不确定关系

∵λ =
由不确定关系: 由不确定关系:
p
∴p =
λ
∴p = h
λ
2
xp ≥ / 2 2 h λ x ≥ = 4πp 4πλ 7 2 (6,328×10 ) 3 = = 3.19×10 m 7 10 4π ×10 ×10
L
解2: :
∵L = Ct
E = hν
能量时间不确定关系) ∵tE ≥ / 2 (能量时间不确定关系) h h 1 t ≥ = = 4πE 4πhν 4πν C C ∵ = ν ∴ν = 2 λ
v a
p p
1
不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的, 不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的, U B 不确定关系更确切, 不确定关系更确切,更准确地反映了微观粒 子的本质 E
3)不确定关系指出了使用经典理论的限度 ) 例1)电子射线管中的电子束中的电子速度 ) 一般为 105m/s,设测得速度的精度为 ,设测得速度的精度为1/10000, , 即V=10m/s,求电子位置的不确定量. ,求电子位置的不确定量. 解:xP ≥ / 2 x
不确定关系( 不确定关系(Uncertainty Relation)
在介绍玻尔理论时, 在介绍玻尔理论时,就曾指出它是一个半 经典半量子产物,用到了确定位置 轨道与 位置和 经典半量子产物,用到了确定位置和轨道与动量 的概念. 的概念.就是说总可以通过实验手段精确地测定 微观粒子的位置和动量, 微观粒子的位置和动量,对具有波粒二象性的微 观粒子,这种概念正确吗? 观粒子,这种概念正确吗? 一)由电子衍射实验估计电子位置及动量的精度 电子具有波粒二象性, 电子具有波粒二象性,也可产生类似波的单 缝衍射的图样,若电子波长为λ 缝衍射的图样,若电子波长为λ,则让电子进行 单缝衍射应满足: 单缝衍射应满足: λ k =1.2.3明纹 a sin = (2k +1)
X
可以用位置, 可以用位置,动量描述
/ 2 x ≈ mV 34 6.63×10 / 4π = 31 9.1×10 ×10 6 ≈ 6.3×10 m
例2)H原子的线度的数量级为10-10m,H原中 原子的线度的数量级为10 电子的速度为V=10 m/s, 电子的速度为V=106m/s,求其速度的不确定 量. 解:xP ≥ / 2 x M rn + m V
其衍射角 分别为: 分别为:
P = Psin b P = Psin d bx dx P = Psin e ex
c
即处在单缝处电子动量在X轴上的分量有不确定值 即处在单缝处电子动量在 轴上的分量有不确定值
也就是说到达正负一级暗纹间的电子在单缝 处的动量在X轴上的分量的不确定量为 轴上的分量的不确定量为: 处的动量在 轴上的分量的不确定量为: 由单缝暗纹条件: 由单缝暗纹条件:
五)用不确定关系分析实际问题举例 1)用不确定关系分析能级总有一定的宽度 ) 原子在激发态有一定的寿命τ 即原子在时间τ 原子在激发态有一定的寿命τ,即原子在时间τ 内能保持这个状态.经过时间τ 内能保持这个状态.经过时间τ原子状态将发 I0I 中: 生显著变化. 生显著变化.即在关系 Et ≥ 2 I0/2 t =τ 能级E的值有一定的不确定量 能级 的值有一定的不确定量 推论: / 2 推论:原子发光有一定 ∴E ≥ . 说明能级有一宽度 λ1λ λ2 的谱线宽度. 的谱线宽度τ λ = λ1 λ1 E E1 E
例4)空气中的尘埃,其质量10-15 g,其坐 空气中的尘埃,其质量10 标的不确定量为 x=10-8m求其还度的不确 定量. 定量.
6.63×10 h = 15 V ≈ 8 m mX 10 ×10 10 完全可作经典 ≈ 6.63×10 m
粒子处理! 粒子处理!
解: qP ≥ hБайду номын сангаас
34
结论:能否用经典方法来描述某一问题, 结论:能否用经典方法来描述某一问题,关键在 于由不确定关系所加限制能否被忽略. 于由不确定关系所加限制能否被忽略.
故动能: 故动能:
2 2
34
~ 1020 kgms1
2 2 2 2 0
Ek = mc m0c = m c + p c m c
2 2 0
~ 20M eV
此数值大大于一个电子伏特, 此数值大大于一个电子伏特,故可排除处在核 内的可能性. 内的可能性.
3)氦氖激光器所发出的波长λ=6328,谱 )氦氖激光器所发出的波长λ , 线宽度λ λ=10-7,试求其波列长度. 线宽度λ ,试求其波列长度. 解1: : h λ h
/ 2 V ≈ mq
6.63×10 / 4π = 31 10 9.1×10 ×10
34
≈ 6×10 m →10 m
5 6
不确定量已达10 数量级, 不确定量已达 6m/s数量级,已不能用经典 数量级 物理中的速度来描述. 物理中的速度来描述.
