据0≤r ′≤10－r ，r ，r ′∈N ，解得⎩⎨⎧r ＝8，r ′＝1或⎩⎨⎧r ＝7，r ′＝3，∴(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为C 810C 12(－1)＋C 710C 33(－1)＝－90－120＝－210.答案 A 二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答).解析 (1－2x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k ，令k ＝2得x 2的系数为C 26(－2)2＝60.答案 6010.(2016·山东卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________(用数字作答).解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.答案 －211.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k·(－1)k ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 1012.若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 0＝________；a 2＋a 4＋…＋a 12＝________(用数字作答).解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 1 36413.(2017·乐清检测)(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数是________(用数字作答).解析 (3－2x )5的展开式的通项公式：T r ＋1＝C r 535－r (－2x )r ，令r ＝5，可得(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数为2×(－2)5＝－64. 答案 －64能力提升题组 (建议用时：15分钟)14.设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12. 答案 D15.(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( ) A.5B.6C.7D.8解析 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.16.在(1＋x )(1＋y )的展开式中，记x y 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A.45B.60C.120D.210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120. 答案 C17.(2017·宁波月考)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数为________.解析 由已知得4n 2n ＝64，所以n ＝6.展开式的通项为T r ＋1＝3r C r 6x3－r ，令3－r ＝1得r ＝2，所以x 的系数为9C 26＝135.答案 13518.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x －3)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(1)a 2的值为________；(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 的值为________.解析 (1)由f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，可得2n ＝512，∴n ＝9.∵(2x －3)9＝[－1＋2(x －1)]9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，∴a 2＝C 29·(－1)7·22＝－144.(2)在(2x －3)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9中，令x ＝1，可得a 0＝－1.再令x ＝2，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2.答案 (1)－144 (2)2。
浙江新高考数学理科一轮复习创新方案知能检测10.3二项式定理(含答案详析)
第三节二项式定理[ 通盘稳固 ]1．在 2x2－1 5的二项睁开式中，x 的系数为 ()xA． 10B．－ 10C． 40D．－ 40分析：选D T＋r 2 5 r－1 r r 5－r r10 3rr1＝C5(2x )－＝ (－1)·25－，x·C·x令 10－ 3r＝ 1，得 r＝ 3.因此 x 的系数为 (－ 1) 3·25－3·C35＝－ 40.2．在 (1＋x)2－ (1＋3x)4的睁开式中， x 的系数等于 ()A． 3B．－ 3C． 4D．－ 4分析：选 B由于 (1＋ x)2的睁开式中 x 的系数为1， (1＋3x)4的睁开式中 x 的系数为C43＝ 4，因此在 (1＋ x)2－ (1＋3x)4的睁开式中， x 的系数等于－ 3.3． (2013 ·国高考全)(1＋ x)8(1＋ y)4的睁开式中 x2y2的系数是 ()A． 56B． 84C． 112D． 168分析：选 D(1 ＋x)8睁开式中 x2的系数是 C82，(1＋ y)4的睁开式中 y2的系数是 C42，依据多项式乘法法例可得 (1＋ x)8(1 ＋y)4睁开式中 x2y2的系数为 C82C42＝ 28×6＝ 168.a 1 5的睁开式中各项系数的和为2，则该睁开式中常数项为()4. x＋x2x－xA．－ 40B．－ 20C． 20D． 40分析：选D由题意，令 x＝ 1 得睁开式各项系数的和为(1＋ a) ·(2－ 1)5＝ 2，∴a＝ 1.∵二项式2x－15的通项公式为T r＋1＝ C5r(－ 1)r·25－r·x5－2r，x1 1 533211223∴ x＋x2x－x睁开式中的常数项为x·C5(－ 1) 2·x－＋x·C5·(－ 1)·2 ·x＝－ 40＋ 80＝40.5．在 (1－ x)n＝ a0＋a1x＋a2x2＋ a3x3＋＋ a n x n中，若2a2＋a n－3＝ 0，则自然数n 的值是()A． 7 B．8 C．9 D． 10分析：选 B 易知 a2＝ C n2， a n－3＝ (－ 1)n－3·C n n－3＝ (－ 1)n－3 C n3，又2a2＋a n－3＝ 0，因此2C n2＋ (－ 1)n－3C n3＝0，将各选项逐个代入查验可知n＝ 8 知足上式．6．设 a∈Z，且 0≤ a＜ 13，若 512 012＋a 能被 13 整除，则 a＝ ()A ． 0B ．1C ．11D ．12分析： 选 D 512 012＋ a ＝ (13× 4－ 1)2 012＋a ，被 13 整除余 1＋a ，联合选项可得 a ＝ 12时， 512 012＋ a 能被 13 整除．2 5的睁开式中第四项的系数为________．7． (2014 杭·州模拟 )二项式 1－ x分析 ：由已知可得第四项的系数为 C 53(－ 2)3＝－ 80，注意第四项即 r ＝ 3.答案 ：－ 808．(2013 ·川高考四52 3的项的系数是 ________(用数字作)二项式 (x ＋ y)的睁开式中， 含 x y 答 )．分析： 由二项式定理得 52 335－33 2 32 3(x ＋y) 的睁开式中 xy 项为 C 5y ＝ 10xy ，即 xy 的系数为x10.答案： 10x －19． (2013 浙·江高考 )设二项式 5的睁开式中常数项为A ，则 A ＝ ________.3x分析： 由于x －15r5 r－ 1r r r 5－ rr r r3的通项 T r ＋ 1＝ C 5( x)－· 3 ＝ (－ 1) C 5x 2 x － 3＝ (－ 1)C 5xxx15－ 5r.令 15－ 5r ＝ 0，得 r ＝ 3，因此常数项为 (－1)3 C 53x 0＝－ 10.即 A ＝－ 10.6答案： － 1010．已知 (1－ 2x)7＝ a 0＋ a 1x ＋ a 2x 2＋ ＋ a 7x 7，求：(1)a 1＋ a 2＋ ＋ a 7；(2)a 1＋ a 3＋ a 5＋ a 7；(3)a 0＋ a 2＋ a 4＋ a 6；(4)|a 0|＋ |a 1 |＋ |a 2|＋ ＋ |a 7|.解：令 x ＝ 1，则 a 0＋ a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＋ a 5＋ a 6＋a 7 ＝－ 1.① 令 x ＝－ 1，则 a 0－a 1＋a 2－ a 3＋ a 4－ a 5＋ a 6－ a 7＝ 37 .② (1)∵a 0＝ C 07 ＝ 1，∴a 1＋ a 2＋ a 3＋ ＋ a 7＝－ 2.－ 1－ 37(2)(①－② ) ÷2，得 a 1＋ a 3＋ a 5＋ a 7＝ ＝－ 1 094.2－ 1＋ 37 0＋a 2＋a 4＋a 6＝＝ 1 093.(3)(①＋② ) ÷2，得 a2(4)∵(1－ 2x)7睁开式中 a0、 a2、 a4、 a6大于零，而a1、 a3、 a5、 a7小于零，∴|a0|＋ |a1|＋ |a2|＋＋|a7|＝(a0＋ a2＋ a4＋ a6)－ (a1＋ a3＋ a5＋ a7)＝1 093－ (－ 1 094)＝2 187.11．若某一等差数列的首项为11－2 n2n－25－232m的睁开式中的常数项，C5n－A 11－3n，公差为2x5x此中 m 是 7777－ 15 除以 19 的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．解：设该等差数列为 { a n} ，公差为 d，前 n 项和为 S n.11－ 2n≤5n，又 n∈N*，∴n＝ 2，由已知得2n－2≤ 11－ 3n，∴C115n－2n－ A 211n－－23n＝C710－ A 25＝ C310－ A 25＝10×9×8－5× 4＝ 100，∴a1＝ 100.3× 2∵7777－ 15＝ (76＋ 1)77－15＝7677＋ C177·7676＋＋C7677·76＋ 1－ 15＝76(7676＋ C177·7675＋＋ C7677) －14＝76M－ 14(M ∈N*) ，∴7777－ 15 除以 19 的余数是 5，即 m＝ 5.5 22m r5 5 r2 2 r r r 5 52r5∴2x －53 x的睁开式的通项是T r＋1＝ C5·2x－－53x＝(－1)C52－x3r－ 5(r＝ 0,1,2,3,4,5)，令5r － 5＝ 0，得 r ＝3，代入上式，得 T4＝－ 4，即 d＝－ 4，进而等差数列的通项公式是3a n＝ 100＋ (n－ 1)× (－4) ＝104－ 4n.104－ 4k≥ 0，设其前 k 项之和最大，则解得 k＝ 25或 k＝ 26，故此数列的前 25104－ 4 k＋ 1 ≤ 0，项之和与前26 项之和相等且最大，a100＋104－ 4×251＋a25× 25＝ 1 300.25＝S26＝× 25＝S2212．从函数角度看，组合数C n r可当作是以 r 为自变量的函数f(r )，其定义域是 { r|r ∈N，r ≤ n} ．n － r ＋ 1(1)证明： f(r) ＝f(r － 1)；(2)利用 (1) 的结论，证明：当 n 为偶数时， (a ＋ b)n 的睁开式中最中间一项的二项式系数最大．解： (1)证明：∵f(r)＝ C n r＝ n ！n ！， f(r －1) ＝C nr －1＝，r ！ n － r ！ r － 1 ！ n － r ＋ 1 ！n －r ＋ 1 n －r ＋1n ！ n ！ .∴ f( r － 1)＝ r ·＝ r r － 1 ！ n －r ＋ 1 ！ r ！ n － r ！则 f(r) ＝ n － r ＋ 1f(r －1) 建立．r(2)设 n ＝ 2k ，∵f(r)＝n － r ＋1f r rf(r － 1)， f(r － 1)>0 ，∴f r － 12k － r ＋ 1＝ .r2k － r ＋ 11令 f(r) ≥f(r － 1)，则r≥ 1，则 r ≤ k ＋2 (等号不建立 )．∴当r ＝1,2， ，k 时， f(r )>f(r － 1)建立．反之，当 r ＝ k ＋ 1， k ＋ 2， ， 2k 时， f(r )<f(r － 1)建立．∴f(k)＝ C k 2k 最大，即 (a ＋ b)n 的睁开式中最中间一项的二项式系数最大．[ 冲击名校 ]1． (2013 新·课标全国卷Ⅱ )已知 (1＋ax)(1 ＋x) 5 的睁开式中 x 2 的系数为 5，则 a ＝ ( )A ．－ 4B ．－ 3C ．－ 2D ．－1分析：选D已知 (1＋ ax)(1 ＋x)5 的睁开式中， x 2 的系数为 C 52 ＋aC 51＝ 5，则 a ＝－ 1.2．(2014 湖·州模拟 ) 2a6的睁开式中1x ＋2的系数为－ 12，则实数 a 的值为 ________．xx分析 ：二项式a6睁开式中第 r ＋ 1 项为r6 ra r r 6 r r 32 x ＋T r ＋1＝ C 6·(2x) －x＝ C 6·2 －·a ·xxr155－，当 3－ r ＝－ 2，即 r ＝ 5 时，含有 x 2的项的系数是C 6·2·a ＝－ 12，解得 a ＝－ 1.。
(浙江专用)高考数学一轮复习 专题十 计数原理 10.1 计数原理与排列、组合试题(含解析)-人教版
专题十计数原理【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、计数原理、排列、组合1.分类加法计数原理,分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.从近几年高考命题情况来看,这一部分主要考查分类加法、分步乘法计数原理以及排列、组合的简单应用.题型以选择题、填空题为主,在解答题中一般将排列、组合知识综合起来,有时也与求事件概率,分布列问题相结合考查.1.求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数求解所求的项.2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.1.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太容易计算时,往往利用表格法、树状图法将其所有的可能一一列举出来,这样会更容易得出结果.2.求解二项展开式的特定项时,即求展开式中的某一项,如第n项,常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项,先准确写出通项T r+1=r a n-r b r,再把系数与字母分离出来(注意符号),最后根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出关系式求解即可.二、二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【真题探秘】§10.1计数原理与排列、组合基础篇固本夯基【基础集训】考点计数原理、排列、组合1.