例3)一质量为0.4kg的足球,以10m/s的速 一质量为0.4kg的足球, 10m/s的速 0.4kg的足球 度飞来,如动量的不确定量为10% 10%, 度飞来,如动量的不确定量为10%,求其位 置的不确定量. 置的不确定量. 解: V
q P =VP= t
注意: 注意: 1)式中E应理解为状态能量的 )式中 应理解为状态能量的 不确定量, 表示明显变化所经 不确定量,t表示明显变化所经 Et ≥ 2 历的时间(如激发态寿命) 历的时间(如激发态寿命) 2)h具有焦尔秒的量纲,而xp,Et均具有 具有焦尔秒的量纲, ) 具有焦尔秒的量纲 , 均具有 焦尔秒的量纲, , 均称为共轭物理量. 均称为共轭物理量 焦尔秒的量纲, xp,Et均称为共轭物理量. 故不确定关系式又可表达为: 故不确定关系式又可表达为: 一对共轭物理量的不确定量的乘积 ≥ / 2 四)不确定关系的进一步讨论 不确定关系意味着两个互相制约, 1)不确定关系意味着两个互相制约,互成反比 的共轭物理量的不确定量不能同时无限制地 减小. 减小.p ↓ .x ↑
1为一级暗纹的衍射角 asin 1 = kλ = λ λ λ ∴P = P x sin 1 = a
a
考虑到还存在> 考虑到还存在>1方向 的电子, 的电子,这些方向电子 的动量不确定量还要大
px = Psin 1
h λ h ∴P = = x λ a x
∴P x = h x
∴P x ≥ h x
动量位置不确定量关系式
qP ≥ / 2 / 2 / 2 q ≈ = p mV ×10 % / 34 6.63×10 / 4π 足球运动员完全不必 = 0.4×10×0.1 担心由于有波动性而 34 一脚踢空. 一脚踢空. ≈1.32×10 m
注意:因为是估算,数量级差不多即可, 注意:因为是估算,数量级差不多即可, 也是可以的. 故用 qP ≥ h 也是可以的.
E2 E1 ν= h
电子在β 2)电子在β衰变时的动能小于一个电子伏 试排除电子处在核内的可能性. 特,试排除电子处在核内的可能性. 解:原子线度在fs的数量级,即位置的不确定 原子线度在 的数量级, 的数量级 度:x=10-15m 故动量的不确定度: 故动量的不确定度:
h 6.63×10 p ≈ = 15 x 10
②单缝处电子的动量的不确定程度
X K
a
a
U
Pa Pd B
Pb Pc Pe
b c
d
P x
E 单缝处,衍射角为的电子在X轴上存在动量的 单缝处,衍射角为的电子在 轴上存在动量的 分量 P = Psin a P = Psin = 0 ax
P
e P = P = P= P = P d a b c e
cx
abc d e
三)能量与时间不确定关系 设有一个速度为V,质量为m的粒子 的粒子, 设有一个速度为 ,质量为 的粒子,其能量
E = m C +P C
考虑到E的增量: 考虑到 的增量: 的增量
2
2 0
4
2
2
C mVP E = = 2 4 2 2 E 2 m0 C + P C
2
2C PP
∴Et = qp ≥ / 2 即: Et ≥ 能量与时间不确定关系式 2
即其德布罗意波为单色平面波
p=
h
λ
2)不确定关系是微观粒子波粒二象性所决 ) 定的,不能理解为仪器的精度达不到. 定的,不能理解为仪器的精度达不到.
比如我们试图通过单缝来确定粒子的位置, 比如我们试图通过单缝来确定粒子的位置,但单缝隙越 越小) 窄(x越小)衍射也越厉害,动量的不确定量也大. 越小 衍射也越厉害,动量的不确定量也大. 如果要减小动量的不确定 λ 量,则单缝的宽度就要增 a sin = (2k +1 ) 大,位置 的不确定量也就 2 变大. 变大. X K
二)海森伯不确定关系式 当我们同时测量一个粒子的位 和动量p时 置q和动量 时,位置 q(广义坐 和动量 ( 和动量p的不确定量满足如 标)和动量 的不确定量满足如 下关系式: 下关系式:
qP ≥ / 2
对三维直角坐标系有: 对三维直角坐标系有:
{
xP ≥ / 2 x yP ≥ / 2 y z ≥ / 2 z P
λ λ 1 L = Ct = C =C = 4πν 4πCλ 4πλ 7 2 (6,328×10 ) 3 = = 3.19×10 m 7 10 4π ×10 ×10
2 2
λ
λ
结果一样! 结果一样!
�
{ asin = kλ
2 暗纹
1)位置的不确定程度 位置的不确定程度 我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动 量的不确定程度 ①用单缝来确定电子在穿过单缝时的位置
电子在单 缝的何处 通过是不 确定的! 确定的 只知是在 宽为a的 宽为 的 的缝中通 过.
U
结论:电子在单缝处的位置 结论 电子在单缝处的位置 不确定量为x = a
x
x ↑ .P ↓ x
如: x →0则 p →∞ 动量完全不确定
p →0则 x →∞ 粒子位置完全不确定, 粒子位置完全不确定, 可在全空间出现. 可在全空间出现.
又以一个作匀速运动的一维粒子为例, 又以一个作匀速运动的一维粒子为例,它可在 整个X轴上出现 轴上出现; 整个 轴上出现;
x →∞ p →0 p 为常数 λ完全确定. 完全确定.