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )A.60B.96C.48D.72答案 C2.在我国第一艘航空母舰“某某舰”的某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼-15”飞机甲、乙、丙、丁、戊准备着舰,规定乙机不能最先着舰,且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻),那么不同的着舰方法种数为( )A.24B.36C.48D.96答案 C3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( )A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B5.将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( )A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种答案 D7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.答案1808.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12综合篇知能转换【综合集训】考法一排列、组合问题的解题方法1.(2019某某万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有( )A.42种B.14种C.12种D.24种答案 D2.(2018某某某某调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C3.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.48种D.36种答案 B4.(2019某某嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为.答案605.(2020届某某某某执信中学10月月考,14)有6X卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4X,可排出的四位数有个.答案14考法二分组分配问题的解题方法6.(2018某某某某二模,8)某某西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )A.90种B.180种C.270种D.360种答案 B7.(2019某某某某第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有( )A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C8.(2018某某某某一模,5)某学校为了更好地培养尖子生,使其全面发展,决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”,要求每名教师的“包教”学生不超过2人,则不同的“包教”方案有( )A.60种B.90种C.150种D.120种答案 B9.(2020届某某某某一中10月月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中,到某某“两日游”,若他们不同一天出现在某某,则他们出游的不同方案共有( )A.16种B.18种C.20种D.24种答案 C【五年高考】考点计数原理、排列、组合1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B3.(2015某某,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B4.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规X01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规X01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个答案 C5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案166.(2017某某,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 0807.(2017某某,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6608.(2015某某,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560教师专用题组考点计数原理、排列、组合1.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种答案 C2.(2014某某,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B3.(2014某某,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C4.(2014某某,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130答案 D5.(2014某某,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D6.(2014某某,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B7.(2014某某,14,4分)在8X奖券中有一、二、三等奖各1X,其余5X无奖.将这8X奖券分配给4个人,每人2X,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案608.(2014,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案369.(2018某某,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2…i n的一个逆序,排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2), f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n(1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时,f n(2)=[f n(2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22.因此,当n≥5时, f n(2)=n 2-n-22.疑难突破要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“f n(k)”的含义,不妨从比较小的1,2,3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到f n+1(2)与f n(2),f n(1), f n(0)的关系:f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n,从而得到f n(2)(n≥5)的表达式.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届九师联盟9月质量检测,8)从1,3,5,7,9中任取两个数,从0,2,4,6,8中任取2个数,则组成没有重复数字的四位数的个数为( )A.2 100B.2 200C.2 160D.2 400答案 C2.(2020届某某某某一中第一次月考,8)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么不同的选法有( )A.50种B.60种C.70种D.90种答案 C3.(2020届某某某某七中第二次月考,4)7个人排成一排准备照一X合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有( )A.480种B.720种C.960种D.1 200种答案 C4.(2020届某某洪湖二中月考,9)“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块.某人在学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两个学习版块之间最多间隔一个答题版块的学习方法有( )A.192种B.240种C.432种D.528种答案 C5.(2018全国百所名校冲刺卷(四),8)航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C6.(2019某某金卷先享题二,8)在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动,已知现有3名教师对4名学生家庭进行问卷调查,若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查,又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查方案的种数为( )A.36B.72C.24D.48答案 A7.(2019某某某某一模)如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有( )A.6种B.9种C.12种D.36种答案 C8.(2018某某哈六中二模,9)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.48B.72C.90D.96答案 D9.(2019某某某某模拟,8)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的.现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品,每个仓库放2种,那么安全存放的不同方法种数为( )A.12B.24C.36D.48答案 D二、多项选择题(共5分)10.(改编题)下列说法正确的是( )A.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,不同的放法有A85种B.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子放球数量不限,不同的放法有85种C.5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,则不同的放法有C85种D.8个相同的小球,放入5个不同的盒子中,每盒不空的放法有C84种答案ABC三、填空题(每题5分,共15分)11.(2020届某某夏季高考模拟,13)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种.答案3612.(2020届某某寿光现代中学10月月考,14)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间.每个车间至少分配一名员工,甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为.答案3613.(2019某某某某中学第一次摸底考试,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有个.答案12014.(2020届某某东阳中学10月月考,14)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去某某、某某、某某三个城市进行暑期社会实践,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有种;其中学生甲被单独安排去某某的概率是.答案150;775。
2022年高考数学第一轮复习：二项式定理
2022年高考数学第一轮复习：二项式定理
设计师：宁永辉
一、二项式定理，如下表所示：
二、二项式定理题型（一）。
（1）二项式定理题型（一）例题讲解，如下表所示：
（2）二项式定理题型（一）跟踪训练，如下表所示：
（3）二项式定理题型（一）跟踪训练参考答案，如下表所示：
三、二项式定理题型（二）。
（1）二项式定理题型（二）例题讲解，如下表所示：
（2）二项式定理题型（二）跟踪训练，如下表所示：
（3）二项式定理题型（二）跟踪训练参考答案，如下表所示：
四、二项式定理题型（三）。
（1）二项式定理题型（三）例题讲解，如下表所示：
（2）二项式定理题型（三）跟踪训练，如下表所示：
（3）二项式定理题型（三）跟踪训练参考答案，如下表所示：
五、二项式定理题型（四）。
（1）二项式定理题型（四）例题讲解，如下表所示：
（2）二项式定理题型（四）跟踪训练，如下表所示：
（3）二项式定理题型（四）跟踪训练参考答案，如下表所示：。
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九、计数原理与古典概率（二）二项式定理一、高考考什么？[考试说明]3．了解二项式定理，二项式系数的性质。
[知识梳理]1．二项式定理：011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L ，其中组合数rn C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项，其中第r +l 项1(0,1,2,r n r rr n T C a b r -+==⋅⋅⋅ ），会求常数项、某项的系数等2．二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=；（2）增减性与最大值：当12n r +≤时，二项式系数C rn 的值逐渐增大，当12n r +≥时, C rn 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当n 为偶数时，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2n nC 取得最大值。
当n 为奇数时，中间两项（第21+n 和32n +项）的二项式系数1122n n nnCC-+=相等并同时取最大值。
（3）二项式系数的和：01rn n n C C C +++L 2n n n C ++=L ； 0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅ 12n -=。
3.展开式系数的性质：若()01n n n a a a a bx x x =++++L ；令()()nf x a bx =+ 则：（1）展开式的各项系数和为()1f（2）展开式的奇次项系数和为1[(1)(1)]2f f --（3）展开式的偶次项系数和为1[(1)(1)]2f f +-二、高考怎么考？[全面解读]从考试说明来看，二项式定理主要解决与二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均有一题，难度为中等，从未改变。
命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。
掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注意二项式系数与展开式系数的区别。
[难度系数] ★★★☆☆ [原题解析] [2004年]（7）若n 展开式中存在常数项，则n 的值可以是( )A ．8B ．9C ．10D ．12[2005年]（5）在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+- 的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A ．74B ． 121C ．－74D ．－121[2006年]（8）若多项式21091001910(1)(1)(1),L x x a a x a x a x +=+++++++则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-10 [2007年]（6）91x ⎫-⎪⎭展开式中的常数项是（ ）A ．36-B ．36C ．84-D ．84[2008年]（4）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．-15 B ．85 C ．-120 D ．274 [2009年] （4）在二项式的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 [2011年]（13）设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 。
[2012年]（14）若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++L其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝____________． [2013年]（11）设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ． [2014年]（5）在46)1()1(y x ++的展开式中，记nmy x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A. 45B. 60C. 120D. 210[2015年]（04）（1）已知 为正整数，在与展开式中项的系数相同，求 n的值.[2016年]（04）（1）已知4232100121012)(1)x x a a x a x a x +-=++++L （，求2a 的值。
[2017年]（13）已知多项式32(1)(2)x x ++=543212345x a x a x a x a x a +++++，则4a = ，5a = ．[附文科试题] [2005年]（5）在54(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是( )A ．6-B ． 6C ． －10D ． 10[2006年]（2）在二项式()61x +的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A ．15B ．20C ．30D ．40三、不妨猜猜题？从考试说明来看，二项式定理主要解决与二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均有一题，难度为中等，从未改变。
命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。
掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注意二项式系数与展开项的系数的区别。
尤其要加强求二个二项式相乘的展开式中某项系数的训练，高考出现的频率很高。
A 组1．52431x xx ⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( )A. 30-B. 30C. 25-D. 252．已知：8290129(2)111x x a a x a x a x -=-+-⋯+-++（）（）（），则6a =（ ） A. －28 B. －448 C. 112 D. 4483．()622x x +-在展开式中3x 的系数为_________.4．若二项式2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 5．64(1)(1)x x +-展开式中，3x 的系数是 (结果用数值表示)6．在()712x +的展开式中， 27C 是第_______项的二项式系数，第3项的系数是________.7．已知3323101)1(x a bx x ax +++=+，则b = ；a b += .8．展开式中的常数项是70，则n = ；2x 项的系数为 ．9．若…99a x +，且012a a a +++…90a +=，则a = ；3a = ．B 组1．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为( )A. 212-B. 92-C. 92D. 2122．()()62x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（ ）A. 80-B. 40-C. 40D. 80 3．二项式n xx )1(3+展开式中各项系数和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项等于 .4．3415(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含4x 的项的系数和是 ;5．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤， 则n = ．6．已知的展开式中的各项系数和为4，则2x 项的系数为 .7．2nx x ⎛- ⎝的展开式中各项二项式系数之和为64，则n =__________，展开式中的常数项为__________．8．二项式()512x +中，所有的二项式系数之和为___________；系数最大的项为_________． 9．设()()()()()8210201210121222x x a a x a x a x ++=+++++++L ，则01210a a a a ++++L 的值为__________，10a = .二项式定理解答部分： [原题解析][2004年]（7）C [2005年]（5）D [2006年]（8）D [2007年]（6）C [2008年]（4）A [2009年]（4）B [2011年]（13）2 [2012年]（14）10[2013年]（11）-10 [2014年]（5） C [2015年]（03）(1) 2 [2016年]（03）(1) 21 [2017年]（13）16；4[附文科试题][2005年]（5）B [2006年]（2）B[不妨猜猜题]A 组1.C2.A3.3204.75.-86.3；847. 1003；11038.4；-56 9.1；84 B 组1.A2.D3.136x 4.1820 5.5 6.160 7.6；60 8.32；3480,80x x 9.2；256。